数值分析2-3(牛顿插值法)
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社数值分析是一门研究数值计算方法的学科，它应用于各个领域，解决了许多实际问题。
《李庆扬数值分析第五版习题答案》是一本为读者提供数值分析习题解答的参考书，由清华大学出版社出版。
第一章误差1.1 绝对误差与相对误差在数值计算过程中，由于测量、取近似值和舍入误差等原因，我们常常会得到与真实值有一定偏差的结果。
绝对误差和相对误差是描述数值计算结果与真实值之间误差大小的衡量标准。
绝对误差表示实际值和计算值之间的差别，相对误差则是绝对误差与实际值之比。
1.2 舍入误差与有效数字在数值计算中，由于计算机底层的二进制表示以及计算机在表示无穷和无法精确表示的数字时需要进行近似，会导致舍入误差。
有效数字是用来表示浮点运算结果的一种方式，能够控制舍入误差的影响。
第二章插值与多项式逼近2.1 插值问题的提出插值问题是在有限数据点的基础上，构造一个与这些数据点足够接近的函数。
插值的目的是通过已知数据点之间构造一个函数，使得通过这个函数计算的结果近似于真实的未知数据点的值。
2.2 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是通过构造一个基于已知数据点的多项式函数，来实现对未知数据点的预测。
它通过对每个数据点进行加权，以使得插值多项式通过这些数据点。
2.3 牛顿插值法牛顿插值法是通过使用差商的概念，构造一个多项式函数来进行插值。
差商是指由数据点的函数值所决定的差分系数。
第三章数值积分与数值微分3.1 数值积分的基本思想数值积分是通过将区间进行离散化，将连续变量转化为离散变量的和，从而实现对曲线下面积的近似计算。
3.2 复合求积公式复合求积公式将整个区间分割为若干子区间，对每个子区间进行积分，并将结果相加得到最终的数值积分结果。
通过增加子区间的数量，可以提高数值积分的精确度。
3.3 数值微分的基本思想数值微分是通过利用离散数据点之间的差值，来近似计算函数在某个点处的导数。
第四章线性方程组的数值解法4.1 线性方程组的求解线性方程组的求解是数值分析中的一个重要问题。
牛顿(newton)插值法
牛顿(newton)插值法牛顿插值法是一种数值分析中的插值方法，它用于找到一个多项式函数，该函数会经过给定的一系列数据点。
该方法最初由英国数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）发明并称为插值多项式，它也被称作差分插值法。
插值是数学和工程学中的一项重要任务，它是用于在给定数据点之间构建连续函数的一种数值方法。
插值方法通常涉及过渡从观察结果派生出抽象结果的过程，从而使得预测可能的结果取得更加准确。
下面介绍牛顿插值法的基本原理。
插值基础插值基础是插值方法中的一个重要概念。
在这里，我们将对牛顿插值法中用到的插值基础进行简要介绍。
一个插值基础是指一个已知数据点的集合，通常是一个 x 坐标和对应的 y 坐标。
每个插值基础一般定义为一个数据点的函数，该函数包含了给定点的所有信息并将这些信息用于构建连续函数。
在牛顿插值法中，我们使用差分来定义插值基础。
差分是指两个相邻数据点之间 y 坐标的差值。
具体来说，若给定以下节点：x0, y0x1, y1x2, y2...xn, yn我们则通过以下的 "+" 符号所示的不断进行差分的方式来构建一个插值基础：y0y1-y0…yn-yn-1 yn-yn-1 yn-yn-2 ... yn-y0上述图表所展示的差分的值即为定义插值基础的差商（divided difference）。
牛顿插值公式基于上述插值基础和差商，我们现在可以使用牛顿插值公式来实现插值。
具体来说，牛顿插值公式可以表示为：f(x) = y0 + d1*f[x0,x1] + d2*f[x0,x1,x2] + ... + dn*f[x0,x1,...,xn]其中 f(x) 是插值函数，x0, x1, ..., xn 是给定的节点，y0, y1, ..., yn 是对应的 y 值，f[x0,x1] 是差商 f(x0,...,x1) 的值，d1, d2, ..., dn 也是差商。
请注意，插值函数的次数最高为 n - 1，这意味着插值函数与插值基础的次数相同。
数值分析插值法
数值分析插值法插值法是数值分析中的一种方法，用于通过已知数据点的函数值来估计介于这些数据点之间的未知函数值。
插值法在科学计算、数据处理、图像处理等领域中得到广泛应用。
插值法的基本思想是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数逼近未知函数，并在已知数据点处与未知函数值相等。
插值法的关键是选择适当的插值函数，以保证估计值在插值区间内具有良好的近似性质。
常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。
以下将分别介绍这些插值法的原理及步骤：1. 拉格朗日插值法：拉格朗日插值法通过构造一个多项式函数来逼近未知函数。
假设已知n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中x0, x1, ..., xn为给定的节点，y0, y1, ..., yn为对应的函数值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：L(x) = y0 * l0(x) + y1 * l1(x) + ... + yn * ln(x)其中l0(x), l1(x), ..., ln(x)为拉格朗日基函数，定义为：li(x) = (x - x0)(x - x1)...(x - xi-1)(x - xi+1)...(x - xn) / (xi - x0)(xi - x1)...(xi - xi-1)(xi - xi+1)...(xi - xn)拉格朗日插值法的步骤为：a. 计算基函数li(xi)的值。
