举例说明函数奇偶性的几种判断方法[1]

举例说明函数奇偶性的几种判断方法

在函数奇偶性概念的学习中，应多方面、多角度地思考概念的内涵，要掌握函数奇偶性定义的等价形式，注重寻求简捷的解题方法，函数奇偶性的定义是：如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)x (f )x (f -=-（或)x (f )x (f =-），那么函数)x (f 就叫做奇函数（或偶函数）。函数奇偶性的定义反映在定义域上：若)x (f 是奇函数或偶函数，则对于定义域D 上的任意一个x ，都有D x ∈-，即定义域是关于原点对称的。函数奇偶性定义给出了判断奇偶函数的方法。

下面给出函数奇偶性判断的其他等价形式，寻求比较简便的判别方法。

1. 相加判别法

对于函数定义域内的任意一个x ，若0)x (f )x (f =+-，则)x (f 是奇函数；若)x (f 2)x (f )x (f =+-，则)x (f 是偶函数。

例1 判断函数)1x x lg()x (f 2++=的奇偶性。

解法1：利用定义判断，由)1)x (x lg()x (f 2+-+-=-

x 1x 1lg x 1x x 1x lg x 1x )

x 1x )(x 1x (lg 2222222++=++-+=++++-+=

)x (f )1x x lg()x 1x lg(212-=++-=++=-，可知)x (f 是奇函数。

解法2：由x ∈R ，知R x ∈-。因为)1)x (x lg()1x x lg()x (f )x (f 22+-+-+++=-+

01lg )]1)x (x )(1x x lg[(22==+-+-++=，所以)1x x lg()x (f 2++=是奇函数。

2. 相减判别法

对于函数定义域内任意一个x ，若)x (f 2)x (f )x (f =--，则)x (f 是奇函数；若0)x (f )x (f =--，则)x (f 是偶函数。

例2 判断函数2x 1

2x )x (g x +-=的奇偶性。 解：由x ∈R ，知R x ∈-。因为12)12(x 2x 12x 2x 12x )x (g )x (g x x x x --=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--- 0x x x =-=-，所以)x (g 是偶函数。

3. 相乘判别法

对于函数定义域内任意一个x ，若)x (f )x (f )x (f 2-=-⋅，则)x (f 是奇函数；若)x (f )x (f )x (f 2=-⋅，则)x (f 是偶函数。

例3 证明函数)1a 0a (1

a )1a (x )x (f x x ≠>+-=，是偶函数。 证明：由x ∈R ，知R x ∈-。因为1

a )1a (x 1a )1a )(x (1a )1a (x )x (f )x (f x x x x x x +-=+--⋅+-=-⋅-- )x (f 1a )1a (x a 1)a 1)(x (22

x x x x =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-=+--⋅，所以)x (f 是偶函数。 4. 相除判别法

对于函数定义域内任意一个x ，设0)x (f ≠-，若

1)x (f )x (f -=-，则)x (f 是奇函数；若1)

x (f )x (f =-，则)x (f 是偶函数。

例4 证明函数)1a 0a (1

a 1a )x (f x x ≠>-+=，是奇函数。 证明：由01a x ≠-，知0x ≠且R x ∈，所以定义域关于原点对称。 因为1a a a a )1a )(1a ()1a )(1a (1a 1a 1a 1a )x (f )x (f 0)x (f x

x x

x x x x x x x x x -=-+-=+--+=+-⋅-+=-≠-------，，所以)x (f 是奇函数。 点评：上述各例，若用定义判定，则困难程度可想而知。用等价定义判断解析式较为复杂的函数的奇偶性时，方便快捷，可化繁为简，会使大家感到思路清晰，目标明确，思维视野大为开阔，值得同学们注意。

练一练：

已知)x (f 是定义在R 上的函数，1)1(f =，且对任意的x ∈R ，都有5)x (f )5x (f +≥+，1)x (f )1x (f +≤+。若x 1)x (f )x (g -+=，则=)2006(f ________。

答案：1（提示：由)1x (f 3)2x (f 2)3x (f 1)4x (f )5x (f 5)x (f +≤++≤++≤++≤+≤+

5)x (f 4+≤+，所以其中等号均成立，1)x (f )1x (f +=+。由1)1(f =得21)1(f )2(f =+=，

31)2(f )3(f =+=，…，2006)2006(f =，从而有120061)2006(f )2006(g =-+=）

函数的奇偶性

1．函数f （x ）=x(-1﹤x ≦1)的奇偶性是

（ ） A ．奇函数非偶函数 B ．偶函数非奇函数

C ．奇函数且偶函数

D ．非奇非偶函数

2. 已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是( ）

A .奇函数

B .偶函数

C .既奇又偶函数

D .非奇非偶函数

3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，

且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( )

A.(-∞,2)

B. (2,+∞)

C. (-∞,-2)⋃(2,+∞)

D. (-2,2)

4．已知函数f (x )是定义在(－∞,+∞)上的偶函数.

当x ∈(－∞,0)时，f (x )=x -x 4，则 当x ∈(0.+∞)时，f (x )= .

5. 判断下列函数的奇偶性：

(1)f (x )＝lg (12+x -x );

(2)f (x )＝2-x +x -2

(3) f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x

6.已知g (x )=－x 2－3,f (x )是二次函数，当x ∈[-1,2]时，f (x )的最小值是1，且f (x )+g (x )是奇函数，求f (x )的表达式。

7.定义在（-1，1）上的奇函数f （x ）是减函数，且f(1-a)+f(1-a 2)<0,求a 的取值范围

8.已知函数21()(,,)ax f x a b c N bx c

+=∈+是奇函数,(1)2,(2)3,f f =<且()[1,)f x +∞在上是增函数, (1)求a,b,c 的值;

(2)当x ∈[-1,0)时,讨论函数的单调性.

9.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )．

(1)求证f (x )为奇函数；

(2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．

10下列四个命题：

（1）f （x ）=1是偶函数；

（2）g （x ）=x 3，x ∈（－1，1]是奇函数；