高中数学必修2--第四章《圆与方程》知识点总结与练习知识讲解

第三节
圆_的_方_程
[知识能否忆起]
1．圆的定义及方程
2．点与圆的位置关系
点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.1
4
＜m ＜1 B ．m ＜1
4或m ＞1
C ．m ＜1
4
D ．m ＞1
解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0得m ＜1
4
或m ＞1.
2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1)
B ．(0,1)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(1，＋∞)
解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4， ∴－1＜a ＜1.
3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1
B ．x 2＋(y ＋2)2＝1
C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1
D ．x 2＋(y －3)2＝1
解析：选A 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.
4．(2012·潍坊调研)圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．
解析：圆心(1,0)，d ＝|1－3|1＋3
＝1.
答案：1
5．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为 ____________________．
解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0) ∴
|2|
1＋1＝a ，∴a ＝2，
∴x 2＋y 2＝2. 答案：x 2＋y 2＝2
1.方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是： (1)B ＝0；(2)A ＝C ≠0；(3)D 2＋E 2－4AF ＞0.
2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
典题导入
[例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为( )
A.⎝⎛⎭⎫x ±3
32＋y 2＝43
B.⎝⎛⎭
⎫x ±3
32＋y 2＝13
C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±3
32＝43
D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±3
32＝13
(2)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________． [自主解答] (1)由已知知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，
b )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|b |，解得r ＝23
，|b |＝33，即b ＝±3
3.
故圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±3
32＝43.
(2)圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
26＋5D ＋F ＝0，10＋D ＋F ＝0， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧
D ＝－4，F ＝－6.
圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0. [答案] (1)C (2)x 2＋y 2－4x －6＝0
由题悟法
1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．
以题试法
1．(2012·浙江五校联考)过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则△ABP 的外接圆的方程是( )
A ．(x －4)2＋(y －2)2＝1
B ．x 2＋(y －2)2＝4
C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5
D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5
解析：选D 易知圆心为坐标原点O ，根据圆的切线的性质可知OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，因此P ，A ，O ，B 四点共圆，△P AB 的外接圆就是以线段OP 为直径的圆，这个圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.
典题导入
[例2] (1)(2012·湖北高考)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．y －1＝0
C ．x －y ＝0
D ．x ＋3y －4＝0
(2)P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________． [自主解答] (1)当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴直线OP 垂直于x ＋y －2＝0.
(2)由C (1,1)得|OC |＝2，则|OP |min ＝2－1，即(x 2＋y 2)min ＝2－1.所以x 2＋y 2的最小
值为(2－1)2＝3－2 2.
[答案] (1)A (2)3－2 2
由题悟法
解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如u ＝
y －b
x －a
的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问题(如A 级T 9)；
9．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2
x －1
的最小值为________．
解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ
与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由
|2－k |
k 2
＋1
＝1得
k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34
，故最小值为3
4. 答案：34
(2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))； (3)形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2))．
以题试法
2．(1)(2012·东北三校联考)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．
(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．
解析：(1)依题意，曲线C 表示的是以点C (－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心C (－
1，－1)到直线y ＝2－x 即x ＋y －2＝0的距离等于|－1－1－2|
2＝22，易知所求圆的半径等
于22＋22＝322
.
(2)令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b |5＝1.解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋5，最
小值为5－ 5.
答案：(1)32
2 (2)5＋5 5－5
典题导入
[例3] (2012·正定模拟)如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2
＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．
[自主解答] 设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心． 由A (－1,0)，B (1,0)，令动点C (x 0，y 0)， 则D (2x 0－1,2y 0)，由重心坐标公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋1＋2x 0
－13，y ＝2y 0
3，
则⎩⎪⎨
⎪⎧
x 0＝3x ＋1
2，y 0
＝3y 2(y 0
≠0)，
代入x 2＋y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝4
9(y ≠0)， 故所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝4
9(y ≠0)．
由题悟法
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
以题试法
3．(2012·郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )
A ．x 2＋y 2＝32
B ．x 2＋y 2＝16
C ．(x －1)2＋y 2＝16
D ．x 2＋(y －1)2＝16
解析：选B 设P (x ，y )，则由题意可得2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，化简整理得x 2
＋y 2＝16.