b.构造插值多项式L(x)。
c.计算L(x)在需要估计的插值点上的函数值f(x)。
2.牛顿插值法：牛顿插值法通过构造一个差商表来逼近未知函数。
差商表的第一列为已知数据点的函数值，第二列为相邻数据点的差商，第三列为相邻差商的差商，以此类推。
最终，根据差商表中的数值，构造一个差商表与未知函数值相等的多项式函数。
牛顿插值法的步骤为：a.计算差商表的第一列。
b.计算差商表的其他列，直至最后一列。
c.根据差商表构造插值多项式N(x)。
数值分析2-3(牛顿插值法)
二阶差商
f [ xi , x j , xk ]
一般的k阶差商定义为
f [ x0 , x1 ,..., x k ] f [ x0 ,..., x k 2 , x k ] f [ x0 , x1 ,..., x k 1 ] x k x k 1
特别地，f(x)关于一个点xi的零阶 差商定义为函数值本身，即
§3
差 商 与 牛 顿 插 值
一、差商及其性质 二、差商的计算
三、牛顿插值公式 四、牛顿插值法举例
一、差商及其性质
1. 差商的定义 函数关于 xi, xj 一阶差商
f [ xi , x j ] fห้องสมุดไป่ตู้( x j ) f ( xi ) x j xi
f [ x j , xk ] f [ xi , x j ] xk xi
∶ ∶ ∶
f[x0,x1,x2] f[x1,x2,x3]
∶ ∶ ∶
f[x0,x1,x2,x3]
∶ ∶ ∶
例 已知函数y= f (x)的观测数据如下， 试构造差商表，并求 f [2,4,5,6]的值
x 0 2 f(x) 1 5
4 5 6 9 -4 13
解 构造差商表如下
xi f(xi) 一阶 二阶 三阶 0 1 2 5 2 4 9 2 0 5 -4 -13 -5 -1 6 13 17 15 5 四阶
4 3 2
用二次插值求f (3)时，取
x0=2, x1=4, x2=5, 得 f ( 3) f ( 2) f [2,4]( 3 2)
f [2,4,5]( 3 2)( 3 4) 7 5( 3 2)( 3 4) 12 思考：若本题只给出前三个点，结果 如何？请你总结牛顿插值法何时停止？
数值分析2-3(牛顿插值法)差商和与牛顿插值
确定插值多项式的次数
根据已知数据点的数量确定插值多项式的最高次 数。
计算插值多项式
利用差商表，通过拉格朗日插值公式计算插值多 项式。
3
进行插值
将需要插值的x值代入插值多项式中，得到对应 的y值。
05
牛顿插值法的优缺点分析
优点
计算简单
局部性质好
相比于其他多项式插值方法，牛顿插 值法的计算过程相对简单，不需要求 解高阶方程，降低了计算的复杂度。
数值分析2-3：牛顿 插值法、差商和
目录
• 引言 • 牛顿插值法的基本概念 • 差商的计算方法 • 牛顿插值法的实现步骤 • 牛顿插值法的优缺点分析 • 实际应用案例 • 总结与展望
01
引言
主题简介
数值分析是数学的一个重要分支，主 要研究如何用数值方法解决各种数学 问题。
本章节将介绍牛顿插值法、差商和的 概念及其应用。
03
差商的计算方法
差商的递推公式
差商的递推公式
$f[x_0, x_1, ldots, x_n] = frac{f[x_1, ldots, x_n] - f[x_0, x_1, ldots, x_{n-1}]}{x_n - x_0}$
应用
通过递推公式，我们可以计算任意点之间的差商，从而得到插值多项式的导数。
在数据点附近，牛顿插值具有较好的 局部性质，能够提供较为准确的插值 结果。
适用性强
牛顿插值法适用于各种数据分布情况， 无论是线性还是非线性数据，都能得 到较好的插值结果。
缺点
全局误差较大
由于牛顿插值多项式的构造方式， 其全局误差通常较大，尤其是在 数据点较少的情况下。
对数据点敏感
如果数据点发生微小的变动，牛 顿插值多项式可能会发生较大的 变化，导致插值结果不稳定。
牛顿插值法介绍
牛顿插值法介绍本文将介绍牛顿插值法的基本原理、计算过程、优缺点以及在实际问题中的应用。
首先，我们将简要介绍插值法的基本概念和牛顿插值法的由来，然后详细讨论牛顿插值法的计算步骤和算法，接着分析其优缺点以及适用范围，最后通过几个实际问题的例子展示牛顿插值法的应用场景。
一、插值法基本概念在数学和计算机领域，插值是指根据已知的离散数据点构造满足这些数据点的曲线或函数的过程。
假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们想要通过这些数据点构建一个函数f(x)，使得f(xi) = yi，其中i = 1, 2, ..., n。
这样的函数就是经过插值的函数，它代表了这些数据点的趋势和变化规律。
插值法通常用于寻找这样的函数，它能够通过已知的数据点来估计函数在其他位置的值。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。
在这些方法中，牛顿插值法是最为广泛使用的一种，因为它的计算效率高、精度较高，并且易于编程实现。
二、牛顿插值法的由来牛顿插值法由艾萨克·牛顿在17世纪提出，他是一位英国著名的数学家、物理学家和天文学家，在微积分、物理学和光学等领域都做出了重大贡献。
牛顿发展了牛顿插值法的理论基础和计算方法，并将其应用于数据分析和天体运动等问题中。
牛顿插值法基于牛顿插值多项式的概念，该多项式利用差商（divided differences）来表示，并具有易于计算和分析的优势。
牛顿插值多项式能够在已知的数据点上进行插值，并且还可以通过添加新的数据点来动态地更新插值结果。
因此，牛顿插值法成为了一种非常有用的数值计算工具，被广泛应用于工程、科学和金融等领域。
三、牛顿插值法的计算步骤1. 确定数据点首先，我们需要确定一组离散的数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，这些数据点是我们已知的数据，我们要通过它们来构建插值函数。
数值分析常用的插值方法
