准数-对流换热

Cl2
或
将（c）代入式（e）得
CuCl = 1 Ca
（e）
u′′ ⋅ l′′ = a′′ u′ l′ a′
将Pe数变形为
u′′l′′ a′′
=
u′l′ a′
=
ul a
= Pe
贝克来准则
Pe
=
ul a
=
ul
υ
⋅υ
a
=
Re⋅ Pr
Pe数与Re数和Pr数的关系
将动量方程
u
∂u ∂x
+
v
∂u ∂y
=ν
∂2u ∂y 2
第四章 对流换热的实验研究与经验公式
本章重点内容 1. 相似理论及其在传热实验中的应用 2. 外绕壁面对流换热 3. 管内流动对流换热 4. 自然对流换热
5. 高速气流对流换热
• 实验研究是传热学研究中的主要和可靠手段； • 尤其是复杂的传热学问题
• 尽管数值传热学发展很快，但实验研究仍是检验数 值模拟和数学模型正确与否的唯一方法
y' = Cl y"; λ' = Cλλ"
h' = Chh"; T' = CtT"; x' = Cl x";
y' = Cl y"; λ' = Cλλ" 代入第一个方程组中： h’= − ΔλT’’⎜⎜⎝⎛ ∂∂Ty’’⎟⎟⎠⎞w
ChCl Cλ
h” =
−
ΔλT””⎜⎜⎝⎛ ∂∂Ty””⎟⎟⎠⎞w
ChCl Cλ
如果在空间对应点上：
x1' x1"
=
x2' x2"
=
x3' x3"
= .... =
l' l"
= Cl
几何相
r1' r1"
=
r2' r2"
=
r3' r3"
= .... =
R' 似倍数 R"速=度C场l 相
速度成正比：
u1' u1"
= u2' u2"
= u3' u3"
=
....
=
um' ax um" ax
• 2. 相似第二定理
对于相似现象群，在形式上相同的方程可以转变为相似准则、 简单数群以及包含在单值性条件内的常数之间的方程组，且对 于整个现象群这种方程组在数值上是相等的。
• 例：外掠平板、二维、稳态、强制层流换热；
•
物性为常量、无内热源
hx
=
− Tw
λ
− T∞
⎜⎜⎝⎛
∂T ∂y
⎟⎟⎠⎞w,x
只有属于同一类型的物理现象才有相似的可能性，也 才能谈相似问题 同类现象：用相同形式和内容的微分方程式（控制方 程+单值性条件方程）所描述的现象
电场与温度场： 微分方程相同；内容不同
强制对流换热与自然对流换热： 微分方程的形式和内容都有差异
外掠平板和外掠圆管：控制方程相同；单值性条件不同
物理相似：对于两个同类的物理现象，如果在相应的时 刻与相应的位置上与现象有关的物理量一一对应成比例
1、相似第一定理 彼此相似的现象，它们的同名相似相似准则相等。 相似现象的相似指标等于1。
证明：外掠平板、二维、稳态、强制层流换热； 物性为常量、无内热源
假设：有两个外 掠平板的对流换 热现象相似
相似现象必为同类现象 （用相同形式和内容的微分方程式所描述的现象）
分别写出这两个相似现象控制方程组：
=
y3' y3"
= .... =
yn' yn"
= Cl
过余温度成正比： θ1' θ1"
=
θ
' 2
θ
" 2
=
θ
' 3
θ
" 3
=
....
=
θ
' n
θ
" n
= Cθ
称这两个温度场相似
温度场相似倍数
若两个对流换热现象相似，它们的温度场、速度场、粘 度场、热导率场、壁面几何因素等都应分别相似
即：在对应瞬间、对应点上各物理量分别成比例
τ' τ"
=
Cτ
;
x' = x"
y' = y"
z' z"
=
Cl
;
θ θ
'
"
=
Cθ
;
u' u"
=
v' v"
=
Cu
;
λ' λ"
=
Cλ
;
ν ν
'
"
=
Cν
;
........
