平面二阶偏微分方程组的边值问题
偏微分方程的边值问题
偏微分方程的边值问题偏微分方程是研究物理现象和自然现象中最重要的工具之一。
我们知道，在物理现象的研究中，有很多问题是需要通过偏微分方程来描述的。
比如，航空、航天、地球物理、气象学、电力和无线电工程等领域都需要用到偏微分方程来模拟和分析各种现象。
在偏微分方程的研究中，边值问题是一个非常重要的概念。
边值问题是指在偏微分方程的求解过程中，需要给出一些额外的条件，这些条件通常是在边界上给定的。
比如，对于二维的泊松方程（Poisson's Equation），我们可以通过下面的方程来进行描述：$$\nabla^2 u(x, y) = f(x, y)$$其中，$u(x, y)$为待求解的函数，$f(x, y)$是已知函数。
如果要通过偏微分方程来解决这个问题，就必须给出一些额外的限制条件，通常是在边界上给定。
这些条件反映了物理现象的实际约束情况。
因此，边值问题的解决对于偏微分方程的求解是非常重要的。
在很多领域中，边值问题都是得到解决的。
比如，在航空、航天、地球物理、气象学等领域中，都需要对气体、流体和弹性体的边值问题进行研究。
对于解决边值问题，人们通常采用的方法是分离变量法。
这个方法被广泛应用于各种领域中，并且已经得到了广泛的应用。
分离变量法是指将函数表示为一系列特定的函数的乘积的形式。
这些特定的函数是可以随意选择的，在很多领域中，人们会根据具体的问题来选择不同的分离变量。
比如，在求解二维泊松方程时，我们通常会选择正弦和余弦函数作为分离变量，得到：$$u(x, y) = \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty\left(A_{nm}\cos\left(\frac{n\pi x}{l_x}\right)\sin\left(\frac{m\piy}{l_y}\right) + B_{nm}\sin\left(\frac{n\pix}{l_x}\right)\cos\left(\frac{m\pi y}{l_y}\right)\right)$$在这个式子中，$n$和$m$是正整数，$A_{nm}$和$B_{nm}$是待求解的系数，$l_x$和$l_y$是空间的尺度。
二阶积—微分方程边值问题解的存在性
二阶积—微分方程边值问题解的存在性
二阶积—微分方程边值问题是一类公认的重要问题，主要用于描述物理现象和分析时变系统，在物理科学和工程科学领域常见的求解方法是二阶积—微分方程边值问题解。
一、定义：
二阶积—微分方程边值问题是指在b(t)给定的边界上，研究边界值问题：
其中：u(t)是时变系统的未知函数，是满足微分方程：
二、存在性：
求解二阶积-微分方程边值问题的存在性的研究通过推理出给定问题的充分条件，如果充分条件全部满足，则满足问题存在性；如果不满足充分条件，则问题不存在解。
三、唯一性：
一般问题的唯一性可以表示为：
其中上标表示为满足边界值条件的u(t)的唯一解，表示该边值问题的解的唯一性。
四、具体方法：
综上所述，关于二阶积—微分方程边值问题解的存在性，可以采用相关理论和技术，以满足充分条件，来检验其是否存在解，及其唯一性，并利用拉普拉斯变换、参数外推、数值解法等方法求解，实现二阶积—微分方程边值问题更准确的求解。
偏微分方程中的边值问题
偏微分方程中的边值问题偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中重要的研究对象，它描述了物理、工程、生物等学科中许多实际问题的数学模型。
在解决偏微分方程的过程中，边值问题（Boundary Value Problem，简称BVP）扮演着重要的角色。
本文将探讨在偏微分方程中的边值问题及其解决方法。
一、边值问题的定义在求解偏微分方程时，我们通常需要给定一些额外的条件，这些条件被称为边界条件或边值条件。
边值问题是指在解偏微分方程时，除了给出方程本身外，还给出了在某些边界上的条件限制。
通常边界包括定解区域的整个边界以及初始时刻的条件。
二、常见类型的边值问题1. 狄利克雷边值问题狄利克雷边值问题是指在求解偏微分方程时，给定了方程在边界上的函数值。
具体而言，对于一个定义在定解区域Ω上的偏微分方程，狄利克雷边值问题给定了方程在Ω的边界∂Ω上的值，即f(x)=g(x)，其中f(x)是方程的解，g(x)是边界条件给定的函数。
通过求解方程和验证边界条件，可以得到满足狄利克雷边值问题的解。
2. 诺依曼边值问题诺依曼边值问题是指在求解偏微分方程时，给定了方程在边界上的法向导数。
具体而言，对于一个定义在定解区域Ω上的偏微分方程，诺依曼边值问题给定了方程在Ω的边界∂Ω上法向导数的值，即∂f/∂n = h(x)，其中f(x)是方程的解，h(x)是边界条件给定的函数。
通过求解方程和验证边界条件，可以得到满足诺依曼边值问题的解。
3. 罗宾边值问题罗宾边值问题是指在求解偏微分方程时，给定了方程在边界上的线性组合形式，即同时给定了边界上的函数值和法向导数的线性组合。