数值分析报告班级：专业：流水号：学号：姓名：常用的插值方法序言在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。
早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。
17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。
在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。
插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上n＋1个互不相同点x0，x1……x n处的值是f（x0），……f（x n），要求估算f（x）在[a，b〕中某点的值。
其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0，C1，……C n的函数类Φ(C0，C1，……C n)中求出满足条件P（x i）＝f（x i）（i＝0，1，……n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。
此处f（x）称为被插值函数，x0，x1，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……C n)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……C n）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝f（x）－P（x）称为插值余项。
求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit 插值，分段插值和样条插值。
一．拉格朗日插值1.问题提出：已知函数()y f x =在n+1个点01,,,n x x x 上的函数值01,,,n y y y ，求任意一点x '的函数值()f x '。
说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。
数值分析插值知识点总结
数值分析插值知识点总结一、插值的基本概念插值是指在已知数据点的基础上，通过某种数学方法求得两个已知数据点之间的未知数值。
插值方法的基本思想是在已知数据点之间找出一个合适的函数形式，使得该函数穿过已知数据点，并预测未知点的数值。
插值问题通常出现在实际工程、科学计算中，比如天气预报、经济数据的预测、地震勘探等领域。
插值可以帮助人们预测未知点的数值，从而更好地了解数据之间的关系。
二、插值的分类根据插值的基本原理，插值方法可以分为多种类型，常见的插值方法包括：拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、立方插值、样条插值等。
1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
2. 牛顿插值牛顿插值是利用牛顿插值多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
3. 分段插值分段插值是将插值区间分割成多个小区间，然后在每个小区间内采用简单的插值方法进行插值。
常见的分段插值方法包括线性插值和抛物线插值。
4. 立方插值立方插值是一种通过构造三次多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
5. 样条插值样条插值是一种通过构造分段三次多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个分段三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
三、插值的应用插值方法在实际工程中有着广泛的应用，常见的应用包括图像处理、声音处理、地图绘制、气象预测、经济预测等领域。
1. 图像处理在图像处理中，插值方法主要用于图像的放大、缩小以及图像的重构等操作。
牛顿插值法的原理和推导过程
牛顿插值法的原理和推导过程一、引言在科学计算和数值分析中，插值法是一种重要的数学工具，它可以通过已知的离散数据点来估计未知点的值。
在众多插值法中，牛顿插值法以其形式简洁、计算方便而广受欢迎。
本文将对牛顿插值法的原理和推导过程进行详细阐述。
二、牛顿插值法的基本原理牛顿插值法是一种多项式插值方法，它的基本思想是通过构造一个n次多项式Pn(x)，使得该多项式在给定的n+1个插值节点上与被插值函数f(x)具有相同的函数值。
这样，在插值节点之间，我们可以用Pn(x)来近似代替f(x)。
三、牛顿插值法的推导过程差商与差分为了构造插值多项式，首先需要引入差商的概念。
设f[xi,xj]表示函数f(x)在点xi 和xj上的一阶差商，其计算公式为：f[xi,xj] = (f(xj) - f(xi)) / (xj - xi)类似地，可以定义二阶、三阶乃至n阶差商。
n阶差商f[x0,x1,...,xn]表示函数f(x)在点x0,x1,...,xn上的差商，可以通过低一阶的差商递归计算得到。
差分是差商的另一种表现形式，它与差商之间有一一对应的关系。
在实际计算中，差分往往比差商更方便。
牛顿插值多项式的构造有了差商的概念，我们就可以构造牛顿插值多项式了。
设n次牛顿插值多项式为：Pn(x) = f(x0) + fx0,x1 + fx0,x1,x2(x-x1) + ... + fx0,x1,...,xn(x-x1)...(x-xn-1)其中，f[x0,x1,...,xk]表示k阶差商。
可以看出，Pn(x)是一个形式简洁的多项式，其各项系数即为各阶差商。
为了证明Pn(x)满足插值条件，即Pn(xi) = f(xi) (i=0,1,...,n)，我们可以将xi代入Pn(x)中，逐项验证。
由于差商的性质，当x取xi时，高于i阶的差商项都将为0，因此Pn(xi) = f(xi)。