注：各影响因素彼此不是孤立的，它们之间存在着由 对流换热微分方程组所规定的关系
故：各相似倍数之间也必定有特定的制约关系，它们 的值不是随意的
h = f (v, tw, t f , λ, c p , ρ,α,η, l,Ω)
• 表面传热系数是众多因素的函数；有些影响因素相 互制约和影响（如：温度与热物性）；如果采取逐 个研究各变量的影响，实验工作量极为庞大、也极 难进行
• 问题：如何进行实验研究？ • — 相似理论指导下的实验研究
§4.1 相似理论简介
h”=
−
Δλt””⎜⎜⎝⎛
∂∂yt””⎟⎟⎠⎞ w
与第二个方程组进行比较
h”=
−
λ” ⎜⎛
Δt”⎜⎝
∂t”⎟⎞ ∂y”⎟⎠w
ChCl Cλ
h”=
−
Δλt””⎜⎜⎝⎛
∂∂yt””⎟⎟⎠⎞w
ChCl = 1 Cλ
⇒
h'l 'λ" h"l "λ'
=1⇒
h'l '
λ'
λ"
h"l "
=1
Nu' = Nu"
Nu' = Nu"
相似的对流换热现象的Nu数相等
Nu数的物理意义： Nu = hl
λ
h
=
−
λ
ΔT
⎜⎜⎝⎛
∂T ∂y
⎟⎟⎠⎞w
两边同乘以 l/λ
hl
λ
=
−
⎜⎜⎝⎛
∂T ∂y
ΔT
⎟⎟⎠⎞w
l
分母表示常物性厚度为l 的流体层由于导热所引起的温度变化率
分子为实际壁面处由对流换热而引起的温度变化率
Nu数的物理意义：实际的对流传热量与导热分子扩 散热量的比较
Nu = f (Pr, Re)
Nu — 待定特征数 （含有待求的 h） Re，Pr— 已定特征数
按上述关联式整理实验数据，得到实用关联式 解决了实验中实验数据如何整理的问题
3.相似第三定理(判别相似的条件)
过程相似的必要充分条件是单值性条件相似，由 单值性条件所包含的物理量所组成的相似准则相 等。
• 凡同类现象、单值性条件相似、同名已定特征数相 等，那么现象必定相似
• 单值性条件：几何条件、物理条件、
•
时间条件、边界条件
综上所述，相似原理圆满地回答了实验研究中会遇到 的三个问题： （1）实验时，应测量各特征数中包含的全部物理量；
物性参数值由实验系统中的定性温度及压力确定
（2）实验结果整理成特征数关联式
Nu = hl
λ
注意：定型准则和非定型准则并不是相似准则中所固有的性质。 当单值性条件改变时，非定型准则和定型准则就有可能相互转换 。
= um' um"
u ' 似倍数 = u" = Cu
称这两圆管内速度场相似
例2：流体外掠平板对流换热边界层温度场相似问题
温度沿 x、y
方向变化
如果在空间 对应点上：
几何相 似倍数
x1' x1"
=
x2' x2"
=
x3' x3"
= .... =
xn' xn"
= Cl ;
y1' = y1"
y2' y2"
=
a′′
∂2T ′′ ∂y′′2
（b）
由于过程相似，则空间对应点以及各物理量之比应为常数：
u′′ u′
=
v ′′ v′
=
Cu
T ′′ T′
=
CT
a′′ a′
=
Ca
x′′ x′
=
y ′′ y′
=
Cl
（c）
将
u′′ u′
=
v ′′ v′
=
Cu
T ′′ T′
=
CT
a′′ a′
=
Ca
x′′ x′
=
y ′′ y′
进行同样的变换，最后得
Cu2 Cl
(u′
∂u′ ∂x′
+
v′
∂∂uy′′ )
=
Cυ Cu Cl2
ν
∂2u′ ∂y′2
同样变换后的方程的形式不应发生变化，得
CuCl = 1 Cυ
将
Baidu Nhomakorabea
u′′ u′
=
v ′′ v′
=
Cu
ν ν
′′ ′′
=
Cν
x′′ x′
=
y ′′ y′
=
Cl
代入
CuCl Cν
=1
得
u′′l′′ = u′l′ = ul = Re
ν ′′ ν ′ ν
确定流体流动状态的雷诺准则
连续性方程 ∂u + ∂v = 0 ∂x ∂y
将连续性方程应用于两个相似的换热过程，并对其进行变换后得：
Cu (∂u′ + ∂v′) = 0 Cl ∂x′ ∂y′
Cu = 常数 Cl
因此，对连续性方程而言，对相似常数的选择没有任何限制
