高一数学必修3课件：3-3-1几何概型
高一数学人教A版必修3课件：几何概型3
绿 黄
黄
绿 绿 绿 红
1 2 4 7 解：P（获得购物券）= 20 20
P（获得100元购物券）=
1 20
P（获得20购物券）=
2 1 P（获得50购物券）= 20 10
这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等。
在问题中:假设每个小方砖的面积是1，则在卧室里时，
80 4 P（“停留在黑色方砖”） 5 100
在书房里时，
20 1 P（“停留在黑色方砖”） 100 5
卧室
书房
对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个 特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的 机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述 区域内的某个指定区域中的点。
三、学法指导
对于学生的学习，结合本课的实际需要，
作如下指导：对于概念，学会几何概型与古
典概型的比较；立足基础知识和基本技能，
掌握好典型例题；注意数形结合思想的运用， 把抽象的问题转化为熟悉的几何概型。
四. 教学过程分析
问题：下图是卧室和书房地板的示意图，图
中每一块方砖除颜色外完全相同，甲壳虫 分 别在卧室和书房中自由地飞来飞去，并随意停 留在某块方砖上，问 在哪个房间里，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？ 说明理由.
构成事件A的区域长度（面积或体 积） P（A）= 试验的全部结果所构成 的区域长度（面积或体 积）
（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来 判别某种概型是古典概型还是几何概型。
过程与方法： （1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数 学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题， 体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推 理能力； （2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的 方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。 情感态度与价值观： 本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成 勤学严谨的学习习惯。
四川省昭觉中学人教高一数学必修三(课件)3.3几何概型(共27张PPT)
n何M型这是古典概型，它是这样定义的:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2 )每个基本事件出现的可能性相等.其概率计算公式:A包含的基本事件的个数P(A)=基本事件的总数丿下面是运动会射箭比赛的靶面，靶面半径为10cm，黄心半径为lcm•现一人随机射箭,假设A 对应区域的面积试验全部结果构成区土鲂勺面积 每箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的， 设“射中黄心”为事件A100500m 冰样中有一只草履虫*从中随机取 出2ml 水样放在显微镜下观察，问发现草履 虫的概率?设“在2ml 水样中发现草履虫”为事A 对应区域的体积 二2试验全部结果构成区域勺体积二亦不是古典概型!1 250某人在7： 00-8： 00任一时刻随机到达单位, 问此人在7： 00-7： 10到达单位的概率？设“某人在7:10-7:20到达单位”为事件APQ4）二 A 对应区域的长度1 _试验全部结果构成区土勒勺长度—6问此人在入50-8： 00到达单位的概率?探究 类比古典概型,这些实验有什么特点?概率如何计算?1比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm,随机射箭, 假设每箭都能中靶，射中黄心的概率500ml水样放在显微镜下观察，发现草履虫的概率某人在7： 00-8： 00任一时刻随机到达单位，此人在7： 00-7：10到达单位的概率几何概型定义几何概型的特点:在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下~'V-总长度3几何概型P = 2/3问题：(1) x的取值是区间［1,4］中的整数，任取一个x的值，求“取得值大于2”的概(2) x的取值是区间［1,4］中的实数，任取一个x的值，求“取得值大于2"的概率。
率。
1 2 3 4丿•问题3：有根绳子长为3米，拉直后任意剪成两段，每段不小于1米的概率是多少？P (A)=1/3思考:怎么把随机事件转化为线段？例2 (1) x和y取值都是区间口,4］中的整数，任取一个X的值和一个y的值，求"x-y>1 ”的概率。
【优化方案】2012高中数学 第3章3.3.1几何概型课件 新人教A版必修3
方法感悟 方法技巧 1．在求解与长度有关的几何概型时，首先找 ．在求解与长度有关的几何概型时， 到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或 到几何区域 ，这时区域 可能是一条线段或 几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应 几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应 的区域d，在找d的过程中 的过程中， 的区域 ，在找 的过程中，确定边界点是问 题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 题的关键，但边界点是否取到却不影响事件 的概率． 如例 如例1) 的概率．(如例 2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域 ．当涉及射线的转动， 问题时， 问题时，常以角度的大小作为区域度量来计 算概率． 如例 如例1) 算概率．(如例
失误防范 1．适当选择观察角度，注意区分几何量是长 ． 适当选择观察角度， 度还是角度或是面积、体积． 如例 如例1) 度还是角度或是面积、体积．(如例 2．几何概型，事件A发生在总区域内也是均 ．几何概型，事件 发生在总区域内也是均 匀的，即是等可能的． 匀的，即是等可能的．
3．如果试验的全部结果所构成的区域可用体 ． 积来度量，我们要结合问题的背景， 积来度量，我们要结合问题的背景，选择好 观察角度， 观察角度，准确找出基本事件所占的区域的 体积及事件A所分布的体积 所分布的体积． 体积及事件 所分布的体积．其概率的计算公 式为
