高一数学必修2月考试卷
2023-2024学年湖北省学高一下册2月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年湖北省学高一下册2月月考数学试题一、单选题1．已知πcos()63x -=，则πcos cos(3x x +-等于（）A B ．±C ．－1D ．1【正确答案】D【分析】根据两角差的余弦公式以及辅助角公式即可求解.【详解】π1πcos cos()cos cos sin cos 132263x x x x x x ⎛⎫+-=++-⨯= ⎪⎝⎭，故选：D2．已知a ，b ∈R ，则“0ab ≠”的一个必要条件是（）A ．0a b +≠B ．220a b +≠C ．330a b +≠D ．110a b+≠【正确答案】B【分析】利用3,3a b ==-否定ACD 选项，进而得答案.【详解】解：对于A 选项，当3,3a b ==-时，0ab ≠，此时0a b +=，故0a b +≠不是0ab ≠的必要条件，故错误；对于B 选项，当0ab ≠时，220a b +≠成立，反之，不成立，故220a b +≠是0ab ≠的必要条件，故正确；对于C 选项，当3,3a b ==-时，0ab ≠，但此时330a b +=，故330a b +≠不是0ab ≠的必要条件，故错误；对于D 选项，当3,3a b ==-时，0ab ≠，但此时110a b +=，故故110a b+≠不是0ab ≠的必要条件，故错误.故选：B3．函数()()23log 45f x x x =-++的单调减区间是（）A ．(),2∞-B ．()2,∞+C ．()2,5D ．()1,2-【正确答案】C【分析】先求出函数定义域，再根据复合函数单调性的判断法则求解单调区间.【详解】由题：2450x x -++>，()()150x x +-<，解得：()1,5x ∈-，()()23log 45f x x x =-++的减区间，即245y x x =-++的减区间，对称轴为2x =结合二次函数单调性，所以()()23log 45f x x x =-++的减区间()2,5.故选：C此题考查求复合函数的单调区间，需要熟练掌握单调性的讨论方式，易错点在于漏掉考虑定义域，导致出错.4．在平行四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上靠近点C 的三等分点，点F 在BE 上，若13AF x AB AD =+，则x =（）A ．23B ．45C ．56D ．67【正确答案】C【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可.【详解】由题可知()23AE AB AD =+，∵点F 在BE 上，∴()1AF AB AE λλ=+- ，∴2133AF λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 2233AB AD λ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ．∴221333λ-=，12λ=．∴21153326x =+⨯=．故选：C ．5．设(0,)x π∈，则函数()f x =）A．⎡⎣B ．[]0,2C．⎡⎣D ．[)0,2【正确答案】A利用二倍角公式化简函数表达式，再利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.【详解】由(0,)x π∈，则0,22x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()f x ==sin 2sin 2224x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又,2444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以sin 2242x π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，所以0sin 242x π⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，所以()0f x ≤<故选：A本题考查了三角恒等变换、求三角函数的值域，考查了基本运算求解能力，属于中档题.6．已知0x >，0y >，且420x y xy +-=，则2x y +的最小值为（）A ．16B ．8+C ．12D ．6+【正确答案】A【分析】由题意得，241x y+=，再根据基本不等式乘“1”法即可得最小值.【详解】由题可知241x y+=，乘“1”得24822(2)82816x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当82x y y x =时，取等号，则2x y +的最小值为16.故选：A7．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，过点,012A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,23B π⎛⎫⎪⎝⎭，当5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()2cos 43g x mf x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为9，则m 的值为（）A ．2B ．52C ．2和52D ．2±【正确答案】B由图可得()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()4sin 26g x m x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭212sin 26x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，令sin 2[0,1]6x t π⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，转化为求2241y t mt =-++的最大值问题.【详解】由已知，43124T πππ=-=，所以2T ππω==，2ω=，又()23f π=，||2ϕπ<，所以sin(2)13πϕ⨯+=，6πϕ=-，故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()()2cos 43g x mf x x π⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭4sin 26m x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭212sin 26x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以220,63x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，sin 2[0,1]6x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，令sin 26x t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则[0,1]t ∈，故2241y t mt =-++，若0m ≤，易得max 1y =，不符合题意；若01m <<，易得2max 129y m =+=，解得2m =±（舍）；若m 1≥，易得max 419y m =-=，解得52m =.故选：B.本题考查已知正弦型函数的最大值求参数的问题，涉及到由图象确定解析式、二次函数最值等知识，是一道有一定难度的题.8．已知平面向量a 、b 、c满足2a b a c ==⋅= ，且12a c a λ+≥- 对任意实数λ恒成立，则1122a b b c ++-的最小值为（）A 31B ．23C 35D ．5【正确答案】B【分析】不等式12a c a c λ+≥- ，两边平方得到关于实数λ的不等式，进而得到2c =，再利用模长公式将1122a b b c ++- 转化为1122a b c b ++- ，再利用不等式a b a b +≥+即可得解.【详解】由12a c a c λ+≥- ，两边平方得22222124a a c c a a c cλλ+⋅+⋅≥-⋅+ 又2a c ⋅=，且12a c a λ+≥- 对任意实数λ恒成立，即22214204c c λλ⋅++-≥ 恒成立，所以221164204c c ⎛⎫∆=-⋅-≤ ⎪⎝⎭ ，即()2240c -≤ ，所以24c =，即2c = .由2a b c ===，知1122a b a b +=+ ，1122b c c b -=-所以11112222a b b c a b c b a c ++-=++-≥+=当且仅当12a b + 与12c b -同向时取等号.故选：B关键点睛：本题考查向量的综合应用，不等式恒成立问题，解题的关键先利用12a c a c λ+≥- 对任意实数λ恒成立，求得2c =，再利用a b a b +≥+ 求最值，考查了转化思想与运算能力.二、多选题9．若函数()22f x +为偶函数，()1f x +为奇函数，且当(0,1]x ∈时，()ln f x x =，则（）A ．()f x 为偶函数B ．()e 1f =C ．141e f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D ．当[1,2)x ∈时，()ln(2)f x x =--【正确答案】ACD【分析】根据题意可得()f x 关于2x =与()1,0对称，再根据对称性满足的等式化简，逐个选项判断即可【详解】对A ，因为函数()22f x +为偶函数，故()()2222f x f x +=-+，故()f x 关于2x =对称.又()1f x +为奇函数，关于原点对称，故()f x 关于()1,0对称.综上，()f x 关于2x =与()1,0对称.关于2x =对称有()()4f x f x =-，关于()1,0对称有()()42f x f x -=--，()()=2f x f x --，故()()22f x f x --=--，即()()=f x f x -，所以()f x 为偶函数，故A正确；对B ，由A ，因为()e 2,3∈，()()()()e 2e e 2ln e 2f f f =--=--=--，故B 错误；对C ，由A ，1114ln 1e e e f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对D ，当[1,2)x ∈时，(]20,1x -∈，故()()()2ln 2f x f x x =--=--，故D 正确；故选：ACD10．设a ，b是互相垂直的单位向量，2AB a b λ=+ ，()1AC a b λ=+- ，下列选项正确的是（）A ．若点C 在线段AB 上，则2λ=B ．若AB AC ⊥，则23λ=C ．当1λ=时，与AB+ D ．当1λ=-时，a 在AC 上的投影向量为1255a b-【正确答案】ABD【分析】对A ：根据向量共线分析运算；对B ：根据向量垂直运算求解；对C ：根据单位向量分析运算；对D ：根据投影向量分析运算.【详解】由题意可得：221,0a b a b ==⋅=r r r r，对A ：若点C 在线段AB 上，则[),1,AB k AC k =∈+∞uu u r uuu r，则()()211a b k a b ka k b λλλ⎡⎤+=+-=+-⎣⎦r r r r r r，可得()12k k λλ=⎧⎨-=⎩，解得2k λ==或1k λ==-（舍去），故A 正确；对B ：由AB AC ⊥，可得()()()()22221221320AB AC a b a b a a b b λλλλλλλ⎡⎤⋅=+⋅+-=+-+⋅+-=-=⎣⎦uu u r uuu r r r r r r r r r ，解得23λ=，故B 正确；对C ：当1λ=时，则2AB a b =+===uu u r r r与AB共线的单位向量是⎫=±⎪⎪⎝⎭，故C 错误；对D ：当1λ=-时，可得()22221,a AC a a b a a b AC ⋅=⋅-=-⋅====r uuu r r r r r r r uuu r 则a 在AC上的投影向量为()2112cos ,555AC a AC AC a AC a a AC a AC AC a bAC a ACAC AC⋅⋅<>====-uuu r r uuu ruuu r r uuu rr r uuu r r uuu r uuu r r ruuu r r uuu ruuu r uuu r ，故D 正确.故选：ABD ．11．某摩天轮共有32个乘坐舱，按旋转顺序依次为1～33号（因忌讳，没有13号），并且每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角均相等，已知乘客在乘坐舱距离底面最近时进入，在min t 后距离地面的高度()()()()sin 0,0,0,2πf t A t B A ωϕωϕ=++>>∈，已知该摩天轮的旋转半径为60m ，最高点距地面135m ，旋转一周大约30min ，现有甲乘客乘坐11号乘坐舱，当甲乘坐摩天轮15min 时，乙距离地面的高度为(75m +，则乙所乘坐的舱号为（）A ．6B ．7C ．15D ．16【正确答案】BD【分析】先由最小正周期求出15πω=，进而由最高点和最低点与地面的距离求出6075A B =⎧⎨=⎩，由甲乘坐摩天轮15min 时，距底面为最大高度，求出3π2ϕ=，得到解析式，令()075f t =+求出0454t =min 或754min ，求出每相邻两个乘坐舱旋转到同一高度的时间间隔，分别求出0454t =min 和754min 时，甲乙相差的乘坐舱个数，得到答案.【详解】由题意得：30T =min ，故2π2ππ3015T ω===，摩天轮最低点距底面13560215-⨯=m ，故13515A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得：6075A B =⎧⎨=⎩，故()π60sin 7515f t t ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由于30T =min ，故甲乘坐摩天轮15min 时，距地面为最大高度，即()π1560sin 157513515f ϕ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭，故()sin π1ϕ+=，因为()0,2πϕ∈，所以()ππ,3πϕ+∈，故5ππ2ϕ+=，解得：3π2ϕ=，故()π3π60sin 75152f t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令()00π3π60sin 7575152f t t ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭()00,30t ∈，解得：0π3πsin 1522t ⎛⎫+=⎪⎝⎭，令0π3ππ2π1524t k +=+，Z k ∈，解得：075304t k =-+，Z k ∈，因为()00,30t ∈，所以()07530,403k +∈-，解得：1k =，此时0454t =令0π3π3π2π1524t k +=+，Z k ∈，解得：045304t k =-+，Z k ∈，因为()00,30t ∈，所以()04530,403k +∈-，解得：1k =，此时0754t =综上：0454t =min 或754min ，每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角为π16，故每相邻两个乘坐舱旋转到同一高度的时间间隔为π1516minπ1615=，当0454t =min 时，乙比甲晚出发45151544-=min ，甲乙相差15441516=个乘坐舱，由于没有13号乘坐舱，故乙在16号乘坐舱，当0754t =min 时，乙比甲早出发75151544-=min ，甲乙相差15441516=个乘坐舱，故乙在7号乘坐舱.故选：BD12．对任意两个非零的平面向量α 和β，定义αβαβββ⋅=⋅，若平面向量a b ､满足0,a b a≥> 与b 的夹角π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且a b 和b a都在集合Z,Z n m n m ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭∣中．给出以下命题，其中一定正确的是（）A ．若1m =时，则1a b b a ==B ．若2m =时，则12a b =C ．若3m =时，则a b的取值个数最多为7D ．若2014m =时，则a b的取值个数最多为220142【正确答案】AC【分析】由新定义可知22||cos ||cos ,||||a b a b a b a b b a a a b bθθ⋅⋅====，再对每个命题进行判断，即可得出结论.【详解】对A ，若1m =时，'22||cos ||cos ,||||a b a b a b a b n b a n a a b bθθ⋅⋅======，两式相乘得2'cos n n θ=⋅，又π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，21cos 12θ∴≤≤，即'112n n ≤⋅≤，'1n n ∴==，即1a b b a ==，故A 正确；对B ，若2m =时，则2||cos 2||a b a n a b b bθ⋅=== ，同理||cos ||2b n b a a θ'==，相乘得到2cos 4nn θ'=，又π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以21cos 12θ≤≤，即1124nn '≤≤，则()',n n 取值(2,1)时符合1124nn '≤≤，此时1a b = ，故B 错误；对C ，若3m =时，则2||cos 3||a b a n a b b bθ⋅===，同理||co |3s |b n b a a θ'==，相乘得2cos 9nn θ'=，又π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，21cos 12θ∴≤≤，1129nn '∴≤≤，又0≥> a b ，得'n n ≥，3,2,3n n '∴==，4,2n n '==，5,6,7,8,9,1n n '==，a b ∴的取值个数最多为7个，故C 正确；对D ，若2014m =时，由上面推导方法可知22014112nn '≤≤，2220142n nn '≥∴≥，n ∴≥214252014n ∴≤≤，a b ∴ 的取值个数最多为2220141425202114-+≠，故D 错误.故选：AC.数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.三、填空题13．210341272(e 1)16lglg254+--+-=__________．【正确答案】5+5【分析】根据指数幂和对数公式计算即可.【详解】210341272(e 1)16lglg254+-+-()()21343411322lg 425⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭92222=++--5=故答案为.5+14．已知平面上不共线的向量,,a b c的夹角两两相等，且a b c == ，则,a b b c +-=__________．【正确答案】π6##30︒【分析】由题可得,,a b c两两的夹角为2π3，根据平面向量数量积的定义，运算律及向量夹角公式即得.【详解】因为平面上不共线的向量,,a b c的夹角两两相等，且a b c == ，,,a b c ∴两两的夹角为2π3，22πcos 32a a a b b ∴⋅=⨯=-，22a c c ab ⋅=⋅=- ，∴()()22222223222a b a c b b a a a a a b c b c a ⋅-⋅+-⋅=+⋅-=-+++=，()2222222222a a b a a ab a a b ⋅+=-⨯++=+=，即a b a +=r r r ，()22222222322b b a bc c ca a a -⋅+=+⨯+=-=，即b c -= ，所以()()23cos ,2a a b b c a b b c a b b c +⋅-+-=+- [],0,πa b b c +-∈ ，所以π,6a b b c +-=.故答案为.π615．函数()1,111,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨⎛⎫+≠⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程2[f (x )]2－(2a ＋3)·f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，则a 的取值范围是________．【正确答案】331,,222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】要使关于x 的方程2[f (x )]2－(2a ＋3)·f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，只需使函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝32、y ＝a 共有五个不同的交点，画出函数的大致图象，利用数形结合可得结果．【详解】由2[f (x )]2－(2a ＋3)·f (x )＋3a ＝0，得[2f (x )－3][f (x )－a ]＝0，∴f (x )＝32或f (x )＝a ．画出函数y ＝f (x )的大致图象，如图，要使关于x 的方程2[f (x )]2－(2a ＋3)·f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，即要使函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝32、y ＝a 共有五个不同的交点，则a 的取值范围是331,,222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故331,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．16．对任意实数11,2x y >>，不等式222241(21)(1)x y a y a x +≥--恒成立，则实数a 的最大值为________．【正确答案】不等式222241(21)(1)x y a y a x +≥--恒成立，转化为2224211x y a y x ≤+--，其中11,2x y >>，令()()()()222212112122114211211x x y y x y t y x y x -+-+-+-+=+=+----，两次利用基本不等式即可得出结果.【详解】不等式222241(21)(1)x y a y a x +≥--恒成立，可得转化为2224211x y a y x ≤+--，其中11,2x y >>，令()()()()222212112122114211211x x y y x y t y x y x -+-+-+-+=+=+----≥8=≥=，当且仅当22x y ==时取等号，28a ∴≤，解得a -≤∴实数a 的最大值为.故易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方四、解答题17．已知R a ∈，解关于x 的不等式()2330ax a x +++>．【正确答案】答案见解析【分析】分类讨论求解含参数的一元二次不等式作答即可.【详解】当0a =时，不等式为330x +>，解得1x >-；当0a ≠时，不等式化为()310a x x a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，当a<0时，不等式为()310x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，解得31x a -<<-；当0a >时，不等式为()310x x a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，若3a =，不等式为()210x +>，解得1x ≠-；若0<<3a ，解得3x a <-或1x >-；3a >，解得1x <-或3x a>-.综上所述，当a<0时，原不等式的解集是31x x a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭；当0a =时，原不等式的解集是{}|1x x >-；当03a <≤时，原不等式的解集是3|x x a ⎧<-⎨⎩或}1x >-；当3a >时，原不等式的解集是{|1x x <-或3x a ⎫>-⎬⎭．18．如图所示，在ABC 中，D 是边BC 的中点，E 在边AB 上，2,BE EA AD =与CE 交于点O．(1)若BO x AB y AC =+，求,x y 的值；(2)若6AB AC AO EC ⋅=⋅，求AB AC的值．【正确答案】(1)3,41,4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【分析】（1）由,,E O C 三点共线，以及,,A O D 三点共线结合共线定理得出,x y 的值；（2）由11()23n AO m AB AC AB nAC -=+=+得出,m n ，进而得出2213622AO EC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+ ，结合6AB AC AO EC ⋅=⋅ 得出AB AC的值．【详解】（1）()()BO xAB y AC xAB y BC BA xBA yBA yBC x y BA yBC =+=+-=--+=--+因为12,23BD BC BE BA ==，所以3()2BO x y BE yBC =--+ ，因为,,E O C 三点共线，所以33122x y y --+=①又()2BO x y BA yBD =-++，所以()21x y y -++=②由①②可得，3,41,4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）设1()2AO mAD m AB AC ==+，()AO AE EO AE nEC AE n AC AE =+=+=+-=1(1)3n n AE nAC AB nAC --+=+ 所以11,231,2n m m n -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,21,4m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以111(),243AO AD AB AC EC AC AE AB AC ==+=-=-+.22111366)4322AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⎛⎫⋅=⨯+⋅-+=-+⋅+⎪⎝⎭又6AB AC AO EC ⋅=⋅ ，所以2213022AB AC =-+ ，223ABAC= 即3ABAC= 19．已知,42ππα⎛∈⎫- ⎪⎝⎭，且满足26sin sin24αα=+(1)求sin2α的值；(2)若20,,tan tan 602πβββ⎛⎫∈--= ⎪⎝⎭，求αβ+的值．【正确答案】(1)45(2)3π4【分析】（1）由平方关系以及商数关系得出tan 2α=，再由22tan sin22sin cos tan 1ααααα==+求解即可；（2）解方程得出tan 3β=，再由()tan 1αβ+=-以及π,π2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭得出αβ+的值．【详解】（1）当0α=时，sin sin20αα==，不满足26sin sin24αα=+，故0α≠.因为26sin sin24αα=+，所以22sin sin cos 2cos αααα=+.即222sin cos 2cos tan 21sin tan αααααα++==，即2tan tan 20αα--=解得tan 2α=或tan 1α=-（舍）故2222sin cos 2tan 4sin22sin cos sin cos tan 15ααααααααα====++（2）()()2tan tan 6tan 3tan 20ββββ--=-+=，解得tan 3β=或tan 2β=-（舍）.由（1）可知，πtan 2tan14α=>=，则,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，同理可得,42ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即π,π2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()tan tan 5tan 11tan tan 16αβαβαβ++===---因为函数tan y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数，所以3π4αβ+=20．已知函数()2sin sin 2cos ,R 662x f x x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（其中)0ω>(1)求函数()f x 的最大值；(2)若对任意R a ∈，函数()(],,y f x x a a π=∈+与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，且关于x 的方程()12f x =在(]0,π上有两不等实数解()1212,x x x x <，求()12sin x x -的值．【正确答案】(1)1(2)4-【分析】（1）根据两和差的正弦公式，结合降幂公式、辅助角公式、正弦型函数最值性质进行求解即可；（2）根据正弦型函数的性质，得出2ω=，再由对称性以及诱导公式得出()12sin x x -的值.【详解】（1）2ππ()sin()sin()2cos,R 662x f x x x x ωωω=++--∈3131cos cos (cos 1)2222x x x x x ωωωωω=++--+1πcos )12sin()126x x x ωωω=--=--，所以函数()f x 的最大值为1；（2）若对任意R a ∈，函数(),(,π]y f x x a a =∈+与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，则()y f x =的周期为π，又由0ω>，得2ππω=，得2ω=．1()2f x =，即4πsi 23n 6x ⎛⎫⎪⎝⎭=- 函数(]πsin 2,60,y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭与34y =的图象如下图所示由对称性可得，122π3x x +=，1ππ20,63x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭因为14πsi 23n 6x ⎛⎫⎪⎝⎭=- ，所以1πc os 26x ⎛⎫= ⎝⎭=-⎪()1211112ππππππsin sin(2)sin (2)sin (2)cos(2362266x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-=-=--=---=--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21．已知函数()()2ln f x a a x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ．(1)若函数()()()ln 233F x f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦有唯一零点，求实数a 的取值范围；(2)若对任意实数3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，对任意[]12,,41x x m m ∈-，恒有()()12ln2f x f x -≤成立，求正实数a 的取值范围．【正确答案】(1)451,2,32⎛⎤⎧⎫-⎨⎬⎥⎝⎦⎩⎭U(2){12a a ≥-【分析】（1）将函数()()()ln 233F x f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦有唯一零点转化成方程()()222320a x a x -+--=有唯一解的问题，对二次项系数进行分类讨论即可；（2）由复合函数单调性可知，函数()()2ln f x a a x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 为[],41m m -上的减函数，将()()12ln2f x f x -≤恒成立转化成()24420am a m -++≥在3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，讨论对称轴与区间的位置关系，求出其在区间3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，使最小值大于等于0即可求得正实数a 的取值范围.