具体而言，对于一个定义在定解区域Ω上的偏微分方程，罗宾边值问题给定了方程在Ω的边界∂Ω上函数值和法向导数的线性组合，即f(x) + ∂f/∂n = k(x)，其中f(x)是方程的解，k(x)是边界条件给定的函数。
通过求解方程和验证边界条件，可以得到满足罗宾边值问题的解。
【问题】二阶线性常微分方程边值问题的数值解法
【关键字】问题重庆三峡学院毕业论文论文题目：二阶线性常微分方程边值问题的数值解法专业：数学与应用数学年级：2004级学号：0203作者：指导老师：查中伟（教授）完成时间：2008年5月目录二阶线性常微分方程边值问题的数值解法摘要对于二阶线性常微分方程定解问题，大多数是不存在解析解的，有的方程既使存在解析解，然而解出其解也是很难办到的.尤其是工程计算中更需要的是数值解.因此,本文给出两种二阶线性常微分方程边值问题的数值解法.首先给出了利用差分法求其数值解，在介绍此方法的过程中，第一步构造了二阶线性常微分方程边值问题的差分格式（差分方程组），然后论证了该边值问题的收敛性，最后利用二阶微分的四阶紧致差分公式对第一步构造的差分格式进行精度上的改进，得到了较好的结果.接着介绍了二阶线性常微分方程边值问题的第二种数值解法——Taylor展开解法，该方法主要是先将边值问题转化为Fredholm积分方程，再经过数学处理即可得到关于近似解、近似解的一阶导数和近似解的二阶导数的线性方程组，最后利用Crammer法则解出了该二阶线性常微分方程边值问题的数值解.并且利用工程数学软件MA TLAB，给出了计算机程序，使前面两种算法在计算机上得以实现.最后给出了具体实例，分别运用以上两种解法进行求解，对这两种方法的计算精度进行了对比分析.关键词数值解；差分格式；解的收敛性；MATLABNumerical Solution for Boundary Value Problems ofthe Second-order Linear ordinary Differential EquationsKai-min Cheng(Grade 2004, mathematics and applied mathematics, School of Mathematics and Computer Science, , ChongqingWanzhou 404000)Abstract: There is no exact solution for the majority of second-order linear ordinary di fferential equations’ solution problem. Some of them even exists the exact solution, but to solve its solution is a very difficult job. Especially, we need the numerical solution urgently in Engineering Mathematics. Based on this, this paper gives two kinds of numerical solution for Boundary Value Problems of the second-order linear ordinary differential equations. Firstly, this paper gives the difference method to solve its numerical solution. In the process of introducing this method, we construct differential format of the Boundary Value Problems in the first step. Then we demonstrate the convergence of the Boundary Value Problem. Finally, we improve the accuracy for the difference format constructed in first step by the four-order differential format Secondly, this paper gives method of expansion to solve its numerical solution. In this method, we first transform the boundary value problems into Fredholm integral equation, and then can get a group of linear equations with unknowns to the approximate solution, the first order derivative of the approximate