[题后悟道] 该题是圆与集合，不等式交汇问题，解决本题的关键点有： ①弄清集合代表的几何意义；
②结合直线与圆的位置关系求得m 的取值范围． 针对训练
若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a >0，b >0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为( )
A ．4
B ．2
C ．1
D.1
4
解析：选C 圆C 的圆心坐标为(－4，－1)， 则有－4a －b ＋4＝0，即4a ＋b ＝4. 所以ab ＝14(4a ·b )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋b 22＝14×⎝⎛⎭⎫422
＝1.
当且仅当a ＝1
2
，b ＝2取得等号．
1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5
D ．x 2＋(y ＋2)2＝5
解析：选A 圆上任一点(x ，y )关于原点对称点为(－x ，－y )在圆(x ＋2)2＋y 2＝5上，即(－x ＋2)2＋(－y )2＝5.即(x －2)2＋y 2＝5.
2．(2012·辽宁高考)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0
D ．x －y ＋3＝0
解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．
3．(2012·青岛二中期末)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －7
32＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1
D.⎝⎛⎭
⎫x －3
22＋(y －1)2＝1 解析：选B 依题意设圆心C (a,1)(a ＞0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|
5＝1，
解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.
4．(2012·海淀检测)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4
D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1
解析：选A
设圆上任一点为Q (x 0
，y 0
)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧
x ＝4＋x
2
，y ＝－2＋y
2
，解
得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x －4，
y 0＝2y ＋2.
因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.
5．(2013·杭州模拟)若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0，关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )
A ．(－∞，4)
B ．(－∞，0)
C ．(－4，＋∞)
D ．(4，＋∞)
解析：选A 将圆的方程变形为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a ＞0，即a ＜2.∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，∴圆心在直线y ＝x ＋2b 上，即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，∴a －b ＜4.
6．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )
A.95 B ．1 C.45
D.135
解析：选C 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝4
5
. 7．如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为
________________．
解析：因为△AOB 是直角三角形，所以内切圆半径为r ＝|OA |＋|OB |－|AB |2＝15＋8－17
2＝
3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9.
答案：(x ＋3)2＋(y －3)2＝9
8．(2013·河南三市调研)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为__________．
解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2
＝1，则R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫
|AB |22
＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.
答案：x 2＋(y －1)2＝10
9．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2
x －1
的最小值为________．
解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1
的最小值是直线PQ
与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由
|2－k |
k 2
＋1
＝1得
k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34
，故最小值为3
4. 答案：34
10．过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1，r 2，求r 1r 2. 解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限， 且在直线y ＝x 上，故可设两圆方程为 (x －a )2＋(y －a )2＝a 2，(x －b )2＋(y －b )2＝b 2， 且r 1＝a ，r 2＝b .由于两圆都过点C ， 则(3－a )2＋(4－a )2＝a 2，(3－b )2＋(4－b )2＝b 2 即a 2－14a ＋25＝0，b 2－14b ＋25＝0. 则a 、b 是方程x 2－14x ＋25＝0的两个根．
故r 1r 2＝ab ＝25.
11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.
(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．
解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.
(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②
由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝－2.
∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)． ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.
12．(2012·吉林摸底)已知关于x ，y 的方程C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)当m 为何值时，方程C 表示圆；
(2)在(1)的条件下，若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且|MN |＝45
5
，求m 的值．
解：(1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，显然只要5－m ＞0，即m ＜5时方程C 表示圆．
(2)因为圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，其中m ＜5，所以圆心C (1,2)，半径r ＝5－m ，
则圆心C (1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝1
5，
因为|MN |＝
455，所以12|MN |＝25
5
，
所以5－m ＝⎝⎛⎭⎫152＋⎝⎛⎭
⎫2
552
， 解得m ＝4.
1．(2012·常州模拟)以双曲线x 26－y 2
3＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的
方程是( )
A ．(x －3)2＋y 2＝1
B ．(x －3)2＋y 2＝3
C ．(x －3)2＋y 2＝3
D ．(x －3)2＋y 2＝9
解析：选B 双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r ＝|3|12＋(±2)2
＝3，所求圆方程为(x －3)2＋y 2＝3.
2．由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )
A ．(－1,1)
B ．(0,2)
C ．(－2,0)
D ．(1,3)
解析：选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知|PT |＝
|PC |2－1，
故|PT |最小时，即|PC |最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x
－4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．
3．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；
(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．
解：(1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．
根据题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧
(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，
(－1－a )2
＋(1－b )2
＝r 2
，
a ＋
b －2＝0.