构成事件A的区域体积 构成事件 的区域体积 P(A)＝ .(如 ＝ 如 试验的全部结果构成的区域体积 例 3)
【思路点拨】 先计算 思路点拨】 先计算AM＝AC时∠ACM的 ＝ 时 的 度数，再找出相应的区域角， 度数，再找出相应的区域角，利用几何概型 的概率公式求解即可． 的概率公式求解即可．
【解】 这是几何概型问题且射线 CM 在∠ ACB 内部， 内部， 在 AB 上 取 AC′ ＝ AC ， 则 ∠ ACC′ ＝ ′ ′ 180°－45° － ＝67.5°. 2
高一数学几何概率模型说课课件
复习回顾 新课铺垫
创设情景 引入新课
归纳探索 形成概念
例题分析 推广应用
回顾小结 提高认识
布置作业 能力升华
问题1：家润多商场进行有奖销售活动，购物满500元可 问题 ：家润多商场进行有奖销售活动，购物满 元可
设计意图:通过试验发现指针可能停在转 设计意图: 1)若你是商家，你怎样设定电视机中奖区域？ 若你是商家， 若你是商家 你怎样设定电视机中奖区域？ 盘的任何位置， 盘的任何位置，从而得出基本事件有无限 个且等可能， 你希望抽到什么？ 个且等可能， 你希望抽到什么？抽到每 2）你若作为顾客，并发现电视机中奖概率与扇 ）你若作为顾客， 一种奖品的概率相同吗?为什么？若转盘改成 为什么？ 一种奖品的概率相同吗，探究出结论。让学生初 形圆弧长度有关，探究出结论。 形圆弧长度有关 为什么 若转盘改成2 呢？ 步感受几何概型的特点， 步感受几何概型的特点，并激发学生探究 热情。 热情。 3）抽中电视机的概率能用古典概型的方法来 ）
数学3(必修) 数学3(必修) 3(必修
第三章概率
几何概型
长沙市稻田中学 孙密莲
一．教学内容的分析
几 何 概 型
二．教学目标的确定 三．教法学法的选择 四．教学过程的设计 五．教学板书的设计 六．教学评价的说明
一 教 学 内 容 的 分 析
1.从教材的地位和作用来看 从教材的地位和作用来看
本课选自人教A版（必修3）第三章《概率》 本课选自人教 版 必修 ）第三章《概率》 中3.3几何概型的第一课时，是在学习古典概型情 几何概型的第一课时， 几何概型的第一课时 况下教学的。它是对古典概型内容的进一步拓展， 况下教学的。它是对古典概型内容的进一步拓展， 使等可能事件的概念从有限向无限延伸，此节内 使等可能事件的概念从有限向无限延伸， 容也是新课本中增加的，反映了《新课标》对数 容也是新课本中增加的，反映了《新课标》 学知识在实际应用方面的重视．同时也暗示了它 学知识在实际应用方面的重视． 在概率论中的重要作用，以及在高考中的题型的 在概率论中的重要作用， 转变。 转变。
2015学年高中数学(人教A版必修三)配套课件 第3章 3.3.1 几何概型 课堂教学素材1
练习
3.欧阳修《卖油翁》中写道：“乃 取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以 杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿。” 可见“行行出状元”，卖油翁的技艺 让人叹为观止。若铜钱的直径是3cm的 圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若 你随机向铜钱上滴一滴油，则油正好 4 落入孔中的概率是 (假设油 9π
滴落在铜钱上且油滴的大小忽略不计）
1米
1米
1米
1 事件A发生的概率 P（A） = 3
知识串联：两种概型 概率公式的联系 古典概型 共同点 不同点 基本事件发生 的等可能性 几何概型 基本事件发生 的等可能性 基本事件个数 的无限性
基本事件个数 的有限性 古典概型概率计算公式:
P(A)=
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
几何概型概率计算公式:
3
（3－2）2 1 = = 9 32
解题方法小结：对于复杂的实际问题,解题的关键 是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对 应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用 几何概率公式求解.
练习
1.一个路口的红绿灯，红灯的 时间为30秒，黄灯的时间为5 秒，绿灯的时间为40秒。当 你到达路口不用停直接通过 的概率为 8/15
例2. 抛阶砖游戏“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏 之一.参与者只须将手上的“金币”（设“金币” 的半径为1）抛向离身边若干距离的阶砖平面上， 抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为 3的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠）， 便可获奖，许多人纷纷参与此游戏，却很少有人得 到奖品，你能用今天所学的数学知识解释这是为什 么吗？（假设每次抛的金币都落在阶砖上）
解:
设A= 等待的时间不多于10分钟
则事件A发生恰好是打开收音机的 时刻位于[50，60]时间段内，因此 由几何概型的求概率公式得
数学必修三 几何概型 新课标人教B版 .ppt
定义：（1）试验中所有可能出现的基本事件
只有有限个; （2）每个基本事件出现的可能性相等. 我们将具有以上两个特点的概率模型称 为古典概率模型,简称古典概型.
概率计算公式: P(A)=
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
问题1.
取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪 断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多 大？
2a, A 2a 2r
A 2a 2r a r P( A) 2a a
ar 所以，硬币不与任一条平行线相碰的概率为 。 a
思路三
解：记“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A。 为了确定硬币的位置，过硬币中心O作两平行线间的垂线 段，其长度2a即是几何概型定义中Ω的几何度量。 当硬币不与平行线相碰时，硬币中心O可 移动长度2a-2r即是子区域A的几何度量。 这是一个几何概型问题。
基本事件:
从3m的绳子上的任意一点剪断.
问题2.
有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小 杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这 个细菌的概率.
提出问题
思考：上述问题的概率是古典概型问题吗？
为什么？
古典概型的两个基本特点: （1）所有的基本事件只有有限个; （2）每个基本事件发生都是等可能的。
那么对于有无限多个试验结果 （不可数）的情况相应的概率应 如何求呢?
