准数-对流换热

∂u + ∂v = 0 ∂x ∂y
u
∂u ∂x
+
v
∂u ∂y
=ν
∂2u ∂y 2
u ∂T ∂x
+ v ∂T ∂y
=
a
∂ 2T ∂y 2
对两个相似的对流换热过程应用能量方程：
u′
∂T ′ ∂x′
+
v′
∂T ′ ∂y′
=
a′
∂2T ′ ∂y′2
（a）
u′′
∂T ′′ ∂x′′
+
v′′
∂T ′′ ∂y′′
τ' τ"
=
Cτ
;
x' = x"
y' = y"
z' z"
=
Cl
;
θ θ
'
"
=
Cθ
;
u' u"
=
v' v"
=
Cu
;
λ' λ"
=
Cλ
;
ν ν
'
"
=
Cν
;
........
注：各影响因素彼此不是孤立的，它们之间存在着由 对流换热微分方程组所规定的关系
故：各相似倍数之间也必定有特定的制约关系，它们 的值不是随意的
现象1： 现象2：
h’= − Δλt’’⎜⎜⎝⎛ ∂∂yt’’⎟⎟⎠⎞w
h”= − Δλt””⎜⎜⎝⎛ ∂∂yt””⎟⎟⎠⎞w
已假设这两个现象相似，故各物理量场应分别相似
h' h"
=
Ch
;
x' x"
=
y' y"
= Cl ;
T' T"
=
Ct
;
λ' λ"
=
Cλ
;
即：
u' u"
=
v' v"
=
Cu
;
h' = Chh"; T' = CtT"; x' = Cl x";
LB
=
c' a'
=
c" a"
那么它们必定相似！
LA、LB分别相等表达了三角形相似的充分和必要条件
LA、LB有判断两三角形是否相似的作用 LA、LB是无量纲的
—— 几何相似特征数
—管内稳态流动时速度场相似问题
圆管半径分别为R’、R”
温度沿 x、r 方向变化
=
Cl
（c）
代入
u′′
∂T ′′ ∂x′′
+
v′′
∂T ′′ ∂y′′
=
a′′
∂2T ′′ ∂y′′2
可得
CuCt Cl
(u′
∂T ′ ∂x′
+
v′
∂∂Ty′′ )
=
CaCt Cl2
a′
∂2T ′ ∂y′2
（d）
变换后的方程的形式不应发生变化，因此上式中的相
似常数的组合量应为
CuCt = CaCt
Cl
1、相似第一定理 彼此相似的现象，它们的同名相似相似准则相等。 相似现象的相似指标等于1。
证明：外掠平板、二维、稳态、强制层流换热； 物性为常量、无内热源
假设：有两个外 掠平板的对流换 热现象相似
相似现象必为同类现象 （用相同形式和内容的微分方程式所描述的现象）
分别写出这两个相似现象控制方程组：
=
y3' y3"
= .... =
yn' yn"
= Cl
过余温度成正比： θ1' θ1"
=
θ
' 2
θ
" 2
=
θ
' 3
θ
" 3
=
....
