常见的几种转化思想

在数学课程中，转化思想渗透各个章节，并且起到桥梁的作用。通过转化思想，我们可 以理清分析各个知识点之间的联系，在解决问题时，把不熟悉的、未知的问题转化到已知的 问题上来，从而有利于问题的解答。学习数学，不仅仅学习其理论知识，更为重要的是要掌 握解决问题的思维方式，对于学习高等数学具有重要的指导意义。总而言之，转化的思想具 有灵活性和多样性的特点，没有统一的模式可遵循，需要依据问题本身提供的信息，利用动 态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径和方法，所以学习和熟悉化归与转化的思想，有 意识地运用数学变换的方法， 去灵活地解决有关的数学问题， 将有利于提高解决数学问题的 应变能力和技能、技巧。 参考文献： [1] 陈纪修，金铭等 《数学分析》 （第二版）[M] 高等教育出版社，1998 [2] 裴礼文 《数学分析中典型问题》[M] 高等教育出版社，1996 [3] 钱吉林 《数学分析习题精粹》[M] 崇文书局，1996

n 1

f (n k )
n 1

n k 1
nk
f ( xΒιβλιοθήκη Baidudx f (n k 1)
n 1


故
f ( x)dx Rn f (n 1)
n 1
f ( x)dx ，结论得证.
5.敛散性的判别问题 考查反常积分，数项级数，幂级数，函数项级数等收敛发散问题时，一般先从其本身的 性质来判断收敛或发散， 但我们有时无法对其判别， 需要转化借助其它的级数或反常积分来 判别其敛散问题. 5.1
1 ， ） 4 2
1 f ( x) f ( x) 2 1 (tan x)

1
1 tan( x) 2
2
1 即可
实际上由于 tan(
x) = cot x ，所以有 2
1
2
1 1 (tan x )
2

1 tan( x ) 2

f (n) 是 收 敛 的 ， 试 证 ： 对 其 余 和
n 1 n 1

Rn
k n 1

f (k ) 有估计式
n 1
f ( x )dx Rn f (n 1)
f ( x )dx .
分析：由于函数 f ( x) 0 且单调减少的，所以有：
n 1
(1)
1 1 (n 1, 2,3, 4, ), xn( 2 ) (n 1, 2,3, 4, ) 两串数列，显 n 2n 2
(2)
然可得： lim xn 0, lim xn 0, 但是 lim sin
(1) n n
n
1 1 0, lim sin (2) 1 .两串子列的极限值 (1) n xn xn
ln(1 x) x( x 0); e 1 x( x 0);(1 x) x( x 0)
x

x2 1 cos x ( x 0) 2
等。
1 x e3 例 1、计算 lim x 0 ln(1 2 x) x x x ( x) ( x) ( x) 1 ( 1 x 1) (e 1) 2 3 = lim 6 解：原式= lim lim x 0 x 0 x 0 2x 12 ln(1 2 x) 2x
'
f (a ) 0 时，在 a, b 内有 f ' ( x ) 0 时，有 f ( x) 0(x a, b ) .
例 3、证明
1 1 ln 2 (1 ), ( x 0) x(1 x) x 1 ，转化为 y 1 y ln(1 y ) 0 x

1 1 (tan x )
2

1 1 (cot x )
2

1 1 (tan x )
2

(tan x ) 2 1 (tan x )
2
1
又因为 (
1 , ) 是矩形 ABCD 的中心，所以曲线 f ( x) 下方的面积为矩形的一半，故有 4 2
dx
2