solution and the second derivative of the approximate solution after mathematical treatment, and can solve it in Crammer rule. Thirdly, we write an algorithm program by using engineering mathematical software and make above two methods realized on the computer. Finally, this paper gives a specific example and solves it with above two methods separately. This paper also analyzes the feasibility for their accuracy.Keywords: Numerical solutions; Differential format; The convergence of solutions; Matlab language0 引言当前，常微分方程的定解问题已经有很多重要结果，如解的存在性定理.在很多典型的常微分方程的解法上也有较大突破，同时也涌现出了一批较为经典的解法，如降阶法、积分变换法、变易常数法、特征方程法等方法.尽管如此，在数学领域中还存在着迄今为止还难以解出其解析解的微分方程，这就使得微分方程领域必然会产生一个新的微分方程分支——微分方程数值解法.对于较为简单的常微分方程，只需利用经典解法即可解出其解析解，边值问题也是如此.往往在实际工程中抽象出来的微分方程，其边值问题是相当复杂的，所以用求其解析解的方法来计算微分方程的边值问题往往是不适宜的，有时甚至是很难办到的.实际上，对于解微分方程，我们所要获取的或感兴趣的，往往只是一个或几个特定点上的数据，并且既使有的方程存在解析解，也并不意味着其一定能够表达成初等函数形式，如多项式函数、对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数以及它们的有限组合形式.在利用数值计算方法理论的基础上，再辅之计算机若能很好的解决现实工程数学中的许多常微分方程的边值问题，这是非常好的.本文主要论述二阶线性常微分方程边值问题数值解的两种解法：差分法和Taylor 展开法.考虑二阶线性常微分方程的边值问题()()(),(),()y p x y q x y f x a x by a y b αβ'''++=≤≤⎧⎨==⎩(1) 1 差分法1.1 差分格式的构造对于边值问题(1)将区间[,]a b 进等距划分，分点为： 其中 b ah n-= 称0x a =与n x b =为边界点，称121,,,n x x x -为内部节点.在每个节点i x 上将,y y '''用差商近似表示.这里要求有相同的截断误差，以保证精度协调.对于内部节点，二阶导数用二阶中心差商表示，得21122()()i i i i y y y y x o h h+--+''=+，1,2,,1i n =- (2)一阶导数用一阶中心差商表示，得 211()()2i i i y y y x o h h+--'=+，1,2,,1i n =- (3)假设()i i y y x =，则1122()i i i i y y y y x h +--+''≈；11()2i i iy y y x h+--'≈ 于是方程(1)的差分方程：1111222i i i i i i i i i y y y y y p q y f h h+-+--+-++=，1,2,,1i n =- (4)其中()i i p p x =，()i i q q x =，()i i f f x =.称(4)为(1)的中心差分格式.1.2 差分格式(4)的收敛性作适当变换可以消除线性方程(1)中的一阶导数项.事实上，可令()2()xap t dt x e μ-⎰=，再作()()()y x x z x μ=，将之代入(1)得所以，不妨仅就缺少一阶导数项的方程来讨论.对于边值问题：()()(),()y q x y f x y a y b αβ''+=⎧⎨==⎩ (5) 这里假定()0q x ≤，其对应的差分问题是：11202,1,2,,1,i i i i i i n y y y q y f i n h y y αβ+--+⎧+==-⎪⎨⎪==⎩(6)下面讨论差分问题(6)的可解性.由于(6)式是关于变量(0,1,2,,)i y i n =的线性方程组，要证明它的解存在唯一，只要证明对应的齐次方程组只有零解.为此，引进文献[5]的极值原理：引理1(极值原理) 对于一组不全相等的数(0,1,2,,)i y i n =，记其中 0(1,2,,1)i q i n ≤=-如果()0(1,2,,1)i l y i n ≥=-，则i y 的正的最大值只能是0y 或n y ；如果()0i l y ≤(1,2,,1)i n =-，则i y 的负的最小值只能是0y 或n y .