【详解】（1）函数()()2ln ln 233F x a a x a x ⎛⎫=+--+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭有唯一零点，即()22330a a x a x+=-+->①有唯一零点，即()()222320a x a x -+--=有唯一零点，当2a =时，20x -=，解得2x =，符合题意；当2a ≠时，方程为一元二次方程，其()22Δ(23)82(25)a a a =-+-=-当52a =时，Δ0=，方程有两个相等的实数根2x =，符合题意；当52a ≠时，Δ0>，方程有两个不等的实数根12x =，212x a =-；若12x =为①的解，则()2223302a a a +=-⨯+->，解得1a >-；若212x a =-为①的解，则()212330122a a a a a +=-⨯+->--，解得43a >；要使①有唯一实数解，则413a -<≤．综上，实数a 的取值范围为451,2,32⎛⎤⎧⎫-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭U ．（2）函数()2ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中内部函数2y a x =+在[],41x m m ∈-上为减函数，外部函数ln y x =为增函数，由复合函数性质知()2ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为[],41m m -上的减函数，()()max 2ln f x f m a m ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()min 241ln 41f x f m a m ⎛⎫=-=+ ⎪-⎝⎭，不等式()()12ln 2f x f x -≤转化为()()12max ln 2f x f x -≤，即转化为22ln ln ln 241a a m m ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，即()222ln ln 224420224141a a m m am a m a a m m ⎛⎫++ ⎪≤⇒≤⇒-++≥ ⎪ ⎪++--⎝⎭令()()2442g m am a m =-++，3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()min 0g m ≥．二次函数对称轴为411882a m a a+==+，由0a >，开口向上（i ）当407a <≤时，11182a +≥，函数()g m 在3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()()min 14420g m g a a ==-++≥，解得23a ≥，不符合题意，舍去；（ii ）当4475a <<时，3111482a <+<，函数()g m 在311,482a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递减，在11,182a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦上单调递增，()min 11082g m g a ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，即224160a a -+≤，解得1212a -≤+即4125a -≤<；（iii ）当45a ≥时，113824a +≤，函数()g m 在3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min 39344204164g m g a a ⎛⎫==⨯-+⨯+≥ ⎪⎝⎭，解得23a ≥，即45a ≥；综上可知，正实数a 的取值范围{12a a ≥-．关键点点睛：本题第二小问的关键是将“对任意[]12,,41x x m m ∈-，恒有()()12ln2f x f x -≤成立”进行等价转化，只需满足()()12max ln2f x f x -≤，再利用函数()f x 的单调性，即可将问题转化成不等式()24420am a m -++≥在3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立的问题，再讨论二次函数对称轴与区间的位置关系即可求得参数的取值范围.22．已知定义域不为R 的函数()212xxk f x k -=+⋅（k 为常数）为奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()()2π(0),2sin cos20,2g x x x h x x x x λ⎛⎫⎡⎤=>=+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，是否存在实数λ，使得()()g h x f h x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)1k =-(2)存在；12λ<<【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义，代入计算即可得到结果；（2）根据题意，得到函数()h x 的值域，然后根据函数()f x 与()g x 的单调性进行讨论，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得，()()0f x f x -+=，则2201212x xx xk k k k ----+=+⋅+⋅化简得()()()()221210x f x f x k +-=+-=，因为2120x +>，所以210k -=，即1k =±当1k =时，()12211212x x xf x -==-+++，其定义域为R ，不符合题意；当1k =-时，()12211212x x xf x --==---，其定义域为{}0x x ≠，满足题意所以，1k =-（2）因为()2(0)g x x x =>，所以()2sin cos20h x x x λ=+>在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，则必有0x =时，()00h λ=>，当π2x =时，π202h λ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则2λ<，所以02λ<<，()22112sin cos22sin 2sin 2sin 22h x x x x x x λλλλλλλ⎛⎫=+=-++=--++ ⎪⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 0,1∈x ，当102λ<≤时，()2112sin 22h x x λλλλ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，即()[],2h x λλ∈-当122λ<<时，()2112sin 22h x x λλλλ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦单调递增，先增后减，在0x =或π2处取得最小值，且()0h λ=，π22h λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()max 12h x λλ=+，其中()12ϕλλλ=+为对勾函数，在122λ<<上单调递减，2λ<<上单调递增，又()139,22224ϕϕϕ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故()94ϕλ⎤∈⎦综上，()[]0,3h x ∈因为()2112xf x =--在()0,∞+递减，()2g x x =在()0,∞+递增，当[]0,3x ∈时，令()()()k x g x f x =-，则其单调递增，且()()10,20k k <>，则存在()01,2x ∈，使得()00k x =，又()()g h x f h x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦，故()1h x >，所以()min 1h x >当102λ<≤时，()min 1h x λ=<，不符合要求；当122λ<<时，令()01π212h h λλ⎧=>⎪⎨⎛⎫=-> ⎪⎪⎝⎭⎩所以12λ<<，综上，存在()1,2λ∈。
四川高一下学期第二次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知点在第三象限，则角的终边位置在（ ） ()tan ,cos P αααA ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】由所在的象限有，即可判断所在的象限. P tan 0,cos 0αα<<α【详解】因为点在第三象限， ()tan ,cos P αα所以，tan 0,cos 0αα<<由，可得角的终边在第二、四象限，t an 0α<α由，可得角的终边在第二、三象限或轴非正半轴上， cos 0α<αx 所以角终边位置在第二象限， α故选：B.2．平面向量与的夹角为，则=（ ） a b 60 ()2,1,1,a b == a b ⋅A B C ．1 D 【答案】A【分析】由平面数量积的定义求解即可.【详解】因为向量与的夹角为，， a b 60 ()2,11a b == ，=则1cos 6012a b a b ⋅=⋅⋅︒=⨯=故选：A.3．已知（ ） cos α=44cos sin αα-=A ．B ．C ．D ． 354512251225-【答案】A【分析】利用同角三角函数基本关系式先化简再求值.【详解】， cos α=442222cos sin (cos sin )(cos sin )αααααα∴-=+-. 22223cos sin 2cos 1215ααα=-=-=⨯-=故选：A.【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键： (1)角的范围的判断；(2)选择合适的公式进行化简求值．4．已知向量满足则（ ） ,a b5,6,6,a b a b ==⋅=- a b += A ．3 B ．49C ．6D ．7【答案】D【分析】.【详解】. 7a +=== 故选：D5．已知分别为三个内角的对边，且，则是（ ）,,a b c ABC A ,,A B C 2cos 3a Cbc =+ABC A A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形【答案】D【分析】正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，进而得到，2cos sin sin 03A C C +=2cos 3A =-得到，即可求解. ππ2A <<【详解】因为，由正弦定理得，2cos 3a Cbc =+2sin cos sin sin 3A C B C =+又因为，可得， πA C B +=-sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=所以，2cos sin sin 03A C C +=因为，可得，所以，(0,π)C ∈sin 0C >2cos 3A =-又因为，所以，所以为钝角三角形. (0,π)A ∈ππ2A <<ABC A 故选：D.6．在直角梯形中，，，，为的中点，则ABCD AB CD ∥AD AB ⊥4522B AB CD ︒∠===，M BCMA MD ⋅= A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】画出图形，过点作，垂足为，易知是等腰直角三角形，是正方C CF AB ⊥F CFB A AFCD 形，结合向量的线性运算可知，展开运算即可得出答案.1122MA MD CB BA CB CD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【详解】画出图形，过点作，垂足为，易知是等腰直角三角形，是正方C CF AB ⊥F CFB A AFCD形，BC=根据题意得21111122422MA MD CB BA CB CD CB CB CD CB BA BA CD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+⋅-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2111111cos1352cos13521cos0122 42222︒︒︒=-⨯+⨯-⨯+⨯⨯=--++=故选:B.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积，考查了学生的计算能力，属于基础题.7．已知是所在平面内一点，且点满足O ABCA O则点一定的（）AB AC BA BC CA CBOA OB OCAB AC BA BC CA CB⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⋅-=⋅-=⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O ABCAA．外心B．重心C．内心D．垂心【答案】C【分析】表示与的角平分线垂直的向量，因为与垂直，所以AB ACAB AC-BAC∠OAAB ACAB AC-OA平行于的角平分线，即点位于的角平分线上，同理可得，点位于的角平BAC∠O BAC∠O ABC∠分线上以及的角平分线上，即点是的角平分线的交点，因此点是的内心.ACB∠O ABCA O ABCA【详解】因为，所以，AB ACOAAB AC⎛⎫⎪⋅-=⎪⎝⎭AB ACOA OAAB AC⋅=⋅即，cos()cos()AB ACOA OAB OA OACAB ACππ⋅-∠=⋅-∠即可得，即是的角平分线；OAB OAC∠=∠OA BAC∠同理可得是的角平分线，是的角平分线,OB ABC∠OC ACB∠所以点为三条角平分线的交点，即点是的内心.O ABCA O ABCA故选：C8．已知函数（其中）在区间上单调，且()()2sin f x x ωϕ=+π0,2ωϕ><ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当时，取得最大值，则不等式的解集为（ ）ππ2π263f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭π12x =()f x ()1f x >A ． B ．πππ,π(Z)124k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭πππ,π(Z)124k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．D ．πππ,π(Z)122k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭πππ,π(Z)122k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】先根据三角函数的性质确定函数解析式，然后解正弦不等式即可.【详解】因为函数在区间上单调，且， ()()2sin f x x ωϕ=+ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2π23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以和均不是的极值点，其极值应该在处取得， π2x =2π3x =()f x π2π7π23212x +==又，所以也不是的极值点，ππ(()62f f =-π6x =()f x 又时，取得最大值，所以为另一个相邻的极值点， π12x =()f x π12x =()f x 故函数的最小正周期，所以， ()f x 7ππ2(π1212T =⨯-=2π2T ω==又时，取得最大值，所以，即， π12x =()f x ππ22π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈π2π,Z 3k k ϕ=+∈因为，所以，，可得，ππ22ϕ-<<0k =π3ϕ=()π2sin(23f x x =+由，得，()1f x >π1sin(232x +>所以，解得， ππ5π2π22π,Z 636k x k k +<+<+∈()ππππZ 124k x k k -+<<+∈所以不等式的解集为.()1f x >πππ,π(Z)124k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭故选：A二、多选题9．在下列各组向量中，能作为平面的基底的是（ ）A ．B ． ()()120,0,1,2e e →→==()()121,2,5,2e e →→=-=-C ． D ．()()123,5,6,10e e →→==()()122,3,2,3e e →→=-=【答案】BD【分析】判断两个向量是否共线即可，不共线的两个向量才能作为基底.【详解】对于A ，因为，所以，故两向量不能作为基底； 02100⨯-⨯=12//e e →→对于B ，因为，所以两向量不共线，故两向量能作为基底； ()125280-⨯--⨯=-≠对于C ，因为，所以，故两向量不能作为基底；310650⨯-⨯=12//e e →→对于D ，因为，所以两向量不共线，故两向量能作为基底. ()2323120⨯-⨯-=≠故选：BD.10．将函数的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数，则的()sin 22f x x x =+()0ϕϕ>ϕ值可以为（ ） A ．B ．C ．D ．π12π67π125π6【答案】AC【分析】化简函数的解析式，求出变换后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出()f x 关于的等式，即可求得值.ϕϕ【详解】因为，()πsin 222sin 23f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭将函数的图象向左平移个单位长度，()f x ()0ϕϕ>得到函数的图象，()ππ2sin 22sin 2233y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为函数为偶函数，则，π2sin 223y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()ππ2πZ 32k k ϕ+=+∈解得， ()ππZ 122k k ϕ=+∈，则当时，，时，.0ϕ> 0k =π12ϕ=1k =7π12ϕ=故选：AC.11．已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） ABC A A B C ､､a b c ､､A ．若,则A B >sin sin A B >B ．若，则为直角三角形 222c a b >+ABC A C ．若,则为直角三角形 222sin sin sin A B C +=ABC AD ．若，则满足条件的有两个 60,3,C c b === ABC A 【答案】AC【分析】根据正弦定理、余弦定理知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A 选项，若，则，由正弦定理可得，A B >a b >2sin 2sin R A R B >所以，，故A 选项正确；sin sin A B >对于B 选项，由可得：，则，222c a b >+2220a b c +-<222cos 02a b c C ab+-=<得到为钝角，故B 选项不正确；C ∠对于C 选项，若，由正弦定理可得， 222sin sin sin A B C +=222+=a b c 所以为直角三角形，故C 选项正确；.ABC A 对于D 选项，由正弦定理可得sin sin c b C B==故，由可得或，1sin 2B =()0,πB ∈π6B =5π6B =因为，则，故，故D 选项不正确. c b >C B >π6B =故选：AC. 12．已知函数，则（ ）sin cos ()2sin 2x xf x x+=+A ．既是周期函数又是奇函数 ()f x B ．的图像关于点对称()y f x =π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．的图像关于直线对称 ()y f x =π4x =D ．的最大值为 ()f x 12【答案】BCD【分析】对于A ，找反例即可判断；对于B ，验证即可；对于ππ(()44f f -≠-π()2f x f x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭C ，验证即可；对于D ，令，则原函数可化为，分π()2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos t x x =+21t y t =+结合基本不等式即可判断. 0,0t t =≠【详解】因为函数，sin cos sin cos ()2sin 222sin cos x x x xf x x x x++==++对于A ，，ππsin()cos()π44()0ππ422sin()cos()44f -+--===+--，则，ππsincos π44(ππ422sin cos 44f +===+ππ()(44f f -≠-所以不是奇函数， A 错误．()f x对于B ，因，ππsin cos πsin cos 22()ππ222sin cos 22sin cos 22x x x x f x f x x xx x ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪--⎛⎫⎝⎭⎝⎭--===- ⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以的图像关于点对称，B 正确．()y f x =π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对于C ，因为，ππsin cos πsin cos 22()ππ222sin cos 22sin cos 22x x x x f x f x x xx x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=== ⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以的图像关于直线对称．C 正确．()y f x =π4x =对于D ，令，则，πsin cos [4t x x x ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭212sin cos t x x =+当时，；当或时，， 0=t 0y =[t ∈(211112t y t t t ==≤=++当且仅当时，等号成立，此时函数取得最大值，D 正确． 1t =12故选：BCD三、填空题13．若非零向量与的夹角为，且，设为与同向的单位向量，则在方向上的投影a b 60 1a = e b a b 向量为__________. 【答案】12e【分析】根据投影向量及求出答案. b e b=【详解】，又为与同向的单位向量，故， 1cos 602a b a b ⋅=︒= e b b e b= 所以. ()212a b b a b b e b b b⋅⋅=⋅=故答案为：12e14．已知扇形的面积为，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为____________cm ． 210cm 【答案】【分析】设扇形的弧长为，半径为，由已知可得出，求解即可得出答案.l R 2210l RR =⎧⎨=⎩【详解】设扇形的弧长为，半径为， l R 由已知可得，圆心角，面积，2α=10S =所以有，即，解得212l R S R αα=⎧⎪⎨=⎪⎩2210l R R =⎧⎨=⎩R l ⎧=⎪⎨=⎪⎩故答案为：.15．已知是平面内两个夹角为的单位向量，若，且与的夹角为21,e e 120︒12122,a e e b e ke =-=+a b 锐角，则实数的取值范围是_______. k 【答案】()4,22,5⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭ 【分析】根据向量夹角为锐角得到，再排除的情况，计算得到答案.()011222a b k k ⋅=--->//a b r r 【详解】因为与的夹角为锐角， a b所以， cos ,0a b a b a b ⋅=⋅> 又因为，12111cos1202e e ⋅=⨯⨯︒=- 则，()()()()2122121221222201212a b e e e ke e k e e e k k k +⋅=-⋅+=---⋅-=->解得， 45k <当时，，即，，解得. //a b r r a b λ= ()1212122e e e ke e k e λλλ+==-+ =12k λλ⎧⎨-=⎩=12k λ⎧⎨=-⎩综上所述：且 45k <2k ≠-故答案为：()4,22,5⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭ 16．如图，在中，，，直线交于点，若则ABC A 12BM BC = NC AC λ=AM BN Q 57BQ BN = λ=_________ .【答案】/0.635【分析】由三点共线可得存在实数使得，再由三点共线可,,A M Q μ()1BQ BM BA μμ+-=u u u r u u u r u u r ,,A N C解得，利用向量的线性运算化简可得，即.47μ=35N A C C =u u u r u u u r 35λ=【详解】由题可知，三点共线，由共线定理可知，,,A M Q 存在实数使得,μ()1BQ BM BA μμ+-=u u u r u u u r u u r 又，所以，,5712B B M BC Q BN ==u u u r u u u r u u u r u u u r ()57112BC BN BA μμ=+-u u ur u u u r u u r 又三点共线，所以，解得，,,A N C 57112μμ=+-47μ=即可得，所以，2355B BC N BA =+u u u r u u u r u u r ()()2355B BA A AN A BA C +=++u u r u u u r u ur u u u r u u r 所以，即，可得，25AN AC =25NC AC AC -=u u u r u u u r u u u r 35N A C C =u u u r u u u r 又，即可得.NC AC λ= 35λ=故答案为：.35四、解答题17．已知顶点在原点，以非负半轴为始边的角终边经过点．x α34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭(1)求；sin 2cos 2cos sin αααα-+(2)求的值．2sin sin 2αα+【答案】(1)15-(2) 85【分析】（1）分子分母同除，即可变成的分式，代入求值即可；cos αtan α（2）利用二倍角公式变形，1的代换变成分式，分子分母同除，即可变成的分式，代入cos αtan α求值即可.【详解】（1）因为角终边经过点，所以， α34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭4tan 3α=所以；sin -2cos tan 212cos sin 2tan 5αααααα-==-++（2）.2222222sin 2sin cos tan 2tan 8sin sin2sin 2sin cos sin cos tan 15ααααααααααααα+++=+===++18．已知向量，，，（）(3,1)a =-(1,2)b =- m a kb =+ R k ∈(1)若向量与垂直，求实数的值m ak(2)当为何值时，向量与平行.k ma b + 【答案】(1)2 (2)1【分析】根据向量垂直的坐标公式可得； 根据向量平行的坐标公式可得.【详解】（1）由已知可得，(3,12)m k k =-+-因为向量与垂直，所以，m a3(3)1(12)0k k -⨯-++⨯-=解得；2k =（2），因为与平行，(2,1)a b +=--m a b + 所以，解得，2(12)1(3)k k -⨯-=-⨯-+1k =所以当时，向量与平行 1k =ma b + 19．已知，，.π0π2αβ<<<<1cos 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()4sin 5αβ+=(1)求的值；sin 2β(2)求的值.cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1)79-【分析】（1）利用倍角公式和诱导公式计算； （2）利用两角和与差的余弦公式计算，注意角的范围.【详解】（1）.27sin 2cos 22cos 1449ππβββ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）因为，所以，π0π2αβ<<<<322ππαβ<+<又因为，所以，()4sin 05αβ+=>2παβπ<+<所以；()3cos 5αβ+==-因为，所以，2πβπ<<3444πππβ<-<所以sin 4πβ⎛⎫-==⎪⎝⎭所以 ()cos cos 44ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()cos cos sin sin 44ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭314535=-⨯+20．已知向量，函数. ()1sin ,1,,cos22m x n x x ⎫==⎪⎭()f x m n =⋅ (1)求函数的最大值及相应自变量的取值集合；()f x (2)在中，角的对边分别为，若，求面积的最大值. ABC A ,,A B C ,,a b c ()1,22f A a ==ABC A 【答案】(1)，此时自变量的取值集合为 ()max 1f x =ππ,6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z【分析】（1）根据题意，由向量数量积的坐标运算即可得到解析式，再由辅助角公式化简，()f x 由正弦型函数的最值即可得到结果；（2）根据题意，结合（1）中解析式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可得到结果. ()f x π3A =【详解】（1）由题知，， ()1cos cos 22f x m n x x x =⋅=+ 1πcos 2sin 226x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭当，即时，最大，且最大值为，即∴ππ22π,62x k k +=+∈Z ππ,6x k k =+∈Z ()f x ()f x 1()max 1f x =，此时自变量的取值集合为. ππ,6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z （2）由（1）知，，则， ()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()π1sin 262f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭因为在中， ，所以， ABC A 0πA <<ππ132π666A <+<所以，所以， π5π266A +=π3A =又由余弦定理及，得：，2a =π3A =2222cos a b c bc A =+-即， 22222cos 3πb c bc =+-所以，即（当且仅当时等号成立）.22424b c bc bc +-=≥-4bc ≤b c =所以. 11sin 22ABC S bc A bc ==≤A 21．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径：一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为，在甲出发后，乙从A 乘缆车到B ，再从B 匀速步行到50m /min 2min C ．假设缆车匀速直线运行的速度为，山路AC 长为3150m ，经测量，130m /min . 123cos ,cos 135A C ==(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？