华中师范大学实变函数期中复习题(终稿)

k 1
n
n

证明：因为 G 为 R 中的有界 G 集，所以存在开球 B(0, R) 以及一列开集{Gk }k 1 ，使得
n

G B(0, R) ，且 G Gk
k 1

取 Gk ( Gi ) B(0, R) ，由开集的性质知 Gk 是有界开集，且{ Gk }单调递减
i 1
则称 E 为 R 中的 Lebesgue 可测集，或称 E 是 Lebesgue 可测的。 5、F.Riesz 定理（黎斯定理） 答：设 E 为 Lebesgue 可测集， f n ( x) (n 1 ， 2 ， ) 和 f ( x) 都是 E 上的几乎处处有限的可测函数， 如果 f n ( x) f ( x) x E ，则存在{ f n ( x) }的一个子列{ f nk ( x) }，使得 lim f nk ( x) f ( x) a.e. 于 E 。
n i 1


1 ， n
令 Fn
F i ，易知 Fn 是闭集，且 Fn Fn1 E ， m E Fn m E F n


1 故 n
lim m E Fn 0 ，证毕。
n
7、证明：若 E R 中为可测集，则存在 G 型集 G ，使得 E G ， m(G \ E ) 0


12 、 若 E R 是 可 测 集 ， f ( x) 为 E 上 的 可 测 函 数 ， U R1 为 G 型 集 ， 则
华中师范大学 2013—2014 学年第一学期 实变函数期中复习题
一、 判断题（判断正误， 正确的请简要说明理由， 错误的请举出反例）
1、 R 上全体 Lebesgue 可测集所组成的集类具有连续势。 错 2、可数个可数集的并集是可数集 对 。 3、由 0,1 两个数构成的实数列全体具有可数势（即可数基数） 错 4、由 3,5,7 三个数构成的实数列全体具有可数势（即可数基数） 错 5、设 G 为 G 型集，则 G 一定可以表示成一列开集的交集 对 6、可数个 G 集的交集不一定是 G 集 错 7、设 P 是 Cantor 三分集，则 P P 是平面上的 Lebesgue 可测集。 对 8、非空开集的 Lebesgue 测度必大于零 对 9、若 P 为 [0,1] 上的 Cantor 三分集，则 m P R 对 10、若 F1 ， F2 是 R 中的两个非空闭集，则存在两点 P 1F 1, P 2 F2 ，使得 P 1与P 2间
n 1
En x ，存在 n ，使得 y En x ，即 ( x, y) En

