复数的代数形式及其运算
复数代数形式的加减运算及其几何意义
在信号处理中的应用
信号合成与分解
复数代数形式的加减运算可以用于信 号的合成与分解，例如在频谱分析和 滤波器设计中。通过加减运算，可以 将信号分解为不同的频率分量，便于 分析和处理。
调制与解调
在通信系统中，复数代数形式的加减 运算用于信号的调制和解调过程。通 过加减运算，可以实现信号的相位和 幅度调整，从而实现信号的传输和接 收。
复数减法的几何意义
复数减法可以理解为在复平面上的向量减法。给定两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，它们的差 $z_1 - z_2 = (a-c) + (b-d)i$ 可以看作是两个向量在复平面上的差分。
向量差分：在复平面上，将 $z_1$ 的向量起点固定，然后 平移至 $z_2$ 的起点，得到向量差。这个过程对应于复数 减法运算。
部对应横轴，虚部对应纵轴。
03
复数代数形式的几何意义
复数加法的几何意义
复数加法可以理解为在复平面上的向量加法。给定两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，它们的和 $z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i$ 可以看作是两个向量在复平面上的合成。
向量合成：在复平面上，将 $z_2$ 的向量起点固定，然后平 移至 $z_1$ 的起点，得到向量和。这个过程对应于复数加法 运算。
复数代数形式的加减运算 及其几何意义
• 引言 • 复数代数形式的加减运算 • 复数代数形式的几何意义 • 复数代数形式的加减运算的应用 • 结论
Hale Waihona Puke 1引言复数的基本概念
01
复数是由实部和虚部构成的数，一 般形式为$z=a+bi$，其中$a$和 $b$是实数，$i$是虚数单位，满足 $i^2=-1$。
第一节 复数及其代数运算
若 z = x + iy ,
则 z = x − iy .
例2 计算共轭复数 = x + yi 与 z = x − yi 的积 z . 解
( x − yi )( x + yi ) = x − ( yi ) = x + y .
2 2 2 2
结论：两个共轭复数 z, z 的积是实数.
即 zz = x + y . ：
3) Im(i + z ) = 4 .
解：1) 表示与 −i 的距离等于 2 的所有复数 z 的集合 的集合. 为圆心， 为半径的圆. 此曲线是以 −i 为圆心，2 为半径的圆
y
o
2
⋅ −i
x
24
2) | z − 2i | = | z + 2 | ;
20
（3）三角表示法 ）
x = r cosθ , 利用直角坐标与极坐标的关系 y = r sinθ ,
复数可以表示成 z = r (cosθ + i sinθ ) （4）指数表示法 ） 利用欧拉公式 e iθ = cosθ + i sinθ , 复数可以表示成
z = re iθ
的指数表示式. 称为复数 z 的指数表示式
解
(5 − 5i )( −3 − 4i ) z1 5 − 5i = = z2 − 3 + 4i ( −3 + 4i )( −3 − 4i ) ( −15 − 20) + (15 − 20)i 7 1 = = − − i. 25 5 5
z1 7 1 = − + i. 5 5 z2
4
2 例1 实数 m 取何值时 , 复数 ( m − 3m − 4) +
复数的几种表示形式的转换及计算
u（t）
U
m
cos（t
）
u
i（t）
I m cos（t
）
i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
2．角频率ω ：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
T
单位：rad/s（弧度/秒）
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
⑤|12|=π
－－u1和i2反相。
§8-3 相量法的基础
一、相量法的引入
正弦稳态电路频率特点： 在线性电路中，如果电路的激励都是同一频率
的正弦量，则电路全部的稳态响应都将是同频率的 正弦量。
由于正弦稳态电路频率的特点，将同频率的正 弦量的三要素之一()省去，其余两要素用复数形 式来表示正弦量的方法称为相量法。
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π /2
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交；
3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义 课件
我们知道, 两个向量的和满 足平行四边形法则, 复数可以表示 平面上的向量，那么复数的加法 与向量的加法是否具有一致性呢？
1.复数加法运算的几何意义?
符合向量加法 的平行四边形
法则.