证明 用反证法 考察()0i l y ≥的情形，设(11)m y m n ≤≤-是正的最大值，即0max 0m i i ny y M ≤≤==>，且1m y -和1m y +中至少有一个小于M ，此时有:由于0,0m q M ≥>，故由上式推出()0m l y <，此与原假设矛盾. 此外，()0m l y ≤的情形可类似地进行讨论，证毕. 利用引理1的结论有：定理1 差分问题(6)的解存在并且是唯一的. 证明 只要证明对应的其次方程组 只有零解，由于这里()0(1,2,,1)i l y i n ==-，由极值原理知，i y 的正的最大值和负的最小值只能是0y 或n y ，而按边界条件00n y y ==，故所有()0(0,1,2,,)i l y i n ==全为零，证毕.下面运用极值原理论证差分方法的收敛性并估计误差.定理2 设i y 是差分问题(6)的解，而()i y x 是边值问题(6)的解()y x 在节点i x 处的值.则截断误差()i i i e y x y =-有估计式：2()96i M b a e h -≤(7) 式中 (4)max ()a x bM yx ≤≤=证明 由Taylor 展开式，易得2(4)111120()2()()()(),12(),()i i i i i i i i i i n y x y x y x h q y x f y x h y x y x ξξξαβ+--+⎧-++=+≤≤⎪⎨⎪==⎩(8) 将(8)与(6)相减，知误差()i i i e y x y =-满足2(4)11202()()120i i i i i i i n e e e h l e q e y h e e ξ+-⎧-+=-=⎪⎨⎪==⎩(9) 式中的i ξ一般不知道的，讨论下列差分问题211202()120i i i i i i n h l q M h εεεεεεε+-⎧-+=+=-⎪⎨⎪==⎩(9-1) 式中(4)max ()a x bM yx ≤≤=.首先证明(9)和(9-1)两个差分问题的解存在下列关系：i i e ε≤ (0,1,2,,)i n = (10)事实上，由于22(4)()()()1212i i i h h l M y l e εξ=-≤-=-，故有 又 00000;0n n n n e e e e εεεε-=-=+=+=利用引理1知0,0i i i i e e εε-≥+≥，即(10) 式成立. 我们进一步考察211202()120i i i i n h l M h ρρρρρρ+-⎧-+==-⎪⎨⎪==⎩(11) 这里()0i i i i l q ρεε-=≤，又0000n ρερε-=-=，故由引理1（注意0i q =时()i l y 就是()i l y ），知0i i ρε-≥，即i i ερ≤，于是有然而i ρ是容易求出的. 事实上，可以先求解差分问题(9)所对应的边值问题得 2()()()24h x M x a b x ρ=-- 容易验证()i i x ρρ=是差分问题(11)的解，注意到()x ρ在点2a bx +=达到最大值 因此有估计式(7)，证毕.根据估计式(7)知，当0h →时有0i e →，这表明差分问题(6)是收敛的. 又因为(4)式是含有1n +个未知数(0,1,2,,)i y i n =的线性方程组，方程的个数1n -，要使方程组(4)有唯一解，还需要有两个边值条件0,n y y αβ==，它们和(4)一起构成三对角方程组.通过LU 分解，采用追赶法即可解出(4)(见3.1)1.3 差分格式(4)的改进从1.2的讨论可以得知，在1.1构造的差分格式是直接的中心差分格式，其截断误差是2()o h 即有二阶精度.基于中心差分格式的分析，直接利用二阶微分的四阶紧致差分公式，我们得到了数值求解二阶线性常微分方程边值问题的一种四阶精度的差分格式.1.3.1 改进后的差分格式的推导为了便于推导，可将方程(1)改写为()()()y f x p x y q x y '''=-- (12) 为了使格式具有更高得精度，利用[11]中的四阶差分公式2422()1/12x x y y o h h δδ⎛⎫''=+ ⎪+⎝⎭(13) 其中，2x δ为二阶中心差分算子21122i i i x i hφφφδφ+--+=(14)i φ可以表示i y 、i p 、i q 及i f 等.