2 0
1+（tanx）

. 4
x 3 x
2. 函数与数列问题的相互转化 在函数问题中，我们研究函数主要强调其连续变化，而数列问题侧重研究离散的情形. 通过连续与离散的情况相互转化，可以解决一些数学问题，例如：海涅定理，即建立了函数 极限与数列极限的转化关系， .我们通过以下几个重要的转化来说明函数与数列的转化问题. 1 例 2、证明 sin 在 x 0 没有极限. x 分析：可以取 xn
不相同，故原函数在 x 0 没有极限.通过两串数列的构造，利用数列极限进而说明了函数
极限的问题. 3.不等式证明问题 中学阶段，对于一般的不等式证明，我们常用的是作差（与 0 比较）或作商（与 1 比较） 的方式来证明结论.而学习数学分析后，可以利用其中的许多知识对问题进行转化，使不等 式的证明问题转到其它数学分析问题的证明. 3.1 利用微分中值定理进行转化 首先 f ( x ) 在 a, b 上连 续，在 a, b 上可 导 ， 则 f ( x ) f (a ) f ( )( x a ) ， 当
分析：1）对原不等式进行适当的变形，令 y
2）选取函数，令 f ( y ) y 1 y ln(1 y ) .
3）证明 f ' ( y ) 0, ( y 0) .显然结论成立.
4. 级数问题与积分转化 由级数和积分的定义得知， 级数是无穷多个点加和； 而积分更侧重考虑函数的连续情形. 与前面的函数与数列的转化有许多相似的理论基础，因此，在考查这一类转化时，我们会发 现解题过程中蕴涵着第二类的转化过程. 例 4 、 f ( x) 是 单 调 减 少 的 函 数 ， f ( x ) 0 ，
M 判别法：
只需找到收敛的优级数即可，通过将通项放大，使 un ( x ) M n ，若
M n 收敛，则 n 1

un ( x) 在 I 上一致收敛，求优级数的方法有：1）求 un ( x) 在区间上的最大值；2）利用 n 1
已知的不等式；3）用泰勒展开式. 例 5、证明

arctg 2 3 在 , 内一致收敛. x n n 1 arctg 2x x 2 n3 1 2x 1 3 3 ， 又 M 判别法可知，因为 2 3 2 3 2 3 x n n 2 n 2 x n x n
常见的几种转化思想
安康学院数学与统计系 11 级数应师范班
摘要：问题的转化是一种思维方法，将一个 生疏、复杂的问题转化为熟知、简单的问
题来处理。 本文主要论述了转化思想在数学分析中的应用， 并用几类典型的转化问题来做理 论基础.同时，利用转化思想的桥梁作用把数学分析中各个理论知识点建立相互的联系，从 而整体上把握数学分析的知识结构。 关键字：转化思想 函数 化归 引言： 哲学家罗素说过：数学具有一种至高无上的美，就像雕塑那样冷峻而朴素的美，一种无 须我们柔弱的无性感知的美， 一种不具有绘画和音乐那样富丽堂皇的装饰的美， 是唯有最伟 大的艺术才具有的严格的完美。 数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对 数学规律的理性认识，是数学知识和方法的本质概括。数学转化思想就是“把问题元素从一 种形式向另一种形式转化的能力。 ” 转化的目的是不断发现问题、 分析问题和最终解决问题。 1. 等价转化问题 在求解极限过程中，经常通过等价量（等价无穷小量或等价无穷大量） ，把不易求解的 极限问题转化成简单极限问题。 具体利用原极限中的函数表达式的等价表达式进行替换或是 在分式中统一分子与分母的函数类型。我们常用有
分析：由 sin cos 1 ，联想到柯西不等式。
2 2
(sin 2 cos 2 )(
cos 4 sin 4 ) (sin 2 cos 2 ) 1 2 2 cos sin
当且仅当：
sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 1 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2
2

2x
分析 ：
n 1

1 n
3 2
收敛，故原级数在 , 上一致收敛.
6. 应用柯西不等式实现:相等与不等的转化
cos 4 sin 4 cos 4 sin 4 1 ，求证： 1 例 6、 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2
2 2 cos 4 sin 4 sin sin 2 cos 2 sin 2 1 ，代入得： 2 2 2 cos sin cos cos
应用：在解题数学中渗透数学思维方法 解题是数学教学的重要内容，解题需要方法，解题过程蕴涵着数学思维，在解题教学中 渗透数学思维方法，培养学生用数学思想方法分析问题、解决问题的能力。 在微积分教学中，证明题是一个难点，其中数形结合的方法是一种简单有效、易学易用 的方法。 证明：

2 0
dx 1+（tanx）
2

4
分析：因为被积函数连续，所以积分存在。又因为被积函数的原函数不是初等函数，所以它 不能用一般定积分的技巧来计算。 不妨换一个角度从几何图形出发。经观察发现， （ 可能是积分曲线段的对称点。 取横坐标关于 应的函数值关于
1 也对称，即只要证明 2
2
的任意两个对称点 x 与 x ， 只要能证明相 4 2