En ，所以，
n 1
y En ，即 En x En 。 故 E En x 。 n n 1 n 1 x n 1 x n 1 x n 1

，
k 1
(ak , bk ) ，所以 f 1 (U ) U
k 1
f 1 (ak , bk )
k 1
x E
f ( x) (ak , bk )
1 又因为 f ( x) 为 E 上的可测函数，所以 x E f ( x) (ak , bk ) 为可测集，从而 f (U ) 为可测集。
n
n
作 E 到 B 的映射 如下：
:E B
I ( I ) rI
， 由于 E 中任意两个不同的 I1 和 I 2 不相交，所以 rI1 rI2 ，于是 是 E 到 B 的单射（实际上还是一一映射） 所以 E B Q ，故 E 也是至多可数集。
n
证明： 必存在 R 中的一列单调递减的有界开集{Gk }k 1 ， 2、 设 G 为 R 中的有界 G 集， 使得 G Gk 。
[ f ( x ), g ( x ))
(t ) 是 E
上的
可测函数。 证：对任意实数 a ，我们有
{( x, t )
E
和E
1
: F ( x, t )
1
a}
1
, {( x, t ) E
1
E ,
1
: f ( x)
t
g ( x)}, 0
a 1; a 1; a 0.
显然
是E
上的可测集。而
1 {( x, t ) E : f ( x) t g ( x)} G( E; g ) \ G( E; f ) 由于 f , g 都是上 E 的非负可测函数，故 G( E; f ) 和 G( E; g ) 可测，从而 1 于是 {( x, t ) {( x, t ) E : f ( x) t g ( x)} 也可测。 1 故 F ( x, t ) 是 E 上的可测函数。
n 1
所以 由可测函数的性质得 f ( x) 在 (, ) 上也可测。
9、设 f ( x) 是 (, ) 上的实值连续函数，则 f ( x) 是 (, ) 上的 Lebesgue 可测函 数 证明：由连续函数的局部保号性知 {x (, ) f ( x) a} 是 R 上的开集，
n
证明：由可测集与开集的关系得，对任意自然数 n ，存在开集 Gn ，使得 E Gn ， m(Gn \ E ) 取G
n 1Biblioteka 1 。 nGn ，易见 G 为 G 型集，且 E G 。注意到 G\E (
n 1
Gn ) \ E
n 1
(Gn \ E ) Gn \ E ，
得
m(G \ E ) m(Gn \ E )
1 0 ，即 m(G \ E ) 0 。 n
8、设 f ( x) 是 (, ) 上的实值函数，且 f ( x) 在 (, ) 上的任一有限区间上都可 测，则 f ( x) 在 (, ) 上也可测。 证明：因为 (, ) [n, n] ，而 f ( x) 是[n, n] 上的可测函数，
k
n
6、Egoroff 定理（叶果洛夫定理） 答：设 mE ， f n ( x) （ n 1 ， 2 ， ）都是 E 上的可测函数，若 lim f n ( x) f ( x) ， a.e. 于 E ，
n
则 0 ，存在可测子集 e E ，使得{ f n ( x) }在 e 上一致收敛于 f ( x) ，而 m( E \ e) 。 7、关于依测度收敛与几乎处处收敛关系的 Lebesgue 定理（勒贝格定理） 答：设 E 为 Lebesgue 可测集，且 mE ， f n ( x) (n 1 ， 2 ， ) 和 f ( x) 都是 E 上的几乎处处有限 的可测函数，如果 lim f nk ( x) f ( x) a.e. 于 E ，则 f n ( x) f ( x) x E 。
错 12、设 f n ( x) （ n 1, 2, ）和 f ( x) 都为 [0,1] 上的可测函数，且 f n ( x) f ( x) a.e. 于
[0,1] ，则 f n ( x) f ( x) 于 [0,1]
错
13、若 f ( x) 是 [0,1] 上的可测函数，则 0 ，存在闭集 F [0,1] ，使得
1 m E mGn mWn m E ，故 lim mGn m E 。证毕。 n n
6 、 设 E R 是 可 测 集 ， 则 存 在 E 一 列 单 调 上 升 的 闭 子 集 Fn ， 使 得 ，
n
lim m E Fn 0
n
证明：由可测集与闭集的关系知，对任意自然数 n ，存在闭集 F n E ，使得 m E F n
m [0,1] F ， f ( x) 是 F 上的连续函数。
错
二、叙述题（请完整地叙述以下定理或命题）
1、 R 中开集的结构定理 答： R 中的任一非空开集总可表示成 R 中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。 ） （或 R 中的任一开集或为空集或可表示成 R 中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。 2、关于两集合对等的 Bernstein 定理 答：Bernstein 定理：若 A, B 是两集合，如果存在 A 的子集 A ， B 的子集 B ，使 A
k
8、Lusin 定理（鲁津定理） 答：若 f ( x) 是可测集 E 上几乎处处有限的可测函数，则 0 ，存在闭子集 F 续，且 m( E
E 使 f ( x) 在 F 上连
F)
。
三、证明题（请完整地写出以下命题的证明）
1、证明： R 中互不相交的开区间所构成的集族必为至多可数集。 n 证明：记 E 为 R 中互不相交的开区间所构成的集族，对任意 I E ，由有理点的稠密性， I 中必存在 有理点，取其中的一个有理点记为 rI I ，并记 B {rI I E} Q ，于是 B 必为至多可数集。
E
1
: F ( x, t )
a} 都可测，
11 、 若 E R 是 可 测 集 ， f ( x) 为 E 上 的 可 测 函 数 ， U R1 为 开 集 ， 则
n
f 1 (U ) x E f ( x) U 是可测集。
证明： 因为U R 为开集， 由开集的结构， 存在至多可数个互不相交的开区间 (ak , bk ) ，k 1, 2, 使得U
5、设 E R ，则存在一列单调下降的开集 Gn ，使得， lim mGn m E
n
n
证明：由外侧度的定义，对任意自然数 n ，存在开集Wn ，使得 E Wn ， m E mWn m E
n i 1


1 ， n
令 Gn
Wi ，显然 E Gn Wn ， Gn Gn1 ，且
n n

1
0。
的距离等于 F1 与 F2 间的距离。 错
2， ） 11、 若 f n ( x) （ n 1， 和 f ( x) 都为可测集 E 上的可测函数， 且 lim f n ( x) f ( x) ，
n
a.e. 于 E ，则 f n ( x) f ( x) ， x E 。
n n
n n n
B* , B
A* ，则
A
B 。或 若 A, B 是两集合，如果 A B ， B A ，则 A B 。
3、等测包定理 见书上 61 页定理 3.14，
4、集合可测的卡式条件 n n 答：设 E R ，如果对任意T R ，总有
m*T m* (T E ) m* (T E c )
k
k 1
Gk [( Gi ) B(0, R)] ( Gk ) B(0, R) G B(0, R) G 。
k 1 i 1 k 1


k

3、设 f ( x) 是有界闭区间 [a, b] 上的凸函数，证明： f ( x) 在 [a, b] 上的不可微点所组成 的集为至多可数集。 此题习题课上有讲过， 具体答案我会在讲评整张卷子中进一步讲到
4、 对任意集合 E R R ， 对固定 x R p ， 定义集合 Ex y R
p q

q
( x, y) E R q ，
证明：若 En R p R q （ n 1, 2, 证明： 对任意 y

） ，则


En En x 。 n 1 x n 1
即 ( x, y ) En ， 存在 n ， 使得 ( x, y) En ， 即 y En x En x ， En ， n 1 n 1 n 1 x

所以

En En x 。 n 1 x n 1
反之，对任意 y
1
从而 {x (, ) f ( x) a} 是可测集，所以 f ( x) 是 (, ) 上的 Lebesgue 可测函数。
10、设 f (x), g( x) 都是可测集 E
A
n
上的非负可测函数且 f ( x)
g ( x),
x
E ，用
1
。证明函数 F ( x, t ) ( x) 表示集合 A 的特征函数（示性函数）