将(13)代入(12)得:2422()()()()()()1/12x i i i i i i x y f x p x y x q x y x o h h δδ⎛⎫'=--+ ⎪+⎝⎭(15) 即2224()()12x ii i i i i x i i i i i h y f p y q y f p y q y o h δδ''=--+--+ (16)而(2)即为22()x xx o h δφφ=+ (17)联立(16)(17)知224()()12x ii i i i i i i i i i h y f p y q y f p y q y o h δ''''=--+--+ (18) 即224(22)()12x ii i i i i i i i i i i i i i i i i i h y f p y q y f p y p y p y q y q y q y o h δ''''''''''''''''''=--+------+ (19) 显然要使(19)具有四阶精度，必须对i y '也进行四阶离散，于是利用Taylor 公式知2411()26i i i i y y h y y o h h +--''''=-+ (20) 又由(12)可得()()y y f py qy f p y py q y qy '''''''''''''''==--=---- (21) 于是有2411()()26i i i y y h y f p y py q y qy o h h +--''''''''=-----+ (22) 再将(2)、(3)、(21)及(22)代入(19)，经整理并略去高阶项可得 11i i i i i i i y y y g γηλ-+++= (23)其中1111112()2312481224242412i i i i i i i i i i i i i i p p p p p p p p q q q hp q h h h γ+-+-+--+--=--+-+-+ (24) 21111112()5226246612i i i i i i i i i i i p hp q q q p p q q q h h η+-+-+----+=--++-- (25)1111112()3212481224242412i i i i i i i i i i i i i i p p p p p p p p q q q h p q h h h λ+-+-+-----=+++++-+ (26) 1122562424i i i i i i hp hp g f f f +-+-=++ (27)故差分方程(23)即为所要推导的四阶精度格式，其截断误差为4()o h .1.3.2 差分格式(23)稳定性分析现对改进后的差分格式(23)进行稳定性分析.首先引用文献[12]对差分方程的稳定性的定义. 定义1(差分算子的稳定性定义) 如果对于充分小的网格步长h ，线性差分算子h L 对任何离散函数(0,1,2,,)i v i n =均存在不依赖于h 的正常数M ，使得01max(,)max ,0i n h k k nv M v v L v i n ≤≤≤+≤≤ (28)则称差分算子h L 是稳定的.为了论证差分格式(23)的稳定性，先引入文献[13]的一个引理.引理2 假设h L 是正型差分算子，则有01111max max(,)max k n h k k nk n v v v M L v ≤≤≤≤-≤+ (29)定理3 设h L 是由(23)定义的差分算子，即11,11h i i i i i i i L y y y y i n γηλ-+≡++≤≤- (30) 其中，,,i i i γηλ由(24)—(26)确定，如果假定0i q ≤，并且有11()0i i i p p p -+-> ， 11i n ≤≤- (31) 1111()min2102i i i i i i p p p h q q q -++--<+-，11i n ≤≤- (32)成立，则有(30)确定的差分算子h L 是稳定的.证明 由于,,i i i γηλ在条件(31)和(32)下满足0,0,0i i i γηλ><> (33)所以，由(30)所确定的差分算子h L 是正型的.根据引理2可以得知，存在不依赖于h 的正常数1M ，使得01111max max(,)max i n h i i ni n y y y M L y ≤≤≤≤-≤+ (34)其中，0(),()n y y a y y b αβ====.若令01max(,)M y M =，则由(34)知01max(,)max ,0i n h i i ny M y y L y i n ≤≤≤+≤≤ (35)则由差分算子稳定型的定义1得，差分算子h L 是稳定的. 证毕.定理3表明查分方程(23)的格式是稳定的，且在条件(31)和(32)满足的前提下，是对角占优()i i i ηγλ≥+的.因此，它与边值条件0(),()n y y a y y b αβ====构成的三对角方程组也可采用追赶法进行求解.2 Taylor 展式法2.1 一个Fredholm 积分方程的推导在这里可以假设()p x 、()q x 、()f x 在[,]a b 上均连续可微. 为了方便计算，现给出一类新函数的定义: 定义2 函数()()(0,1,2,)i x i γ=1()(1)(0)1()()(),1(1)!()()x i i i a x x t t dt i i x x γγγγ--⎧=-≥⎪-⎨⎪=⎩⎰ (36)其中()x γ可以为()f x 或()p x .由定义2知()00()()!