上坡下坡行程问题

问题从甲地到乙地，先是上坡路，然后就是下坡路，一辆汽车上坡速度为每小时20千米，下坡速度为每小时35千米。车从甲地到乙地共用9小时，从乙地返回到甲地共用7.5小时。求去时上坡路和下坡路分别为多少千米？

先画出如右图形：图中A表示甲地，C表示乙地。从A到B是上坡路，从B到C是下坡路；反过来，从C 到B就是上坡路，从B封A是下坡路。

由于从甲地到乙地用9小时，反过来从乙地到甲地用7.5小时，这说明从A到B的距离大于从B到C的距离。本题的难点在于上下坡不仅速度不同，而且距离不同，因此自然的思路是设法把上下坡的距离变不同为相同。

在从A封B的略程中取一个点D,便得从D到B的距离等于从B封C的距离，这样A JIJD 的距离就是AB 距离比BC距离多出来的部分。

下面我们分析为什么去时比回来时问矣多用了：9-7.5= 1.5 （时）

从图中容易看出就是因为去时从A封D是上坡，而回来时从D到A变成了下坡，其它胳途所用的总时问是一样的。

现在的问题是AD这段路程中速度由每小时20千米改为35千米，则时间少用1.5小时，由此可以求出什么？

如果设速度为每小时20千米所用时问为单位“工,那么連度为每小时35千米所用时问为：

4

20- 35 = y

4

因此速度为每小时20千米吋所用时■间为=1.5- （1-y） =3.5 （时）速度为每小时35千氷吋所用吋间就是；3"专=2 （吋）

由此就可以求出AD之间的距离为：

20X3.5=70 （千米）

或35X2 = 70 （千米）

还可以求出从D到C和从C到D所用时间均为：9一3・5 = 5・5 （时）

或7.5—2 = 5・5 （时）

至此我们巳经完成了将上下坡的距离变为相同的目的了。如果设从D封

B上坡所用时间为“1”，那么从E到C下坡所用时间就是孑所以从D到召上坡所用时问为：

所以去时上坡的总賂程就是：

70+20x3.5=140 （千米）

下坡总胳程是：35X2=70 （千米）

上面所用方法实质上是通过“截长变短”把上下坡的距离“变不同为相同”，而实现这一目

的还可以通过“补”的方法。

将返回的略程补在去时路程的后面，画出右图：

这时全程去与回所用的时间都是：

9 + 7.5=16.5 （时）

而且全程的上坡胳程和下坡路程相等，都等于原来上下坡距离之和。设

此时上坡所用吋间为"1”，那么下坡所用吋间就是孑所以上坡所用时间为：

所以原来上下坡距离之和就是：

20X 10.5=210 （千米）

或35x6 = 210 （千米）

下面采用解决“鸡兔同茏”问题的方法，假设原来从A到C速度不变，都是每小时35千米,

这样9小时所行路程应该为：

35X9=180 （千米）

比实际距离少行了：

210-180 = 30 （千米）

贰是因为从B到C的下坡速度每小时20千米变成了35千米，因此从B到C的时问为：

30-r （35—20） =2 （时）

从A到B上坡的时间为：9-2=7 （时）

由此上下坡的距离就不难求出了。

这个解法的思路是通过“补”,不仅使得上下坡距离相等，而且使得往近所用的时间相等。

解决本题的两个方法说明，在“变不同为相同”这个基本思想的指导下，手段可以是多种多

样的。

下面再看一道类似的问题。

问題如右图，从A到B是下坡路，从B封C是平胳，从C到D是上坡路。小和小王步行速度分别都是：上坡每小时4千米，平路每小时5千米，下坡每小时6千米。二人分别从A、D两点同时

出发，相向而行，经过1小时在E点相遇，己知EC距离是BC距离的土。当

小

王到达A后9分钟，小利达D。求从A到D的全程距离。

首先发现二人平胳上行走的距离相同，小比小王多用9分钟的原因就是CD距离大于AB距

我们仿照上题思胳，在CD±取一点F,使得CF距离等于AB距离，并画出如右图形：设从D到F下坡所用时问为＜41"，则从FJiJD上坡所用时间为：

6*4=-

所以从D到F下坡所用时间为:

3

a （|-D =18 C分）从F到D上坡所用时间为：

3

18X- = 27 （分）

这段距离就是；

27 9

或处詁*千米）

3

由于二人在E点相遇，不难发现小张走平路的彳所用时间等于小王从D

封F所用时问18分钟，因此可以求出平路的距离为：

（千米）

现在又可以求岀小张从B到E所用时间为: 5 4 2

2 5 5^ ;

所以小张从A到B所用时间为：

23

1-彳岭时）AB之间的距离为：

318十沁

6X~ = —（^米）

所以全程距离为：

18 5 9 〜

T X2 + 2 + 5 = 1L5（T*）