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离 (4)|z+2i|
点A到点(0, －2)的距离
例2.已知复数 z 满足 | z 2 3i |1 试求出复数 z 对应点的轨迹方程.
y
x
练习:1、已知复数m=2－3i,若复 数z满足不等式|z－m|=1,则z所对 应的点的集合是什么图形?
以点(2, －3)为圆心,1为半径的圆上
3.2.1复数代数形式的加 减运算及其几何意义
知识回顾
虚数单位: i ，并规定：i 2 1
复数: 形如a+bi(a,b∈R)的数
全体复数所形成的集合叫 做复数集，一般用字母 C 表示 .
z a bi (a R,b R)
实部 虚部
复数的分类：
复数z
a
bi
实数
b 0
纯虚数
(a,b R)
虚数
注:⑴复数的减法是加法的逆运算；
⑵易知复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何 z ,z ,z ∈C,有 123
z +z =z +z ,
1221
(z +z )+z =z +(z +z ). 12 31 23
⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
复数的有关运算
⑤. z = z
⑥. z = z ⇔ z ∈ R
数或0 数或
( z 2 ≠ 0) ⑦. z + z = 0 ⇔ Z为纯虚 为纯虚
④ . z = ( z)
n
n
四.共轭复数与模的性质及其运算 共轭复数与模的性质及其运算
① . | z1 ⋅ z2 |=| z1 | ⋅ | z2 |
| z−z1 | +| z −z2 | =2a (|z1 -z2 |=2a) (5).双曲线： z − z1 | −| z − z2 | = ±2a 双曲线： 双曲线 | (|z1 - z2 |> 2a)
(6).射线：z−z1 | −| z −z2 | =±2a 射线： 射线 |
(7).圆环 圆环: r <| z − z0 |< R 圆环 复数方程与直角坐标方程的转化
1 3 1 3 二. ω = - + i(或ω＝- - i) 的性质 2 2 2 2 2 ①. 1+ ω + ω = 0
② . ω = 1 (周 T = 3) 期
3
③. ω =
1
ω
=ω
2
④ . ω n + ω n +1 + ω n + 2 = 0
一、复数的四则运算问题
1、已知复数z = 1 + i (1)设ω = z 2 + 3 z − 4，求ω； z 2 + az + b = 1 − i，求实数a，b的值 （2）如果 2 z − z +1
a + b = 1 a = −1 ⇒ ∴ a + 2 = 1 b = 2
4 2、设z + ∈ R，z − 2 |= 2，求z | z 解：设z = x + yi( x、y ∈ R，且z ≠ 0)
复数代数形式的乘除运算
点(-1，-2)的距离
_______________.
x
探究点1 复数乘法运算
我们规定，复数乘法法那么如下：
设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
5
2
1
i2
(
1
i
)
i2 2
2 2
（
2
）
( )
[
]
( )
i
1
1
i
(
1
i
)
(
1
i
)
2
1
1 (
3
2
i
)(
32
i
)4
i
（
3
）
3
2
i 3
2
i (
3
23
i
)
(
2
i
) 1
3
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
1.（2015 新课标高考）若 a 为实数且 (2 ai )(a 2i ) 4i ，
6.（2015 上海高考）若复数 z 满足 3 z z 1 i ，
其中 i 为虚数单位，则 z=
．
【解析】设 z a bi (a, b R ) ，则
1 1
3(a bi ) a bi 1 i 4a 1且2b 1 z i
(完整版)复数的代数形式及其运算
复数的代数形式及其运算第85课时课题：复数的代数形式及其运算一．教学目标：掌握复数的基本题型，主要是讨论复数的概念,复数相等,复数的几何表示,计算复数模，共轭复数，解复数方程等。
二．教学重点：复数的几何表示，计算复数模，共轭复数,解复数方程等。
三．教学过程:（一）主要知识：1．共轭复数规律，；2．复数的代数运算规律(1）i=1，i=i,i=1，i=i;(3)i・i・i・i=1，i＋i＋i＋i=0；；3．辐角的运算规律(1)Arg（z・z）＝Argz＋Argz（3）Arg=nAr gz(n∈N）.。
.，n1.或z∈R。
要条件是|z|＝|a|.（6）z・z≠0,则4．根的规律：复系数一元n次方程有且只有n个根，实系数一元n次方程的虚根成对共轭出现。
5．求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式||z｜|z｜｜≤｜z±z｜≤｜z｜+|z|的运用.即｜z±z｜≤｜z|+|z|等号成立的条件是：z，z所对应的向量共线且同向。
|z±z|≥|z|｜z|等号成立的条件是：z,z所对立的向量共线且异向。
（二）范例分析Ⅰ.2004年高考数学题选1.(2004高考数学试题(浙江卷,6)）已知复数z1=3+4i, z2=t+i，且是实数，则实数t=（）A．B．C．?D．？2。
(2004年北京春季卷,2)当时，复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限3.(2004年北京卷，2）满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（ C ) A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆Ⅱ.主要的思想方法和典型例题分析：1．化归思想复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。
反之亦然。
这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。
【分析】这是解答题，由于出现了复数和，宜统一形式,正面求解。
复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
跟踪训练3 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围 是___[_0_,3_]__.
