北师大版八年级数学上册同步练习：1.3 勾股定理的应用

1.3 勾股定理的应用

1.已知:如图,一艘轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一艘轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,两船相距()

A.25海里

B.30海里

C.35海里

D.40海里

2.如图,小亮将升旗的绳子拉直到底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处,发现此时绳子末端距离地面 2 m,则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为()

A.12 m

B.13 m

C.16 m

D.17 m

3 如图所示,有一个由传感器A控制的灯,要装在门上方离地面4.5 m的墙上,任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时,灯就会自动发光,则一个身高1.5 m的学生走到离墙多远的地方时灯刚好发光()

A.4 m

B.3 m

C.5 m

D.7 m

4.学校有一块长方形的花圃,如图1所示,有少数同学为了避开拐角而走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了步(假设1 m=2步),却踩伤了花草.

图1

5.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20 dm,3 dm,2 dm,A和B是这个台阶两个相对的端点.点A处有一只蚂蚁,它想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶爬到点B 的最短路程是dm.

6如图,小红想用一条彩带缠绕一个圆柱,正好从A点绕四圈到正上方的B点.已知圆柱底面周长是12 cm,高是20 cm,那么所需彩带的最短长度是 cm.

7.如图,在一个高为3米,长为5米的楼梯表面铺地毯,则地毯的长度至少为米.

8.如图是某工厂的大门,它是由一个正方形和一个半圆组成的,正方形的边长为5米,一辆装货的卡车的宽为4米,高为6米,则这辆卡车能否通过此大门?请说明理由.

9.如图,某校将一块三角形废地ABC设计为一个花园,测得AC=

80 m,BC=60 m,AB=100 m.

(1)已知花园的入口D在AB上,且到A,B的距离相等,出口为C,求CD的长;

(2)若从C到AB要修一条水沟,水沟的造价为30元/m,则这条水沟的最低造价是多少?

10.如图所示,如果只给你一把带有刻度的直尺,你能否检验∠MPN是不是直角?简述你的作法,并说明理由.

11.如图11,牧童在A处放牛,其家在B处,A,B到河岸的距离分别为AC=400 m,BD= 200 m,CD=800 m,牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家,则在何处饮水能使所走的总路程最短?

最短总路程是多少?

图11

12.如图12,一只蚂蚁从长、宽都是30 cm,高是80 cm的长方体纸箱上的点A处沿纸箱侧面爬到点B,求它爬行的最短路程.

图12

13.如图13,公路MN和公路PQ在点P处交会,在公路PQ上的点A处有一所学校,点A到公路MN的距离AB=80 m,现有一拖拉机在公路MN上以18 km/h的速度沿PN方向行驶,拖拉机行驶时周围100 m以内都会受到噪声的影响,则该校受噪声影响的时间为多少秒?

图13

答案

1.D

2.D

3.A

4.4

5.7

6.25

7.52

8.解:这辆卡车能通过此大门.理由如下:

如图所示,让卡车在门的中央通过,两侧各留0.5米的空隙,故AC=2米,过点C作CB'⊥AC,交半圆于点B,交A'B'于点B',连接AB,则AB=2.5米,CB'=AA'=5米.在Rt△ABC 中,BC2=AB2-AC2=2.52-22=2.25,所以BC=1.5(米).所以BB'=BC+CB'=1.5+5=6.5(米).

因为6.5>6,所以这辆卡车能通过此大门.

9.解:(1)如图,过点C作CE⊥AB于点E.

因为在△ABC中,AB=100,BC=60,AC=80,

所以AC2+BC2=802+602=10000.

又因为AB2=10000,所以AC2+BC2=AB2.

所以△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.

所以CE=AC·BC

AB =80×60

100

=48.

因为∠CEB=90°,所以根据勾股定理,得BE2=BC2-CE2=602-482=1296.

所以BE=36.

又因为AD=BD=50,所以DE=BD-BE=14.

因为∠CED=90°,所以根据勾股定理,得CD2=DE2+CE2=142+482=2500.

所以CD=50(m).

(2)因为垂线段最短,所以CE为水沟的位置.

所以需要的钱数为48×30=1440(元).

10.解:能检验.

作法:

(1)在射线PM上量取PA=3 cm,确定点A,在射线PN上量取PB=4 cm,确定点B.

(2)连接AB,得到△PAB.

(3)用刻度尺量取AB的长度,如果AB恰好等于5 cm,那么就说明∠MPN是直角,否则∠MPN就不是直角.

理由:因为PA=3 cm,PB=4 cm,所以PA2+PB2=32+42=52.

若AB=5 cm,则PA2+PB2=AB2,

根据直角三角形的判定方法可得△PAB是直角三角形,即∠MPN是直角.

11.解:如图,作点A关于直线CD的对称点A',连接A'B交CD于点M,连接AM,则AM=A'M,所以在点M处饮水所走的总路程最短,最短总路程为A'B的长.

过点A'作A'H⊥BD交BD的延长线于点H.

在Rt△A'HB中,A'H=CD=800 m,

故BH=BD+DH=BD+AC=200+400=600(m).

由勾股定理,得A'B2=A'H2+BH2=8002+6002=1000000,故A'B=1000 m.