牛顿插值法的计算步骤（1）根据给定的插值节点，计算各阶差商；（2）根据牛顿插值多项式的公式，构造插值多项式Pn(x)；（3）将需要插值的点代入Pn(x)，得到插值结果。
三次牛顿向前插值公式
三次牛顿向前插值公式牛顿向前插值公式是一种常用的数值分析方法，用于通过已知数据点的函数值来估计其他未知数据点的函数值。
它基于多项式插值的思想，通过给定的数据点构造一个多项式函数，然后利用该函数来估计其他数据点的函数值。
假设我们有一组已知的数据点，其中每个数据点都有一个对应的函数值。
我们希望通过这些已知数据点来估计其他数据点的函数值。
牛顿向前插值公式可以帮助我们实现这个目标。
具体来说，牛顿向前插值公式使用多项式函数来逼近原始函数。
多项式函数的次数取决于给定的数据点的数量。
公式的形式如下：f(x) ≈ f(x0) + (x - x0)f[x0, x1] + (x - x0)(x - x1)f[x0, x1, x2] + ...其中，f(x0)、f[x0, x1]、f[x0, x1, x2]等代表函数值或差商。
差商是一种递归定义的概念，用于计算多项式函数中的系数。
牛顿向前插值公式的优点是简单易用，计算效率高。
它可以用于任意次数的多项式逼近，而且在插值区间内具有较高的精度。
然而，它也有一些缺点，例如对于非均匀数据点的插值效果较差。
为了更好地理解牛顿向前插值公式，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设我们有以下一组数据点：x0 = 1, f(x0) = 3x1 = 2, f(x1) = 5x2 = 3, f(x2) = 8我们希望通过这些已知数据点来估计其他数据点的函数值。
根据牛顿向前插值公式，我们可以得到以下逼近多项式：f(x) ≈ 3 + (x - 1)f[1, 2] + (x - 1)(x - 2)f[1, 2, 3]其中，f[1, 2]和f[1, 2, 3]分别表示差商。
根据差商的定义，我们可以计算出它们的值：f[1, 2] = (f(x1) - f(x0)) / (x1 - x0) = (5 - 3) / (2 - 1) = 2f[1, 2, 3] = (f[2, 3] - f[1, 2]) / (x2 - x0) = ((8 - 5) / (3 - 2) - 2) / (3 - 1) = 1将以上计算结果代入逼近多项式中，我们可以得到最终的插值公式：f(x) ≈ 3 + 2(x - 1) + (x - 1)(x - 2) = 3 + 2x - 2 + x^2 - 3x + 2 = x^2 - x + 3通过这个插值多项式，我们就可以估计其他数据点的函数值了。
数值分析中的插值算法及其应用
数值分析中的插值算法及其应用数值分析是研究解决数学问题的数值方法的一门学科。
其中，插值算法是数值分析中重要的方法之一。
插值是指在给定一些数据点的情况下，用一些方法建立一个函数，该函数可以在给定区间内的任何一点上计算出函数值。
插值方法有很多种，其中比较常用的有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种将一个多项式函数p(x)与一系列已知数据点相联系的方法。
假设给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，其中x1 < x2 < ... < xn，那么可以构造一个次数小于等于n-1的多项式函数p(x)满足p(xi) = yi，i=1,2,...,n。
设p(x)的表达式为：p(x) = Σyi li(x)其中，li(x)为拉格朗日基函数。
每个基函数都满足：li(xi) = 1, li(xj) = 0, j≠i基函数的表达式为：li(x) = Π[j≠i] (x - xj) / (xi - xj)利用拉格朗日插值法，可以在给定数据点的情况下，快速计算函数在其他点上的值。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种利用差商的方法建立插值多项式的方法。
相比于拉格朗日插值法，牛顿插值法更注重于递推计算。
给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，牛顿插值法可以建立一个关于x的n次多项式。
首先，定义一个差商：f[xi] = yif[xi, xi+1, ..., xj] = (f[xi+1, ..., xj] - f[xi, ..., xj-1]) / (xj - xi)差商f[xi, xi+1, ..., xj]是由区间(xi, xj)内的函数值f(xi), f(xi+1), ..., f(xj)所计算得到的。
定义一个新的多项式qk(x)，其中：qk(x) = f[x0, x1, ..., xk] + (x - xk) qk-1(x)其中q0(x) = f[x0]。
数值分析 插值法
1 1 1
x0 x1 xn
2 x0 2 x1
n x0 n x1
0 i j n
2 xn n xn
( x j xi ) 0
, an .
由克莱默法则知，方程组有唯一解 a0 , a1 ,
§2 Lagrange Polynomial
唯一性的另一证明 满足 P( xi ) yi , i 0, ... , n 的 n 阶插 值多项式是唯一存在的。
f (x)
(x0 ,y0)
(x1 ,y1)
P1(x)
x0
x1
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
§2 Lagrange Polynomial
y1 y0 直线方程为: y y0 x x ( x x0 ) 1 0
记 P 1 ( x) L 1 ( x) ，上式等价变形为:
化简得到
L2 ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1 l2 ( x ) y2 l i ( x ) yi .