解析 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知， 1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示 复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的 对应点B(－1，0)之间的距离，即圆环内 的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin＝0， 当点A与点C(2,0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3.
复数与向量的对应关系的两个关注点
①
②
复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原 点为起点，Z(a，b)为终点的向量 一一对应的.
一个向量可以平移，其对应的复数 不变，但是其起点与终点所对应的 复数发生改变.
跟踪训练 2 (1)已知复平面内的向量O→A，A→B对应的复数分别是 －2＋i,3＋2i，则|O→B|＝____1_0___.
1234
2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
√C.第三象限
D.第四象限
解析
解析 z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.
故z对应的点为(－1，－3)，位于第三象限.
1234
3.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且 z1－z2为纯虚数，则a＝__－__1____.
解析 ∵O→B＝O→A＋A→B， ∴O→B对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴|O→B|＝ 12＋32＝ 10.
(2) 若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限 内，则实数a的取值范围是__(_－__∞__，__2_) __.
复数的运算
(a bi) (c di) （a c) (b d )i
（a c) (b d )
复数乘法：按二项式相乘法则进行， 把i2换成-1,然后把实部和虚部分别 合并．
Z1〃Z2=(a+bi)〃(c+di) =ac+adi+bci+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i
复数的运算
复数的几种表示方法：
代数表示: Z=a+bi(a,b∈R) 几何表示:复平面上的点Z(a,bx
o z 即表示z=a + bi
定义
设z1=a+bi,z2=c+di,加法规则
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 两个复数的和仍然是复数,实部与实部 相加,虚部与虚部相加. 例题
1.（5 + 4 i)- (3 + 2 i)= (5-3)+(4-2)i =2+2i
2. (5 – 6 i) + (-2 - i) - (3 + 4 i) =(5-2-3) +(- 6-1-4 ) i =-11i
几何意义
两个复数相减法,即为 它们对应的向量相减.
oz1 oz2 z2 z1
复数乘方：用二项式定理展开计算．
复数除法：分子、分母同乘以分母的 共轭虚数，根据z〃z =|z|2,使分母 实数化。
z1 a bi (a bi )(c di ) z2 c di (c di )(c di ) ac bd bc ad 2 i 2 2 2 c d c d
1.已知f ( z) 1 z, z1 2 3i, z2 5 i, 求f ( z1 z2 )
复数代数形式的乘除运算
把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
(c di)( x yi) (cx dy) (dx cy)i ac bd x cx dy a 2 2 c d 解得 dx cy b bc ad y i 2 2 c d
4、一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.）
__ 1 3 3 2 2 ②设 i,则有: 1; ;1 0. 2 2
事实上, 与 统称为1的立方虚根,而且对于,也 有类似于上面的三个等式.
