高中数学-立体几何证明方法总结及经典3例

高中数学-立体几何证明方法总结及典例

例1：平行类证明 【平行类证明方法总结】 线线平行的证明方法：

三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。 线面平行的证明方法：

面外线与面内线平行，两面平行则面内一线与另面平行等等 面面平行的证明方法：

面内相交线与另面平行则面面平行，三面间平行的传递性等等。

【例】正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.

证法一：

如图（1），作PM ∥AB 交BE 于M ， 作QN ∥AB 交BC 于N,连接MN, 因为面ABCD ∩面ABEF=AB, 则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.

又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQ

DC QN =

. ∴

DC

QN

AB PM =

. ∴PM ∥QN.

四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.

又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE. 证法二：

如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴

QK

AQ

QB DQ =. 又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ， ∴

PE

AP

QK AQ =.则PQ ∥EK. ∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE. 例2：垂直类证明 【垂直类证明方法总结】

证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90o 、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等

【例】如图所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交

SB SC SD ，，于E F G ，，．

求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．

证明：∵SA ⊥平面ABCD ，

∴SA BC ⊥． ∵AB BC ⊥，

∴BC ⊥平面SAB ． 又∵AE ⊂平面SAB ， ∴BC AE ⊥． ∵SC

⊥平面AEFG ，

∴SC AE ⊥．

∴AE ⊥平面SBC ． ∴AE SB ⊥． 同理证AG SD ⊥． 例3：向量法解立体几何类 【量法解立体几何类公式总结】 基本公式

若),,(),,,(222111z y x z y x ==，则

①212121z z y y x x b a ++=⋅ρ

ρ；

②2

22222212121||,||z y x b z y x a ++=++=

；

③212121z z y y x x b a ++=⋅ρ

ρ

④2

2

2

22

22

12

12

12

12121,cos z y x z y x z z y y x x ++⋅++++>=

<

夹角公式：

||||cos 212

1n n ⋅=θ

距离公式：

|

|||n CD d =

= 【例】已知两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． （1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；

（2）求异面直线AQ与PB所成的角；

（3）求点P到面QAD的距离．

简解：（1）略；

（2）由题设知，ABCD是正方形，且AC⊥BD．由（1），PQ⊥平面ABCD，故可分别以直线CA DB QP

，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图1），易得

(22)(022)

AQ PB

=--=-

u u u r u u u r

，，，，，，

1

cos

3

AQ PB

AQ PB

AQ PB

<>==

u u u r u u u r

u u u r u u u r g

u u u r u u u r

，．所求异面直线所成的角是

1

arccos

3

．

（3）由（2）知，点(02(222(004)

D AD PQ

-=--=-

u u u r u u u r

，，，，，，，，设n=（x，y，z）是平面QAD的一个法向量，则

AQ

AD

⎧=

⎪

⎨

=

⎪⎩

u u u r

g

u u u r

g

，

，

n

n

得

20

x z

x y

+=

+=

⎪⎩

，

，

取x＝1，得(112)

-，

n=．点P 到平面QAD的距离22

PQ

d==

u u u r

g n

n

立体几何证明经典习题

平行题目

1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.

求证：PC∥面BDQ.

2、如图（1），在直角梯形P1DCB中，P1D//BC，CD⊥P1D，且P1D=8，BC=4，DC=46，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置（如图（2）），使二面角P—CD—B成45°，设E、F分别是线段AB、PD的中点.

求证：AF//平面PEC；

垂直题目

3、如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．

求证：BC⊥平面PAC．