i 3
成立:
l 0 ( x0 ) 1 l ( x ) 0 0 1 l 0 ( x 2 ) 0
l1 ( x 0 ) 0 l ( x ) 1 1 1 l1 ( x 2 ) 0
l 2 ( x0 ) 0 l ( x ) 0 2 1 l 2 ( x 2 ) 1
将以上思路推广到n+1个节点情形，即可得到类似的 插值基函数和插值多项式表示形式。
§2 Lagrange Polynomial
2-3 Lagrange插值多项式
数值分析中常用的插值方法
数值分析中常用的插值方法在数值计算中，许多问题都可以用插值方法来近似求解，比如曲线拟合、函数逼近和图像重建等。
插值方法是指在已知数据点的情况下，通过一些数值计算技巧，在每个数据点处构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。
在数据点之间计算函数值时，就可以使用这个多项式函数进行估算。
接下来，我们就来详细介绍一些常见的插值方法。
一、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一个经典的插值方法，它的思想是通过给定的数据点，构造一个经过这些点的多项式函数进行逼近。
具体来讲，拉格朗日插值法会首先构造一个基函数，该函数满足只在其对应的数据点处等于1，其余的数据点处等于0。
然后，根据基函数和数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。
最终得到的多项式函数就是插值函数。
优点：简单易懂，使用较为广泛。
缺点：多项式次数较高时造成的误差会较大，且在数据点密集的区域可以出现龙格现象，使得插值函数在某些区间内呈现大幅度振荡。
二、牛顿插值法牛顿插值法是一种递推式的插值方法，它通过利用已知的数据点和前面已经计算出来的差商，得到一个逐步逼近的插值函数。
具体来讲，牛顿插值法会先将已知的数据点连成一条曲线，然后逐个向这条曲线添加新的数据点，每次添加一个新的数据点后，将差商计算出来并加入到之前的差商序列中，最终得到一个多项式函数，它在每个数据点处都能通过数据点。
牛顿插值法的优缺点与拉格朗日插值法相似，但是由于牛顿插值法是递推式的，可以方便的添加新的数据点，因此在数据点多变的情况下，牛顿插值法具有很大的优势。
三、分段插值法分段插值法是一种将插值区间划分为多个子区间的插值方法，在每个子区间内使用插值方法进行插值，然后将所有子区间内的插值函数拼接起来，得到最终的插值函数。
分段插值法主要分为两种：线性分段插值和三次样条插值。
1.线性分段插值线性分段插值的思路很简单，即在每个数据点处构造两条直线，在数据点之间的区间内使用一条直线作为插值函数。
数值分析中的插值方法应用
数值分析中的插值方法应用数值分析是一门研究数值计算方法和计算机求解数学问题的学科。
在实际问题中，我们经常需要根据有限的数据估计和预测未知数值，而插值方法就是一种常用的数值计算技术，用来构造未知数据点的函数表达式。
本文将介绍数值分析中的插值方法及其应用。
一、线性插值方法1. 线性插值原理线性插值是一种简单而常用的插值方法，它假设函数在给定的两个数据点之间是线性的。
根据两个已知数据点(x0, y0)和(x1, y1)，可以通过以下公式求得在这两个点之间插值的函数表达式：y = y0 + (x - x0) * (y1 - y0) / (x1 - x0)2. 线性插值应用场景线性插值方法适用于对连续函数进行近似估计的场景。
例如，在传感器数据处理中，由于数据采样的时间间隔有限，我们需要通过线性插值方法来估计中间时刻的数据值，以获得更精确的测量结果。
二、拉格朗日插值方法1. 拉格朗日插值原理拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法，它通过构造一个满足已知数据点的多项式函数来进行插值。
给定n个数据点，拉格朗日插值多项式的表达式如下：P(x) = Σ yi * li(x)，i=0 to n其中，yi是第i个数据点的函数值，li(x)是拉格朗日基函数，计算公式为：li(x) = Π (x - xj) / (xi - xj)，j ≠ i2. 拉格朗日插值应用场景拉格朗日插值方法适用于对离散数据进行高次多项式逼近的场景。
例如，在数据拟合中，我们可利用拉格朗日插值方法构造出一个多项式函数，以逼近已知数据点所代表的曲线，从而进行数据的预测和估计。
三、牛顿插值方法1. 牛顿插值原理牛顿插值是一种利用差商的插值方法，它通过构造一个满足已知数据点的插值多项式来进行插值。
给定n个数据点，牛顿插值多项式的表达式如下：P(x) = f[x0] + Σ f[x0, ..., xi] * Π (x - xj)，i=0 to n-1其中，f[x0, ..., xi]是差商，计算公式为：f[x0, ..., xi] = (f[x1, ..., xi] - f[x0, ..., xi-1]) / (xi - x0)2. 牛顿插值应用场景牛顿插值方法适用于对具有大量数据点的函数进行插值和逼近的场景。
数值分析中的插值方法
数值分析中的插值方法在数值分析中，插值是一种通过在已知数据点之间估计未知数据点的方法。
它是一种常见的数据处理技术，用于填补数据间的空白，揭示数据间的关联性，或者建立数据模型。
在本文中，我们将讨论数值分析中的几种常见的插值方法。
一、拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
假设有n个离散数据点，我们想要在这些点之间插值得到未知数据点的值。
拉格朗日插值可以通过构建一个n次多项式来实现。
例如，给定三个数据点(x0, y0)，(x1, y1)，(x2, y2)，我们可以假定插值多项式为：P(x) = y0 * L0(x) + y1 * L1(x) + y2 * L2(x)其中，L0(x)，L1(x)，L2(x)是拉格朗日插值多项式的基函数，由以下公式得到：L0(x) = (x - x1) * (x - x2) / ((x0 - x1) * (x0 - x2))L1(x) = (x - x0) * (x - x2) / ((x1 - x0) * (x1 - x2))L2(x) = (x - x0) * (x - x1) / ((x2 - x0) * (x2 - x1))利用这些基函数，我们可以得到插值多项式P(x)，从而计算出未知点的值。
二、牛顿插值牛顿插值是另一种常见的插值方法，也是基于多项式的。
与拉格朗日插值不同的是，牛顿插值使用了差商的概念来构建插值多项式。
差商是一种表示数据间差异的指标，它可以用于计算插值多项式的系数。