2
= (8 i )(1 3i )
= 8 24i i 3i
2
= 5 25 i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的. 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算, 类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
分母实数化
复数代数形式的除法实质： 分母实数化
例5.计算 (1 2i ) (3 4i )
1 2i (1 2i)(3 4i) 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (3 4i)(3 4i)
3 8 6 i 4 i 5 10 i 1 2 i 2 2 3 4 25 5 5
2
称为关于x的实系数一元二次方程
b b xx (实根) 2a 2a 2a
高中数学复数的运算
高中数学复数的运算复数是数学中一个重要的概念，它由实部和虚部构成，可以用来描述平面上的向量、电路中的电压和电流等等。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法等，下面将详细讨论这些运算的规则。
一、复数的表示形式复数可以用代数形式和三角形式表示。
代数形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i表示虚数单位。
三角形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
二、复数的加法两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
例如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
三、复数的减法两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
例如：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
四、复数的乘法两个复数相乘，按照分配律，实部和虚部相互乘。
例如：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
五、复数的除法两个复数相除，可以通过乘以共轭复数来进行。
即，对于复数a+bi 来说，它的共轭复数为a-bi。
将两个复数相乘再除以共轭复数的模的平方。
例如：(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[c^2+d^2]=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i。
六、复数的运算性质复数的运算满足交换律、结合律和分配律。
七、复数的乘方和开方运算复数的乘方运算可以通过将其转化为三角形式来进行。
例如：(a+bi)^n=r^n(cos(nθ)+isin(nθ))，其中r为模长，θ为辐角。
复数的开方运算可以通过将其转化为代数形式，并利用公式进行计算。
综上所述，高中数学中涉及到复数的运算，包括加法、减法、乘法和除法等。
我们可以使用代数形式或者三角形式来表示复数，并利用相应的运算规则进行计算。
熟练掌握复数的运算规则，将有助于解决实际问题和应用到其他数学领域中。
电工技术：复数的表示形式及复数的四则运算
一、复数的四种表示形式
虚数单位 j =
1.代数形式： 在复平面上表示 •
1
j2 = -1
A a jb
+j b
复数的模 复数的辐角
A r
a r cos ψ
b r sin ψ
r a2 b2 b ψ arctan a
O
a +1
2. 三角函数形式
A r cos ψ jr sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
A 32 42 5
求它们的和、差、积、商。
B 82 62 10
4 A arctan 53o 3
6 B arctan 37 o 8B 10370A Nhomakorabea 5530
A B 51053 37 5090
A 5 53 37 0.516 B 10
A1 A1 1
A2 A2 2
A1 A1 1 2 A2 A2
二、复数的四则运算
例题：已知两个复数
解：
A B 3 8 j 4 6 11 j10
A 3 j4
B 8 j6
A B 3 8 j 4 6 5 j 2
二、复数的四则运算
2.复数的乘法运算 • 都转换为极坐标表达式或指数式，两复数的模相乘作为积的模，幅角相加作为积的模角。
A1 A1 1
A2 A2 2
3.复数的除法运算
A1 A2 A1 A2 1 2
• 都转换成极坐标式或指数式，将两复数的模相除作为商的模，幅角相减作为商的模角。
这两种表示形式适用于复数的加减运算。 简化画法
复数的代数形式及运算
第三节 复数的代数形式及运算【目录】题型1 复数代数形式的运算 题型2 复数代数形式的综合应用三、解答题题型1 复数代数形式的运算1．计算：（1）54)31()22(i i -+； （2）1996)12(32132i ii-+++-。
解：（1）原式===-=+--+=-⋅+w wi i i i i 22)2()2321(2])1[()231(2)1(5252254i i 31)2321(2+-=+-。
（其中ω=i 2321+-）。
（2）原式=9989989982)22(])12[(321)321(i i i i i ii i +=-+=-+++=i+i 4×249+2=i+i 2=-1+i.2．设f(x, y)=x 2y-3xy+y 2-x+8，求：（1）f(1+i, 2-i)的值； （2）[f(2-5i, 2-5i)]-1的值。
解：（1）f(1+ i, 2-i)=(1+i)2·(2-i)-3(1+i)(2-i)+(2-i)2-(1+i)+8 =2i(2-i)-3(3+i)+(3-4i)-1-i+8=2+4i-9-3i+3-4i+7-i=3-4i ；（2）若x=y ，则f(x, y)=x 3-2x 2-x+8，又x=2-5i ，∴(x-2)2=(-5i)2，即x 2-4x+9=0，而x 3-2x 2-x+8=(x 2-4x+9)(x+2)-2x-10, ∴f(2-5i, 2-5i)=0-2(2-5i)-10=-14+25i,∴[f(2-5i, 2-5i)]-1=i i i 108510872165221614)52()14(521422--=--=+---. （3）∵(1-i 3)10=1-C 110·i 3+C 210·(i 3)2-C 310·(i 3)3+…，∴(1-i 3)10的展开式中奇数项之和为复数(1-i 3)10的实数。
又(1-i 3)10=[-2·10)]2321(i +-=210ω10=210ω=210)2321(i +-=-29+29i 3，∴(1-i 3)10的展开式中各奇数项的和为-29。
3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义知识总结及练习训练课件人教版数学选修2-2
结论： 1.减法法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)， 则z1-z2=_(_a_-_c_)_+_(_b_-_d_)_i_.