（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个; （2）每个基本事件出现的可能性相等.
1、几何概型是怎样定义的？ 事件A理解为区域Ω 的某一子区域A，A的概率只与子 区域A的几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与A的 位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。
3.几何概型的概率计算公式
3_3_1几何概型详案 (1)
3.3.1 几何概型（第一课时）【学习目标】1．了解几何概型的概念与基本特点；2．掌握简单的几何概型的概率运算.【重点与难点】重点：几何概型概念的建构.难点：几何概率模型中基本事件的确定，几何“测度”的选择；将实际问题转化为几何概型.【方法与手段】本节课以直观观察为主线，采用“引导发现、归纳猜想”为主的教学方法；以“课题性问题和导向性问题解决”作为教学路径，利用多媒体辅助教学手段.【活动方案】活动一：复习引入【以境激情，引出新知】试验1（幸运卡片）【设计意图】拉近师生距离，复习古典概型.班上有9位同学持有卡片，其中3张写着数学家的名言，老师随机选一张，恰好挑到写有名言的卡片的概率是多少？古典概型的特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（有限性）（2）每个基本事件的发生都是等可能的.（等可能性）试验2（剪绳试验）【设计意图】丰富感性认知，表现长度测度.取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的概率有多大？分析：一个基本事件：取到线段AB上某一点所有基本事件形成的集合：线段AB（除两端外）随机事件A（剪得两段的长度都不小于10cm）对应的集合：线段CD随机事件A发生(剪断位置处在中间一段CD上)的概率：试验3（射箭比赛）【设计意图】丰富感性认知，表现面积测度.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,黄心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少?分析：一个基本事件：在大圆面内取某一点所有基本事件形成的集合：直径为122cm的大圆面随机事件A（射中黄心）对应的集合：直径为12.2cm的小圆面随机事件A发生(中靶点落在黄心内)的概率：思考：【设计意图】引发认知冲突，引入几何概型.1．试验1是什么概率模型？有什么特点？是古典概型（有限性，等可能性）2．（1）试验2和试验3的一个基本事件是什么？试验2的基本事件：从每一个位置剪断都是1个基本事件，剪断位置能够是长度为30cm的绳子上除两端外的任意一点.（取到线段AB上某一点）试验3的基本事件：射中靶面上每一点都是1个基本事件，这个点能够是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点.（在大圆面内取某一点）（2）试验2、试验3与试验1的本质区别是什么？有什么特点？试验1的基本事件是有限个，试验2、3的基本事件是无限个；每个试验的基本事件的发生都是等可能的.【互动交流，建构新知】活动二：了解几何概型的定义、特点及求解方法1．几何概型的特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)每个基本事件出现的可能性相等．2．几何概型的概念：设D是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件能够视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生能够视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称几何概型．3．几何概型的概率计算公式：的测度的测度DdAP=)(思考：【设计意图】即时回扣情境，完成新知建构结合“打靶问题”，若让你改造箭靶，你将如何设置黄色区域，仍使击中黄色区域的概率为1001呢？事件A 发生的概率与d 的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d 区域的形状和位置无关.活动三：掌握简单的几何概型概率的求解例1：取一个边长为2a 的正方形及其内切圆(如图)，随机地向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．分析：基本事件：随机地向正方形内丢一粒豆子（在正方形内任取一点）；区域D ：正方形；区域d ：内切圆.（＂测度＂为面积）解：记“豆子落入圆内”为事件A ，因为是随机地丢豆子，故认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的，可将边长为2a 的正方形看作区域D ，其内切圆为区域d .22()44a P A a ππ===圆面积正方形面积. 答：豆子落入圆内的概率为4π. 小结：试归纳解决几何概型问题的一般步骤：(1)设定事件A ；(2)判断是否为几何概型；(3)确定几何区域D 和d 的测度；(4)利用几何概型的概率计算公式；(5)应用题要作答.【设计意图】明晰思维路径，明确答题规范。
福建省莆田第八中学高中数学必修三3-3-1 几何概型 精
3.3.1 几何概型
一、选择题
1．面积为S 的△ABC ，D 是BC 的中点，向△ABC 内部投一点，那么点落在△ABD 内的概率为
( ) A.13 B.12 C.14 D.16
2．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 ( )
A ．π4
B ．1－π4
C ．π8
D ．1－π8
3． 在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )
A ．6π
B ． 32π
C ．3π
D ．233π
4．已知函数f (x )＝x 2－x －2， x ∈[－5,5]，那么满足f (x 0)≤0，x 0∈[－5,5]的x 0取值的概率为( )
A ．310
B ．35
C ．15
D ．110
二、填空题
5．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则sin πx 4的值介于－12与22
之间的概率为________． 6. 设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，方程有实根的概率为______________．
7. 在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________
三、解答题
8．取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长度都不小于1 m 的概率为多大？。
人教版高中数学必修3(A版) 几何概型 PPT课件
2 5
1 6
第二种三块区域圆心 角之比为1:2:3;
1 4
第三种圆盘两圆的半 径之比为1:2
[情境二] 问题1:在区间[0，9]上任取一个整数,恰 好取在区间[0，3]上的概率为多少? 2
5
问题2:在区间[0，9]上任取一个实数,恰 好取在区间[0，3]上的概率为多少? 1
3
探究:
请问飞镖射中靶心A（看成一个点）的 概率是多少?