由以上分析可知，对于流体绕流平壁的受迫对流换 热的微分方程组，可以导出三个相互独立的准则关 系式：Nu数，Pr数 和 Re数。由相似第二定理可知 ，受迫对流换热的微分方程组可以表示成这三个准 则的函数关系，即
现象1： 现象2：
h’= − Δλt’’⎜⎜⎝⎛ ∂∂yt’’⎟⎟⎠⎞w
h”= − Δλt””⎜⎜⎝⎛ ∂∂yt””⎟⎟⎠⎞w
已假设这两个现象相似，故各物理量场应分别相似
h' h"
=
Ch
;
x' x"
=
y' y"
= Cl ;
T' T"
=
Ct
;
λ' λ"
=
Cλ
;
即：
u' u"
=
v' v"
=
Cu
;
h' = Chh"; T' = CtT"; x' = Cl x";
LB
=
c' a'
=
c" a"
那么它们必定相似！
LA、LB分别相等表达了三角形相似的充分和必要条件
LA、LB有判断两三角形是否相似的作用 LA、LB是无量纲的
—— 几何相似特征数
—— 几何相似准则
2、物理现象相似
例1：流体在圆管内稳态流动时速度场相似问题
圆管半径分别为R’、R”
温度沿 x、r 方向变化
一、物理相似的基本概念
1、几何相似 彼此几何相似的三角形，对应边成比例
若(1)、(2)相似：
a' a"
=
b' b"
=
c' c"
=
h' h"
=
Cl'
相似
若(1)、(3)相似：
a' a"'
=
b' b"'
=
c' c"'
=
h' h"'
=
Cl"
常数
a' a"
=
b' b"
=
c' c"
=
h' h"
=
Cl'
a' a"'
∂u + ∂v = 0 ∂x ∂y
u
∂u ∂x
+
v
∂u ∂y
=ν
∂2u ∂y 2
u ∂T ∂x
+ v ∂T ∂y
=
a
∂ 2T ∂y 2
对两个相似的对流换热过程应用能量方程：
u′
∂T ′ ∂x′
+
v′
∂T ′ ∂y′
=
a′
∂2T ′ ∂y′2
（a）
u′′
∂T ′′ ∂x′′
+
v′′
∂T ′′ ∂y′′
1）必须是同类现象才有可能相似 2）由于描述现象的微分方程式的制约，物理量场的相
似倍数间有特定的制约关系 3）注意物理量的时间性和空间性
二、相似原理
在实物或模型上进行对流换热实验研究时，因变量太 多，会遇到三个问题： （1）实验中应测哪些量（是否所有的物理量都测） （2）实验数据如何整理（整理成什么样函数关系） （3）实验结果如何推广运用于实际现象 相似原理将回答上述三个问题 针对以上三个问题，就有了三个相似定理
=
b' b"'
=
c' c"'
=
h' h"'
=
Cl"
同样可以 得：
b' a'
=
b" a"
=
b'" a'"
=
LA ;
c' a'
=
c" a"
=
c'" a'"
=
LB
即：两三角形相似时，不仅各对应边成比例，而且它 们的相似定数 LA、LB 数值必定相等
可以论证：若两个 三角形具备相同的
LA
=
b' a'
=
b" a"
（3）实验结果可以推广应用到相似的现象
三.定型准则和非定型准则
特征数名称 定义
物理意义
毕渥数 Bi
hl λ 固体内部导热热阻与其边界上对流换热热组之比
傅立叶数 Fo aτ l 2 非稳态导热过程的无量纲时间，表示过程进行的深度
格拉晓夫数Gr gl 3βΔT 浮升力与粘性力之比
ν3
努塞尔数Nu hl λ 实际的对流传热量与导热分子扩散热量的比较
=
Cl
（c）
代入
u′′
∂T ′′ ∂x′′
+
v′′
∂T ′′ ∂y′′
=
a′′
∂2T ′′ ∂y′′2
可得
CuCt Cl
(u′
∂T ′ ∂x′
+
v′
∂∂Ty′′ )
=
CaCt Cl2
a′
∂2T ′ ∂y′2
（d）
变换后的方程的形式不应发生变化，因此上式中的相
似常数的组合量应为
CuCt = CaCt
Cl
普朗特数Pr 雷诺数Re 斯坦顿数St
ν a 动量扩散深度与热量扩散深度之比 ul /ν 惯性力与粘性力之比的一种度量
Nu PrRe 流体实际的换热热流与流体可以传递的最大热流之比
定型准则：凡是由单值条件中包括的已知物理量所组成的准则
例如Re数
Re = u∞l
ν
非定型准则：凡是包含未知物理量所组成的准则