对于n个数据点，差商可以由以下递归公式计算得到：f[x0] = f(x0)f[x0, x1] = (f[x1] - f[x0]) / (x1 - x0)f[x0, x1, ..., xn] = (f[x1, x2, ..., xn] - f[x0, x1, ..., xn-1]) / (xn - x0)基于差商，我们可以得到牛顿插值多项式的表达式：P(x) = f[x0] + f[x0, x1] * (x - x0) + f[x0, x1, x2] * (x - x0) * (x - x1) + ...利用牛顿插值，我们可以通过已知数据点构建插值多项式，进而估计未知点的值。
数值分析牛顿插值法
m fim m!hm
f [x0 , x1 ,
, xk ]
k f0 k!hk
k fk k!hk
华长生制作
19
1.Newton向前(差分)插值公式
如果节点 x0 , x1 , , xn是等距节点 ,即
xk
x0
k h, k
0,1,
,n,h
b
a n
Newton插值基本公式为
n
Nn(x) f0 f [x0 , x1 , , xk ]k (x) k 1
fk fk 1 fk k 0,1, ,n 1 为f (x)在 xk 处的一阶向前差分
fk fk fk1 k 1,2, ,n 为f (x)在 xk 处的一阶向后差分
2 fk fk 1 fk 为f (x)在 xk 处的二阶向前差分
2 fk fk fk 1 为f (x)在 xk 处的二阶向后差分
x1 f ( x1 )
f [ x0 , x1 ] f [x1 , x2 ]
x2 f ( x2 )
f [ x2 , x3 ]
x3 f ( x3 )
f [ x3 , x4 ]
x4 f (x4 )
二阶差商
f [x0 , x1 , x2 ] f [x1 , x2 , x3 ] f [x2 , x3 , x4 ]
若将x xi ,(i 0,1, , n)视为一个节点 ,则
f [x0 , x1 ,
, xk , x]
f [ x0 , x1 ,
, xk ] f [x0 , x1 , xk x
, xk 1 , x]
f [x0 , x1 , , xk 1 , x] f [x0 , x1 , , xk ] f [x0 , x1 , , xk , x]( x xk )
geligeli牛顿插值法
牛顿插值法是数值分析中常用的一种插值方法，它可以通过已知的数据点来构造一个多项式函数，从而实现对未知数据点的预测和估计。
该方法由著名的英国数学家牛顿发现，并被广泛运用于科学计算、工程技术等领域。
牛顿插值法的核心思想是利用差商和差分表来简化插值多项式的计算，从而提高插值过程的效率，同时也便于对数据点进行动态更新和修改。
在本文中，我将详细介绍牛顿插值法的原理、公式推导和具体应用，希望能够对读者有所帮助。
一、牛顿插值法的原理牛顿插值法的基本原理是利用已知的数据点来构造一个多项式函数，使得该函数经过这些数据点，并且可以在这些数据点上取得给定的函数值。
假设我们有n+1个不同的数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中xi表示自变量的取值，yi表示因变量的取值。
我们的目标是构造一个n次多项式函数Pn(x)来近似表示已知数据点之间的关系，即Pn(xi) = yi，i=0,1,...,n。
为了达到这个目标，我们可以使用以下的插值多项式形式：Pn(x) = f[x0] + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) + ... + f[x0,x1,...,xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn)其中，f[x0]表示零阶差商，f[x0,x1]表示一阶差商，f[x0,x1,x2]表示二阶差商，以此类推。
通过递推的方式，我们可以利用已知的数据点来求解出这些差商，从而得到插值多项式Pn(x)。
牛顿插值法的关键在于计算这些差商的值，并将其代入插值多项式中，从而得到最终的插值函数。
二、牛顿插值法的公式推导为了更清晰地理解牛顿插值法的公式推导过程，我们可以从零阶差商开始逐步推导各阶差商的表达式。
首先，零阶差商f[x0]就是已知数据点(x0, y0)的函数值，即f[x0] = y0。
然后，一阶差商f[x0,x1]可以表示为：f[x0,x1] = (f[x1] - f[x0]) / (x1 - x0)其中，f[x1]表示已知数据点(x1, y1)的函数值。
数值的分析2.2-2方程求根(牛顿法和弦截法)
ABCD
迭代公式
$x_{n+1} = x_n - frac{f(x_n)}{f(x_n) - f(x_{n-1})}$，其中 $f(x)$ 是要求根的方程。
实例
使用弦截法求解 $f(x) = x^3 - x - 1 = 0$ 的根。
06
结论
牛顿法和弦截法的总结
牛顿法
通过迭代的方式逼近方程的根，具有较高的收敛速度和精度，但在某些情况下可能会陷 入局部极小值。
弦截法
通过不断调整弦的长度来逼近方程的根，具有较稳定的收敛性和较小的误差，但需要更 多的迭代次数。
对未来研究的建议
进一步研究牛顿法和弦截法的收敛性和误差性质， 以提高求解方程根的精度和稳定性。
探索将其他优化算法与牛顿法和弦截法相结合，以 实现更高效的求解方程根的方法。
针对特定类型的方程，研究更适合的求解方法，以 提高求解效率。
03
弦截法
弦截法的原理
弦截法是一种迭代算法，用于求解非线性方程的根。其基本思想是通过不断逼近方程的根，逐步缩小 误差范围，最终找到满足精度要求的根。
在弦截法中，每次迭代都通过线性化方程来逼近根，然后利用已知的近似值和导数值来计算下一次迭 代的近似值。
弦截法的实现步骤
初始化
选择一个初始近似值$x_0$，设置精度要求$epsilon$ 和最大迭代次数$N$。
当相邻两次迭代点的差小于预设 的误差限时，停止迭代，输出近 似根。
牛顿法的优缺点
优点
收敛速度快，特别是对于一些具有简单零点的函数，牛顿法能够 快速逼近根。
缺点
对于一些具有多个零点的函数或者没有简单零点的函数，牛顿法 可能收敛到错误的根或者不收敛。此外，如果初始点选择不当， 牛顿法也可能陷入局部最优解。
数值分析第5版插值法
第一节 引言
n 一、 插值问题 设 y= f(x) 是区间[a , b] 上的一个实函数, xi ( i=0,
1, ... ,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知 y=f(x) 在 xi 的
值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 求次数不超过n的多项式Pn(x)
使其满足
从几何意义来看,上述 问题就是要求一条多项 式曲线 y=Pn(x), 使它通
过已知的n+1个点(xi,yi)
(i=0,1, … ,n),并用Pn(x) 近似表示f(x).