【答案】(1)2600m (2)35min 37【分析】1）在△ABC 中，由cosA 和cosC 可得sinA 和sinC ，从而得sinB ，由正弦定理，可得AB ； sin sin AB AC C B =（2）假设乙出发分钟后，通过余弦定理算出此时甲乙之间的距离，结合二次函数即可得最值.x 【详解】（1）法一：由题意得： 54sin ,sin 135A C ==所以 ()5312463sin sin sin cos cos sin 13513565B AC A c A C =+=+=⨯+⨯=由正弦定理得: 3150,463sin sin 565AB AC AB C B==即所以. 2600m AB =法二：， 12cos 13A =3cos 5C =∴， 5tan 12A =4tan 3C =如图作于点D,BD CA ⊥设，则，，20BD k =15DC k =48AD k =52AB k =由，解得：633150m AC k ==50k =则522600m AB k ==（2）设乙出发 （）后到达点M ，此时甲到达N 点， min x 020x ≤≤如图所示，则，130AM xm =()502AN x m =+由余弦定理得：22222cos 74001400010000MN AM AN AM AN A x x =+-⋅=-+所以当时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短. 35min 37x =22．已知O 为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特()sin cos f x a x b x =+(,)OM a b = ()f x 征向量，同时称函数为向量的相伴函数. ()f x OM(1)设函数，试求的相伴特征向量； ()73sin πsin π62g x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x OM (2)若向量的相伴函数为，且在区间上单调递增，求实数的取值范ON =u u u r ()f x ()f x [,]m m -m 围；(3)已知，，为的相伴特征向量，，(2,3)A -(2,6)B (OT =u u u r π()sin 6h x m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π()23x x h ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭请问在的图象上是否存在一点P ，使得.若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明()y x ϕ=AP BP ⊥ 理由.【答案】(1)12OM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭(2) π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦(3)存在，(0,2)P【分析】（1）化简得到，得到相伴特征向量. ()1cos 2g x x x =+（2）确定，计算函数的单调区间，得到，解得答案. π()2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]5ππ,,66m m ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦（3）确定得到，再计算，，根据向量垂直关2m =-n π()2si 6h x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()2cos 2x x ϕ=,2cos 2x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭系，结合三角函数有界性得到答案.【详解】（1）， ()11sin cos cos cos cos 62π2g x x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+=+ ⎪⎝⎭的相伴特征向量为()gx 12OM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭（2）向量的相伴函数为，故，ON =u u u r ()fx ()sin 2i πs n 3f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭取，得， πππ2π2π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈5ππ2π2π,Z 66k x k k -+≤≤+∈所以的单调递增区间为， ()f x 5ππ2π,2π,Z 66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦故，且，即，且，解得 []5ππ,,66m m ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦m m >-5π6π6m m ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩0m >0π6m <≤所以实数的取值范围为. m 06π⎛⎤ ⎥⎝⎦，（3），相伴特征向量为， 1()sin sin cos 62πh x m x x m x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭(OT =u u u r 故，则， 2m =-n π()2si 6h x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ()2sin 2sin 2cos 232362π2ππ2πx x x x x h ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭设，， ,2cos 2x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,3),(2,6)A B -故，， 2,2cos 32A x P x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 2,2cos 62B x P x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故， AP BP ⊥ (2)(2)2cos 32cos 6022AP B x P x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即，， 2244cos 18cos 18022x x x -+-+=229252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，， 22cos 22x -≤≤13952cos 2222x -≤-≤-故，又， 225191692cos 4224x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭2252544x -≤当且仅当时，和同时等于，等式成立， 0x =2192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2254x -254故在图像上存在点，使得. ()y h x =(0,2)P AP BP ⊥。
人教A版高中必修二试题高一月考试卷.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高一数学月考试卷满分：150分 时量：120分钟 姓名：__________命题人：易 艳一、选择题（每小题5分，共60分）1、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===，则)(B C A U ⋂=（ ） A ．{}2 B ．{}2,3 C ．{}3 D ．{}1,32、 已知函数xx x f 1+=)(，则函数()y f x =的大致图像为（ ）3、函数f （x ）＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间（ ） A ．（5，6） B ．（3，4） C ．（2，3） D ．（1，2）4、若6.03=a ，2.0log 3=b ，36.0=c ，则（ ）．A ．b c a >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >> 5、用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形6、下列函数中，与函数y x =相同的函数是 （ ）A ．xx y 2= B ．2y x =C ．ln x y e =D ．xy 22log =7、点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为（ ） A ． 14π B ．7π C ．72πD ．7143π 8、函数y ＝x 2－4x ＋1，x ∈[1,5]的值域是( )A ．[-2,6]B ．(－∞,-3 ]C ．[－3，＋∞)D ．[－3,6]9、若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．πB ．π2C ．π3D ．π410、已知m ，n 是两条不重合的直线，γβα、、是三个两两不重合的平面，下列结论正确的是（ ）（1）若m//n ，n//β，且βααα//,，则⊂⊂n m （2）若,//,n m n =βα 则βα//,//m m （3）若βαγβγα//,//,//则（4）若n n //m ,,m ,//则且==βγαγβαA ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）11、异面直线a ，b 所成的角60°，直线a ⊥c ，则直线b 与c 所成的角的范围为( )．A ．[30°，90°]B ．[60°，90°]C ．[30°，60°]D ．[30°，120°]12、对于函数()f x ，若在其定义域内存在两个实数(),a b a b <，当[],x a b ∈时，()f x 的值域也是[],a b ，则称函数()f x 为“科比函数”．若函数2)(++=x k x f 是“科比函数”，则实数k 的取值范围（ ）A ．]2,49(-- B ．]0,49(- C ．]0,2[- D ．),2[+∞-二、填空题（每小题5分，共20分）13、已知函数2()21x f x a =-+是奇函数，则实数a 的值为______________． 14、方程0=27+•12-39xx的解集是 .15、一平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面四边形的面积等于 ．16、给出下列四个命题：①函数x y a =（0a >且1a ≠）与函数log x a y a =（0a >且1a ≠）的定义域相同； ②函数3y x =与3x y =的值域相同；③函数11221x y =+-与2(12)2x xy x +=⋅都是奇函数； ④函数2(1)y x =-与12x y -=在区间[0,)+∞上都是增函数，其中正确命题的序号是 （把你认为正确的命题序号都填上）．三、解答题（共70分）17、（满分10分）已知集合}51|{≥-≤=x x x A 或，集合{}22|+≤≤=a x a x B ． （1）若1-=a ，求B A 和B A ；（2）若B B A = ，求实数a 的取值范围．18、（满分10分）已知()f x 是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足条件以下条件：()()()f xy f x f y =+,(2)1f =.（1）求证：(8)3f =.(2)求不等式()3(2)f x f x >+-的解集.19、（满分12分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=)2(2)21()1(2)(2x x x x x x x f 。
河北省邢台市信都区邢台市第一中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题(含答案)
邢台一中2024-2025学年第一学期第二次月考高一年级数学试题考试范围：必修一第一章、第二章、第三章说明：1．本试卷共4页，满分150分．2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“”的否定是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．对于实数，“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数的定义域为，则）A ．B ．C ．D ．5．若“，使得不等式成立”是假命题，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．6．若函数的部分图象如图所示，则（ ）2,220x x x ∃∈++≤R 2,220x x x ∀∈++>R 2,220x x x ∀∈++≤R 2,220x x x ∃∈++>R 2,220x x x ∃∈++≥R {}{}*30,,40,A x x x B x x x =-≤∈=-≤∈N N A C B ⊆⊆C x 202xx+≥-2x ≤()y f x =[]1,4-y =31,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦(]1,935,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦x ∃∈R 23208kx kx ++≤k 03k ≤<03k <<30k -<≤30k -<<()22f x ax bx c=++()1f =A ．B ．C ．D ．7．已知函数，若，对均有成立，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（ ）A．B ．1C ．2D ．4二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有（ ）A ．函数在上是单调减函数B ．函数与函数C ．已知函数，则D ．函数的单调增区间为10．二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表： (012)……22…23-112-16-13-()221f x x x =-+[)2,x ∃∈+∞[]1,1a ∀∈-()22f x m am <-+m ()3,1-1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,3-{}max ,,x y z ,,x y z ,x y 2221max ,,4x y x y ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭12()11f x x =-()(),11,-∞+∞ ()f t t =()g x =2211f x x x x⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭()13f =y =[)1,+∞2(,,y ax bx c a b c =++0)a ≠x y x1-ymn且当时，对应的函数值．下列说法正确的有（ ）A ．B ．C ．函数的对称轴为直线D ．关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间11．若函数对定义域中的每一个都存在唯一的，使成立，则称为“影子函数”，以下说法正确的有（ ）A ．“影子函数”可以是奇函数B ．“影子函数”的值域可以是R C ．函数是“影子函数”D ．若都是“影子函数”，且定义域相同，则是“影子函数”第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．当时，的最大值为______．13．已知幂函数图象经过点，若，则实数的取值范围是______；若，则______14．已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）32x =0y <0abc >1009mn >12x =x 20ax bx c ++=12-()y f x =D 1x 2x D ∈()()121f x f x ⋅=()f x ()f x ()f x ()2(0)f x x x =>()(),y f x y g x ==()()y f x g x =⋅54x <14345y x x =-+-()f x x α=()4,2()()132f a f a +>-a 120x x <<()()122f x f x +122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭()(),f x g x R ()f x ()g x ()()22f x g x ax x +=++1212x x <<<()()1225g x g x x ->--a设集合（1）是否存在实数，使是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；（2）若，求实数的取值范围．16．（15分）已知函数，对于任意，有．（1）求的解析式；（2）若函数在区间上的最小值为，求的值；（3）若成立，求的取值范围．17．（15分）丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”．该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元．若这种水果的市场售价为10元/千克，且水果销路畅通．记该水果树的单株年利润为（单位：元）．（1）求函数的解析式；（2）求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？18．（17分）已知函数．（1）用单调性的定义证明函数在上为增函数；（2）是否存在实数，使得当的定义域为时，函数的值域为．若存在．求出的取值范围；若不存在说明理由．19．（17分）定义：对于定义域为的函数，若，有，则称为的不动点．已知函数．（1）当时，求函数的不动点；{}{}{}2212,40,A x a x a B x x x C y y x B=-≤≤+=-≤==∈a x B ∈x A ∈a A C C = a ()25f x ax bx =+-x ∈R ()()()22,27f x f x f -=+-=()f x ()f x [],3t t +8-t ()()()22,,(1)10x x m f x ∃∈+∞-≥+m ()x ϕx ()232,031645,36x x x x x ϕ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩10x ()f x ()f x ()221x f x x-=()f x ()0,+∞λ()f x 11,(0,0)m n m n ⎡⎤>>⎢⎥⎣⎦()f x []2,2m n λλ--λD ()f x 0x D ∃∈()00f x x =0x ()f x ()()218,0f x ax b x b a =+-+-≠1,0a b ==()f x（2）若函数有两个不相等的不动点，求的取值范围；（3）设，若有两个不动点为，且，求实数的最小值．邢台一中2024-2025学年第一学期第二次月考答案1．A 2．B ． 3．A 4．B 5．A 6．D 7．B 8．C 9．BC 10．BCD 11．AC12．答案：0 13． 14．15．解：（1）假定存在实数，使足的充分不必要条件，则，则或，解得或，因此，所以存在实数，使是的充分不必要条件，．（2）当时，，则，由，得，当，即时，，满足，符合题意，则；当，由，得，解得，因此，所以实数的取值范围是．16．解：（1）因为关于对称，即，又，则可解得，所以；（2）当，即时，，解得或（舍去）；()221y x a x =-++12x x 、1221x x x x +()1,3a ∈()f x 12,x x ()121ax f x a =-b 23,32⎛⎤⎝⎦<5,4a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭a x B ∈x A ∈B A Ü20124a a -≤⎧⎨+>⎩20124a a -<⎧⎨+≥⎩2a ≥2a >2a ≥a x B ∈x A ∈2a ≥04x ≤≤15≤≤{}15C x x =≤≤A C C = A C ⊆212a a ->+13a <A =∅A C ⊆13a <212a a -≤+A C ⊆12125a a ≤-≤+≤113a ≤≤1a ≤a 1a ≤()()()22,f x f x f x -=+2x =22ba-=()24257f a b -=--=1,4a b ==-()245f x x x =--32t +≤1t ≤-()()2min ()3(3)4358f x f t t t =+=+-+-=-2t =-0t =当，即时．，不符合题意；当时，，解得（舍去）或，综上，或．（3）由可得，因，依题意，，使成立．而，不妨设，因，则，设，因，则，当且仅当时等号成立，即当时，，故的最大值为2，依题意，，即的取值范围为．17．解：（1）当．时，，当时，，故；（2）当时，开口向上，其对称轴为，所以其最大值为，当当且仅当，即时，等结成立，综上，施肥量为3kg 时，单株年利润最大为380元．18．【详解】（1），设，且，则，因为，所以，所以，即，所以函数在上为增函数．23t t <<+12t -<<()man ()29f x f ==-2t ≥()2min ()458f x f t t t ==--=-1t =3t =2t =-3t =()()2(1)10x m f x -≥+()22(1)45x m x x -≥-+2245(2)10x x x -+=-+>()2,x ∃∈+∞22(1)45x m x x -≤-+22222(1)21241454545x x x x x x x x x x --+-==+-+-+-+2t x =-2x >220,451t x x t >-+=+()2221111t g t t t t=+=+++0t >12t t +≥1t =3x =max ()2g t =22(1)45x x x --+2m ≤m (],2-∞03x ≤≤()()223210101010320f x x x x x =+⨯-=-+36x <≤()1616045101045010f x x x x x ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭()21010320,0316045010,36x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪⎩03x ≤≤()21010320f x x x =-+12x =()23103103320380f =⨯-⨯+=36x <≤16010x x=4x =()222111x f x x x -==-()12,0,x x ∀∈+∞12x x <()()()()22121212122222222212211212111111x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+⎛⎫--=--=== ⎪⎝⎭120x x <<(221212120,0,0x x x x x x -+>()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x ()0,+∞（2）由（1）可知，在上单调递增，呂存在使得的值域为，则，即，因为，所以存在两个不相等的正根，所以，解得，所以存在使得的定义域为时，值域为．19．【解析】（1）当时，，令，即，解得或，所以的不动点为或4．（2）依题意，有两个不相等的实数根，即方程有两个不相等的实数根，所以，解得，或，且，所以，因为函数对称轴为，当时，随的增大而减小，若，则；当吋，随的增大而增大，若，则；故，所以的取值范围为．（3）令，即，则，当时，由韦达定理得，由题意得，故，于是得，则，令，则，所以，()f x 11,m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦λ()f x []2,2m n λλ--22112112f m mm f n n n λλ⎧⎛⎫=-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=- ⎪⎪⎝⎭⎩221010m m n n λλ⎧-+=⎨-+=⎩0,0m n >>210x x λ-+=21212Δ40100x x x x λλ⎧=->⎪=>⎨⎪+=>⎩2λ>()2,λ∈+∞()f x 11,m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]2,2m n λλ--1,0a b ==()28f x x x =--()f x x =28x x x --=2x =-4x =()f x 2-()221x a x x -++=12x x 、()2310x a x -++=12x x 、22Δ(3)4650a a a =+-=++>5a <-1a >-12123,1x x a x x +=+=()22221212121221122(3)2x x x x x x x x a x x x x ++==+-=+-2(3)2y x =+-3x =-3x <-y x 5x <-2y >3x >-y x 1x >-2y >()2(3)22,a +-∈+∞1221x x x x +()2,+∞()f x x =()218ax b x b x +-+-=()2280,0ax b x b a +-+-=≠()1,3a ∈128b x x a -=()22f x x =()12121ax x x f x a ==-81b a a a -=-281a b a =+-1t a =-02,1t a t <<=+2(1)18101012t b t t t +=+=++≥+=当且仅当，即时取等号，所以实数的最小值为12．1t t=1,2t a ==b。
高一数学(必修2)第一次月考试卷
厦门华兴（实验）学校2013～2014学年（下）第一次月考高一数学科满分：100分；考试时间：90分钟出卷：_朱晓华_老师审题：童敦应_老师姓名____________ 班级__________ 考号__________友情提示：请把所有的答案填在答题卷上！请不要错位答题！一、选择题（5*10=50分）１．下列命题中正确的是（）Ａ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱Ｂ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱Ｃ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥Ｄ．棱台各侧棱的延长线交于一点2、下列几何体是棱柱的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个3．下列说法错误的是（）Ａ．多面体至少有四个面Ｂ．九棱柱有９条侧棱，９个侧面，侧面为平行四边形Ｃ．长方体、正方体都是棱柱Ｄ．三棱柱的侧面为三角形4、下列几个命题中，①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台．②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱．其中正确的有（）个．Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４5、下列命题中正确的是（）Ａ．以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥Ｂ．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台Ｃ．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面Ｄ．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径6．下面几何体中，过轴的截面一定是圆面的是（）Ａ．圆柱Ｂ．圆锥Ｃ．球Ｄ．圆台7、如下图,右边哪一个长方体是由左边的平面图形围成的()8、利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；八年数学试卷第1 页(共 4 页) 八年数学试卷第 2 页(共 4 页)③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的是（）A、①②B、①C、③④D、①②③④9、下列命题正确的是（）A. 经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面10、下列命题正确的个数是( )(1)若直线l上有无数个点不在α内，则l∥α(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一直线平行(3如果)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若一直线l和平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题(1*25=25分)11、不共面的四点可以确定______个平面，共点的三条直线可以确定_______个或_______个平面。
高中数学必修二立体几何测试
西安市第一中学高一年级第二次月考数学试题（立体几何初步）班级 姓名 考号一、选择题（共12个小题，每小题4分，共计48分）1．线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ） A 、ABα B 、AB α⊄C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对 2．下列说法正确的是（ ）A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3. 垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 4. 正方体////D C B A ABCD -中，下列几种说法正确的是（ ）A 、AD C A //⊥ B 、AB C D //⊥C 、/AC 与DC 成45°角D 、//C A 与C B /成60°角5. 若直线l ∥平面α，直线a α，则直线l 与直线a 的位置关系是（ ） A 、直线l ∥直线a B 、直线l 与直线a 异面 C 、直线l 与直线a 相交 D 、直线l 与直线a 没有公共点6. 下列命题中，①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两个直线平行;④垂直于同一平面的两个平面平行。
其中正确的个数有（ ） A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、47. 在空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF 、GH 能相交于P ，那么（ ）A 、点P 不在直线AC 上B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面ABC 内D 、点P 必在平面ABC 外7题图 9题图8. 已知正方体外接球的体积是π332，那么正方体的棱长等于（ ） A 、22 B 、332 C 、324 D 、334 9. 正方体////D C B A ABCD -中，E 、F 、G 、H 分别为/AA 、AB 、/BB 、//C B 的中点，则异面 直线EF 与GH 所成的角等于（ ）A 、45°B 、60°C 、90°D 、120°10. a 、b 、c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：① 若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ； ②若b M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b.其中正确命题的个数有（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 11. 已知m 、n 为直线，α、β为平面，有以下命题：①n n m m ⇒⎩⎨⎧⊥α⊥∥α； ②n n m ⇒⎩⎨⎧β⊥β⊥∥m ；③α⇒⎩⎨⎧β⊥α⊥m m ∥β； ④⇒⎪⎩⎪⎨⎧βαβ⊆α⊆平行n m m ∥n ； 其中正确命题的个数有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 12. 如图直三棱柱111C B A ABC -的体积为V ，点P 、Q 分 别在侧棱1AA 和1CC 上，并且Q C AP 1=， 则四棱锥B-APQC 的体积为（ ） A 、2V B 、3VC 、4V D 、5V 二、填空题（4个小题，每小题4分，共计16分）13. 正方体////D C B A ABCD -中，平面//D AB 和平面D BC /的位置关系为14.正方体的内切球和外接球的半径之比为15.一几何体的三视图如图所示，俯视图是边长为2的正方形，主视图和左视图是直角边长为2的等腰直角三角形， 则此几何体的体积为16.在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，当底面四边形ABCD 满足条件 时，有111D B C A ⊥.(注：填上你认为正确的的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形。