()()(),0xi i i ax t p t dt i p x p x x x i '-=--≥⎰(37)现对方程(1)两边同时从a 到x 积分两次，并应用边值条件和分部积分整理得 ()(,)()()xay x V x t y t dt g x +=⎰ (38)其中(,)()()[()()]V x t p t x t q t p t '=+--；(2)()()[()()]()g x f x p a y a x a αα'=+++-方程(38)含有未知的常数()y a '，可应用(1)中的第二个边值条件()y b β=就能消除()y a '，最后导出下面的Fredholm 积分方程：()(,)()()bay x k x t y t dt h x +=⎰(39)其中11()()(,),(,)()()(,),b x b a V a t t x k x t a x b a V b t t x--⎧--≤=⎨-->⎩；1(2)(2)()()()()[()]h x f x x a b a f b ααβ-=+---+- 2.2 Taylor 展开解法设未知函数()y t 在[,]a b 上1n +阶连续可微，为了解出方程(39)，我们可以将未知函数()y t 用 Taylor 公式在t x =处展开得：()1()()()()()()(,)!n n n y t y x y x t x y x t x R t x n '=+-++-+ (40) 其中(,)n R t x 为Lagrange 余项，即(1)11(,)()(),(1)!n n n R t x y t x x t n ξξ++=-≤≤+设M 为(1)()n yx +在[,]a b 上的最大值，于是得Lagrange 余项(,)n R t x 有界，即1(,)()(1)!n n MR t x b a n +≤-+ (41)特别地，若未知函数()y x 是一个次数不超过n 的多项式，则(,)0n R t x ≡.实际上，如果()y x 在[,]a b 上有任意阶的导数，只要n 充分大，余项(,)n R t x 可以忽略不计，为方便起见，本文此处仅考虑二阶的Taylor 展开式(更高阶的解法类似于二阶)，即(2)21()()()()()()2y t y x y x x t y x t x '≈--+- (42) 现把 (42)代入(39)得000102[1()]()()()()()()x y x x y x x y x h x '''+∆+∆+∆= (43)其中 0(1)()()(,),0,1,2!ibi i ax x t k x t dt i i -∆=-=⎰在方程(39)两边对x 求导得 ()(,)()()bay x k x t y t dt h x ''+=⎰(44)其中 11()(,),(,)()(,),b a V a t t xk x t b a V b t t x--⎧--≤=⎨-->⎩ 现将(42)代入(44)得101112()()[1()]()()()()x y x x y x x y x h x ''''∆++∆+∆= (45)其中 1(1)()()(,),0,1,2!ibi i ax x t k x t dt i i -∆=-=⎰所以，现在方程(1)、(43)以及(45)恰好构成一个关于()y x 、()y x '和()y x '的线性方程组，应用 Crammer 法则即可解出(1)的近似解12()y x σσ=(46) 其中 010211112()()()()()()()()1h x x x h x x x f x p x σ∆∆'=∆∆,0001022101112()()()()()()()()1x x x x x x q x p x σ∆∆∆=∆∆∆由于(46)是利用Taylor 二阶展开得到的，所以(46)称为(1)的二阶近似解.如果解是二次多项式，易知二阶近似解退化成精确解，推而广之，相应的n 阶近似解对n 次多项式也是精确的.3 数值解的算法3.1 追赶法三对角线方程组的一般表示方法Ax D = (47) 其中A 为n n ⨯三对角矩阵，B 为n 阶列向量，即11222111iiin n n nn b c a b c A a b c a b c a b ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，121i n n x x x x x x -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，121i n n d d D d d d -⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭并且A 满足11(1)0,0 (2),(0,2,,1)n n i i i i i b c •b c b a c a c i n ⎧>>>>⎪⎨≥+≠=-⎪⎩ (48) 设A 为满足(48)的n 阶三对角阵，则有唯一三角分解A LU =，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵，即有11112222211111iiii i in nn nn b c a a b c r a