2.几何意义 复数的差z1-z2与向量 OZ1 OZ2 Z2Z1 的坐标对应.
【对点训练】
1.若复数z满足z+(3-4i)=1，则z的虚部是( )
（1)2 32 10.
主题2 复数的减法 1.规定：复数的减法是加法的逆运算，若复数 z=z1-z2，则复数z1等于什么？ 提示：z1=z+z2.
2.设复数z1=a+bi(a，b∈R)，z2=c+di(c，d∈R)， z=x+yi(x，y∈R)，代入z1=z+z2，由复数相等的充要 条件得x，y分别等于什么？ 提示：x=a-c，y=b-d.
类型一 复数代数情势的加减运算
【典例1】(1)已知复数z=(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)，则
复数z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)计算： ①(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)； ②(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+ (2 017-2 018i)-(2 018-2 019i).
【解析】(1)因为 AO＝，O所A 以 表示AO的复数为 -3-2i. (2)因为 CA＝OA，所OC以 表示CA的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)因为 OB＝OA，＋O所C以 表示O的B 复数为 (3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
复数的各类表达形式
复数的各类表达形式一、代数形式表示形式：表示一个复数复数有多种表示形式，常用形式z=a+bi 叫做代数形式。
二、几何形式点的表示形式：表示复平满的一个点在直角坐标系中，以x为实轴，y为虚轴，O为原点形成的坐标系叫做复平面，这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定。
复数z=a+bi 用复平面上的点z(a，b )表示。
这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。
也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
三、三角形式表示形式复数z＝a+bi化为三角形式，z＝r(cosθ+sinθi)。
式中r=∣z∣=√(a^2+b^2)，是复数的模(即绝对值)；θ是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，记作argz，即argz=θ=arctan(b/a)。
这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。
四、指数形式表示形式将复数的三角形式z＝r( cosθ+isinθ)中的cosθ+isinθ换为exp(iθ)，复数就表为指数形式z＝rexp(iθ)。
向量在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量〔亦称矢量〕，在数学中与之相对的是数量，在物理中与之相对的是标量。
向量的运算法那么1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法那么和三角形法那么。
OB+OA=OC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减〞a=(x,y)b=(x',y') 那么a-b=(x-x',y-y').如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。
3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ>0时，λa与a同方向当λ<0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
复数的代数运算公式
复数的代数运算公式一、复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 和 b 分别为实部和虚部，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
二、复数的加法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的加法运算可以用以下公式表示：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i三、复数的减法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的减法运算可以用以下公式表示：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i四、复数的乘法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的乘法运算可以用以下公式表示：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i五、复数的除法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的除法运算可以用以下公式表示：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i六、复数的共轭对于一个复数 a+bi，它的共轭可以用以下公式表示：(a+bi)的共轭 = (a-bi)七、复数的模对于一个复数 a+bi，它的模可以用以下公式表示：|a+bi| = √(a^2+b^2)八、复数的幂运算对于一个复数 a+bi 和一个整数 n，它们的幂运算可以用以下公式表示：(a+bi)^n = (a^2+b^2)^(n/2) * cos(nθ) + (a^2+b^2)^(n/2) * sin(nθ)i九、复数的指数函数对于一个复数 a+bi，它的指数函数可以用以下公式表示：e^(a+bi) = e^a * cos(b) + e^a * sin(b)i十、复数的对数函数对于一个复数 a+bi，它的对数函数可以用以下公式表示：ln(a+bi) = ln|a+bi| + i * arg(a+bi)复数的代数运算公式包括加法、减法、乘法、除法、共轭、模、幂运算、指数函数和对数函数等。