安徽高一下学期2月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}23A x x =-≤≤{}0B x x =>A B ⋃=A ． B ． C ． D ．[]2,3-[]0,3()0,∞+[)2,-+∞【答案】D【分析】利用并集的定义可求得集合.A B ⋃【详解】因为集合，，因此，. {}23A x x =-≤≤{}0B x x =>[)2,A B ⋃=-+∞故选：D. 2．（ ） 4πsin 3=A ．B ．C D ．1212-【答案】D【分析】利用诱导公式直接求解. 【详解】由诱导公式：4πππsinsin πsin 333⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭故选：D3．下列函数中，值域是的是（ ） (0,)+∞A ． B ．C ．D ．2y x =1y x=2x y =-lg(1)(0)y x x =+>【答案】D【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】对于A ：的值域为； 2y x =[)0,∞+对于B ：的值域为； 1y x=(,0)(0,)-∞+∞ 对于C ：的值域为；2x y =-(),0∞-对于D ：，，，0x >11x ∴+>()lg 10x ∴+>的值域为； ()lg 1y x ∴=+()0,∞+故选：D4．若的解集是，则等于（ ）()210x a x b -++<()5,2-a b +A ．-14 B ．-6 C ．6 D ．14【答案】A【分析】由一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求参数a 、b ，即可得.a b +【详解】∵的解集为，()210x a x b -++<()5,2-∴-5和2为方程的两根，()210x a x b -++=∴有，解得，52152a b -+=+⎧⎨-⨯=⎩410a b =-⎧⎨=-⎩∴. 14a b +=-故选：A.5．函数的最小正周期是（ ） 3sin24cos25=++y x x A ． B ．C ．D ．2πππ2π5【答案】B【分析】利用辅助角公式可得，，后由周期计算公式可得答案. ()525si n y x φ=++4tan 3ϕ=【详解】，则函数的最小正周期为. ()43sin24cos255sin 25tan 3y x x x ϕϕ=++=++=，2ππ2=故选：B6．已知，，，则（ ） 3log 0.3a =0.33b =0.30.3c =A ． B ．C ．D ．a b c <<a c b <<c<a<b b<c<a 【答案】B【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“中间数”比较大小即可. 【详解】，，， 33log 0.3log 10a =<=0.30331b =>=0.3000.30.31c <=<=所以. a c b <<故选：B7．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物31.2mg /cm 的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该20%30.2mg /cm 工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为参考数据：，(lg 20.3≈lg 30.477)≈（ ） A ． B ．C ．D ．891011【答案】A【分析】根据题意可知过滤次数与污染物的含量关系为，在根据题意列出不等式解1.2(10.2)n y =-出即可．【详解】过滤第一次污染物的含量减少，则为； 20% 1.2(10.2)-过滤第两次污染物的含量减少，则为； 20%21.2(10.2)-过滤第三次污染物的含量减少，则为；20%31.2(10.2)-过滤第n 次污染物的含量减少，则为；20% 1.2(10.2)-n 要求废气中该污染物的含量不能超过，则，即，30.2mg /cm 1.2(10.2)0.2-≤n 5(64≥n两边取以10为底的对数可得，5lg(lg 64≥n即， 52lg()lg 2lg 38⨯≥+n 所以，lg 2lg 313lg 2n +≥-因为， lg 20.3,lg 30.477≈≈所以，lg 2lg 30.30.4777.7713lg 2130.3++≈=--⨯所以，又，所以， 7.77n ≥*n ∈N min 8n =故排放前需要过滤的次数至少为次． 8故选：A ．8．已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范21,2()6,2x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩()0f x a -=围为（ ） A ． B ．C ．D ．(0,1)(0,2)(0,3)(1,3)【答案】A【分析】画出函数 的图像，将方程恰有三个不同的实数根转化为函数()y f x =()0f x a -=与有3个不同的交点即可.()y f x =y a =【详解】若方程恰有三个不同的实数根， ()0f x a -=则函数与有3个不同的交点 ()y f x =y a =如图与的图像()y f x =y a =由图可得函数与有3个不同的交点，则 ()y f x =y a =01a <<故选：A.二、多选题 9．若，则下列不等式正确的是（ ） 110a b<<A ． B ． C ． D ．|a |>|b |a b <a b ab +<33a b >【答案】CD【解析】先利用不等式性质得到，再利用不等式性质逐一判断选项的正误即可. 0b a <<【详解】由知，，，即，故， 110a b <<0,0a b <<110a b-<0b aab -<0b a <<所以，A 错误，B 错误；|a ||b |<由知，，，则，故C 正确；0,0a b <<0a b +<0ab >a b ab +<由知，，则，故，即，D 正确. 0b a <<0a b <-<-()()330a b <-<-33a b -<-33a b >故选：CD.10．下列判断正确的是（ ） A ．，x ∀∈R 0x x +≥B ．命题“，”的否定是“，”x ∀∈Z 20x >0x ∃∈Z 200x <C ．函数是由函数向右平移得到的()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()sin2g x x =π3D ．“”是“是第一象限角”的必要不充分条件 sin tan 0θθ⋅>θ【答案】AD【分析】对四个选项一一验证：对于A 、B ：直接判断；对于C ：利用相位变换直接求解；对于D ：利用定义法判断.【详解】对于A ：当时，；当时，.所以恒成立.0x >20x x x +=>0x ≤0x x x x +=-=0x x +≥故A 正确；对于B ：命题“，”的否定是“，”.故B 错误；x ∀∈Z 20x >0x ∃∈Z 200x ≤对于C ：函数向右平移得到.故C 错误；()sin2g x x =π3π2πsin 23sin 32y x x ⎛⎫- ⎪⎛⎫=-=⎝⎝⎭⎭⎪对于D ：充分性： 因为，所以，所以.所以.sin tan 0θθ⋅>2sin 0cos θθ>cos 0θ>ππ2π2π22k k θ-+<<+所以充分性不成立；必要性： 因为是第一象限角，所以，所以.所以必要性满足. θsin 0,tan 0θθ>>sin tan 0θθ⋅>故“”是“是第一象限角”的必要不充分条件.故D 正确. sin tan 0θθ⋅>θ故选：AD11．函数在区间上单调递增，则的取值可能为（ ）()()()sin 0f x x w w =>ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ωA ． B ． C ． D ．643212【答案】ACD 【分析】由且，可得出，根据正弦函数的单调性可得出0ω>ππ43x ≤≤ππ43x ωωω≤≤，其中，确定的可能取值，即可得出的取值范围. ππππ,2π,2π4322k k ωω⎡⎤⎡⎤⊆-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦k ∈Z k ω【详解】因为且，则，0ω>ππ43x ≤≤ππ43x ωωω≤≤因为函数在区间上单调递增，则，其中， ()f x ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππππ,2π,2π4322k k ωω⎡⎤⎡⎤⊆-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦k ∈Z 所以，，其中，解得，其中，ππ2π42ππ2π32k k ωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩k ∈Z 38262k k ω-≤≤+k ∈Z 所以，，可得，，()38262k k k -≤+∈Z 74k ≤{}0,1k ∴∈因为，当时，；当时，， 0ω>0k =302ω<≤1k =1562ω≤≤所以，实数的取值范围是.ω3150,6,22⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 故选：ACD.12．对于函数，则下列判断正确的是（ ） ()4f x x x=+A ．在定义域内是奇函数 ()f xB ．，，有()12,0,2x x ∀∈12x x ≠()()12120f x f x x x -<-C ．函数的值域为()f x [)4,+∞D ．对任意且，有()12,0,x x ∈+∞12x x ≠()()1212122x x f f x f x ⎛⎫>+ ⎪+⎝⎭⎡⎤⎣⎦【答案】AB【分析】根据双勾函数的性质可判断A ，B ，C ；作差法比较与即可判122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭()()1212f x f x +⎡⎤⎣⎦断D.【详解】对于A,，且定义域为，故为奇函数，故A 正确； ()()f x f x -=-{}|0x x ≠()f x 对于B,在单调递减，故B 正确； ()4f x x x=+()0,2对于C ，当时，当且仅当时取得等号， 0x >()44f x x x=+≥=2x=当时，当且仅当时取得等号， 0x <()44()4f x x x x x=+=--+≤-=--2x =-所以的值域为，故C 错误； ()f x ][(,44,)-∞-+∞ 对于D ，已知任意且，()12,0,x x ∈+∞12x x ≠，1222x x f +⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()()12121212121644,x x f x f x x x x x x x +++=++++， ()()1212121622x x f f x f x x x +⎛⎫⎡⎤∴-+=- ⎪⎣⎦+⎝⎭1244x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭而， ()2121221212164144x x x x x x x x +==<++故，故D 错误.()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：AB.三、填空题13．若扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形所在圆的半径为________． 【答案】2.【分析】利用扇形的面积公式直接求得. 【详解】设扇形的半径为,圆心角为.R α由扇形的面积公式可得：，解得：.212S R α=21422R =⨯⨯2R =故答案为：214．已知是定义在上的奇函数，当时，，则的值为________．()f x R 0x ≥()21xf x =-21log 4⎛⎫ ⎪⎝⎭f【分析】结合对数函数性质由奇函数的定义求值可得答案． 【详解】因为是定义在上的奇函数， ()f x R 所以，()()f x f x -=-.()()()()2221log log 4222134f f f f ⎛⎫=-=-=-=--=- ⎪⎝⎭故答案为：．3-15．已知角的终边过点，则的值为________． θ()1,2P --cos2θ【答案】 35-【分析】由题可得，后由二倍角公式可得答案. cos θ【详解】因角的终边过点，则θ()1,2P --cos θ=故. 223cos22cos 1155=-=-=-θθ故答案为：. 35-16．我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，()y f x =y ()y f x =有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数()y f x =x a =为偶函数．已知函数，则该函数图象的对称轴为()y f x a =+()()2112e e x x g x x x a --+=-++x =________． 【答案】1【分析】根据偶函数的性质，结合函数对称性的性质进行求解即可.【详解】已知函数，()()2112--+=-++x x g x x x a e e()()()()()()()()221111111111121e e 121e e x x x x g x g x x x a x x a +---+---+++--=+-+++--+--+Q , ()()221e e 1e e 0x x x x x a x a --=-++-+-+=是一个偶函数. ()1y g x ∴=+的图象关于轴对称.()g x ∴1x =故答案为：1.17．设，已知集合，． U =R {}|25A x x =-≤≤{}|121B x m x m =+≤≤-(1)当时，求实数的范围；4B ∈m (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． :p x A ∈:q x B ∈p q m 【答案】(1) 532≤≤m (2) 3m ≤【分析】（1）由题意知，4是集合B 的元素，代入可得答案；（2）由题可得是的真子集，分类讨论为空集和不为空集合两种情况，即可求得m 的取值B A B B 范围.【详解】（1）由题可得，则； 1421m m +≤≤-532≤≤m （2）由题可得是的真子集， B A 当，则；B =∅1212m m m +>-⇒<当，，则（等号不同时成立），解得B ≠∅2m ≥21512m m -≤⎧⎨+≥-⎩23m ≤≤综上：.3m ≤18．已知，为锐角，，αβ1tan 2α=()cos αβ+=(1)求的值； sin2α(2)求的值． β【答案】(1) 45(2)4πβ=【分析】（1）由倍角公式结合同角三角函数的基本关系求解即可；（2）由同角三角函数的基本关系得出，再由求解.()tan αβ+tan tan[()]βαβα=+-【详解】（1）2222sin cos 2tan 14sin 21cos sin 1tan 514ααααααα====+++（2）因为为锐角，且，所以. ,αβ()cos 0αβ+>π02αβ<+<所以. ()sinαβ+=()tan 3αβ+==，所以. 13tan()tan 2tan tan[()]111tan tan()132αβαβαβαααβ-+-=+-===+++⨯4πβ=19．已知点在指数函数的图像上(),16a ()()3=-xf x a b (1)求，的值； a b (2)判定函数在上的单调性并证明． ()()()1g x f x f x =-R 【答案】(1)，. 4a =2b =(2)单调递增，证明见解析.【分析】（1）根据指数函数的性质，可得，代入点进行计算可得；a b （2）根据指数函数的单调性，可判断函数的单调性，利用定义法可证明的单调性. ()g x ()g x 【详解】（1）由已知得，为指数函数，，解得，故点在指数函()(3)x f x a b =-31a ∴-=4a =(4,16)数的图像上，得，解得，，得到.()f x (4)16f =416b =2b ∴=()2x f x =（2），因为为单调增函数，且也为单调递增函数，故在上为1()22x xg x =-2xy =12x y =-()g x R 单调递增函数，证明如下：设，且，有，得12,R x x ∈12x x >12220x x ->，12121211()()2222x x x x g x g x -=--+121212121222122(22)(122x x x x x x x x x x ++-=+-=-+0>故在上为单调递增函数.()g x R 20．已知函数的部分图像如图所示，其中的图像()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭()f x 与轴的一个交点的横坐标为．x π12-(1)求这个函数的解析式；(2)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．()()g x f x a =-π,212π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦a 【答案】(1)；()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2). ⎡-⎣【分析】（1）利用图像分别求出；,,A ωϕ（2）利用分离常数法得到，求出在区间上的值域，即可求解.()a f x =()f x π,212π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由图知：.2A =，所以，所以. 4ππ4π612T ⎛⎫--== ⎪⎝⎭πT =2π2T ω==所以.()()2sin 2x x f ϕ=+由，且，ππ2sin 2266f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π02ϕ<<所以.π6ϕ=所以.()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）令得：.()0g x =()f x a =对于，，()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦则.π5ππ2,663x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦由的图像和性质可得：在区间上的值域为. 2sin y t =()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π,212π⎡⎤-⎢⎣⎦⎡-⎣所以函数在区间上存在零点，有. ()()g x f x a =-π,212π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦a ⎡∈-⎣21．已知函数．()()21f x x a x a =+--(1)求关于的不等式的解集； x ()0f x >(2)若，求函数在上的最小值．()14f =-()51+=-f x y x ()1,x ∈+∞【答案】(1)当时，原不等式的解集为； 1a =-{|1}x x ≠当时，原不等式的解集为或； 1a >-{|x x a >1}x <-当时，原不等式的解集为或. 1a <-{|1x x >-}x a <(2) 2【分析】（1 ）利用一元二次不等式的解法及对参数分类讨论即可求解；a （2 ）根据已知条件及基本不等式即可求解.【详解】（1）由可得，即，()0f x >()210x a x a +-->()(1)0x a x -+>当时，不等式，解得，不等式的解集为；1a =-2(1)0x +>1x ≠-{|1}x x ≠当时，不等式的解集为或；1a >-{|x x a >1}x <-当时，不等式的解集为或；1a <-{|1x x >-}x a <综上：当时，原不等式的解集为；1a =-{|1}x x ≠当时，原不等式的解集为或；1a >-{|x x a >1}x <-当时，原不等式的解集为或.1a <-{|1x x >-}x a <（2）由，得，解得，(1)4f =-(1)11224f a a a =+--=-=-3a =所以，因为，所以，2()23f x x x =--1x >10x ->则，当且仅当，即时，()25221(1)2111f x x x y x x x x +-+===-+≥=---111x x -=-2x =等号成立，所以当时，函数在上的最小值为.2x =()51+=-f x y x ()1,x ∈+∞222．诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成份，奖励给分别在项（物理、化66学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为．资料显示：年诺贝尔奖发放后基金总额约为万美元．设表示第r 202051000()f x 年诺贝尔奖发放后的基金总额（年记为，年记为，，依次类()*N x x ∈2020()1f 2021(2)f L 推）．（参考数据：，，）8(1.0312) 1.28=9(1.0312) 1.32=10(1.0312) 1.36=(1)分别求出、与的关系式；()2f ()3f ()1f (2)根据（1）所求的结果归纳出函数的解析式（无需证明）．()f x (3)若，试求出年诺贝尔奖每位获奖者的奖金额是多少．6.24%=r 2029【答案】(1)，； ()()2112r f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()()23112r f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)；()15100012x r f x -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭(3)万美元339.456【分析】（1）根据已知条件列式化简，得出、与的关系式；()2f ()3f ()1f （2）根据（1）所求的结果，归纳可得的解析式；()f x （3）先求出年诺贝尔奖发放后基金总额，进而可得年诺贝尔奖每位获奖者的奖金额，根20282029据所给数据代入化简计算即可．【详解】（1）由题意，， ()()()()()121111122r f f r f r f ⎛⎫=+-⨯=+ ⎪⎝⎭； ()()()()()()2132121211222r r f f r f r f f ⎛⎫⎛⎫=+-⨯=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）根据（1）所求的结果，归纳可得：；()()111151000122x x r r f x f --⎛⎫⎛⎫=+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）年诺贝尔奖发放后基金总额为 2028()()886.24%951000151000 1.03122f ⎛⎫=⨯+=⨯ ⎪⎝⎭故年诺贝尔奖每位获奖者的奖金额是2029万美元． ()811119 6.24%51000 1.0312 6.24%4250 1.280.0624339.4566262f ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=。
人教A版高中必修二试题高一第二次月考试题.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高一数学第二次月考试题（考试时间120分钟，总分150分）一、选择题（每题5分，共60分）1．下列叙述中，正确的是（ ）. （A ）因为,P Q αα∈∈，所以PQ ∈α （B ）因为P α∈，Q β∈，所以αβ⋂=PQ（C ）因为AB α⊂，C ∈AB ，D ∈AB ，所以CD ∈α（D ）因为AB α⊂,AB β⊂,所以()A αβ∈⋂且()B αβ∈⋂ 2．已知直线l 的方程为1y x =+，则该直线l 的倾斜角为（ ）.(A)30 (B)45 (C)60 (D)135 3．已知函数23212---=x x x y 的定义域为（ ）. (A)． ]1,21()21,(-⋃--∞(B)．]2,(-∞ (C)．]1,21()21,(-⋂--∞(D)．]1,(-∞4．已知点(,1,2)A x B 和点(2,3,4),且26AB =,则实数x 的值是（ ）. (A)-3或4 (B)–6或2 (C)3或-4 (D)6或-2 5．长方体的三个面的面积分别是632、、，则长方体的体积是（ ）.(A)．23(B)．32(C)．6(D)．66．已知点(1,2)A 、(3,1)B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）.222正(主)视图22侧(左)视图(A)．524=+y x (B)．524=-y x (C)．52=+y x (D)．52=-y x7．一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）.(A).223π+ (B). 423π+(C). 2323π+ (D).2343π+8．若()21P -，为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）.(A)．30x y --= (B).30x y -+= (C)．30x y ++= (D)．30x y +-= 9．等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是（ ）. (A)．S 球=S 正方体 (B).S 球>S 正方体 (C)．S 球<S 正方体 (D)．无法确定10．在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）.x y Ox y O x y O xyO(A) (B) (C) (D)11．已知点)3,2(-A 、)2,3(--B 直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值k 范围是（ ）. (A)、34k ≥或4k ≤- (B)、34k ≥或14k ≤- (C)、434≤≤-k (D)、443≤≤k12．若直线k 24kx y ++=与曲线2x 4y -=有两个交点，则k 的取值范围（ ）.(A)．[)∞+,1 (B)．)43,1[-- (C)． ]1,43( (D)．]1,(--∞二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．）13．函数⎩⎨⎧≥<--=-)2(2)2(32)(x x x x f x，则)]3([-f f 的值为 ．14．已知222212:1:349O x y O x y +=+=圆与圆（－）（＋），则12O O 圆与圆的位置关系为 ．15．如果对任何实数k ，直线(3＋k)x ＋(1-2k)y ＋1＋5k=0都过一个定点A ，那么点A 的坐标是 ．16．已知圆2x －4x －4＋2y ＝0上的点P （x,y ）,求22y x +的最大值 ．三、解答题（共70分）17. (12分)已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且垂直于直线210x y --=. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .18．(14分) 已知圆C 同时满足下列三个条件：①与y 轴相切;②在直线y=x 上截得弦长27;③圆心在直线x －3y=0上. 求圆C 的方程.19．（14分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．（1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．20．（16分）已知圆C ：()2219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点. （1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；（2）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； （3）当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长.ABCD ABCD E F答题卡一、选择题；（每题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题：（每题5分，共20分）13.14.15.16.三、解答题（共70分）17、(本小题满分12分)18. (本小题满分14分)19.（本小题满分14分）20.（本小题满分16分）A BC DAB1C1 DEF21. （本小题满分14分）答案一. 选择题；（每题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DBAACBCCCCAB二、填空题：（每题5分，共20分）17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由3420,220.x y x y +-=⎧⎨++=⎩ 解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩由于点P 的坐标是（2-，2）.-----------------------2分 则所求直线l 与210x y --=垂直，可设直线l 的方程为 20x y C ++=.--------------------4分 把点P 的坐标代入得 ()2220C ⨯-++= ，即2C =.------------6分 所求直线l 的方程为 220x y ++=.…………………………………………8分（Ⅱ）由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是1-、2-， 所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积11212S =⨯⨯=. ………………12 18. （本小题满分14分）解：设所求的圆C 与y 轴相切，又与直线交于AB ， ∵圆心C 在直线03=-y x 上，∴圆心C （3a ，a ），又圆 与y 轴相切，∴R=3|a|. ---------------------4分 又圆心C 到直线y －x=0的距离7||,72||.||22|3|||===-=BD AB a a a CD ---------8分在Rt △CBD 中，33,1,1.729,)7(||222222±=±===-∴=-a a a a a CD R .-------------12分∴圆心的坐标C 分别为（3，1）和（－3，－1），故所求圆的方程为9)1()3(22=-+-y x 或9)1()3(22=+++y x .---------------14分19. （本小题满分14分）（1）证明:连结BD . 在长方体1AC 中，对角线11//BD B D . 又 E 、F 为棱AD 、AB 的中点， //EF BD ∴.11//EF B D ∴. 又B 1D 1⊂≠ 平面11CB D ，EF ⊄平面11CB D ，∴ EF ∥平面CB 1D 1.（2）在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂≠ 平面A 1B 1C 1D 1，∴ AA 1⊥B 1D 1.又在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又B1D 1⊂≠ 平面CB 1D 1，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．20. （本小题满分16分）解：（1）已知圆C ：()2219x y -+=的圆心为C （1，0），因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2， 直线l 的方程为y=2(x-1),即 2x-y-20.---------------5分（2） 当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC, 直线l 的方程为12(2)2y x -=--, 即 x+2y-6=0----------------10分（3）当直线l 的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l 的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0 圆心C 到直线l 的距离为12，圆的半径为3，弦AB 的长为34------16分21.（本小题满分14分）。