2
二、插值多项式的存在性和唯一性
定理1 设节点xi (i=0,1, … ,n)互异, 则满足插值条件 Pn(xi)=yi 的次数不超过n的多项式存在且唯一. 证 设所求的插值多项式为
f [ x0 , x1]
f ( x0 ) f ( x1 ) x0 x1
为 f (x)在x0、x1点的一阶差商.一阶差商的差商
f [ x0 , x1, x2 ]
f [ x0 , x1] f [ x1, x2 ] x0 x2
称为函数f (x)在x0、x1 、x2 点的二阶差商.
25
一般地，n-1阶差商的差商
还应注意,对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无 关。
14
例1 已知 y x , x0 用4,线x1性插9,值求 近
7
似值。
解 y0 2, y1 3, 基函数分别为:
l0 ( x)
x9 49
1(x 5
9), l1( x)
x4 94
1(x 5
4)
插值多项式为
1
1
L1 ( x)
y0l0 ( x) y1l1 ( x) 2
牛顿插值法
南昌工程学院课程设计姓名：邓力群班级：08信息与计算科学学号：83课题名称：牛顿法—插值法指导老师：龚建华2011年6月4日牛顿法——牛顿插值法摘要：插值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。
牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn (x)关键字：牛顿插值法函数牛顿插值法具体算法步骤1：输入节点（x j，y j），精度ξ，计值点xx，f0→p，1→T，1→i；步骤2：对k=1，2，……，i依次计算k阶均差f[x i-k,x i-k+1,…,x i] = (f[x i-k+1,…,x i]- f[x i-k,…,x i])/( x i -x i-k )步骤3：（1）、若| f[x1,…,x i]- f[x0,…,x i-1]|< ξ，则p为最终结果N i-1(x)，余项R i-1= f[x0,…,x i](xx-x i-1)T。
（2）、否则(xx-x i-1)*T→T，p+ f[x0,…,x i]*T→p，转步骤4。
步骤4：若i<n，则i+1→i，转步骤2；否则终止。
程序清单2004-10-23x1)(1)(21)()()(21''1'1x x x f x fx x f x q -+-+=x 2'=q )()('''1x f x f x x kk k k -=+⋅⋅⋅ε<-+x x k k 1ε<)('x f kε)(''≠x fxx22+22)(+='x x f 22221++-=+x x x k kkk kx x ⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫<+>-0,40,4)(334343x x x f x x x x )(1)(21)()()(21''1'1x x x f x fx x f x q -+-+=x 20'=q x2)()('''1x f x f x x kk k k -=+⋅⋅⋅ε<-+x x k k 1ε<)('x f kε<-+x xk k 1)()('''1x f x f x x kkk k -=+ 4.000000 f2.800000f2.012500 f1.507817 f1.204385 f1.051791 f1.004643 f0.600000 f-0.600000 f-0.827608 f-1.158643 f-1.598022 f-2.122156 f-2.699757 f-3.308431 f-3.935325 f-4.573380 f-5.218623 f-5.868713 f-6.522204 f-7.178162 f-7.835963 f-8.495174 f-9.155487 f-9.816676 f-10.478573 f-11.141050 f-11.804007 f-12.467368 f-13.131069 f-13.795062 f ••• 参考文献[1]龙熙华.数值分析[M].西安:陕西科学技术出版社,.[2]《数值分析简明教程》-2 Editon -高等教育出版社 -page 136 -算法流程图 [3] 谭浩强 C 程序设计[M] 清华大学出版社 1999年12月第2版 [4] 《数值计算方法》，冯天祥编著.四川科技出版社.2003[5] 百度百科 牛顿迭代法 《数值计算方法》 杨一都编著. 高等教育出版社。
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L2 (x) = f (x0 )l0 (x) + f (x1)l1(x) + f (x2 )l2 (x)
注：牛顿插值只需增加一项， 牛顿插值只需增加一项， 拉氏插值需要重新计算！ 拉氏插值需要重新计算！
两点说明： 两点说明： 1.由插值多项式的唯一性 由插值多项式的唯一性， 1.由插值多项式的唯一性，两余项 等价的 是等价的，即
+ f [2,4,5](3 − 2)(3 − 4) = 7 − 5(3 − 2)(3 − 4) = 12 思考：若本题只给出前三个点， 思考：若本题只给出前三个点，结果 如何？请你总结牛顿插值法何时停止？ 如何？请你总结牛顿插值法何时停止？
五、牛顿插值法的特点
特点 1.计算量省，便于程序设计 计算量省， 具有承袭性的插值公式， 2.具有承袭性的插值公式， 便于理论分析