中国刑法第三百零三条规定:以营利为目的,聚众 赌博或者以赌博为业的,处三年以下有期徒刑、拘役 或者管制,并处罚金;“开设赌场的,处三年以下有期徒 刑、拘役或者管制,并处罚金;情节严重的,处三年以 上十年以下有期徒刑,并处罚金.
复习提问：
1、古典概型的两个特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件只有 有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 2、计算古典概型的公式:
几何概型的概率计算公式：
构成事件A的测度（长度、弧度、 角度、面积、体积） P( A) 全部结果的测度（长度 构成事件A的测度（长度、弧度、 角度、面积、体积） P( A) 全部结果的测度（长度 、弧度、角度、面积、 体积）
例1：取一根长度为60cm的绳子，拉直后在任意
A包含基本事件的个数 公式：P( A) 基本事件的总数
创设情境：
情境一:摸球游戏：袋子中有分别写有1 号、2号、3号、4号、5号的5个球, 问题:随机抽取一个抽到1号的概率是多 1 少? 5 上述情景改为如图所示，问 1 5 题:圆盘中指针指到到1号的 4 2 概率是多少? 3
注:五个扇形区域面 积相同;
解:设A={等待的时间不多于10分钟}. 所求的事件A恰好是打开收音机时的 时刻位于[50,60]时间段内。 因此由几何概型的概率公式得
人教B版数学必修三3.3.1
版
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第三章 概 率
[分析] 求正方形面积 → 求大、中、小圆的面积 → 求事件的概率
[解析] 整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积 D＝16×16
＝256(cm2)，
设“投中大圆内”为事件 A，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件 B，“投
中大圆之外”为事件 C，则
事件 A 所占区域面积为 dA＝π×62＝36π(cm2)；
事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的
思路是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A的概率可以用“事件A包含
的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件所占总面积(总
数
学 必
体积、长度)”之比来表示．
修
③
·
人
教
B
版
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第三章 概 率
(2)几何概型的概率计算公式
数 学 必 修 ③ · 人 教 B 版
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第三章 概 率
『规律总结』 与长度有关的几何概型问题综述：
(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公
式为：
P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域长度.
(2)将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中
大、中、小三个同心圆，半径分别为 6 cm,4 cm,2 cm.某人站在 3 m 之外向此板投
镖，设投镖击中线上或没有击中木板时都不算，可重投，问： 导学号 95064785
(1)投中大圆内的概率是多少？
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
数
学 必
(3)投中大圆之外的概率是多少？
人教版高中数学必修三第三章第3节 3.3.1 几何概型 课件(共17张PPT)
【变式2】：圆O是边长为2的正方
形的内切圆 , 向这个正方形中随机
地投一点M,设M落在正方形中任一
点的可能性是相同的,试求点M落圆
O中的概率.
O
4
•M
知识探究（二）：几何概型的概率
【变式3】一只小虫在一个棱长为20cm盛满 水的正方体容器中游动, 假设小虫出现在容 器中的任意一个位置均为等可能的, 记“它 所在的位置距离正方体中心不超过10cm”为 事件A, 那么事件A发生的概率是多少？
B
N
N
B
B
N
BB
N
N
B
知识探究（一）：几何概型的概念
思考 3：上述每个扇形区域对应的圆弧的长度（或 扇形的面积）和它所在位置都是可以变化的，从 结论来看，甲获胜的概率与字母 B 所在扇形区域 的哪个因素有关？
B
N
N
B
B
N
BB
N
N
B
与扇形的弧长（或面积）有关.
知识探究（一）：几何概型的概念 思考 4：如果每个事件发生的概率只与构成该事 件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样 的概率模型为几何概型. 参照古典概型的特性， 几何概型有哪两个基本特征？
所有基本事件构成 的区域是什么？
事件A构成的区域 是什么？
在线段AB上任取一
3m
点
A
B
3m
取到线段AB上某一点 A
B
3m
线段AB（除两端外） A
B
线段CD
1m
AC DB
知识探究（二）：几何概型的概率
【变式1】：在等腰直角三角形 ABC中，在斜边AB上任取一点M，
求AM的长大于AC的长的概率.
知识探究（二）：几何概型的概率
3.3.1 几何概型
练习：P134：1、2、3
练习: 甲、乙两人约定在6时到7 时之间在某处会面，并约定先到者应 等候另一人一刻钟，过时才可离去， 求两人能会面的概率
小结： 1、几何概型的定义 2、几何概型的两个基本特征 （1）无限性 （2）等可能性
3、几何概型中，事件A的概率计算公 式 作业：P137：生的概率只与构成该事 件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样 的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.
在几何概型中,事件A的概率计算公 式如下 :
构成事件A的区域长度（ 面积或体积） P(A) = 试验的全部结果所构成的区域长度（ 面积或体积）
例1 某人午觉醒来,发现表停了,他 打开收音机,想听电台报时,求他等待的 时间不多于10分钟的概率.
3.3.1 几何概型
古典概型的两个基本特征?
(1) 有限性:在一次试验中,可能出现的结果只 有有限个,即只有有限个不同的基本事件; (2) 等可能性:每个基本事件发生的可能性是相 等的. 现实生活中,有没有实验的所有可能结果 是无穷多的情况? 相应的概率如何求?