高一数学2月月考试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校HY 二零二零—二零二壹高一数学2月月考试题〔含解析〕时间是：60分钟分值：100分一、单项选择题〔每一小题5分，一共70分〕 1.与600°角终边一样的角可表示为(k ∈Z)() A.k ·360°＋220° B.k ·360°＋240° C.k ·360°＋60° D.k ·360°＋260°【答案】B 【解析】与600°终边一样的角α＝n ·360°＋600°＝n ·360°＋360°＋240°＝(n ＋1)·360°＋240°＝k ·360°＋240°，n ∈Z，k ∈Z.∴选B.α是第三象限的角，那么3α必然不是以下哪个象限的角〔〕 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】 【分析】先写出角α的范围，再除以3，从而求出3α角的范围，看出是第几象限角．【详解】α是第三象限的角，那么32,22k k παπππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，所以22,33332k k αππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈； 所以3α可以是第一、第三、或者第四象限角．应选B ．【点睛】此题考察了角的范围与象限角的判断问题，是根底题．2cm ，圆心角为23π的扇形面积为〔〕 A.23cm πB.223cm πC.243cm πD.283cm π【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式：212SR α=即得解. 【详解】由题意得，扇形面积()221242233S cm ππ=⨯⨯= 应选：C【点睛】此题考察了扇形的面积公式，考察了学生概念理解，数学运算才能，属于根底题.α的终边过点()43P,-那么2sin cos αα+的值是〔〕A.45-B.35C.25D.2【答案】C 【解析】 【分析】根据任意角三角函数正弦，余弦的定义，代入即得解. 【详解】根据任意角三角函数正弦，余弦的定义， 因为角α的终边过点()43P,-，所以=5r，3422sin cos 2555αα⎛⎫+=⨯+-= ⎪⎝⎭.应选：C【点睛】此题考察了任意角三角函数的正弦，余弦定义，考察了学生概念理解，数学运算才能，属于根底题.(),P sin cos tan ααα-在第一象限，那么在[0,2)π内α的取值范围是〔〕.A.5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.35,,244ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.353,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.33,,244ππππ⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据点的位置，可以列出不等式组，根据单位圆，解这个不等式组，得出答案，也可以用排除法，根据这个不等式组，对四个选项逐一判断，得出答案.【详解】点(),P sin cos tan ααα-在第一象限，sin cos 0,tan 0.ααα->⎧⇒⎨>⎩sin cos ,tan 0.ααα>⎧⇒⎨>⎩，如以下列图所示：在[)0,2π内α的取值范围是5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此题选A. 【点睛】此题考察了利用单位圆中的三角函数线解三角不等式组．6.1sin cos 8αα=，且,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，那么cos sin αα-的值是〔〕 A.2B.34C. D.2±【答案】C 【解析】 【分析】根据,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，可得sin cos ,αα>再结合cos sin αα-=展开，代入即得解.【详解】因为1sin cos 8αα=，且,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα， 所以sin cos ,αα>223cos sin 2sin cos 2αααα=-+-=-. 应选：C【点睛】此题考察了同角三角函数关系的应用和转化，考察了学生综合分析，转化划归，数学运算的才能，属于中档题.α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，那么实数a 的取值范围是()A.(－2,3]B.(－2,3)C.[－2,3)D.[－2,3]【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得20a +＞，且390a -≤，解不等式组求得a 的取值范围． 【详解】∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或者y 轴的正半轴上． ∴∴－2<a ≤3.应选A.【点睛】此题考察任意角的三角函数的定义，根据三角函数值的符号判断角所在的象限，得到20a +＞，且390a -≤，是解题的关键，属于根底题．8.1cos sin 5A A +=，A 为第四象限角，那么tan A =〔〕 A.43 B.34C.43-D.34-【答案】D 【解析】【分析】 由1cos sin 5A A +=，平方可计算得到sin cos A A ，继而可求解cos sin A A -，联立计算cos ,sin A A 即得解. 【详解】1cos sin 5A A +=，∴两边平方，可得242sin cos 25A A =-， ()249cos sin 25A A ∴-=， A 为第四象限角，7cos sin 5A A ∴-=，43cos ,sin 55A A ∴==-.应选：D【点睛】此题考察了同角三角函数关系的应用和转化，考察了学生综合分析，转化划归，数学运算的才能，属于中档题. 9.tan 2θ=，那么2sin cos sin sin θθθθ++的值是〔〕A.195 B.165C.2310D.1710【答案】C 【解析】∵22222sin cos 1sin 11sin 111sin tan sin cos tan 1tan θθθθθθθθθθ++=++=++++又∵tan 2θ=∴2sin cos 1123sin 11sin 21014θθθθ++=++=+应选Ccos tan y x x =⋅〔302x π≤<且2x π≠〕的图像是以下列图像中的〔〕A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像.【详解】依题意，3sin ,0,22cos tan sin ,.2x x x y x x x x πππππ⎧≤<≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪-<<⎪⎩或.由此判断出正确的选项为C.应选C.【点睛】本小题主要考察三角函数图像的识别，考察分段函数解析式的求法，考察同角三角函数的根本关系式，属于根底题.()cos 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的间隔为6π，那么ω=〔〕A.3B.12C.6D.24【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知2633T πππωω=∴=∴=考点：三角函数性质()()sin 402y x ϕϕπ=+<<关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，那么ϕ=〔〕A.23π或者53πB.3π或者43π C.56π或者116π D.6π或者76π 【答案】A 【解析】 【分析】正弦函数sin y x =的对称中心是()(),0k k Z π∈，由“五点法〞作图得，将12x π=代入．【详解】因为曲线()()sin 402y x ϕϕπ=+<<关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()412k k Z πϕπ⨯+=∈，又02ϕπ<<，所以1k =时23ϕπ=，2k =时5=3ϕπ. 【点睛】此题考察三角函数的图象及其性质，考察运算求解才能.()()f x wx φ=+对任意x 都有33f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是〔〕B. C. D.0【答案】C 【解析】 【分析】根据()()33f x f x ππ-=+，可得函数()f x 的图像关于直线3x π=对称，由余弦型函数在对称轴处获得最大或者最小值即得解.【详解】根据()()33f x f x ππ-=+，可得函数()f x 的图像关于直线3x π=对称，故3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是函数的最大值或者最小值， 应选：C .【点睛】此题考察了余弦型函数的对称性和最值，考察了学生综合分析，数形结合的才能，属于中档题.[]()2sin 20,6y x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭为增函数的区间是()A.0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数πy2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间，再结合各选项断定后可得结果．【详解】由ππ3π2π22πZ 262k x k k +≤-≤+∈，， 得π5πππZ 36k x k k +≤≤+∈，，∴函数πy2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为π5ππ,πZ 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，，令k=0，那么得函数πy2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故所求的单调递增区间为π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 应选C ．【点睛】求函数()y Asinx ωϕ=+的单调区间时，可把x ωϕ+看作一个整体，然后代入正弦函数的增区间或者减区间求出x 的范围即为所求，解题时要注意A ω，的符号求所求区间的影响，这也是在解题中常出现的错误．二、填空题〔每一小题5分，一共10分〕()2cos 203y a x b a π⎛⎫ ⎪⎭+⎝=-<的定义域是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域是[]5,1-，那么a =__________，b =__________.【答案】(1).-2(2).-1 【解析】 【分析】由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得1cos 2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，分0a >，0a <讨论2cos 23y a x b π⎛⎫ ⎝=⎪⎭-+的最大值，最小值，运算即得解.【详解】由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 1cos 2,132x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，0a <时，函数的值域是[]5,1-，2151212a b a b ⨯+=-⎧⎪∴⎨⎛⎫⨯-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩， 综上可得，23a b =⎧⎨=-⎩或者21a b =-⎧⎨=-⎩.故答案为：-2；-1【点睛】此题考察了余弦型函数的值域问题，考察了学生综合分析，分类讨论，数学运算的才能，属于中档题. 16.f 〔n 〕=sin 4n π，n∈Z，那么f 〔1〕+f 〔2〕+f 〔3〕+……+f〔2021〕=__________________【解析】试题分析：由可得周期为284T ππ==，又()()()1280f f f ++⋅⋅⋅+=，又2021=251×8+4，所以()()()()()()()()12320121234f f f f f f f f +++⋯⋯+=+++2+1考点：此题考察函数的周期性点评：解决此题的关键是先判断周期，再求出一个周期的和 三、解答题〔20分〕()12cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.〔1〕求()f x 的单调递减区间；〔2〕假设[],x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值.【答案】〔1〕()284,433k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.〔2〕()()max min 2,3f x f x ==-【解析】 【分析】〔1〕利用余弦函数的单调递减区间，令122()23k x k k Z ππππ≤-≤+∈，即得解； 〔2〕由[],x ππ∈-，那么15,2366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，借助余弦函数的图像，即得解.【详解】〔1〕令122()23k x k k Z ππππ≤-≤+∈， 所以2844()33k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 那么()f x 的单调递减区间为：()284,433k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.〔2〕[],x ππ∈-，那么15,2366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 131cos ,2cos 3,22323x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤∴-∈-∈⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()()max min 2,f x f x ==.【点睛】此题考察了余弦型函数的单调性和值域，考察了学生综合分析，转化划归，数学运算的才能，属于中档题.。
湖北高一下学期2月月考数学试题(解析版) (2)
一、单选题1．已知，均为第一象限角，则“”是“”的（ ） αβαβ<sin sin αβ<A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】利用充分性和必要性分别讨论即可. 【详解】由均为第一象限的角， π7π,33αβ==满足，但， αβ<sin sin αβ=因此不充分； 由， sin sin αβ<得均为第一象限的角， π-5π,66αβ==得到， αβ>因此不必要； 故选：D.2．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是（ ） A ．B ．C ．D ．511π445π522π225π【答案】B【分析】先求得大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过的周数，然后用这个周数乘以求2π得小链轮转过的弧度数.【详解】由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，小链轮转过的弧度是8820.故选B. 88442205ππ⨯=【点睛】本小题主要考查大链轮与小链轮转动周数问题，考查弧度数的计算，属于基础题.3． ，则（ ）ππ,π,42k k αβαβ⎛⎫+=-≠+∈ ⎪⎝⎭Z ()()1tan 1tan αβ--=A ． B ．0C ．1D ．21-【答案】D【分析】根据两角和的正切公式可得，从而可求解. ()tan tan tan tan 1αβαβ⋅-+=【详解】因为，所以. π4αβ+=-()tan tan πtan tan 11tan tan 4αβαβαβ+⎛⎫+==-=- ⎪-⋅⎝⎭所以.()tan tan tan tan 1αβαβ⋅-+=所以. ()()()1tan 1tan tan tan tan tan 12αβαβαβ--=⋅-++=故选:D.4． 的一段图象如图，则其解析式为（ ）()π0,sin 0,2y A x A ωωϕϕ=⎛⎫>>< ⎪⎝⎭+A ．B ．π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．D ．π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据图象可得,，从而可求，根据图象过及可求，从2A =7ππ4123T ⎛⎫=-⎪⎝⎭ωπ,23⎛⎫⎪⎝⎭π2ϕ<ϕ而可求解.【详解】由图象可得,,所以. 2A =7ππ4π123T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭2π2T ω==又，解得.ππ22π,32k k ϕ⨯+=+∈Z π2π,6k k ϕ=-+∈Z 因为，所以. π2ϕ<π6ϕ=-所以.π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故选：B.5．函数的图象可以由函数的图象（ ）sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos 2y x =A ．向右平移个单位长度得到 B ．向右平移个单位长度得到 6π3πC ．向左平移个单位长度得到D ．向左平移个单位长度得到6π3π【答案】A【分析】由，结合三角函数的平移变换求解即可.sin 2cos 266y x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【详解】sin 2cos 2cos 2cos 262636y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则函数的图象可以由函数y ＝cos 2x 的图象向右平移个单位长度得到sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6π故选：A【点睛】本题主要考查了描述三角函数图象变换的过程，属于中档题.6． 在上是单调函数，则的最大值是（ ）()()cos 0f x x x ωωω=>ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ωA ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】C【分析】根据两角和的余弦公式可得，可得其单调区间为()()π2cos 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π2π,33ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，根据题意即可求解.【详解】，()()πcos 2cos 03f x x x x ωωωω⎛⎫==+> ⎪⎝⎭令，得.()ππππ3k x k k ω≤+≤+∈Z ()π2πππ33k k x k ωω-+≤≤∈Z 令,可得. 0k =π2π33x ωω-≤≤故函数在上是单调函数， ()f x π2π,33ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以，解得. πππ2π312123ωω-≤-<≤04ω<≤所以的最大值是4. ω故选:C.7．中，，则=（ ） ABC A 1335si n ，cos A B ==cos CA B ．C D 【答案】B【分析】由可得，又由，可得A 为锐角，及，则cos B 4sin 5B =sin sin B A >cos A .()()cos cos π--cos C A B A B ==-+【详解】因，则B 为锐角，.3cos 05B =>4sin 5B ==又，有，则A 为锐角，sin sin B A >B A >cos A ==则()()()cos cos π--cos cos cos si n si n C A B A B A B A B ==-+=--314535⎫=-⨯-⨯=⎪⎪⎭故选：B 8．三者之间的大小关系为（ ） 11127888128si n ，cos ，A ． B ． 11127888128si n cos >>11271881288si n cos >>C ．D ． 12711812888si n cos >>11127888128cossi n >>【答案】A【分析】分别在上构造函数，，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()32si n x f x x x =-+()tan p x x x =-.通过导数研究单调性，可比较与， ()212cos x m x x =-+111888，，f p m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0整理后可得答案.【详解】构造函数，.()32si n x f x x x =-+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则，令，.()2312cos f x x x '=+-()2312cos g x x x =+-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则，再令，.()3si n g x x x '=-+()3si n h x x x =-+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则，故在上单调递增，()30cos h x x '=-+>()h x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭则，故在上单调递增，()()()00h x g x g ''=>=()g x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭则，故在上单调递增，()()()00g x f x f ''=>=()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭则，得，()3111110088828si n f f ⎛⎫=-+⨯>= ⎪⎝⎭2111810828si n -+⨯>即； 211112781821288si n>-⨯=构造函数，，则， ()tan p x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2110cos p x x '=->得在上单调递增，则，()p x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()11100888t an p p ⎛⎫=->= ⎪⎝⎭即；11118881818888si nt an si n cos cos=>⇒>构造函数，，则，()212cos x m x x =-+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()sin m x x x '=-+令，，则，()si n n x x x =-+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()10cos n x x '=-+>故在上单调递增，则，()n x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()()()00n x m x m ''=>=故在上单调递增，则，()m x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()211111008828cos m m ⎛⎫=-+⨯>= ⎪⎝⎭即. 21111271821288cos>-⨯=综上，. 11127888128si n cos >>故选：A【点睛】关键点点睛：本题涉及比较三角函数式与数字的大小，难度较大. 因难以估值，故本题采用构造函数比较大小，而构造函数的关键是找到题目式子中的1188si n ，cos 联系.二、多选题9．已知函数，则（ ）()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．的最小正周期是B ．是图象的对称轴 ()f x ππ6x =()f x C ．是图象的对称中心D ．在区间上单调递减π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()f x π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】AC【分析】根据三角函数的性质一一求解. 【详解】最小正周期为,A 正确； 2ππ2T ==， π2sin ππ363f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以不是图象的对称轴，B 错误；π6x =()f x ， π2sin 0π336πf ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪⎝⎝- ⎪⎭⎭所以是图象的对称中心，C 正确；π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x因为，所以，π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ2,π33x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以在区间上有增有减，D 错误， ()f x π0,3⎛⎫⎪⎝⎭故选:AC.10．已知且，则下列不等式成立的有（ ） 0,0a b >>2a b +=A ．B ． 112a b+≤1ab ≤CD ．2≤222a b +≥【答案】BCD【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】对于A ，因为，所以，0,0a b >>0,0b aa b>>，当且仅当时，等号成立，故A ()1111111212222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1a b ==错误；对于B ，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故B 正0,0a b >>222122a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1a b ==确；对于C ，因为，所以，当且仅当时，等号成立，0,0a b >>2a b ≤+=1ab ==，当且仅当时，等号成立，故224a b =++=+≤2≤1a b ==C 正确； 对于D ，由，得，由，得()24a b +=2224b b a a ++=222122a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当时，等号成立，故D 正确.2242422a b ab +=-≥-=1a b ==故选：BCD.11．已知，若，则的值可以为（ ）()()()ln 01303x x x f x x ⎧>⎪=⎨-≤⎪⎩()()()()123123f x f x f x x x x ==<<123x x x A ． B ． C ． D ．2-1-13-12-【答案】CD【分析】画出函数的图象,由图象可得，，从而可求解. ()f x 110x -<≤231x x =【详解】令，画出函数的图象如图所示，()()()123f x f x f x m ===()f x则. 203m <≤又，，即， 110x -<≤23ln ln x x =23ln ln x x -=故，故.()2323ln ln ln 0x x x x +==231x x =故，故的值可以为，.(]12311,0x x x x =∈-123x x x 13-12-故选:CD.12．已知函数定义域为，为奇函数，且有，则（ ）()f x R 12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭x ∀∈R ()()244f x f x -=A ． B ．()()1f x f x +=102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．为偶函数D ．为奇函数()2f x +12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】由题意可得，结合为奇函数可得，从而可判断选()()2=f x f x -12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()2f x f x +=项A ；由，得，在中，令可判断选项B ；由()()1f x f x =--102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()1f x f x +=-12x =-，可判断选项C ；由，可判断选项()()2f x f x +=()()2=f x f x -()()1f x f x =--()()2f x f x +=D.【详解】由，可得. ()()244f x f x -=()()2=f x f x -由为奇函数，可得，即，12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1f x f x =--所以，即,所以，故选项A 错误； ()()21f x f x -=--()()1f x f x +=-()()2f x f x +=由，得，由，得， ()()1f x f x =--102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()1f x f x +=-1122f f⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，故选项B 正确；102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭由，，得， ()()2f x f x +=()()2=f x f x -()()22f x f x -=+所以为偶函数，故选项C 正确；()2f x +由，，可得，()()1f x f x =--()()2f x f x +=()()1f x f x =---即，故为奇函数，故选项D 正确.1122f x fx ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选:BCD.三、填空题13．已知，则_________．tan 2α=sin 21cos 2αα+=【答案】.3-【分析】利用二倍角公式，可得，后利用sin 21cos 2αα+22222si n cos si n cos cos si n αααααα++=-sin tan cos ααα=可得答案.【详解】 2222222122121si n si n cos si n cos t an t an cos cos si n t an ααααααααααα+++++==--.441314++==--故答案为：.3-14．已知，则_________．153πsi n α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πsin 210α⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】. 79【分析】由诱导公式，可知，后由二倍角公式可得答案. 22105ππsi n cos αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】注意到，222210255ππππsi n si n cos ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则. 27212559ππcos si nαα⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：. 7915．_________． tan 204cos 70+=【分析】将正切化简为正弦，利用二倍角公示与和差角公式化简.【详解】sin 20202020t n si an 204cos 70s o 202n 4sin cos 04si o 2c c 0s +=+=+sin sin sin 2sin 30cos10sin sin 80sin 2sin 60co 0s co 2044040402020202020s cos cos cos ++++=====16．某摩天轮最高点距离地面高度为110m ，转盘直径为100m ，开启后按逆时针方向匀速旋转.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min ，则某游客坐上座舱10min 后距离地面的高度为_________. 