复数基本概念
复数基木概念内容：1. 虚数单位i ：/ =-1,及运算.2. 复数概念.复数分类.'实数@ = 0)'纯虚数(a = 0)非纯虚数(aHO)复数的两种表示：(1)代数形式：z=a+bi (a,b£R)・⑵几何表示：复平面上对应的点Z(a ・b)和向量(立・ 复数z=a+bi (a.bGR)与点Z(a.b)是一一对应关系. a = cb = d特姝的：a + bi = 0<^> a = b = 0(a.b e R).共轨复数：z = a+bi(a,b w R), z = a-bi其对应点关于x 轴对称，以0为起点的对应向量也关于x 轴对称•共轨复数的运算及性质: Z] ± Z2 = Z] ± Z 分； Z] • Z” = Z] •乙；(―)== (“ H 0)5 Z2z + zeR ・ z■ z e 7?・复数的模：表示复数的有向线段的长度叫做向量的模 I z 1= yla 2 +b 2.运算及性质I z 2 I|l Zi I — 1 g l| V § + z? IV 可 I +1 G Iz-z=lzl 2=lzl 2要求：了解数的概念的发展，理解虚数单位及其运算、复数的概念、分类及表示方法、复 数相等的概念，并能利用它们解决简单问题.掌握共轨复数、复数模的概念及运算和性质，并 能解决有关的简单问题. 例题：例1・计算,+产+尸+・・・・・・ + Z 2003分析与解答：利用连续四项和为零的性质较方便.共2003项，每连续四项和为0,余3项・(从后而数较 方便)・•••原式=/+z 2+z 3=z-l-/=-l.3. 4. 向虽貶是可以平行移动的.复数相等：a 初 i=c+di 、 5. 6. 或将此式看成等比数列求和问题，则也用到了：严=1,严利=i,严=一1,严3=_jgZ).分析与解答：要利用模的概念及运算. 13 + 4/11血一、伤 1•偏例 3.若虚数(m2+l)+(m2-m)i 与虚数2+(-l+m)i 是共轨虚数，求实数m 值. 分析与解答：根据共轨复数的概念有当m=l 时,m ・m=l ・m=O,两个数均为实数，舍去,当m=l 时，符合题意，所以m=-l ・注意题目中是虚数这一条件，使得虚部不为零.例4・a.b 均为复数，有以下几个结论：⑴若lal=lbl,则 a=±b (2)7T7T =16/1(3)\a-b\= (a-b)1 则有(). A 、都正确B 、仅⑵正确C 、(2),(3)正确D 、都不正确分析与解答： 要注意，a.b 是复数这一条件.lai 即a 的模，是实数，且lal^O, ：./^=\a\正确.而lal=lbl 时，a.b 若为虚数a=±b 不正确•而la-bl 为实数，但(a-b)2不一泄是实数，故B 正确. 例5.设ZGC,且lzl=2,求ll-^ + zl 的最大和最小值.分析与解答：因为题目有模岀现，可根据||可I 一1 6 1| § Z, +0已© I + 1 ° I 来解决最值问题.由于 |ll-V3/l-lzl|<ll-V3/ + ^l<ll-V3/l + lzL••• l2-2l<ll-V3/ + zl<2 + 20<ll-V3z + zl<41-?1-z 2 2例2・求 (3 + 4i)迈-冋 _2‘的模 例2・求 _2,的模・m=± 1.•••原式的模=J(⑸+2? =3.m 2 +1 = 2〜・•・ll-J気+zl的最大值为4,最小值为0. 其它解法见后. 例6・已知：eC, I可1=1,求・1 -分析与解答：此题应利用复数模及共馳复数的性质.由121|=1,可知©・云=1 (••• z-z=lzl2=lzl2)原式二】=1.。
复数的运算法则
复数的运算法则1.复数的表示形式（1）代数形式共轭复数F*=a-jb在数学中虚单位常用i表示，如F=a+bi，但由于在电路中已用i表示电流，故虚单位改用j表示。
实部(real part)：Re[F] = a；虚部(imaginary part)：Im[F] = b。
复数可用复平面上的向量表示(如图所示)。
（2）三角形式F=|F|(cosθ+jsinθ)|F|为复数的模，θ为复数的幅角，θ=argF。
则|F|=θ=arctan(b/a)。
且a=|F|cosθ，b=|F|sinθ 。
（3）指数形式(exponential form)（4）极坐标形式(polar form)F=|F|<θ2.复数的基本运算（1）加减运算复数的加减运算采用代数形式较为简便，或在复平面中使用平行四边形法则。
设F1 = a1 + jb1，F2 = a2 + jb2，有平行四边形法则：（2）乘除运算复数的乘除运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
①指数形式即复数乘积的模等于各复数模的积；辐角等于各复数辐角的和。
②极坐标形式（3）旋转因子复数ejθ = cosθ + jsinθ = 1∠θFejθ →复数F逆时针旋转一个角度θ ，模不变+j ，–j，-1 都可以看成旋转因子。
若一个复数乘以j，等于在复平面上把该复数逆时针旋转π/2。
若一个复数除以j ，等于把该复数乘以-j ，则等于在复平面上把该复数顺时针旋转π/2。
（4）相等运算两个复数相等必须满足：复数的实部、虚部分别对应相等；或者复数的模和辐角分别对应相等。
若F1 = F2，则必须有或。
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整数指数幂运算也能推广到复数集中，即
zm·zn=—z—m—+n———，(zm)n= zm·n
，
(z1·z2)n= z1n ·z2n (m、n∈N*).