问题
上图中有两个转盘,甲乙两人玩转盘 游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否 则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的 概率是多少?
人教版高一数学必修三第三章几何概型
3．3几何概型3．3.1几何概型考点学习目标核心素养区分古典概型和几何概型通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型数学抽象、直观想象几何概型的概率计算公式掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率逻辑推理、数学运算问题导学(1)当试验的所有可能结果是无穷多的情况，还能用古典概型来计算事件发生的概率吗？(2)什么叫几何概率模型？其求解方法是什么？(3)几何概型有几种模型？1．几何概型的定义与特点(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)特点：①可能出现的结果有无限多个；②每个结果发生的可能性相等．2．几何概型中事件A的概率的计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）．3．几何概型的常见类型(1)长度型．(2)角度型．(3)面积型．(4)体积型．4．求解几何概型的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意选择的观察角度要保证基本事件的无限性及等可能性)．(2)把所有的基本事件转化为与之相对应的区域D.(3)把所求的随机事件A转化为与之相对应的区域d.(4)利用几何概型的概率计算公式求解．■名师点拨辨析古典概型与几何概型(1)相同点古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的．(2)不同点①古典概型要求随机试验的基本事件的个数必须是有限的；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关；②在古典概型中，概率为0的事件是不可能事件，概率为1的事件是必然事件，而在几何概型中，概率为0的事件可能发生，概率为1的事件也可能不发生．例如在一个圆面内任取一点，取到圆心的概率等于0，但我们仍有可能在圆内取到圆心．也就是说，“单点事件”是不影响几何概型概率的计算的，因而在计算几何概型的概率时，线段的端点、区域的边界是否包含在所求事件之内，都不会影响最终的计算结果．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件有无限个．()(2)几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个．()(3)几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等．()(4)几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性不相等．()(5)几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×下列概率模型中，几何概型的个数为()①从区间[－10，10]上任取一个数，求取到的数在[0，1]内的概率；②从区间[－10，10]上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10，10]上任取一个整数，求取到大于1而小于3的数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形内投一点，求点离中心不超过1 cm的概率．A．1B．2C．3 D．4解析：选C.①②中的概率模型是几何概型，因为区间[－10，10]上有无数个数，且每个数被取到的机会相等；③中的概率模型不是几何概型，因为区间[－10，10]上的整数只有21个，是有限的；④中的概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形内有无数个点，且该区域内的任何一个点被投到的可能性相同．用力将一个长为三米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为( )A.23B.13C.16D.14解析：选B.由几何概型得，米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为 P ＝2－13＝13. (2019·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)向正方形内随机撒一些豆子，经查数，落在正方形内的豆子的总数为1 000，其中有780粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π的值(用分数表示)为________．解析：令正方形内切圆的半径为r ，则正方形边长为2r ，则由题意中“落在正方形内的豆子的总数为1 000，其中有780粒豆子落在该正方形的内切圆内”可得7801 000＝πr24r 2，化简得π＝7825.答案：7825与长度有关的几何概型(1)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34(2)(2019·湖北省宜昌市葛洲坝中学期末考试)在区间[－1，2]内任取一个数a ，则点(5，a )位于x 轴下方的概率为( )A.23B.12C.13D.16【解析】 (1)由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.(2)在区间[－1，2]内任取一个数a ，则点(5，a )位于x 轴下方，可得a ∈[－1，0)． 由几何概型可得P ＝0－（－1）2－（－1）＝13.故选C.【答案】 (1)B (2)C求解与长度有关的几何概型的步骤(1)找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段．(2)找到事件A 发生对应的区域d ，在找d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率．(3)利用几何概型概率的计算公式P ＝dD计算．某人从甲地去乙地共走了500米，途经一条宽为x 米的河流，他不小心把一件物品丢到途中，若物品掉到河里就找不到，若物品不掉到河里，则能找到，已知该物品被找到的概率是45，则河宽为( )A ．80米B ．100米C ．40米D ．50米解析：选B.该物品能够被找到的路径长为500－x 米，由几何概型知，45＝500－x500，解得x ＝100米，故选B.与面积有关的几何概型已知点P ，Q 为圆O ：x 2＋y 2＝25上的任意两点，且|PQ |<6，若PQ 的中点组成的区域为M ，在圆O 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )A.35B.925C.1625D.25【解析】 PQ 的中点组成的区域M 如图阴影部分所示，那么在圆O 内部任取一点落在M 内的概率为25π－16π25π＝925.【答案】 B与面积有关的几何概型的求解思路解决此类几何概型问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式P(A)＝构成事件A的区域面积，从而求得随机事件的概率．试验的全部结果所构成的区域面积(2018·高考全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3解析：选A.法一：设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝12bc，区域Ⅱ的面积S2＝12π×⎝⎛⎭⎫c22＋12π×⎝⎛⎭⎫b22－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π×⎝⎛⎭⎫a222－12bc＝18π(c2＋b2－a2)＋12bc＝12bc，所以S1＝S2，由几何概型的知识知p1＝p2，故选A.