=
θ
' n
θ
" n
= Cθ
称这两个温度场相似
温度场相似倍数
若两个对流换热现象相似，它们的温度场、速度场、粘 度场、热导率场、壁面几何因素等都应分别相似
即：在对应瞬间、对应点上各物理量分别成比例
y' = Cl y"; λ' = Cλλ"
h' = Chh"; T' = CtT"; x' = Cl x";
y' = Cl y"; λ' = Cλλ" 代入第一个方程组中： h’= − ΔλT’’⎜⎜⎝⎛ ∂∂Ty’’⎟⎟⎠⎞w
ChCl Cλ
h” =
−
ΔλT””⎜⎜⎝⎛ ∂∂Ty””⎟⎟⎠⎞w
ChCl Cλ
相似的对流换热现象的Nu数相等
Nu数的物理意义： Nu = hl
λ
h
=
−
λ
ΔT
⎜⎜⎝⎛
∂T ∂y
⎟⎟⎠⎞w
两边同乘以 l/λ
hl
λ
=
−
⎜⎜⎝⎛
∂T ∂y
ΔT
⎟⎟⎠⎞w
l
分母表示常物性厚度为l 的流体层由于导热所引起的温度变化率
分子为实际壁面处由对流换热而引起的温度变化率
Nu数的物理意义：实际的对流传热量与导热分子扩 散热量的比较
1）必须是同类现象才有可能相似 2）由于描述现象的微分方程式的制约，物理量场的相
似倍数间有特定的制约关系 3）注意物理量的时间性和空间性
二、相似原理
在实物或模型上进行对流换热实验研究时，因变量太 多，会遇到三个问题： （1）实验中应测哪些量（是否所有的物理量都测） （2）实验数据如何整理（整理成什么样函数关系） （3）实验结果如何推广运用于实际现象 相似原理将回答上述三个问题 针对以上三个问题，就有了三个相似定理
进行同样的变换，最后得
Cu2 Cl
(u′
∂u′ ∂x′
+
v′
∂∂uy′′ )
=
Cυ Cu Cl2
ν
∂2u′ ∂y′2
同样变换后的方程的形式不应发生变化，得
CuCl = 1 Cυ
将
u′′ u′
=
v ′′ v′
=
Cu
ν ν
′′ ′′
=
Cν
x′′ x′
=
y ′′ y′
=
Cl
代入
CuCl Cν
=1
得
u′′l′′ = u′l′ = ul = Re
Nu = hl
λ
注意：定型准则和非定型准则并不是相似准则中所固有的性质。 当单值性条件改变时，非定型准则和定型准则就有可能相互转换 。
=
a′′
∂2T ′′ ∂y′′2
（b）
由于过程相似，则空间对应点以及各物理量之比应为常数：
u′′ u′
=
v ′′ v′
=
Cu
T ′′ T′
=
CT
a′′ a′
=
Ca
x′′ x′
=
y ′′ y′
=
Cl
（c）
将
u′′ u′
=
v ′′ v′
=
Cu
T ′′ T′
=
CT
a′′ a′
=
Ca
x′′ x′
=
y ′′ y′
普朗特数Pr 雷诺数Re 斯坦顿数St
ν a 动量扩散深度与热量扩散深度之比 ul /ν 惯性力与粘性力之比的一种度量
Nu PrRe 流体实际的换热热流与流体可以传递的最大热流之比
定型准则：凡是由单值条件中包括的已知物理量所组成的准则
例如Re数
Re = u∞l
ν
非定型准则：凡是包含未知物理量所组成的准则
（3）实验结果可以推广应用到相似的现象
三.定型准则和非定型准则
特征数名称 定义
物理意义
毕渥数 Bi
hl λ 固体内部导热热阻与其边界上对流换热热组之比
傅立叶数 Fo aτ l 2 非稳态导热过程的无量纲时间，表示过程进行的深度
格拉晓夫数Gr gl 3βΔT 浮升力与粘性力之比
ν3
努塞尔数Nu hl λ 实际的对流传热量与导热分子扩散热量的比较
• 2. 相似第二定理
对于相似现象群，在形式上相同的方程可以转变为相似准则、 简单数群以及包含在单值性条件内的常数之间的方程组，且对 于整个现象群这种方程组在数值上是相等的。
• 例：外掠平板、二维、稳态、强制层流换热；
•
物性为常量、无内热源
hx
=
− Tw
λ
− T∞
⎜⎜⎝⎛
∂T ∂y
⎟⎟⎠⎞w,x
Nu = f (Pr, Re)
Nu — 待定特征数 （含有待求的 h） Re，Pr— 已定特征数
按上述关联式整理实验数据，得到实用关联式 解决了实验中实验数据如何整理的问题
3.相似第三定理(判别相似的条件)
过程相似的必要充分条件是单值性条件相似，由 单值性条件所包含的物理量所组成的相似准则相 等。
=
b' b"'
=
c' c"'
=
h' h"'
=
Cl"
同样可以 得：
b' a'
=
b" a"
=
b'" a'"
=
LA ;
c' a'
=
c" a"