解得a ＝b ＝1，r ＝2，
故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.
(2)因为四边形P AMB 的面积S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM |·|P A |＋12
|BM |·|PB |， 又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |， 而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，
即S ＝2
|PM |2－4.
因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，
所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为S ＝2
|PM |2min －4
＝2
32－4＝2 5.
1．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )
A ．5 2
B ．10 2
C ．15 2
D ．20 2
解析：选B 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－(12＋22)＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝1
2
×210×25＝10 2.
2．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．
解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32
， 则AB 边上的高的最小值为
3
2
－1. 故△ABC 面积的最小值是1
2×22×⎝⎛⎭⎫32－1＝3－ 2.
答案：3－ 2
3．(2012·抚顺调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆
上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()
A．相切B．相交但直线不过圆心
C．相交过圆心D．相离
解析：选B由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝5，0＜d＜6，故该直线与圆相交但不过圆心．
2．(2012·银川质检)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )
A.7
B ．2 2
C ．3
D. 2
解析：选A 由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小．圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0可化为(x －3)2＋y 2＝1，则圆心(3,0)到直线y ＝x ＋1的距离为4
2
＝22，切线长的最小值为(22)2－1＝7.
3．直线x －y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝r 2相交于A ，B 两点，且AB 的长为2，则圆的半径为( )
A.322
B.62
C ．1
D ．2
解析：选B 圆心(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝
12
.则r 2＝⎝⎛⎭⎫12|AB |2＋d 2＝32，r ＝62. 4．(教材习题改编)若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．
解析：由题意知
21＋k
2
＞1，解得－3＜k ＜ 3.
答案：(－3， 3)
5．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．
解析：两圆相减即得x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝0
1.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．
2．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．
典题导入
[例1] (2012·陕西高考) 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )
A ．l 与C 相交
B ．l 与
C 相切
C ．l 与C 相离
D ．以上三个选项均有可能
[自主解答] 将点P (3,0)的坐标代入圆的方程，得 32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， 所以点P (3,0)在圆内．
故过点P 的直线l 定与圆C 相交． [答案] A
本例中若直线l 为“x －y ＋4＝0”问题不变． 解：∵圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4， ∴圆心(2,0)，r ＝2. 又圆心到直线的距离为d ＝6
2
＝32＞2. ∴l 与C 相离．
由题悟法
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．
以题试法
1．(2012·哈师大附中月考)已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )
A ．(－22，22)
B ．(－2，2) C.⎝
⎛⎭
⎫
－
24，
24
D.⎝⎛⎭
⎫－18，1
8 解析：选C 易知圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线l 的方程是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，根据点到直线的距离公式得
|k ＋2k |
k 2＋1
＜1，即k 2
＜18，解得－24＜k ＜24.
典题导入
[例2] (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2
＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )
A ．33
B ．2 3 C. 3
D ．1
(2)(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2
＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )
A ．[1－3，1＋ 3 ]
B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)
C ．[2－22，2＋2 2 ]
D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞)
[自主解答] (1)圆x 2＋y 2＝4的圆心(0,0)，半径为2，则圆心到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝
532
＋4
2
＝1.
故|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.
(2)圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为
|m ＋n |(m ＋1)2
＋(n ＋1)
2
＝1，所以m ＋n
＋1＝mn ≤1
4
(m ＋n )2，整理得[(m ＋n )－2]2－8≥0，解得m ＋n ≥2＋22或m ＋n ≤2－2 2.
[答案] (1)B (2)D
由题悟法
1．圆的弦长的常用求法：
(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2
. (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]. [注意] 常用几何法研究圆的弦的有关问题．
2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．
以题试法
2．(2012·杭州模拟)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦
⎤－3
4，0
B.⎣
⎡⎦
⎤
－
33，
33 C ．[－3， 3]
D.⎣⎡⎦
⎤－2
3，0
解析：选B 如图，设圆心C (2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，若|MN |≥23，则d 2
＝r 2
－⎝⎛⎭⎫12|MN |2≤4－3＝1，即|2k |21＋k
2≤1，解得－33≤k ≤ 3
3
.