四阶
1
由表可知
P ( x) = 1 + 2( x − 0) + 0( x − 0)( x − 2) 4 + (−1)( x − 0)( x − 2)( x − 4) + ( x − 0)( x − 2)( x − 4)( x − 5) = x − 12x + 44x − 46x + 1
4 3 2
用二次插值求f 时 用二次插值求 (3)时，取 x0=2, x1=4, x2=5, 得 f (3) ≈ f (2) + f [2,4](3 − 2)
f (n+1) (ξ ) Rn ( x) = ωn+1( x) (n + 1)! = f [ x, x0 ,..., xn ]ωn+1( x)
2.牛顿插值法由差商表中的差商值 2.牛顿插值法由差商表中的差商值 牛顿插值法 可判断出插值多项式的次数， 可判断出插值多项式的次数，而 拉氏插值法则要计算到最后。 拉氏插值法则要计算到最后。
1
由表可知
f[2,4,5,6] =5
二、牛顿差商插值多项式
由差商定义 可得 又
f ( x) − f ( x0 ) f [ x, x0 ] = x − x0
f ( x) = f ( x0 ) + f [ x, x0 ]( x − x0 )
f [ x, x0 ] = f [ x0 , x1 ] + f [ x, x0 , x1 ]( x − x1 )
§3 差 商 与 牛 顿 插 值
一、差商及其性质 二、差商的计算 三、牛顿插值公式 四、牛顿插值法举例 五、牛顿插值法特点
一、差商及其性质
1. 差商的定义 函数关于 函数关于 xi, xj 一阶差商
f [ xi , x j ] = f ( x j ) − f ( xi ) x j − xi
二阶差商
∶ ∶ ∶
已知函数y= 的观测数据如下， 例 已知函数 f (x)的观测数据如下， 的观测数据如下 试构造差商表， 试构造差商表，并求 f [2,4,5,6]的值 的值
x 0 2 f(x) 1 5
4 5 6 9 -4 13
解 构造差商表如下
xi f(xi) 一阶 二阶 三阶 0 1 2 5 2 4 9 2 0 5 -4 -13 -5 -1 15 6 13 17 5 四阶
= Nn ( x) + Rn ( x)
牛顿插值 多项式
插值余项
牛顿插值与拉氏插值的比较： 牛顿插值与拉氏插值的比较： n=1
N1(x) = f (x0 ) + f [x0 , x1]( x − x0 )
L1(x) = f (x0 )l0 (x) + f (x1)l1(x)
n=2 N2 (x) = f (x0 ) + f [x0 , x1]( x − x0 )
二、差商的计算
xi x0 x1 x2 x3
∶ ∶ ∶
f(xi) f ( x 0) f(x1) f ( x 2) f(x3)
∶ ∶ ∶
一阶差商 f[x0,x1] f[x1,x2] f[x2,x3]
∶ ∶ ∶
二阶差商
三阶差商
f[x0,x1,x2] f[x1,x2,x3]
∶ ∶ ∶
f[x0,x1,x2,x3]
f [ xi , x j , xk ] = f [ x j , xk ] − f [ xi , x j ] xk − xi
一般的k阶差商定义为 一般的k阶差商定义为
f [ x0 , x1 ,..., xk ] f [ x0 ,..., xk−2 , xk ] − f [ x0 , x1 ,..., xk−1 ] = xk − xk−1
L L L L
f [ x, x0 , x1 ,L, xn−1 ] = f [ x0 , x1 ,L, xn ] + f [ x, x0 ,L, xn ]( x − xn )
代入得
f ( x) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1]( x − x0 ) + ... + f [ x0 ,...xn ]( x − x0 )...( x − xn−1 ) + f [ x, x0 ,...xn ]( x − x0 )...( x − xn )
作业： 作业： 习题 7,8
3.若f(x)在[a, b]上存在 阶导数，则 若 上存在n阶导数 在 上存在 阶导数，
f [ x0 , x1 ,L, xn ] = f
(n)
(ξ ) , n!
ξ ∈[a, b]
思考题： 思考题：设f(x)=x3，则 f[x0, x1, x2, x3 ]= ? , f[x0, x1, x2, x3, x4 ]= ? 答：1,0
四、牛顿插值法举例
已知函数y=f(x)的观测数据如下， 的观测数据如下， 例 已知函数 的观测数据如下 试用全部节点构造牛顿差商插值多 项式， 并用二次插值求f(3)的近似 项式 ， 并用二次插值求 的近似 值。
x f(x)
0 2 1 5
4 5 6 9 -4 13
解 构造差商表如下 xi f(xi) 一阶 二阶 三阶 0 1 2 5 2 4 9 2 0 5 -4 -13 -5 -1 6 13 17 15 5
特别地， 关于一个点 关于一个点x 特别地，f(x)关于一个点 i的零阶 差商定义为函数值本身 定义为函数值本身， 差商定义为函数值本身，即
f [ xi ] = f ( xi )
性质： 性质： 1.差商与节点的排列次序无关，称 差商与节点的排列次序无关， 差商与节点的排列次序无关 为差商的对称性 为差商的对称性 2.高阶差商可由低阶差商反复作一 高阶差商可由低阶差商反复作一 阶差商得到，计算具有递推性 阶差商得到，计算具有递推性