A a b c r a a b r a βββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(49)由矩阵乘法， 得1）11111111,,/b c c b ααββ===； 2）11,,(2,,)i i i i i i i i a r b r a i n αββ--==+==3）,(2,,1)i i i c i n αβ==-于是，得到解(1)的追赶法计算公式 (1) 分解计算公式A LU =：1111//(),(2,,1)i i i i i c b c b a i n βββ-=⎧⎨=-=-⎩ (50)(2) 求解Ly D =递推公式：11111/()/(),(2,,)i i i i i i i y d b y d a y b a i n β--=⎧⎨=--=⎩ (51)(3) 求解Ux y =递推公式：1,(1,,2,1)n n i i i i x y x y x i n β+=⎧⎨=-=-⎩ (52)现将计算121n βββ-→→→及12n y y y →→→的过程称为追的过程，计算方程组解11n n x x x -→→→的过程称为赶的过程，该算法称为追赶法.定理4 对三对角线方程组(47)，其中A 满足(48)式，则由追赶法计算公式得到{},{}i i αβ满足： (1) 01,(1,2,,1)i i n β<<=-(2) 0i i i i i i c b a b a α<≤-<<+，(2,,1)i n =-(3) 0n n n n n b a b a α<-<<+分析 (1)要证01i β<<，只要证1||||i i i i i a b a c β-=->，而此式中含有1i β-，因此用归纳法证明.(2)、(3)只要用三角不等式即可证得.但值得注意的是，条件(48)是充分的，但条件并非必要的，三对角线上不能有零元素，条件太苛刻，于是条件可以作适当改变，使追赶法仍可行 ，如改为：证明 (1)显然 现归纳法假设101i β-<<，下证: 01i β<<事实上，11||||||||||||||||i i i i i i i i i i a b a b a b a c ββ--=-≥->-≥，则0||||1ii ic βα<=<，(1,2,,1)i n =-(2) 因为 1i i i i a b a β-=-故 11||||||||i i i i i i i i i a b a b a b a ββ--=-≤+<+ 再有 ||||||||0i i i i a b a c >-≥>，(2,,1)i n =-(3) 由于1n n n n b a αβ-=-所以 11,(01)n n n n n n n b a b a αββ--≤+≤+<<，110,(01)n n n n n n n b a b a αββ--≥->-><<.证毕由定理4说明追赶法计算公式中不会出现中间结果数量级巨大增长和相应的舍入误差的严重累积，即追赶法计算公式对于舍入误差是稳定的.3.1.2 差分格式(23)的算法步骤1) 由1的讨论可以得知，由差分格式(23)以及边界条件0(),()n y y a y y b αβ====构成的方程组Ay g = (53) 是满足追赶法的条件(48)的. 其中，这里1111111001i iin n n A γηλγηλγηλ---⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，012n y y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，012n g g g g g ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，,,,i i i i g γηλ由(24)—(27)确定2) 根据(50)的递推公式 11111/0/10/()/(),(2,,1,)i i i i i i i i i c b c b a i n n βββληγβ--===⎧⎨=-=-=-⎩ (54)可以解出,(1,2,,1,)i i n n β=-3) 根据(51)的递推公式00001/()/(),(1,2,,)i i i i i i i z g g z g z i n ηγηγβ-==⎧⎨=--=⎩ (55)可以解出,(0,1,2,,1,)i z i n n =-4) 根据(52)的递推公式11,(1,,2,1,0)n ni i i i y z y z y i n β++=⎧⎨=-=-⎩ (56)即可解出()012,,,,Tn y y y y y = (57)故(57)即为二阶线性常微分方程边值问题(1)之差分格式(23)的数值解.3.2 Taylor 展开法的算法步骤由(46)式知，要求()y x ，只需求出1σ与2σ，而(1,2)i i σ=完全由(),(),()f x p x q x 和(0,1;0,1,2)ij i j ∆==以及()h x 及其导数()h x '确定，因为(),(),()f x p x q x 是由(1)唯一确定的，所以，以下步骤主要围绕求(0,1;0,1,2)ij i j ∆==以及()h x 及其导数()h x '来进行.1) 确定()h x 及其导数()h x ' 由(39)知1(2)(2)()()()()[()]h x f x x a b a f b ααβ-=+---+- (58) 所以要确定()h x ，首先得要确定(2)()f x ，由()()i x γ的定义知1()(1)(0)1()()(),1(1)!