典题导入
[例3] (1)(2012·山东高考)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
(2)设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝________. [自主解答] (1)两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2＜d ＜3＋2，∴两圆相交．
(2)由题意可设两圆的方程为(x －r i )2＋(y －r i )2＝r 2i ，r i ＞0，i ＝1,2.由两圆都过点(4,1)得(4－r i )2＋(1－r i )2＝r 2i ，整理得r 2i －10r i ＋17＝0，此方程的两根即为两圆的半径r 1，r 2，所以r 1r 2＝17，r 1＋r 2＝10，则|C 1C 2|＝(r 1－r 2)2＋(r 1－r 2)2＝2×
(r 1＋r 2)2－4r 1r 2＝
2
×
100－68＝8. [答案] (1)B (2)8
由题悟法
两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
以题试法
3．(2012·青岛二中月考)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________．
解析：依题意得|OO 1|＝
5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △O O 1A ＝12·|AB |
2
·|OO 1|
＝12·|OA |·|AO 1|，因此|AB |＝2·|OA |·|AO 1||OO 1|＝2×5×255
＝4. 答案：4
[典例](2012·东城模拟)直线l过点(－4,0)
且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，如
果|AB|＝8，那么直线l的方程为()
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝0
D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
[尝试解题]过点(－4,0)的直线若垂直于x轴，经验证符合条件，即方程为x＋4＝0满足题意；若存在斜率，设其直线方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，
2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，即|3k－2|
1＋k2
＝3，解得k＝－5
12
，此时直线方程为5x＋12y＋
20＝0，综上直线方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.
[答案] D
——————[易错提醒]—————————————————————————
1.解答本题易误认为斜率k一定存在从而错选A.
2.对于过定点的动直线设方程时，可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存在，以避免漏解.
——————————————————————————————————————
针对训练
1．过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引切线的方程为__________________．
解析：显然x＝2为所求切线之一．当切线斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，
即kx －y ＋4－2k ＝0，那么
|4－2k |k 2＋1
＝2，k ＝3
4
，即3x －4y ＋10＝0.
答案：x ＝2或3x －4y ＋10＝0
2．已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为________________． 解析：当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2； 当m ≠2时，直线l 的方程为y －1
3－1＝x －2
m －2，
即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.
因为m ＝2时，方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0， 即为x ＝2，
所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0. 答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0
一、选择题
1．(2012·人大附中月考)设m ＞0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为( )
A ．相切
B ．相交
C ．相切或相离
D ．相交或相切
解析：选C 圆心到直线l 的距离为d ＝1＋m 2，圆半径为m .因为d －r ＝1＋m 2－m ＝
12(m －2m ＋1)＝1
2
(m －1)2≥0，所以直线与圆的位置关系是相切或相离．
2．(2012·福建高考)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( )
A ．2 5
B ．2 3 C. 3
D ．1
解析：选B 因为圆心(0,0)到直线x ＋3y －2＝0的距离为1，所以AB ＝2
4－1＝2 3.
3．(2012·安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )
A ．[－3，－1]
B ．[－1,3]
C ．[－3,1]
D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：选C 欲使直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可，即
|a －0＋1|12
＋(－1)
2
≤2，化简得|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.
4．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )
A. 2
B. 3 C ．2
D ．3
解析：选C 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0>0，y 0>0，则切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令x ＝0，y ＝0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0
，0，B ⎝⎛⎭
⎫0，1
y 0
，则|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫1x 02＋⎝⎛⎭⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 2
0＋y 20
2
＝2.当且仅当
x 0＝y 0时，等号成立．
5．(2013·兰州模拟)若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上仅有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围为( )
A ．(2＋1，＋∞)
B ．(2－1, 2＋1)
C ．(0, 2－1)
D ．(0, 2＋1)
解析：选A 计算得圆心到直线l 的距离为
2
2
＝ 2＞1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离 2＋1.
6．(2013·临沂模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )
A. 2
B.21
2
C ．2 2
D ．2
解析：选D 圆心C (0,1)到l 的距离d ＝5
k 2
＋1
， 所以四边形面积的最小值为2×⎝⎛⎭
⎫1
2×1×d 2－1＝2，
解得k 2＝4，即k ＝±2. 又k ＞0，即k ＝2.