【答案】85m【分析】摩天轮中心为圆心，由三角函数求得游客距离过圆心水平线的高度，即可求得所求高度. 【详解】由题意，如图所示，A 为距离地面最近的位置，某游客坐上座舱10min 后在B 位置，则，， 2π3AOB ∠=50OB OA ==故距离地面的高度为(m).()2πππsin 11010050sin 501085326OB OA æöç÷-++-=×++=ç÷èø故答案为：85m.四、解答题 17．已知，，的值．π02α<<π02β-<<π1πcos ,cos 4342βα⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】由角的范围及同角三角函数的基本关系可求与，再根据πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin 42β⎛⎫- ⎪⎝⎭即可求解.ππsin sin 2442ββαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【详解】因为，所以. π02α<<ππ3π444α<+<因为，所以. π1cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为，所以.π02β-<<πππ4422β<-<因为. πcos 42β⎛⎫-=⎪⎝⎭πsin 42β⎛⎫-=== ⎪⎝⎭所以ππsin sin 2442ββαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 442442ββαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13==18．求证：．122122212212222si n cos si n cos π，Z si n cos si n cos si n θθθθθk θθθθθ⎛⎫+-+++=≠∈ ⎪+++-⎝⎭【答案】证明见解析.【分析】由二倍角公式，可得左边，通分后即可证明左边等于右边. si n cos cos si n θθθθ=+【详解】证明：因.222211222cos cos si n ，si n si n cos θθθθθθ=-=-=则，()2122222si n cos si n cos si n si n si n cos θθθθθθθθ+-=+=+. ()2122222si n cos si n cos cos cos si n cos θθθθθθθθ++=+=+故左边 ()()()()2222si n si n cos cos si n cos si n cos cos si n cos si n cos si n si n cos θθθθθθθθθθθθθθθθ++=+=+++右边.22122si n cos si n cos si n cos si n θθθθθθθ+====19．()2022ππcos si n si n ，,f x x x x x ⎛⎫⎡⎤=++∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1)求的单调区间. ()f x (2)求的值域.()f x 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；()f x π5π,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦5π,012⎛⎤- ⎥⎝⎦(2)的值域为 ()f x【分析】利用诱导公式，二倍角公式，辅助角公式可得（1）由题可得()πsin 23f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，后利用函数在上的单调性可得答案；（2）由（1）求得的单π2ππ2,333x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦sin y x =2ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦调性可得答案.【详解】（1）由题， ()2cos cos si n f x x x x =+cos 211sin 222x x +=+12sin 22x x =+πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因，则. π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π2ππ2,333x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦则当，即时，单调递减； π2ππ2,332x ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦π5π,212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦()f x ，即时，单调递增. 2323πππ,x ⎛⎤+∈- ⎥⎝⎦5012π,x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦()f x 故在上单调递减，在上单调递增； ()f x π5π,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦5π,012⎛⎤- ⎥⎝⎦（2）由（1），； ()51122m i n ππsi n f x f ⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()002m ax πm ax ,f x f f f ⎧⎫⎛⎫=-==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭则的值域为. ()f x 20．中，．ABC A ()2sin sin cos cos sin A B C B C -=(1)求角． C (2)若为锐角三角形，求的取值范围.ABC A sin sin A B +【答案】(1) π3C =(2) 32⎛ ⎝【分析】（1）根据已知条件及两角和的正弦公式逆用，结合三角形的内角和公式及三角函数的特殊值对应的特殊角注意角的范围即可求解；（2）根据（1）的结论及三角形的内角和定理，利用两角差的正弦公式及辅助角公式，结合锐角三角形得出角的范围,再利用三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由，得()2sin sin cos cos sin A B C B C -=,()2sin cos sin cos cos sin sin sin A C B C B C B C A =+=+=因为，所以，0πA <<sin 0A ≠所以,又， 1cos 2C =0πC <<所以. π3C =（2）由（1）知，，所以,即, π3C =2π3A B +=2π3B A =-所以, s 2in n 2s π3πsin 3n 6i sin si A A A A A B A ⎛⎫⎛⎫-=⎪+=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭因为为锐角三角形，ABC A 所以,解得，即， π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ62A <<ππ2π363A <+<，即πππ362A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭3π26A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭所以的取值范围为. sin sin A B +32⎛ ⎝21．， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦()()sin cos 2sin 25f x m x x x=+++().m R ∈(1)当=1时，求的最大值，并求此时的取值．m ()f x x (2)若有4个零点，求的取值范围.()f x m 【答案】(1)时，有最大值4x π=()f x 7(2)m ⎛∈- ⎝【分析】（1）根据题意，设，化简后利用二次函数性质可求解；sin cos t x x =+（2）由（1）可得，根据的值.2()23f t t mt =++1t ≤≤m 【详解】（1）根据题意，设，sin cos )4t x x x π=++因为，所以， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦3444x πππ≤+≤sin(14π≤+≤x 所以1t ≤≤将两边平方可得，，sin cos t x x =+22(sin cos )1sin 2t x x x =+=+所以，因为，2sin 21x t =-1m =所以，()22()21523f t t t t t =+-+=++1t ≤≤对称轴为，所以14t=-()max7f t f==此时，即，4t xπ=+242x kπππ+=+所以，因为，2,Z4x k kππ=+∈π0,2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，即时，有最大值4xπ=4xπ=()f x7（2）由（1）可得，，()22()21523f t mt t t mt=+-+=++1t≤因为有4个零点，所以有两个零点，()f x()f t方程在有两个根，所以，4t xπ=+π0,2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1t≤在中，，2()23f tt mt=++2240m∆=->可得m<-m>的零点为2()23f t t mt=++t=所以，解得，141m⎧≤-⎪≥4m<≤-即.m⎛∈-⎝22．如图，矩形内接于半径为1、中心角为（其中）的扇形，且，ABCD2θtan2θ=OPQ//AD PQ求矩形面积的最大值，并求此时的长．ABCD AD【答案】矩形，此时ABCD AD【分析】利用题目条件,解直角三角形得矩形的面积,再利用二倍角正弦,余弦公式和辅助角ABCD S公式得,再利用正弦型函数的最值,计算得结论.()122Sαϕ=+-【详解】如图:设的角平分线分别交于,, POQ ∠OH ,AD BC ,E F BOH α∠=则.,0AOE θαθ∠=<<因此矩形的面积为矩形面积的2倍. ABCD S ABFE 因为扇形的半径为1，OPQ 所以在中,,即,. Rt OBF △sin BF α=sin BF AE α==cos OF α=因为在中,, Rt OAE △sin tan tan AE OE AOE αθ==∠所以, sin cos tan EF OF OE ααθ=-=-而,因此, tan 2θ=sin cos 2EF αα=-所以 sin 22sin cos 2S BF EF ααα⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，()111sin 2cos 22222αααϕ=+-=+-其中为锐角，且.ϕ1tan 2ϕ=因为,为锐角,所以, π02αθ<<<ϕ02πϕαϕϕ<<+<+因此当时,取得最大值1,即. π22αϕ+=()sin 2αϕ+S 因为,所以当时,, 1tan 2ϕ=π22αϕ+=π1tan 2tan 22tan αϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭因此,所以由解得22tan 21tan αα=-0tan tan 2αθ<<=tan α=因此sin α==所以. 2sin AD α===。
高一必修2月考试题Microsoft Word 文档
高一数学月考题一． 选择题（每题5分，共60分）1. 底面半径为2，高为4的圆柱，它的侧面积为（ ） A 8π B16π C20π D24π2. 对于空间中的直线下列说法正确的是( )A. 异面直线就是两个不同面内的两条直线 B 两直线无公共点则两直线平行 C 异面直线没有公共点 D 垂直于同一直线的两直线平行 3. 关于空间中的线与面下列说法正确的是( )A.线与面有三种关系即平行，相交，异面 B 如果直线在平面外则直线与平面无公共点 C 直线与平面平行则直线与面内所有直线都平行 D 平行于同一平面的两直线有可能不平行 4.关于平面∂，β和直线l ，m 下列命题中说法正确的是( )①l ∈∂ ②l ⊥∂且m l ⊥则m ∥∂ ③l ∥m ，m ∥∂则l ∥∂ ④l ⊥∂且l ∥m 则m ⊥∂ ⑤//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥A ①②③④⑤B ②③④C ④⑤D ②③5.对于空间中平面下列说法正确的是( )A 两平面平行则一个平面内的所有直线都与另一个平面平行B 垂直于同一平面的两平面平行C 两平面垂直则两个平面内的线没有可能平行D 平面外的一条直线如果与平面内的两条直线都垂直则该直线与平面垂直6．空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，当AC 与BD满足什么条件时，四边形EFGH 是正方形（ ） A ．BD AC =B ．BD AC ⊥C ．BD AC =且BD AC ⊥ D ．BD =AC 且BD//AC7. 如图1示，1111ABCD A B C D -为正方体， 则直线B A1与1D A 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°BC 1C8对于直线431x y -=下列说法不正确的是( )A.直线的倾斜角为锐角 B 与x 轴的截距为3 C 直线不经过原点 D 与y 轴的截距为13- 9.已知点()1,2A ,(),6B a ,且AB =5，则a 的值为（ ） A .4 B 4-或2 C.2- D 2-或410对于直线220x y +-=与直线230x y +-=下列说法正确的是（ ） A ．平行 B 垂直 C 交点为41,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 交点为14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭11.两条平行直线3230x y +-=和6410x y ++=的距离为（ ）A ．4 B13 C 23 D 2612.已知点()3,m 到直线40x -=的距离等于1则m 等于（ ）A3-B C 3-二．填空题（每题5分，共20分）13.球的表面积扩大4倍，它的体积扩大为原来的___________倍14.两条相交直线a , b, a ∥平面∂，则b 与平面∂的位置关系为___________15过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 16直线l 1：x ＋my ＋6=0与l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m =0，若21//l l 则m =__________;三．解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）已知圆锥的表面积为a,且它的侧面展开图形是一个半圆，求这个圆锥的底面直径18. （12分）已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标是A （-3，-4）， B （3，-2），C （5，2），求点D 的坐标．19（12分）直线l 经过2+2=0x y +与34-2=0x y +的交点且与直线3-2+4=0x y 垂直，求该直线l 的方程。
湖北高一下学期2月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．下列命题中正确的是（ ） A ．第一象限角小于第二象限角 B ．锐角一定是第一象限角 C ．第二象限角是钝角 D ．平角大于第二象限角【答案】B【分析】根据象限角的定义及锐角、钝角及平角的大小逐一分析判断即可得解. 【详解】解：为第一象限角，为第二象限角，故A 错误； 390︒120︒因为锐角，所以锐角一定是第一象限角，故B 正确； 0︒<90<︒因为钝角，平角， 90︒<180<︒180=︒为第二象限角，故CD 错误.480︒故选：B.2．已知，则等于（ ） cos αcos 2αA ．B ．C ．D 1919-【答案】A【分析】直接利用二倍角的余弦公式，代入，即可求出结果. 2cos 22cos 1αα=-cos α【详解】解：由题可知， cos α. 221cos 22cos 1219αα∴=-=⨯-=故选：A. 3．函数的图象的一条对称轴方程是（ ） 3πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ． B ．C ．D ．π2x =-π4x =-π8x =πx =【答案】A【分析】利用整体思想直接代入余弦函数对称轴的性质即可求解. 【详解】依题意， 由，，得，．ππ2x k +=Z k ∈ππ2x k =-+Z k ∈当时，得. 0k =π2x =-故选：A.4．若，则的值为（ ） 1tan 3α=-222ππcos sin 332sin cos cos ααααα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+A ．B ．C ．D ． 1035323103-【答案】A【分析】根据三角函数基本关系式的和带入即可求解. 22sin cos =1αα+sin tan cos ααα=【详解】因为， 22sin cos =1αα+所以，22ππcos sin =133αα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又，1tan 3α=-所以原式.222221sin cos tan 1102sin cos cos 2sin cos cos 2tan 13αααααααααα++====+++故选：A. 5．已知，，则角终边所在象限是（ ） 4sin25θ=-3cos 25θ=θA ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】根据正弦和余弦的背角公式即可求解. 【详解】∵，， 24sin 2sincos02225θθθ==-<227cos cos sin 02225θθθ=-=-<∴终边在第三象限． θ故选：C.6．下列区间为函数的增区间的是（ ）π2sin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ． B ． C ．D ．ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦3ππ,44⎡⎤-⎢⎣⎦[]π,0-π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】利用整体法求解三角函数的单调递增区间，通过分析只有B 选项满足要求. 【详解】令，， πππ2π2π242k x k -≤+≤+Z k ∈解得：，， 3ππ2π2π44k x k -≤≤+Z k ∈当时，， 0k =3ππ44x -≤≤当时，， 1k =-11π7π44x -≤≤-当时，， 1k =5π9π44x ≤≤故四个选项中，只有B 选项满足要求， 故选：B7．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式)()(sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪ ⎭⎝)(f x 为（ ）A ．B ．)(12sin 26f x x π⎛⎫=+⎪ ⎭⎝)(12sin 26f x x π⎛⎫=-⎪ ⎭⎝C ．D ．)(2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪ ⎭⎝)(2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪ ⎭⎝【答案】D【分析】根据图像直接得到，由周期求，根据时，有最大值，求出.2A =ω6x π=ϕ【详解】由函数的图象得，，即，则， 2A =4113126T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎭⎝2ππω=2ω=∴.)()(2sin 2f x x ϕ=+∵，则.则，得.∵2sin 2266f ππϕ⎛⎛⎫⎫=⨯+=⎪⎪ ⎭⎭⎝⎝sin 13πϕ⎛⎫+=⎪ ⎭⎝232k ππϕπ+=+)(26k k Z πϕπ=+∈，2πϕ<∴当时，，则函数.0k =6πϕ=)(2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪ ⎭⎝故选:D.【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；(3)求φ通常利用函数上的点带入即可求解.8．已知，且，则的值为（ ） 1sin cos 2αα=+π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 2πsin4αα⎛⎫-⎪⎝⎭A B ． CD ．【答案】B【分析】利用与倍角公式即可求解. 22sin cos 1αα+=22cos 2cos sin =-ααα【详解】依题意， ∵， 1sin cos 2αα=+∴， 1sin cos 2αα-=两边平方可得， 112sin c 4os αα-=∴， 2sin co 4s 3αα=∴， 712sin cos 4αα+=∴． 27(sin cos )4αα+=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴，sin cosαα+∴． cos 2cos )πsin 4αααα==+=⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：B.二、多选题9．下列各式中，值为的是（ ） 12A ． B ．22cossin 1212ππ-2tan 22.51tan 22.5︒-︒C ．D 2sin15cos15︒︒【答案】BC【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的倍角公式，准确化简，即可求解. 【详解】由余弦的倍角公式，可得A 不正确； 22cossin cos 2cos 1212126ππππ⎛⎫-=⨯==⎪ ⎭⎝由正切的倍角公式，可得，所以B 正确；由正弦的倍2tan 22.51tan 22.5︒-︒212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒=⋅=︒=-︒角公式，可得，所以C 正确； 12sin15cos15sin 302︒︒=︒=，所以D 不正确. ==故选：BC .10．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则具有性质()cos 2f x x =4π()g x ()g x （ ）A ．最小正周期为B ．图象关于直线对称π2x π=C ．图象关于点对称D ．在上单调递减3,08π⎛⎫⎪⎝⎭0,4π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】AD【分析】先求得的解析式，然后根据三角函数的周期性、对称性、单调性对选项进行分析，()g x 从而确定正确选项.【详解】由题意可得，()ππcos 2cos 2sin242g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以的最小正周期，故A 正确； ()g x 2ππ2T ==因为，所以的图象不关于直线对称，故B 错误；πsin π02g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()g x π2x =因为，所以的图象不关于点对称，故C 错误； 3π3πsin 84g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()g x 3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭因为时，，所以在上单调递减，故D 正确.π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭20,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()g x π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：AD.11．已知（），则（ ） sin 2(1)cos n θθ=⨯-Z n ∈22sin sin cos 2cos θθθθ+-=A ．B ．0C ．D ．43-34-45【答案】BD【分析】讨论的奇偶，由条件求，根据同角关系将所求表达式化为由表示的形式，代n tan θtan θ入条件可求其值.【详解】由，可得， sin 2(1)cos n θθ=⨯-当为偶数时，得，得，n sin 2cos θθ=tan 2θ=因为． 22222222sin sin cos 2cos tan tan 2sin sin cos 2cos sin cos tan 1θθθθθθθθθθθθθ+-+-+-==++所以，D 正确； 224224sin sin cos 2cos 415θθθθ+-+-==+当为奇数时，得，即， n sin 2cos θθ=-tan 2θ=-此时．B 正确； 22sin sin cos 2cos 0θθθθ+-=故选：BD.12．已知函数，，以下命题中正确的命题是（ ） ()()sin πf x x =-()cos g x x =-A ．函数的最小正周期为 ()()y f x g x =πB ．函数的最大的值为 ()()y f x g x =2C ．将函数的图象向右平移单位后得函数的图象 ()y f x =π2()y g x =D ．将函数的图象向左平移单位后得函数的图象 ()y f x =π2()y g x =【答案】AD【分析】化简函数的解析式，利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，利用()f x ()()y f x g x =正弦型函数的基本性质可判断AB 选项；利用三角函数图象变换可判断CD 选项. 【详解】函数，．()()sin πsin f x x x =-=-()cos g x x =-所以，1()()sin cos sin 22y f x g x x x x ===所以函数的最小正周期为，故A 项正确； ()()y f x g x =2ππ2T ==函数的最大值为，故B 项错误；()()1sin 22y f x g x x ==12函数的图象向右平移个单位得到的图象，故C 项()()sin πsin f x x x =-=-π2πsin cos 2y x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭错误；函数的图象向左平移个单位得到的图象，故D 项正确．()sin f x x =-π2πsin cos 2y x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭故选：AD.三、填空题13．已知角的终边过点，则________．θ(1,2)-πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】3-【分析】根据正切函数的定义与和差公式即可求解.【详解】依题意， ∵的终边过点， θ(1,2)-∴，tan 2θ=-∴． π1tan tan 341tan θθθ-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭故答案为：.3-14．若函数在闭区间上的最大值为1，则的值为________．()2sin (01)f x x ωω=<<π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω【答案】##0.512【分析】结合正弦函数性质求函数在闭区间的求最大值，列方程求的值()f x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω【详解】因为，，所以，π03x ≤≤01ω<<ππ033x ωω≤≤<所以，所以， πsin 0sin sin 3x ωω≤≤π02sin 2sin 3x ωω≤≤所以函数在闭区间上的最大值为，()f x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2sin 3ω所以，故，因此． π2sin13ω=ππ36ω=12ω=故答案为：. 1215．已知，则______. π02x <<πcos 24x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan 2x =【分析】化简已知条件，求得，通过两边平方的方法求得，进而求得1cos sin 2x x -=sin 2x .cos 2,tan 2x x【详解】， πcos 24x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭①， 221(cos sin )cos sin (cos sin )(cos sin )2x x x x x x x x +=-=+-，， π02x <<Q sin cos 0x x ∴+≠化简得①，则，1cos sin 02x x -=>π04x <<π022x <<由，得，21(cos sin )4x x -=3sin 24x =cos 2x =. sin 2tan 2cos 2x x x ∴==16．设常数a 使方程在闭区间上恰有三个不同的解，则实数a 的取sin x x a =[]0,2π123,,x x x 值集合为________．【答案】【分析】利用辅助角公式得到方程的解即为在上直线与三角函数图象的[]0,2πy a =π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭交点，画出图象，数形结合得到当且仅当a =案.【详解】∵， 1πsin 2sin 2sin 23x x x x x a ⎛⎫⎛⎫+==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴方程的解即为在上直线与三角函数图象的交点，[]0,2πy a =π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵， []0,2πx ∈∴， ππ7π,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦画出函数在上的图象，如下：2sin y z =π7π,33z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由图象可知当且仅当. a故答案为：四、解答题 17．求的值．sin 36sin15sin 39cos36cos15sin 39︒︒︒-︒︒+︒【答案】2+【分析】根据题意，由正余弦以及正切的和差角公式，化简计算，即可得到结果. 【详解】解：原式sin(7539)cos 75sin 39cos(7539)sin 75sin 39︒︒︒︒︒︒︒︒-+=--sin 75cos39cos 75sin 39cos 75sin 39cos 75cos39sin 75sin 39sin 75sin 39︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒-+=+-sin 75cos39tan 75cos 75cos39︒︒︒=︒︒=tan 30tan 45tan(3045)1tan 30tan 45︒+=+=︒︒︒︒︒-．2==+18．如图，有一个圆心角为钝角的扇形地块，半径为．现计划在这块地上建一个矩形的游乐m R 场，要求矩形的一条边在半径OA上，则如何设计可使游乐场的面积最大？【答案】当矩形的对角线OM 与半径OA 的夹角为45°时，矩形游乐场的面积最大 【分析】先把矩形两边都用三角函数表示,再应用二倍角公式及三角函数值域求最值即可.【详解】因为矩形的一边在OA 上，所以要使矩形的面积最大，O 应为矩形的一个顶点，且与点O 相对的顶点在弧AB上，如图所示设，则在中，，， MOA α∠=Rt MOP A cos OP R α=sin PM R α=所以矩形的面积． 21cos sin sin22S OP PM R R R ααα=⋅=⋅=当时，S 最大，． 45α=︒22max 1(m )2S R =所以当矩形的对角线OM 与半径OA 的夹角为45°时，矩形游乐场的面积最大．19．已知函数的图象过点，，且在区间()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭5π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调． 5ππ,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)求的解析式；()f x (2)设的最小正周期为，在给定的坐标系中作出函数的简图．