法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则BC＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝12×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S2＝π×12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤π×（2）22－2＝2，区域Ⅲ的面积S3＝π×（2）22－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得p1＝p2＝2π＋2，p3＝π－2π＋2，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A.与体积有关的几何概型一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A.4π81 B.81－4π81C.127 D.827【解析】满足题意的点所在区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为：P＝1333＝127.【答案】 C若本例条件不变，求这个蜜蜂飞到与正方体某一顶点A的距离小于13的概率．解：到点A的距离小于13的点，在以A为球心，半径为13的球内部，而点又必须在已知正方体内，则满足题意的点的区域体积为43π×⎝⎛⎭⎫133×18.所以P＝43π×⎝⎛⎭⎫133×1833＝π2×37.与体积有关的几何概型的求解思路用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，并确定出所有基本事件构成的区域的体积，利用公式P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积求解即可． (2019·江西省临川第一中学期末考试)已知三棱锥S －ABC ，在该三棱锥内取一点P ，使V P -ABC≤13V S ABC的概率为( ) A.23 B.49 C.827D.1927解析：选D.作出S 在底面△ABC 的射影为O ，若V P ABC ＝13V S ABC ，则高OP ＝13SO ，即此时P 在三棱锥V S ABC 的面DEF 上，则V P ABC <13V S ABC 的点P 位于在三棱锥V S ABC 的面DEF 以下的棱台内，则对应的概率P ＝1－⎝⎛⎭⎫233＝1927.故选D.与角度有关的几何概型如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在∠DAB 内任作射线AP ，求射线AP 与线段BC 有公共点的概率．【解】 因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能基本事件对应的区域是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，对应区域为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率P ＝∠CAB∠DAB ＝30°90°＝13.与角度有关的几何概型的求解思路当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域角度试验的全部结果所构成的区域角度.切不可用线段长度代替角度作为区域度量．在圆心角为90°的扇形OAB 中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为________．解析：作射线OD 和OE ，使得∠AOD 和∠BOE 都等于30°.要使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则射线OC 位于射线OD 和OE 之间，故所求概率为P ＝90°－30°－30°90°＝13.答案：131．在区间[－1，2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为( ) A.13 B.12 C.14D.23解析：选D.由|x |≤1， 得－1≤x ≤1，所以|x |≤1的概率为P (|x |≤1)＝23.2．(2019·湖北省荆州中学期末考试)ABCD 为长方形，AB ＝3，BC ＝2，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．解析：由题意，如图所示，可得长方形的面积为S ＝3×2＝6，以O 点为圆心，半径为1作圆，此时圆在长方形内部的部分的面积为S 1＝12πr 2＝π2，所以取到的点到O 的距离大于1表示圆的外部在矩形内部的部分，所以概率为P ＝S －S 1S ＝6－π26＝1－π12.答案：1－π123．在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．解析：如图，在AB 上取AC ′＝AC ，连接CC ′，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.设E ＝{在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM ＜AC }，则所有可能结果的区域角度为90°，事件E 的区域角度为67.5°，所以P (E )＝67.5°90°＝34.答案：344．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取一点M ，则使四棱锥M -ABCD 的体积不超过16(事件A )的概率为________．解析：设M 到平面ABCD 的距离为h ，则 V M ABCD ＝13S 底面ABCD ·h ≤16.又S 底面ABCD ＝1， 所以只要h ≤12即可．所有满足h ≤12的点组成以正方形ABCD 为底面，12为高的长方体，其体积为12. 又正方体的体积为1，所以使四棱锥M -ABCD 的体积不超过16(事件A )的概率为P (A )＝121＝12.答案：12[A 基础达标]1．已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |2<x <3}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率为( )A.16 B.13 C.23D.45解析：选A.A ∩B ＝{x |2<x <3}，因为集合A 表示的区间长度为5－(－1)＝6，集合A ∩B 表示的区间长度为3－2＝1， 所以事件“x ∈A ∩B ”的概率为16，故选A.2．(2019·湖南省张家界市期末联考)如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.π8B.18C.12D.14解析：选D.由题意知，大圆的面积为S ＝π·22＝4π；阴影部分的面积为S ′＝12π·22－π·12＝π，则所求的概率为P ＝S ′S ＝π4π＝14.故选D.3．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.13B.23C.12D.34解析：选B.先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.4．(2017·高考江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2，3]，则所求概率为3－（－2）5－（－4）＝59. 答案：595．(2019·福建省三明市质量检测)如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，它是由正方形ABCD 中四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 构成．现设直角三角形的两条直角边长为3和4，在正方形ABCD 内随机取一点，则此点取自小正方形EFGH 内的概率为________．