7．(2012·朝阳高三期末)设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．
解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝
4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±33
. 答案：±33
8．(2012·东北三校联考)若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．
解析：由题意可知圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为2 4－⎝ ⎛⎭
⎪⎫c a 2＋b 22，由于a 2＋b 2＝c 2，所以所求弦长为2 3. 答案：2 3
9．(2012·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．
解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝
x 20＋(－x 0＋22)2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是( 2， 2)．
答案：( 2， 2)
10．(2012·福州调研)已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．
(1)若|AB |＝
423，求|MQ |及直线MQ 的方程；
(2)求证：直线AB 恒过定点．
解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP |＝
223，又|AM |＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP |＝ 12－89＝13，
又∵|MQ |＝|MA |2|MP |
，∴|MQ |＝3.
设Q (x,0)，而点M (0,2)，由x 2＋22＝3，得x ＝±5，
则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．
从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.
(2)证明：设点Q (q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为x (x －q )＋y (y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB 的方程为qx
－2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝⎛⎭
⎫0，32. 11．已知以点C ⎝⎛⎭
⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．
(1)求证：△AOB 的面积为定值；
(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．
解：(1)证明：由题设知，圆C 的方程为
(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，
化简得x 2－2tx ＋y 2－4t
y ＝0， 当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)；
当x ＝0时，y ＝0或4t
，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ， 所以S △AOB ＝12
|OA |·|OB | ＝12|2t |·⎪⎪⎪
⎪4t ＝4为定值． (2)∵|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，
∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率
k ＝2t t ＝2t 2＝12
，∴t ＝2或t ＝－2. ∴圆心为C (2,1)或C (－2，－1)，
∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，
由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .
(1)求k 的取值范围；
(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，
整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①
直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，
解得－34
<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，
由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③
因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，
所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34
. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭
⎫－34，0，故没有符合题意的常数k
.
1．已知两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线
的方程为________________；公共弦长为________．
解析：由两圆的方程x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为
105
＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230. 答案：2x ＋y －5＝0 230
2．(2012·上海模拟)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，a 1，a 2，…，a 11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a 1，a 2，…，a 11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是________．
解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的
弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为10－4610＝5－265
. 答案：5－265
3.(2012·江西六校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，
焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点
O 作倾斜角为π3
的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、B ，且|AO |＝|BO |＝2.
(1)求圆M 和抛物线C 的方程；
(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM ,·
PF ,的最小值； (3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为S 、T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．
解：(1)易得B (1，3)，A (－1，－3)，设圆M 的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2(a ＞0)， 将点B (1，3)代入圆M 的方程得a ＝2，所以圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，因为点A (－
1，－3)在准线l 上，所以p 2
＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由(1)得，M (2,0)，F (1,0)，设点P (x ，y )，则PM ,＝(2－x ，－y )，PF ,＝(1－x ，－
y )，又点P 在抛物线y 2＝4x 上，所以PM ,·
PF ,＝(2－x )(1－x )＋y 2＝x 2－3x ＋2＋4x ＝x 2＋x ＋2，因为x ≥0，所以PM ,·
PF ,≥2，即PM ,·PF ,的最小值为2. (3)证明：设点Q (－1，m )，则|QS |＝|QT |＝m 2＋5，以Q 为圆心，m 2＋5为半径的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －m )2＝m 2＋5，即x 2＋y 2＋2x －2my －4＝0，①
又圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，②
由①②两式相减即得直线ST 的方程3x －my －2＝0，
显然直线ST 恒过定点⎝⎛⎭⎫23，0.
1．两个圆：C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
解析：选B 由题知C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，则圆心C 1(－1，－1)，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C 2(2,1)，两圆半径均为2，又|C 1C 2|＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13＜4，则两圆相交⇒只有两条外公切线．
2．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．
解析：设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|
k 2＋1，由题意知，问题转化
为d ≤2，即d ＝
|4k －2|k 2＋1
≤2，得0≤k ≤43，所以k max ＝43. 答案：43 3．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为 2，则直线l 的斜率为________．
解析：将圆的方程化成标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r ＝1.由弦长为2得弦心距为22.设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，则|2k －3|k 2＋1
＝22，化简得7k 2－24k ＋17＝0，得k ＝1或k ＝177
. 答案：1或177
4．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)．
(1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；
(2)若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．
解：(1)设圆O 2的半径为r 2，
∵两圆外切，
∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，r 2＝|O 1O 2|－r 1＝2(2－1)，
故圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2.
(2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，
又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，
此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程：4x ＋4y ＋r 22－8＝0. 因为圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为 |r 22－12|42＝ 4－⎝⎛⎭
⎫2222＝2， 解得r 22＝4或r 22＝20.
故圆O 2的方程为
(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。