()f x T ππ(),66f x x T ⎛⎫⎡⎤∈--+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【答案】(1)π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)图见解析【分析】（1）由函数解析式以及图象所过点坐标得出最小正周期，进而求出，由结合ωπ112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭五点作图法，求出，可得函数解析式； ϕ（2）利用五点作图法画出函数图象．【详解】（1）∵，π()sin()0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭∴，．min ()1f x =-max ()1f x =∵的图象过点，，且在区间上单调，()f x 5π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭5ππ,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭∴的最小正周期． ()f x π5π2π1212T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭∴， 2π2Tω==由，得，，，．π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππ22π122k ϕ⨯+=+k ∈Z π2π3k ϕ=+k ∈Z 又，∴．π2ϕ<π3ϕ=故．π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）函数的简图如图所示：ππ(),66f x x T ⎛⎫⎡⎤∈--+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭20．（1）化简：； 2sin cos sin()cos()2sin sin αβαβαβαβ----（2）求证：． 1sin cos sin 1sin cos 1cos θθθθθθ+-=+++【答案】（1）；（2）证明见解析tan()αβ+【分析】（1）根据题意，由正余弦的和差角公式，代入计算，化简即可得到结果；（2）根据题意，由二倍角公式，代入分别计算，即可证明.【详解】（1） 2sin cos sin()2sin cos (sin cos cos sin )cos()2sin sin (cos cos sin sin )2sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ----=--+- sin cos cos sin sin()cos cos sin sin cos()αβαβαβαβαβαβ++==-+．()tan αβ=+（2）证明：左边 222sin cos 2sin 1sin cos 2221sin cos 2sin cos 2cos 222θθθθθθθθθθ++-===+++右边． 22sin cos sin 2sin cos sin 222221cos 2cos 2cos sin cos 2222θθθθθθθθθθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以． 1sin cos sin 1sin cos 1cos θθθθθθ+-=+++21．已知函数. 2()2sin sin sin cos 23f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求的最小正周期；()f x （2）当时，若，求的值.[0,]απ∈()1f α=α【答案】（1）；（2）或. π4π1112π【分析】（1）先将函数解析式化简整理，得到，即可求出最小正周期； 2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）先由，得到，再由，即可确定结果. [0,]απ∈72333πππα≤+≤1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】（1） 211()2cos sin sin 222f x x x x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭2211sin 2sin 222x x x x =++sin 222sin 23x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以最小正周期为π（3）因为，所以， 0απ≤≤72333πππα≤+≤又因为，即， ()1f α=1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以或，则或. 5236ππα+=136π4πα=1112π【点睛】本题主要考查求三角函数的最小正周期，以及由三角函数值求角的问题，熟记三角函数的图像和性质即可，属于常考题型.22．已知函数22()2sin cos .f x x x x x =+(1)求的图象的对称轴的方程；()f x (2)若关于的方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围． x |()|10a f x a +-=[0,]2x π∈a 【答案】(1)， 122k x ππ=+Z k ∈(2) 13⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）先将解析式化成正弦型函数，然后利用整体代换即可求得对称轴方程.232x k πππ+=+（2）方程有两个不同的实数根转化成图像与有两个交点即可|()|10a f x a +-=()y f x =11y a=-求得实数的取值范围． a【详解】（1）， ()22sin cos 2sin 22sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭由，，得，． 232x k πππ+=+Z k ∈122k x ππ=+Z k ∈故的图象的对称轴方程为，． ()f x 122k x ππ=+Z k ∈（2）因为，当时，不满足题意；()10a f x a +-=0a =当时，可得．画出函数在上的图象， 0a ≠()11f x a =-()f x 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦或112a <-<101a <-<13a <<．综上，实数a 的取值范围为． 1a <<13⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭。
数学必修二月考卷
数学必修二月考卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，奇函数的是（）A. y = x²B. y = |x|C. y = x³D. y = x² + 12. 已知等差数列{an}的公差为2，且a1=3，则第10项a10的值为（）A. 19B. 21C. 23D. 253. 设函数f(x) = (1/2)^x，则f(x)的单调递减区间为（）A. (∞, +∞)B. (0, +∞)C. (∞, 0)D. (0, 1)4. 若向量a = (2, 3)，向量b = (1, 2)，则2a 3b的值为（）A. (8, 1)B. (8, 1)C. (7, 1)D. (7, 1)5. 已知函数f(x) = x² 2x + 1，则f(x)的最小值为（）A. 0B. 1C. 1D. 26. 在三角形ABC中，a=8, b=10, sinA=3/5，则三角形ABC的面积S为（）A. 12B. 24C. 36D. 487. 下列函数中，周期为π的是（）A. y = sinxB. y = cosxC. y = tanxD. y = cotx8. 已知数列{an}的通项公式为an = n² + n，则数列的前5项和S5为（）A. 55B. 65C. 75D. 859. 若直线y = 2x + 1与直线y = kx 3垂直，则k的值为（）A. 1/2B. 1/2C. 2D. 210. 已知函数f(x) = x² 4x + 3，则f(x)的零点为（）A. 1, 3B. 1, 3C. 1, 3D. 1, 3二、填空题（每题4分，共40分）1. 已知等差数列{an}的公差为3，且a1=2，则第7项a7的值为______。
2. 若向量a = (3, 4)，向量b = (2, 1)，则2a + 3b的值为______。
3. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于原点的对称点坐标为______。
高一数学 第二次月考试卷(含答案)
高一数学 第二次月考试卷班级______姓名________ 命题教师——一、选择题（本题12小题，每题5分，共60分）1、0150tan 的值为（ A ） A.33- B ．33 C ．3- D. 3 2、终边在第一象限和第三象限的平分线上的角的集合为（B ）A 、{}0022545，B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k 4k ，ππαα C 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k 4k 2，ππαα D 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k 4k ，ππαα 3、若54sin -=θ，0tan >θ，则=θcos （ B ） A 、54 B 、53- C 、43 D 、43- 4、角α与角γ的终边相同，且α是第一象限角，1tan =γ，090+=αβ，则βsin =（A ） A.22 B ．22- C ．21 D. 21- 5、已知3)tan(=+απ，则)cos()sin()cos()sin(απαπααπ+-+-+-的值为（B ） A.2 B.-2 C.3 D.-3 6、已知集合{}5,4,3,2,1=A ，{}A y x A y A x y x B ∈-∈∈=,,),(,则B 中所含元素的个数为( D ) A.3 B.6 C.8 D.107、已知)(x f 在R 上是奇函数，且满足)()4(x f x f =+，当)2,0(∈x 时，22)(x x f =，则=)7(f （ A ） A.-2 B.2 C.-98 D.988、函数)23(log 21-=x y 的定义域是 ( D )A 、[)+∞,1B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,32D 、⎥⎦⎤ ⎝⎛1,329、函数)1(log )1(log 22-++=x x y 在定义域上是（ C ）A 、偶函数B 、奇函数C 、增函数D 、减函数10、已知函数)91(,log 2)(3≤≤+=x x x f ，则函数[])()(22x f x f y +=的最大值为（C ） A.6 B.13 C.22 D.3311、设函数)0(,ln 31)(>-=x x x x f ，则)(x f y =（ D ） A.在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1e ，()e ,1内均有零点 B. 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1e ，()e ,1内均无零点 C. 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1e 内有零点，在区间()e ,1内无零点 D. 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1e 内无零点，在区间()e ,1内有零点 12、若方程0)5()2(2=-+-+m x m x 的两根都大于2，则m 的取值范围是（A ）A 、(]4,5--B 、(]4,-∞-C 、()2,-∞-D 、()()4,55,---∞-二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13、设扇形的周长为8cm,面积为42cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 2 。
人教A版必修四高一(下)2月月考数学试卷.doc
鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷高一（下）2月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2009•宁夏）已知集合A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}，则A ∩∁N B=（ ） A ． {1，5，7} B ． {3，5，7} C ． {1，3，9} D ． {1，2，3} 考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 计算题． 分析： A ∩C N B 中的元素是属于集合A 但不属于集合B 的所有的自然数． 解答： 解：∵A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}， ∴A ∩C N B={1，5，7}．故选A ．点评： 本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细求解． 2．（5分）在区间（0，+∞）上不是增函数的是（ ）A ． y=2xB ．C ．D ． y=2 x 2+x+1考点： 对数函数的单调性与特殊点． 专题： 应用题．分析：由指数函数的性质可知y=2x 在R 上单调递增，结合对数函数的性质可得在（0，+∞）单调递增，由反比例函数的性质可得在（0，+∞）单调递减，由二次函数的性质可得y=2x 2+x+1在[，+∞）单调递增，则在（0，+∞）单调递增解答： 解：A ：y=2x在R 上单调递增，B ：在（0，+∞）单调递增C ：在（0，+∞）单调递减D ：y=2x 2+x+1在[，+∞）单调递增，则在（0，+∞）单调递增故选：C点评： 本题主要考查了指数函数、对数函反比例函数及二次函数的单调性的判断，解题的关键是熟练掌握基本初等函数的单调性的结论3．（5分）下列不等式正确的是（ ）A ． log 34＞log 43B ． 0.30.8＞0.30.7C ． π﹣1＞e ﹣1D ． a 3＞a 2（a ＞0，且a ≠1） 考点： 指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的性质． 专题： 证明题． 分析： 本题中四个选项有一个是比较对数式的大小，其余三个都是指数型的，故可依据相关函数的性质对四个选项逐一验证，以找出正确选项．解答： 解：对于选项A ，由于log 34＞log 33=1=log 44＞log 43，故A 正确；对于选项B ，考察y=0.3x ，它是一个减函数，故0.30.8＜0.30.7，B 不正确；对于选项C ，考察幂函数y=x ﹣1，是一个减函数，故π﹣1＜e ﹣1，C 不正确；对于D ，由于底数a 的大小不确定，故相关幂函数的单调性不确定，故D 不正确． 故选A点评：本题考点是指数、对数及幂函数的单调性，考查利用基本初等函数的单调性比较大小，利用单调性比较大小，是函数单调性的一个重要运用，做题时要注意做题的步骤，第一步：研究相关函数的单调；第二步：给出自变量的大小；第三步：给出结论．4．（5分）已知两条直线ax﹣y﹣2=0和（a+2）x﹣y+1=0互相垂直，则a等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题．分析：先求出求出两直线的斜率，利用两直线垂直，斜率之积等于﹣1 求得a值．解答：解：直线ax﹣y﹣2=0的斜率等于a，（a+2）x﹣y+1=0 的斜率为 a+2，∵两条直线ax﹣y﹣2=0和（a+2）x﹣y+1=0互相垂直，∴a（a+2）=﹣1，解得 a=﹣1，故选 A．点评：本题考查两直线垂直的性质，两直线垂直，斜率之积等于﹣1，求出两直线的斜率是解题的突破口．5．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．[0，1）考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：令被开方数大于等于0，同时对数的真数大于0；列出不等式组，求出x的范围即为定义域．解答：解：要使函数有意义，需即0≤x＜1故函数的定义域为[0，1）故选D．点评：本题考查求函数的定义域需要开偶次方根的被开方数大于等于0，对数的真数大于0底数大于0且不大于1．6．（5分）（2011•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B．C．10 D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；压轴题．分析：三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中，最大的值．解答：解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，，10，显然面积的最大值，10．故选C．点评：本题是基础题，考查三视图复原几何体的知识，考查几何体的面积，空间想象能力，计算能力，常考题型．7．（5分）已知点A（﹣5，4）、B（3，2），过点C（﹣1，2），且与点A、B的距离相等的直线方程是（）A．x+4y﹣7=0 B．4x﹣y+7=0C．x+4y﹣7=0或x+1=0 D．x+4y﹣7=0或4x﹣y+7=0考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：分A（﹣5，4）、B（3，2）位于所求直线的同一侧与A（﹣5，4）、B（3，2）分别位于所求直线的两侧讨论解答即可．解答：解：分别与A、B两点的距离相等，这样的直线方程有两个．（1）A（﹣5，4）、B（3，2）位于所求直线的同一侧，则直线与AB平行，斜率k==﹣，故所求直线为y﹣2=﹣（x+1），即x+4y﹣7=0；（2）若A（﹣5，4）、B（3，2）分别位于所求直线的两侧，则所求直线必过AB中点（﹣1，3），∵此中点与C（﹣1，2）的横坐标相同，都为﹣1，故所求直线为x=﹣1，即x+1=0．综上所述，与点A、B的距离相等的直线方程是x+4y﹣7=0或x+1=0．故选C．点评：本题考查直线的一般式方程，考查分类讨论思想，考查解答与运算能力，属于中档题．8．（5分）（2008•天津）设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=3，这时a的取值集合为（）A．{a|1＜a≤2} B．{a|a≥2} C．{a|2≤a≤3} D．{2，3}考点：幂函数的实际应用．专题：压轴题．分析：先由方程logx+log a y=3解出y，转化为函数的值域问题求解．a解答：解：易得，在[a，2a]上单调递减，所以，故⇒a≥2故选B．鑫达捷点评：本题考查对数式的运算、反比例函数的值域、集合的关系等问题，难度不大．注意函数和方程思想的应用．9．（5分）若直线ax+by﹣3=0和圆x2+y2+4x﹣1=0切于点P（﹣1，2），则ab的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3考点：直线与圆的位置关系；基本不等式．专题：计算题．分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径r，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，让d等于圆的半径r，化简后得到关于a与b的方程，记作①，又直线与圆的切点为P，所以把点P的坐标代入直线中，得到关于a 与b的另一个关系式，记作②，联立①②即可求出a与b的值，进而求出ab的值．解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x+2）2+y2=5，所以圆心坐标为（﹣2，0），半径r=，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d==r=，化简得：a2+5b2﹣12a﹣9=0①，把切点P的坐标代入直线方程得：﹣a+2b﹣3=0②，联立①②，解得：a=1，b=2，则ab的值为2．故选C点评：此题要求学生掌握直线与圆相切时满足的条件即圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用点到直线的距离公式化简求值．学生应理解切点为直线与圆的唯一的公共点，所以切点满足已知的直线方程．10．（5分）侧棱长为a的正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．2πa2C．D．3πa2考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：计算题．分析：侧棱长为a的正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，说明三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，求出直径，即可求出球的表面积．解答：解：因为侧棱长为a的正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，正方体的对角线长为：；所以球的表面积为：4π=3πa2故选D点评：本题是基础题，考查三棱锥的外接球的表面积的求法，三棱锥扩展为正方体是本题的关键，正方体的对角线是外接球的直径也不容忽视，考查计算能力．11．（5分）已知函数f（x）=3ax+1﹣3a，在区间（﹣1，1）内存在x0，使f（x0）=0，则a的取值范围是（）A．B．C．D．a＜﹣1或a＜﹣1考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题．分析：先令f（x）=0求出x的表达式，然后根据题意得到﹣1＜＜1，解此不等式可求得a的范围，确定最后答案．．解答：解：令f （x）=3ax+1﹣3a=0得到 x=，所以根据题意有即﹣1＜＜1，当a＞0时，解上述不等式得a ＞，当a＜0时，解上述不等式得无解，所以a的取值范围为a ＞，故选B．点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系和分式不等式的解法，特别要注意正确求出不等式的解，属于中档题．12．（5分）（2009•陕西）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0．则当n∈N*时，有（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：压轴题；探究型．分析：由“x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0”可等有“x2＞x1时，f（x2）＞f（x1）”，符合增函数的定义，所以f（x）在（﹣∞，0]为增函数，再由f（x）为偶函数，则知f （x）在（0，+∞）为减函数，由n+1＞n＞n﹣1＞0，可得结论．解答：解：x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0∴x2＞x1时，f（x2）＞f（x1）∴f（x）在（﹣∞，0]为增函数∵f（x）为偶函数∴f（x）在（0，+∞）为减函数而n+1＞n＞n﹣1＞0，∴f（n+1）＜f（n）＜f（n﹣1）∴f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）故选C．点评：本题主要考查单调性定义的变形与应用，还考查了奇偶性在对称区间上的单调性，结论是：偶函数在对称区间上的单调相反，奇函数在对称区间上的单调性相同．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在空间直角坐标系中，在z轴上求一点C，使得点C到点A（1，0，2）与点B（1，1，1）的距离相等，则点C的坐标为（0，0，1）．考点：空间中的点的坐标．专题：计算题．分析：根据点C在z轴上，设出点C的坐标，再根据C到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AC，BC，解方程即可求得C的坐标．解答：解：设C（0，0，z）由点C到点A（1，0，2）与点B（1，1，1）的距离相等，得12+02+（z﹣2）2=12+12+（z﹣1）2解得z=1，故C（0，0，1）鑫达捷故答案为：（0，0，1）．点评：考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题．14．（5分）已知函数，则函数f（log23）的值为．考点：函数的值；对数的运算性质．专题：计算题．分析：根据题意首先求出log3的范围为（1，2），然后结合函数的解析式可得f（log23）=f（1+log23）2==．解答：解：由题意可得：1＜log3＜2，2因为函数，所以f（log23）=f（1+log23）==．故答案为．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握对数与指数的有关运算，并且加以正确的计算．15．（5分）下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图的形状相同的是②④．考点：简单空间图形的三视图．专题：常规题型．分析：要分别验证各几何体的三视图，看是否仅有两个形状相同，如①正方体的三视图的三个图都为正方形，故①不是．再分别验证②③④即可．解答：解：①该几何体是正方体，所以其三视图都是正方形，故①不是；②该几何体是圆锥，所以其三视图中正视图与侧视图是等腰三角形，俯视图是圆，故②是；③该几何体是三陵台，所以其三视图虽说正视图与侧视图都是梯形，但由于上下底不等长，故③不是；④该几何体是正四棱锥，所以其三视图正视图与侧视图都是等腰梯形，俯视图是正方形，故④是；故答案为：②④．点评：本题考查简单空间图形的三视图，一定要注意几何体的形状，及它的放置方式．16．（5分）已知点A（﹣1，0），B（0，2），点P是圆（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则△PAB面积的最大值是．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；数形结合．分析：当过P点的直线与AB平行且与圆相切时，切点P为△PAB面积的最大值时动点的位置，由A与B的坐标求出直线AB的斜率为2，进而得到切线的斜率也为2，设出切线方程y=2x+b，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离d等于半径r，列出关于b的方程，求出的解得到b的值，确定出切线的方程，然后由A与B两点写出直线AB的方程，根据平行线间的距离公式求出AB与切线间的距离即为三角形ABP中AB边上的高，利用勾股定理求出|AB|的长，利用三角形的面积公式即可求出此时△PAB面积，此时的面积即为最大值．解答：解：根据题意画出图形，如图所示：由直线AB的斜率k AB ==2，得到过P与AB平行且与圆相切的直线斜率k=2，鑫达捷设该直线的方程为：y=2x+b，又圆心坐标为（1，0），半径r=1，所以圆心到直线的距离d==r=1，即b=﹣2（舍去）或b=﹣﹣2，故该直线方程为：y=2x ﹣﹣2，又直线AB的方程为：y=2（x+1），即y=2x+2，所以两平行线的距离为，|AB|==，则△PAB面积的最大值是××=．故答案为：点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时满足的条件，掌握平行线间的距离公式，考查了数形结合的数学思想．当过一点于圆相切且与直线AB平行，此时切线与圆的切点为△PAB面积取得最大值时动点P的位置，找出此点是解本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）计算：；（2）解方程：．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用指数幂和对数的运算性质即可得出；（2）利用对数的运算性质及一元二次方程的解法即可求出．解答：解：（1）原式=+=5+9+=14﹣4=10；（2）∵方程鑫达捷2）﹣3=0，∴lg2x﹣2lgx﹣3=0，∴（lgx﹣3）（lgx+1）=0，∴lgx﹣3=0，或lgx+1=0，解得x=1000或．点评：熟练掌握指数幂和对数的运算性质是解题的关键．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，A1A=AC=BC=1，AB=，点D是AB的中点．（I）求证：AC1∥平面CDB1；（II）求三棱锥A1﹣ABC1的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；转化思想；空间位置关系与距离．分析：（I）设CB与1C1B的交点为E，连接DE，通过证明DE∥AC1，利用直线与平面平行的判定定理证明AC1∥平面CDB1．（II）要求三棱锥A1﹣ABC1的体积，转化为求出底面A1AC1的面积，说明BC为三棱锥B﹣A1AC1的高；即可求解．解答：（本小题满分12分）证明：（I）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1，…（3分）∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．…（5分）（II）底面三边长AC=BC=1，AB=，∴AC⊥BC，…（7分）∵A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥BC；而A1A∩AC=C，∴BC⊥面AA1C1C，则BC为三棱锥B﹣A1AC1的高；…（9分）∴．…（12分）（注：若用其他方法求得，相同标准给分）点评：本题考查直线与平面平行的判定定理，棱锥鑫达捷的体积的求法，考查转化思想与计算能力．19．（12分）如图，AB是圆O的直径，C是圆周上不同于A、B的一点，VA⊥平面ABC，VA=AB．（I）证明：平面VAC⊥平面VBC；（II）当三棱锥A﹣VBC的体积最大值时，求VB与平面VAC所成角的大小．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：（I）由圆周角定理可得BC⊥AC，由线面垂直的性质可得BC⊥VA，进而由线面垂直的判定定理可得BC⊥面VAC，再由面面垂直的判定定理得到平面VAC⊥平面VBC；（II）由（I）可得VA为三棱锥V﹣ABC的高，故△ABC的面积最大时，V A﹣VBC最大，设BC=x（0＜x＜2a），由基本不等式，可得三棱锥A﹣VBC的体积最大值时BC的长，结合（1）中BC⊥面VAC，则∠BVC为VB与平面VAC所成角，解三角形可得答案．解答：证明：（I）∵AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，∴BC⊥AC，…（2分）由VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥VA，而AC∩VA=A，AC，VA⊂平面VAC∴BC⊥面VAC，…（4分）由BC⊂平面VBC，∴平面VAC⊥平面VBC．…（6分）解：（II）∵VA⊥平面ABC，∴VA为三棱锥V﹣ABC的高，则，当△ABC的面积最大时，V A﹣VBC最大．…（8分）设AB=2a，设BC=x （0＜x＜2a），则则=即鑫达捷时，△ABC的面积最大，V A﹣VBC最大．…（10分）由（1）知：BC⊥面VAC，则∠BVC为VB与平面VAC所成角，…（12分）在Rt△VBC 中，，，，∴∠BVC=30°，故直线VB与平面VAC所成角为30°．…（14分）点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，（I）的关键是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直与面面垂直之间的相互转化，（II）的关键是求出线面夹角的平面角，将空间线面夹角转化为解三角形问题．20．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a≠0）对于任意x∈R都有f（1+x）=f（1﹣x），且函数y=f（x）+2x为偶函数；函数g（x）=1﹣2x．（I）求函数f（x）的表达式；（II）求证：方程f（x）+g（x）=0在区间[0，1]上有唯一实数根；（III）若有f（m）=g（n），求实数n的取值范围．考点：根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及分析：（I）根据对于任意x∈R都有f（1+x）=f（1﹣x）可知对称轴为x=1，由此得a，b的方程，再由y=f（x）+2x为偶函数可求得b值，从而求得a值；（II）设h（x）=f（x）+g（x），方程f（x）+g（x）=0在区间[0，1]上有唯一实数根转化为证明函数h（x）在[0，1]上有唯一零点，根据零点存在定理判定其存在性，利用单调性判定其唯一性；（III）求出f（x），g（x）的值域及其交集，据f（m）=g（n）知g（n）属于该交集；解答：（I）解：∵对于任意x∈R都有f（1+x）=f（1﹣x），∴函数f（x）的对称轴为x=1，得b=﹣2a．