弹性力学简明教程(第四版)_第四章_课后作业题答案

第四章 平面问题的极坐标解答

【4-8】 实心圆盘在r ρ=的周界上受有均布压力q 的作用，试导出其解答。 【解答】实心圆盘是轴对称的，可引用轴对称应力解答，教材中的式（4-11），即

2

2(12ln )2(32ln )20A

B C

A

B C ρϕρϕ

σρρσρρτ⎫

=+++⎪

⎪⎪⎪=-+++⎬⎪

⎪⎪

=⎪⎭ (a) 首先，在圆盘的周界（r ρ=）上，有边界条件()=r q ρρσ=-，由此得

-q 2

(12ln )2A

B C ρσρρ

=

+++= (b)

其次，在圆盘的圆心，当0ρ→时，式（a ）中ρσ，ϕσ的第一、第二项均趋于无限大，这是不可能的。按照有限值条件（即，除了应力集中点以外，弹性体上的应力应为有限值。），当=0ρ时，必须有0A B ==。

把上述条件代入式（b ）中，得

/2C q =-。

所以，得应力的解答为

-q 0ρϕρϕσστ===。

【4-9】 半平面体表面受有均布水平力q ，试用应力函数

2(sin 2)ΦρB φC φ=+求解应力分量（图4-15）。

【解答】（1）相容条件：

将应力函数Φ代入相容方程40∇Φ=，显然满足。

（2）由Φ求应力分量表达式

=-2sin 222sin 222cos 2B C B C B C

ρϕρϕσϕϕσϕϕτϕ⎧+⎪⎪

=+⎨⎪=--⎪⎩

（3）考察边界条件：注意本题有两个ϕ面，即2

π

ϕ=±，分别为ϕ±面。在ϕ±面

上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有

2()0,ϕϕπσ=±= 得0C =； -q 2

(),ρϕϕπτ=±= 得2

q

B =-。 将各系数代入应力分量表达式，得

sin 2sin 2cos 2q q q ρϕρϕσϕσϕτϕ

⎧=⎪⎪

=-⎨⎪=⎪⎩ 【4-14】 设有内半径为r 而外半径为R 的圆筒受内压力q ，试求内半径和外半径的改

变量，并求圆筒厚度的改变量。

【解答】本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受内压力q 的情况下，取应力分量表达式，教材中式（4-11），注意到B =0。

内外的应力边界条件要求

r r ()0,()0;(),

()0

R R q ρϕρρϕρρρρρττσσ=======-=

由表达式可见，前两个关于ρϕτ的条件是满足的，而后两个条件要求

r 2

2

2,20A

C q A C R ⎧+=-⎪⎪⎨

⎪+=⎪⎩。 由上式解得

22

2

,C ()

2()

22

22

qr R qr A R -r R -r =-=。 (a) 把A ，B ，C 值代入轴对称应力状态下对应的位移分离，教材中式（4-12）。

()()222211cos sin ,(R r )qr R u I K E ρμρμϕϕρ⎡⎤

=-++++⎢⎥-⎣

⎦ (b) sin cos 0u H I K ϕρϕϕ=-+=。

(c) 式（c ）中的ρ，ϕ取任何值等式都成立，所以各自由项的系数为零

0H I K ===

所以，轴对称问题的径向位移式（b ）为

()()222211(R r )qr R u E ρμρμρ⎡⎤

=-++⎢⎥-⎣

⎦，

而圆筒是属于平面应变问题，故上式中2

1E E μ→

-，1μ

μμ

→-代替，则有 2

222

2111111R u q E R r ρ

μμρμμρμ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪--⎝

⎭⎝⎭=⎛⎫

- ⎪-⎝⎭

， 此时内径改变为

()

r 22

222222

2211111,111R r qr R r u q E R r Er R r μμμμμμμμ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪-⎛⎫--+⎝⎭⎝⎭==+ ⎪-⎛⎫-⎝⎭- ⎪

-⎝⎭

外径改变为

()

22222

22

211111211R

R R qr rR

u q E R r ER R r μμμμμμ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪---⎝

⎭⎝⎭==

⎛⎫

-- ⎪-⎝⎭

。

圆环厚度的改变为

()

211R r qr R r u u E R r μμμ-⎛⎫

--=-+ ⎪+-⎝⎭

。

【4-16】在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量为0x y σσ==，y x q τ=，如该处有一小圆孔，试求孔边的最大正应力。

【解答】（1）求出两个主应力，即

2

12

2=22。

x y x y xy q σσσσστσ+-⎛⎫⎫±+=±⎬ ⎪⎭⎝⎭

原来的问题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q 而在上下两边受均布压力q ，如下图

所示。根据教材中的式（4-18）

r 22

22442222cos 2(1)(13),

cos 2(13),sin 2(1)(13)r σq r σq r r τq ρϕρϕ

ϕρϕρρ

ϕρτϕρρ⎫=--⎪⎪⎪⎪

=-+⎬⎪

⎪

⎪==--+⎪⎭

。

(4-18)

沿着孔边r ρ=，环向正应力是4cos 2q ϕσϕ=-。 最大环向正应力为

()

max

4q ϕσ=。

【4-17】同习题【4-16】，但x y xy q σστ===。 【解答】（1）求出两个主应力，即

122=02，。x y q σσσσ+⎫⎧=⎬⎨⎩⎭ （2）原来的问题变为矩形薄板只在左右两边受均布拉力2q ，如下图所示。

可以将荷载分解为两部分：第一部分是四边的均布拉力

1212

22

q q q σσ++==，第二部分是左右两边的均布拉力121222q q q σσ--==和上下两边的均布压力122

q q

q -=。

对于第一部分荷载，可应用教材中的式（4-17），对于第二部分荷载，可应用教材中的式（4-18），将两

部分解答叠加，即得原荷载作用下的应力解答（基尔斯解答）。

222

22224242222(1)cos 2(1)(13),

(1)cos 2(13),

sin 2(1)(13)r r r q q r r q q r r q ρϕρϕϕρσϕρρρσϕρρττϕρρ⎧=-+--⎪⎪

⎪⎪

=+-+⎨⎪

⎪⎪==--+⎪⎩

。

2