解析：因为直角三角形的两条直角边长为3和4，所以正方形ABCD 的边长为a ＝32＋42＝5，所以S 正方形ABCD ＝a 2＝25，所以S 正方形EFGH ＝S 正方形ABCD －4S △ABF ＝25－4×12×3×4＝1，因此，在正方形ABCD 内随机取一点，则此点取自小正方形EFGH 内的概率为P ＝S 正方形EFGH S 正方形ABCD ＝125.答案：1256．在一个大型商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为5 cm 的均匀方格的大桌子上掷直径为2 cm 的硬币，如果硬币完全落入某个方格中，则掷硬币者赢得一瓶洗发水，请问随机掷一个硬币正好完全落入方格的概率有多大？解：如图，边长为5 cm 的正方形形成的区域表示试验的所有基本事件构成的区域，当硬币的中心落入图中以3 cm 为边长的正方形区域时，则试验成功，所以，随机地投一个硬币正好完全落入方格的概率为P ＝3252＝925.[B 能力提升]7.(2019·河北省沧州市期末考试)如图，边长为23的正三角形ABC 内接于圆O ，点P 为弧AC 上任意一点，则△PBC 的面积大于3的概率为________．解析：因为△ABC 的边长为23，所以△ABC 的高为3，设外接圆O 的半径为r ，则2r ＝23sin π3＝4，所以r ＝2，所以O 点到BC 的距离为1，过点O 作直线与BC 平行交弧AC 于点D ，△DBC 的面积恰好为3，所以点P 由D 点向A 点移动的过程中，△PBC 的面积越来越大；点P 由D 点向C 点移动的过程中，△PBC 的面积越来越小，因此，为使△PBC 的面积大于3，只需点P 由D 点向A 点移动，所以由几何概型可知，△PBC 的面积大于3的概率等于∠AOD 与角∠AOC 大小之比．因为∠AOD ＝π2，∠AOC ＝2π3，所以△PBC 的面积大于3的概率为P ＝π22π3＝34.答案：348．(选做题)如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M ，N ，P 是将半圆圆周四等分的三个等分点．(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率； (2)在半圆内任取一点S ，求△SAB 的面积大于82的概率．解：(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM ，△ABN ，△ABP ，△AMN ，△AMP ，△ANP ，△BMN ，△BMP ，△BNP ，△MNP ，其中是直角三角形的只有△ABM ，△ABN ，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为310.(2)连接MP ，ON ，OM ，OP ，取线段MP 的中点D ，则OD ⊥MP ，易求得OD ＝22，当S 点在线段MP 上时，S △ABS ＝12×22×8＝82，所以只有当S 点落在阴影部分(不在MP 上)时，△SAB 的面积才能大于82，而S 阴影＝S扇形MOP －S △OMP ＝12×π2×42－12×42＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB 的面积大于82的概率为4π－88π＝π－22π.。
课标人教A版必修3全套课件第三章几何概型
解.
点为坐标原点， 以 7 点为坐标原点，
y
60
小时为单位。 ， 小时为单位。x，y 分别表示 两人到达的时间， ， 两人到达的时间，( x，y ) 60的正方形 的正方形S， 构成边长为 60的正方形S， 显然这是一个几何概率问题。 显然这是一个几何概率问题。 A 的面积
o
20 60
S A
20
x
(1)
(2)
如果每个事件发生的概率只与构成该事件ห้องสมุดไป่ตู้域的长度 面积或体积)成比例.则称这样的概率模型为几何概 (面积或体积)成比例.则称这样的概率模型为几何概 率模型(geometric probability),简称几 率模型(geometric models of probability),简称几 何概型. 何概型.
1.可否利用古典概率来计算其概率 可否利用古典概率来计算其概率? 可否利用古典概率来计算其概率
虽然事件发生的概率是随机等可能的,但事件 和总体事 虽然事件发生的概率是随机等可能的 但事件A和总体事 但事件 件的个数都无法计算出来,因此古典概率很难将它算出 件的个数都无法计算出来 因此古典概率很难将它算出
6.山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶 该靶为正方形板．边 山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶 该靶为正方形板． 长为18厘米 挂于前门附近的墙上， 厘米， 长为 厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便 可投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中 可投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个， 画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为1厘米 画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为 厘米 的最内层圆域时．可得到一个大馅饼；当击中半径为1厘米到 厘米到2 的最内层圆域时．可得到一个大馅饼；当击中半径为 厘米到 厘米之间的环域时，可得到一个中馅饼；如果击中半径为2厘 厘米之间的环域时，可得到一个中馅饼；如果击中半径为 厘 米到3厘米之间的环域时 可得到一个小馅饼， 厘米之间的环域时， 米到 厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，如果击中靶上 的其他部分，则得不到馅饼，我们假设每一个顾客都能投镖中 的其他部分，则得不到馅饼， 并假设每个圆的周边线没有宽度， 靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线 试求一顾客将嬴得： 上，试求一顾客将嬴得： （a）一张大馅饼， ）一张大馅饼， （b）一张中馅饼， ）一张中馅饼， （c）一张小馅饼， ）一张小馅饼， （d）没得到馅饼的概率 ）
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第三章 3.3
3.3.1
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X服从[3,40]上的均匀分布，则X的值不能等于( A．15 C．35
[答案] D [解析] 由于X∈[3,40]，则3≤X≤40，则X≠45.
)
B．25 D．45
第三章 3.3
3.3.1
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3．几何概型与古典概型的异同 概率 类型 不同点 相同点 每个基本事件出 现的可能性一 样，即满足等可 能性
第三章 3.3
3.3.1
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新课引入
第三章 3.3
3.3.1
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数学与我们的生活密切相关，我们最好能将学到的数学 知识用到生活中，更加可贵的是，同学们能主动发现生活中 的问题，然后再考虑用什么数学知识来解决，遇到没学过的 知识还能积极探索！
第三章 3.3
3.3.1
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规律总结：本题把时间用一条线段表示，使问题变得 直观，本题也可以用区间表示，即公式的分母为区间(0,15]， 分子为区间(0,5).