又函数y=f（x）+2x=ax2+（b+2）x+1为偶函数，∴b=﹣2，从而可得a=1．∴f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2．（II）证明：设h（x）=f（x）+g（x）=（x﹣1）鑫达捷∵h（0）=2﹣20=1＞0，h（1）=﹣1＜0，∴h（0）h（1）＜0．所以函数h（x）在区间[0，1]内必有零点，又∵（x﹣1）2，﹣2x在区间[0，1]上均单调递减，所以h（x）在区间[0，1]上单调递减，∴h（x）在区间[0，1]上存在唯一零点．故方程f（x）+g（x）=0在区间[0，1]上有唯一实数根．（III）解：由题可知∴f（x）=（x﹣1）2≥0．g（x）=1﹣2x＜1，若有f（m）=g（n），则g（n）∈[0，1），则1﹣2n≥0，解得 n≤0．故n的取值范围是n≤0．点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，考查函数奇偶性的性质，考查学生对问题的理解能力及转化能力，零点存在定理及二次函数的有关性质是解决问题的基础．21．（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x﹣3．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）直接写出f（x）的单调区间（不需给出演算步骤）；（Ⅲ）求不等式f（﹣x）≥f（x）解集．考点：函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（I）根据函数的奇偶性，求出x＜0与x=0的解析式，再综合即可；（II）分别求出分段函数在各段上的单调区间即可；（III）根据函数的单调性，分段求解不等式的解集，再综合即可．解答：解：（Ⅰ）当x=0时，f（0）=0；当x＜0时，则﹣x＞0，f（﹣x）=2（﹣x）﹣3=﹣2x﹣3=﹣f（x），则f（x）=2x+3综上：f（x）=（Ⅱ）递增区间：（﹣∞，0），（0，+∞）（Ⅲ）当x＞0时，﹣2x+3≥2x﹣3，即鑫达捷2x﹣3≥2x+3，即当x=0时，0≥0，恒成立综上，所求解集为：点评：本题考查函数解析式的求法，分段函数求单调区间，解函数不等式问题．22．（12分）已知f（θ）=1﹣2sinθ，g（θ）=3﹣4cos2θ．记F（θ）=a•f（θ）+b•g（θ）（其中a，b都为常数，且b＞0）．（Ⅰ）若a=4，b=1，求F（θ）的最大值及此时的θ值；（Ⅱ）若，①证明：F（θ）的最大值是|2b﹣a|+b；②证明：F（θ）+|2b﹣a|+b≥0．考点：两角和与差的正弦函数；函数最值的应用；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）将a与b的值代入利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后利用二次函数的性质即可求出F（θ）的最大值及此时的θ值；（Ⅱ）F（θ）解析式利用同角三角函数间的基本关系整理后，设sinθ=x，得到G（x）关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴，①当≤，即2b≥a时，求出G（x）的最大值为G（1），当＞，即2b＜a时，G（x）的最大值G（0），即可得证；②要证F（θ）+|2b﹣a|+b≥0，即求证G（x）min+|2b﹣a|+b≥0，其中G（x）=4b（x ﹣）2+a﹣b﹣（0≤x≤1），当＜0，即a＜0时，G（x）min+|2b﹣a|+b大于0，当0≤≤1，0≤a≤4b时，G（x）min+|2b﹣a|+b也大于0，得证．解答：解：（Ⅰ）若a=4，b=1时，F（θ）=4（1﹣2sinθ）+3﹣4cos2θ=4（sinθ﹣1）2﹣1，则F（θ）max=15，此时的θ=2k π﹣（k∈Z）；（Ⅱ）证明：F（θ）=a（1﹣2sinθ）+b（3﹣4cos2θ）=4b（sin θ﹣）2+a﹣b ﹣，令sinθ=x∈[0，1]，记G（x）=4b（x ﹣）2+a﹣b ﹣（0≤x≤1），则其对称轴x=；①当≤，即2b≥a时，G（x）max=G（1）=3b﹣a；当＞，即2b＜a时，G（x）max=G（0）=a﹣b，则G（x）max=F（θ）max ==|2b﹣a|+b；②F（θ）+|2b﹣a|+b≥0，即求证G（x）min+|2b﹣a|+b≥0，其中G（x）=4b（x ﹣）2+a﹣b ﹣（0≤x≤1），当＜0，即a＜0时，G（x）min+|2b﹣a|+b=G（0）+2b﹣a+b=2b＞0，当0≤≤1，即0≤a≤4b时，G（x）min+|2b﹣a|+b=G （）+|2b﹣a|+b=a﹣b ﹣+|2b﹣a|+b =a ﹣+|2b﹣a|=+|2b﹣a|≥0，当＞1，即a＞4b时，G（x）min+|2b﹣a|+b=G（1）+a﹣2b+b=2b＞0，综上：F（θ）+|2b﹣a|+b≥0．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，函数最值的应用，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．鑫达捷。
00高一数学必修2(第二章)月考试题
高一数学必修2（第二章）月考试题班级 姓名一.选择题：（每题5分，满分50分）1－y+1=0的倾斜角为 ( )A ，150ºB ，120ºC ，60ºD ，30º2、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则 （ ）A. a=2, b=5B. a=2, b=-5C. a=-2, b=5D. a=-2, b=-5.3、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ）A (3,-1)B (-1,3)C (-3,-1)D (3,1)4、圆x 2+y 2-4x-2y-5=0的圆心坐标是：（ ）A.(-2,-1);B.(2,1);C.(2,-1);D.(1,-2).5、直线3x+4y-13=0与圆1)3()2(22=-+-y x 的位置关系是：（ ）A. 相离;B. 相交;C. 相切;D. 无法判定.6、圆x 2＋y 2＋ax ＝0的圆心的横坐标为1，则a 等于( )A 1B 2C －1D －2 7、已知直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过第一象限，且A ，B ，C 均不为零，则有( )A C ＜0BC ＞0 C BC ＞0D BC ＜0 8、在空间直角坐标系中, 点P(1,2,3)关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A ．(-1,2,3)B ．(1,-2,-3)C ．(-1, -2, 3)D ．(-1 ,2, -3)9、在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于xOy 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对10、过两直线240x y -+=与50x y -+=交点且垂直于直线20x y -=的直线方程是（ ）A ．280x y +-=B ．280x y --=C ．280x y ++=D ．280x y -+=二、填空题（每小题4分，满分20分）11、若直线y ＝3的倾斜角为α，则α等于 ．12、过点（－1，2）且倾斜角为450的直线方程是____________．13、如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，那么系数a等于______．14、点P( 1, 4, -3)与点Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是____________．15．直线mx＋ny＝1（mn≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为____________．三、解答题（每小题10分，满分50分）16．（10分）已知点A（1， 2），B（2，3），求以线段AB所在的直线方程. 17.求经过点P(2,-1)且与直线3260--=平行的直线l及垂直的直线'l的方x y程.18、（10分）已知直线3x+y—23=0和圆x2+y2=4，判断此直线与已知圆的位置关系19．（10分）已知A(1 , -2 , 11) , B(4 , 2 , 3) ,C(6 , -1 , 4) , 求证: ABC 是直角三角形.20．（10分）已知圆过点A(1，4)，B(3，—2)，且圆心到直线AB的距离为10，求这个圆的方程。
人教A版高中必修二试题高一第二次月考试题.docx
高一数学第二次月考试题（考试时间120分钟，总分150分）一、选择题（每题5分，共60分）1．下列叙述中，正确的是（ ）. （A ）因为,P Q αα∈∈，所以PQ ∈α （B ）因为P α∈，Q β∈，所以αβ⋂=PQ（C ）因为AB α⊂，C ∈AB ，D ∈AB ，所以CD ∈α（D ）因为AB α⊂,AB β⊂,所以()A αβ∈⋂且()B αβ∈⋂ 2．已知直线l 的方程为1y x =+，则该直线l 的倾斜角为（ ）.(A)30 (B)45 (C)60 (D)135 3．已知函数23212---=x x xy 的定义域为（ ）.(A)． ]1,21()21,(-⋃--∞(B)．]2,(-∞ (C)．]1,21()21,(-⋂--∞(D)．]1,(-∞4．已知点(,1,2)A x B 和点(2,3,4),且26AB =,则实数x 的值是（ ）. (A)-3或4 (B)–6或2 (C)3或-4 (D)6或-25．长方体的三个面的面积分别是632、、，则长方体的体积是（ ）.(A)．23(B)．32(C)．6(D)．66．已知点(1,2)A 、(3,1)B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）.(A)．524=+y x (B)．524=-y x(C)．52=+y x (D)．52=-y x7．一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）.(A).223π+ (B). 423π+(C). 2323π+(D).2343π+8．若()21P -，为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）. (A)．30x y --= (B).30x y -+= (C)．30x y ++= (D)．30x y +-= 9．等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是（ ）. (A)．S 球=S 正方体 (B).S 球>S 正方体 (C)．S 球<S 正方体 (D)．无法确定10．在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）.x y Ox y O x y O xyO(A) (B) (C) (D)11．已知点)3,2(-A 、)2,3(--B 直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值k 范围是（ ）. (A)、34k ≥或4k ≤- (B)、34k ≥或14k ≤- (C)、434≤≤-k (D)、443≤≤k12．若直线k 24kx y ++=与曲线2x 4y -=有两个交点，则k 的取值范围（ ）.(A)．[)∞+,1 (B)．)43,1[-- (C)． ]1,43( (D)．]1,(--∞22 2 正(主)视图22侧(左)视图俯视图二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．）13．函数⎩⎨⎧≥<--=-)2(2)2(32)(x x x x f x ，则)]3([-f f 的值为 ．14．已知222212:1:349O x y O x y +=+=圆与圆（－）（＋），则12O O 圆与圆的位置关系为 ．15．如果对任何实数k ，直线(3＋k)x ＋(1-2k)y ＋1＋5k=0都过一个定点A ，那么点A 的坐标是 ．16．已知圆2x －4x －4＋2y ＝0上的点P （x,y ）,求22y x +的最大值 ．三、解答题（共70分）17. (12分)已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且垂直于直线210x y --=. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .18．(14分) 已知圆C 同时满足下列三个条件：①与y 轴相切;②在直线y=x 上截得弦长27;③圆心在直线x －3y=0上. 求圆C 的方程.19．（14分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．（1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．ABCD ABCD E F20．（16分）已知圆C ：()2219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点. （1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；（2）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； （3）当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长.答题卡一、选择题；（每题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题：（每题5分，共20分）13. 14.15. 16.三、解答题（共70分）17、 (本小题满分12分)18. (本小题满分14分)19.（本小题满分14分）20.（本小题满分16分）A BC DAB1C1 DEF21.（本小题满分14分）答案一. 选择题；（每题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B A A C B C C C C A B二、填空题：（每题5分，共20分）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由3420,220.x y x y +-=⎧⎨++=⎩ 解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩由于点P 的坐标是（2-，2）.-----------------------2分 则所求直线l 与210x y --=垂直，可设直线l 的方程为 20x y C ++=.--------------------4分 把点P 的坐标代入得 ()2220C ⨯-++= ，即2C =.------------6分 所求直线l 的方程为 220x y ++=.…………………………………………8分 （Ⅱ）由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是1-、2-， 所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积11212S =⨯⨯=. ………………12 18. （本小题满分14分）解：设所求的圆C 与y 轴相切，又与直线交于AB ， ∵圆心C 在直线03=-y x 上，∴圆心C （3a ，a ），又圆 与y 轴相切，∴R=3|a|. ---------------------4分 又圆心C 到直线y －x=0的距离7||,72||.||22|3|||===-=BD AB a a a CD ---------8分在Rt △CBD 中，33,1,1.729,)7(||222222±=±===-∴=-a a a a a CD R .-------------12分∴圆心的坐标C 分别为（3，1）和（－3，－1），故所求圆的方程为9)1()3(22=-+-y x 或9)1()3(22=+++y x .---------------14分19. （本小题满分14分）（1）证明:连结BD . 在长方体1AC 中，对角线11//BD B D . 又 E 、F 为棱AD 、AB 的中点， //EF BD ∴.11//EF B D ∴. 又B 1D 1⊂≠ 平面11CB D ，EF ⊄平面11CB D ，∴ EF ∥平面CB 1D 1.（2）在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂≠ 平面A 1B 1C 1D 1，∴ AA 1⊥B 1D 1.又在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1.又B 1D 1⊂≠ 平面CB 1D 1，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．20. （本小题满分16分）解：（1）已知圆C ：()2219x y -+=的圆心为C （1，0），因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2， 直线l 的方程为y=2(x-1),即 2x-y-20.---------------5分（2） 当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC, 直线l 的方程为12(2)2y x -=--, 即 x+2y-6=0----------------10分（3）当直线l 的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l 的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0 圆心C 到直线l 的距离为12，圆的半径为3，弦AB 的长为34------16分 21. （本小题满分14分）。
数学必修二月考卷
数学必修二月考卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x²3x+2=0}，则A∩B=（）A. {1, 2}B. {2}C. {1}D. ∅2. 函数f(x)=2x3的定义域为R，则f(x)的单调递增区间是（）A. (∞, +∞)B. (∞, 3/2)C. (3/2, +∞)D. (0, +∞)3. 已知等差数列{an}的公差为2，若a1+a3+a5=21，则a4的值为（）A. 7B. 9C. 11D. 134. 不等式x²2x3＜0的解集为（）A. (1, 3)B. (3, 1)C. (1, 3)D. (3, +∞)5. 平面向量a=(2, 3)，b=(1, 2)，则2a+3b的坐标为（）A. (4, 13)B. (5, 13)C. (5, 14)D. (4, 14)6. 已知函数f(x)=|x1|，则f(x)的图像在x=1处（）A. 连续B. 断开C. 不可导D. 可导7. 若复数z满足|z|=1，则z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 单位圆上C. 直角坐标系原点D. 实轴上8. 已知函数f(x)=x²+2x+1，则f(x)的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 39. 在等比数列{an}中，若a1=2，a3=16，则公比q的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 810. 已知函数f(x)=x³3x，则f'(x)的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题4分，共40分）1. 已知集合M={x|x²3x+2=0}，则M的元素为______。
2. 若函数f(x)=3x²4x+1在区间[1, 2]上单调递增，则f'(x)在该区间上的取值范围为______。
3. 等差数列{an}的通项公式为an=3n2，则a10的值为______。
4. 不等式组的解集为______。
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ABC DOEA 1B 1C 1D 1 高一年级第二次数学学科月考试题时间:2013年12月11日一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.圆锥的底面半径为a ，侧面展开图是半圆面,那么此圆锥的侧面积是 （ ）A ．22a π B ．24a π C ．2a π D ．23a π2．已知平面α和直线l ，则α内至少有一条直线与l ( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．异面3.△ABC 是边长为1的正三角形，那么△ABC 的斜二测平面直观图C B A '''∆的面积为（ ）A ．43 B ．83 C ．86 D ．166 4．设正方体的表面积为242cm ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ）A ．π343cmB ．π63cmC ．π383cm D ．π3323cm5．如图所示，O 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1对角线A 1C 与AC 1的交点，E 为棱BB 1的中点，则空间四边形OEC 1D 1在正方体各面上的正投影不可能．．．是（ ）6．下面四个命题：①若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面； ②若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交； ③若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等； ④若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c . 其中真命题的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．17．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A ．283π-B ．83π- C ．82π- D ．23πA ．B ．C．D ．正（主）视图侧（左）视图俯视图8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论：①EF ⊥AA 1；②EF ∥AC ；③EF 与AC 异面；④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④9．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bC ．若a ?α，b ?β，a ∥b ，则α∥βD ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b10．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ?l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，那么直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )A ．－45 B. .35D ．－3512．A 、B 两点相距4 cm ，且A 、B 与平面α的距离分别为3 cm 和1 cm ，则AB 与平面α所成角的大小是( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．30°或90°二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)13.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是__________________14．圆锥底面半径为1，其母线与底面所成的角为060，则它的侧面积为__________________．15．设平面α∥平面β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________.16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角是60°. 其中正确结论的序号是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面P AE；(2)若直线PB与平面P AE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．19．(12分)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．20．(本小题12分)如下图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图和侧视图(尺寸如图所示)．(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.21．(12分)如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：AC⊥平面EBC；(2)求几何体ADEBC的体积V.22．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB ＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．新密一高高一年级第二次数学学科月考试题 答 题 卷二.填空三．解答题 17.班级___________ 姓名_________________________ 考场 ______________ 考号_________________________ -----------------------------------------------------密 -------------------------------------------封----------------------------------------------------线-------------------------------------------------------------------------18.19.20.21.22.新密一高高一年级第二次数学学科月考答案一.选择题二.填空题13.614. 216.①②④15.[解析]如下图所示，连接AC，BD，则直线AB，CD确定一个平面ACBD.∵α∥β，∴AC∥BD，则ASSB＝CSSD，∴86＝12SD，解得SD＝9.16.[解析]如图所示，①取BD中点，E连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC?平面AEC，故AC⊥BD，故①正确．②设正方形的边长为a，则AE＝CE＝2 2a.由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，∴△ACD是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正确．④分别取BC，AC的中点为M，N，连接ME，NE，MN.则MN∥AB，且MN＝12AB＝12a，ME∥CD，且ME＝12CD＝12a，∴∠EMN是异面直线AB，CD所成的角．在Rt△AEC中，AE＝CE＝22a，AC＝a，∴NE＝12AC＝12a.∴△MEN是正三角形，∴∠EMN＝60°，故④正确．三.解答题17[证明](1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1?平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.18[解析](1)如图所示，连接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5.又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.∵P A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以P A⊥CD.而P A，AE是平面P AE内的两条相交直线，所以CD⊥平面P AE.(2)过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF.由(1)CD⊥平面P AE知，BG⊥平面P AE.于是∠BPF为直线PB与平面P AE所成的角，且BG⊥AE.由P A⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，由题意，知∠PBA＝∠BPF，因为sin∠PBA＝P APB，sin∠BPF＝BFPB，所以P A＝BF.由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GD＝BC＝3.于是AG＝2.在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855.于是P A ＝BF ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515.19[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ，∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝ 3. ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ?平面ABCD ，∴PE ⊥AM . ∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3，∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM . (2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ， ∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角．∴tan ∠PME ＝PE EM ＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.20[解析] (1)由几何体的三视图可知，底面ABCD 是边长为4的正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A ∥EB ，且P A ＝42，BE ＝22，AB ＝AD ＝CD ＝CB ＝4，∴V P －ABCD ＝13P A ·S 四边形ABCD ＝13×42×4×4＝6423.(2)连接BP ， ∵EB AB ＝BA P A ＝12，∠EBA ＝∠BAP ＝90°，∴∠PBA ＝∠BEA .∴∠PBA ＋∠BAE ＝∠BEA ＋∠BAE ＝90°.∴PB ⊥AE .又BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE. ∴AE⊥平面PBG.∴AE⊥PG.21[解](1)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB?平面ABED，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.又∵AC＝BC＝22AB，∴CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE.(2)取AB的中点H，连GH，∵BC＝AC＝22AB＝22，∴CH⊥AB，且CH＝12，又平面ABED⊥平面ABC∴GH⊥平面ABCD，∴V＝13×1×12＝16.22[解析](1)证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC.又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.∵BC1?平面BCC1B，∴AC⊥BC1.(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，又四边形BCC1B1为正方形．∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1.∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.(3)解：∵DE∥AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角．在△CED中，ED＝12AC1＝52，CD＝12AB＝52，CE＝12CB1＝22，∴cos∠CED＝252＝225.∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为22 5.。