3. 设n∈N*，则i4n= 1 ，i4n+1= i ，
i4n+2= -1 ，i4n+3= -i .
若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=( A )
(2)乘法法则：(a+bi)(c+di)
= (ac-bd)+(ad+bc)i .
(3)除法：
a c
bi di
(a
cb2i（) d c2- di）
(a c+ b d) +( bc -a d)i
c2 d2
.
2. 复数加法、乘法满足交——换—律———，结 合律及乘法对加减法的 分配律 ，实数的正
1. 计算：2 3 i 1 2 3i
2 i15
1
i 2
22
.
i
解：原式=
2
3i 1
2 i [1 i 2 ]11
1 2 3i
2
i 2 i i11 2 i.
点评：解决有关复数混合运算问题，先 区别各运算的顺序，然后利用运算法则进行 具体的计算.对除法运算有两种处理方式：一 是利用分子分母都乘以分母的共轭虚数；二 是通过约分，如本题第一个分式就是通过约 分得出来的.
计算下列各式的值：
设复数z=4m-1+(2m+1)i，m∈R， 若z对应的点在直线x-3y=0上，则z=15+5i . 解：由条件知点(4m-1,2m+1)在直线x-3y=0上， 即得(4m-1)-3(2m+1)=0， 解得m=2，所以z=15+5i.
1. 求复数式的值，主要利用复数的运 算法则进行求解，但要注意整体代换和局 部化简，简化运算过程.
A. 4+2i
B. 2+i
C. 2+2i
D. 4+I
解：
z1·z2=(1+i)(3-i)=4+2i，故选A.
1 7i
2. i是虚数单位，若 2 i =a+bi(a， b∈R)，则乘积ab的值是( B )
A. -15
B. -3
C. 3
D. 15
解：
1 7i 2i
=
1 7i2 i 5
=-1+3i，
考点 搜索
●复数的代数形式的四则运算，复数的 运算定律
●虚数单位i的幂的周期性
高 考 1. 利用基本运算法则求复数式的值. 猜 想 2. 在相关条件下求复数的值.
1. 复数的加、减、乘、除运算按以下法
则进行.设z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R).
(1)加减法：(a+bi)±(c+di)=—(a—±—c—)+—(—b—±—d)—i . 故有|z1+z2|2+|z1-z2|2=———2—(—|z1—|2—+—|z—2|2—) ———.
2. 求复数式的值有待定系数法和方程 法两种.其中待定系数法就是通过复数的代 数形式，将复数问题转化为实数方程组求 解；方程法的基本观点是建立一个关于复 数z的方程，再解方程直接求出z的值.
所以a=-1，b=3，所以ab=-3，故选B.
3.复数
3 2
2i 3i
3 2i 2 3i
=(
D
)
A. 0
B. 2
C. -2i
D. 2i
解：3 2i 3 2i 3 2i 2 3i
2 3i 2 3i
13
3 2i (2 3i) 26i 2i,
13
13
故选D.
题型1 求复数式的值