第三章 3.3
3.3.1
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命题方向2
与面积有关的几何概型问题
与面积有关的几何概型问题解法： (1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积 表示，则其概率的计算公式为： 构成事件A的区域面积 P(A)＝ . 试验的全部结果所构成的区域面积
[解析]
记事件E：“A与C、D，B与C、D之间的距离都 1 3 ＝
不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为30× 10 1 10(米)，所以P(E)＝ ＝ . 30 3
第三章 3.3
3.3.1
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规律总结：将每个基本事件理解为从某个特定的几何 区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一 样，而一样随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的 某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来 求解．
第三章 3.3 3.3.1
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(4)在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域 D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后 找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点 是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．
第三章 3.3
3.3.1
[解析]
所有结果共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，
(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)， x (4,3)，(4,4)共16种．能使 为整数的有(1,1)，(2,1)，(2,2)， y (3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)8种， x 8 1 ∴ 为整数的概率为 ＝ . y 16 2
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一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间 为5秒，绿灯亮的时间为45秒．当你到达路口时，恰好看到 黄灯亮的概率是( 1 A.12
[答案] C
) 1 C.16 5 D.6
3 B.8
第三章 3.3
3.3.1
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[解析]
它是否具备几何概型的两个特点． [解析] ①中的概率模型不是几何概型，因为虽然区间
[－10,10]有无限多个点，但取到1只是1个数字不能构成区 域；②中的概率模型是几何模型；③中的概率模型是几何概 型；④中的概率模型是几何概型．
第三章 3.3
3.3.1
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思路方法技巧
第三章 3.3
3.3.1
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现举一例：我们每天都与公交车打交道！每个人都可能 会有这种想法，刚到车站，公交车就来了，不用等待，这是 多么好的事情．那么，不用等待的概率是多少呢？这是一个 概率问题，但是用古典概型无法解决．本节，我们共同研究 几何概型就可以解决这个问题．
[答案] A
1 B.3 2 D.5
第三章 3.3
3.3.1
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[解析]
从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取
出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又所有基本 事件包括(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)四种，而能构成三 角形的基本事件只有(3,5,7)一种，所以所取出的三条线段能 1 构成一个三角形的概率是P＝ . 4
第三章 3.3
3.3.1
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④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P 离中心不超过1 cm的概率． A．1个 C．3个
[答案] C
B．2个 D．4个
第三章 3.3
3.3.1
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[分析]
判断一个概率模型是否为几何模型，关键是看
设看到黄灯亮为事件A，构成事件A的“长度”
等于5，试验的全部结果所构成的区域长度是30＋5＋45＝ 5 1 80，所以P(A)＝ ＝ . 80 16
第三章 3.3
3.3.1
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2．均匀分布 当X为区间[a，b]上的任意实数，并且是 等可能 的，我们 称X服从[a，b]上的均匀分布，X为[a，b]上的均匀 随机数 ．
第三章 3.3
3.3.1
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自主预习 阅读教材P135－136，回答下列问题： 1．几何概型 (1)定义： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积)成 比例 ，则称这样的概率模型为几何概率模 型，简称为几何模型．
第三章 3.3
3.3.1
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(2)将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机 地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随 机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域 中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解． (3)几何概型的计算步骤： ①判断是否为几何概型； ②确定并计算基本事件空间； ③计算事件A所含基本事件对应的区域的几何度量； ④代入公式计算．
第三章 3.3
3.3.1
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命题方向1
与长度有关的几何概型问题
与长度有关的几何概型问题综述： (1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表 示，则其概率的计算公式为： 构成事件A的区域长度 P(A)＝ . 试验的全部结果所构成的区域长度
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[答案] C
第三章 3.3
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[解析]
用列举法求基本事件的总数为3，甲被选中的基
2 本事件个数为2，即P＝3.
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2．下列试验中是古典概型的有( A．种下一粒大豆观察它是否发芽
)
B．从规格直径为(250± 0.6) mm的一批合格产品中任意抽 一根，测量其直径d C．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面的情况 D．某人射击中靶或不中靶
第三章 3.3
3.3.1
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[破疑点]
几何概型的概率计算公式中的“长度”并不
是实际意义上的长度，它的意义取决于试验的全部结果构成 的区域，当区域分别是线段、平面图形和几何体时，相应的 “长度”分别是线段的长度、平面图形的面积和几何体的体 积．
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3.3.1
[答案] C
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3．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面向上，一 次反面向上；事件N：至少一次正面向上，则下列结果正确 的是( )
1 1 A．P(M)＝ ，P(N)＝ 3 2 1 1 B．P(M)＝2，P(N)＝2 1 3 C．P(M)＝ ，P(N)＝ 3 4 1 3 D．P(M)＝2，P(N)＝4
第三章 3.3
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[解析]
设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到
达，线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝ 5，T2T＝10.如图所示．
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记等车时段T1T上时，事件A发生，区域T1T2的长度为15， T1T的长度 5 1 区域T1T的长度为5.所以P(A)＝ ＝ ＝ . T1T2的长度 15 3 1 答：乘客等车时间大于10分钟的概率是3.
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[特别提醒] 解几何概型问题时，常常需要寻找不等关 系．要找不等关系，先找等量关系，再借助图形分析寻找不 等关系．
第三章 3.3
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[例1]
如图，A、B两盏路灯之间的距离是30米，由于光
线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C、D， B与C、D之间的距离都不小于10米的概率是多少？
几何 试验中所有可能出现的结 概型 果(基本事件)有无限多个 古典 试验中的所有可能出现的 概型 结果只有有限个
第三章 3.3
3.3.1
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下列概率模型中，是几何概型的有(