()()x i i i a f x x t f t dt i i f x f x --⎧=-≥⎪-⎨⎪=⎩⎰ (59)则，根据(59)作两次迭代即可求出(2)()f x ，将之代入(58)即可求出()h x ，从而解出()h x '.2) 确定(0,1;0,1,2)ij i j ∆== 由ij ∆的定义知0(1)()()(,),0,1,2!ibii a x x t k x t dt i i -∆=-=⎰;1(1)()()(,),0,1,2!ibi i ax x t k x t dt i i -∆=-=⎰(60)其中(,)k x t 和(,)k x t 分别见(39)和(44)式.所以，根据(60)以及(39)、(44)就可以确定(0,1;0,1,2)ij i j ∆==. 3）确定近似解()y x在1)和2)的基础上，由(46)即可确定二阶线性常微分方程边值问题(1)的近似解()y x .值得说明的是，以上步骤尽管较为清晰，但计算是相当繁琐的，尤其是几个定积分，所以针对几个复杂的定积分，可以适当采用数学软件Mathematica5.0进行处理.4 两种数值解法的计算机实现4.1差分格式(23)的计算机实现步骤根据1) 利用数学软件Mathematica5.0计算由(24)—(27)确定的,,,i i i i g γηλ； 2) 在Matlab 中建立一个名为chase.m 的文件，如下： function y=chase (a,b,c,g) %定义函数chase n=length(b);printf('追赶法\n'); if n-1==length(a) for i=n-1:-1:1 a(i+1)=a(i); endend%将a设置为n维向量c(1)=c(1)/b(1); f(1)=f(1)/b(1);for i=2:n-1b(i)=b(i)-a(i)*c(i-1);c(i)=c(i)/b(i);g(i)=(g(i)-a(i)*g(i-1))/b(i);endg(n)=(g(n)-a(n)*g(n-1))/(b(n)-a(n)*c(n-1));for i=n-1:-1:1g(i)=g(i)-c(i)*g(i+1);endy=f;或function g = Chase(A,g)[n,n] = size(A);printf('追赶法\n');L = tril(A);U = triu(A,1) + eye(n,n);L(1,1) = A(1,1);for k = 1:n-1L(k+1,k) = A(k+1,k);U(k,k+1) = A(k,k+1)/L(k,k);L(k+1,k+1) = A(k+1,k+1) - A(k+1,k)*U(k,k+1); enddisp(L);disp(U);b(1) = A(1,1);for k = 2:na(k) = A(k,k-1);b(k) = A(k,k);c(k-1) = A(k-1,k);B(k-1) = U(k-1,k);endz(1) = g(1)/b(1);for k = 2:nz(k) = (g(k)-a(k)*z(k-1))/(b(k)-a(k)*B(k-1)); enddisp(z);y(n) = z(n);for k = n-1:-1:1y(k) = z(k) - B(k)*y(k+1);endf = y;3) 求解线性方程组(53)Ay g =，在Matlab 中编写以上的chase.m 的M 文件，依次输入数据如下即可：>> A=[…;…;…]; >> a=[…..]； >> b=[…..]; >> c=[…..]; >> g =[…...];>> y=chase (a,b,c,g)其中A=[……]中输入(53)中A 的元素，a=[…..]中输入(1,2,,)i i n γ=，b=[…..]中输入(0,1,2,,)i i n η=，c=[…..]中输入(0,1,2,,1)i i n λ=-，g =[…...]中输入(0,1,2,,)i g i n =.4.2 Taylor 展式法的计算机实现步骤基于3.2的算法步骤，现给出更为具体的计算机操作步骤： 1) 计算()h x 及其导数()h x '首先计算(2)()f x ：因为11(2)(1)1()()()[()()]1!x x x aa a f x x t f t dt x t f t dt =-=-⎰⎰⎰，所以1(2)(1)1()()()[()()]1!x x t aa a f x x t f t dt x t f u du dt =-=-⎰⎰⎰ (61)再直接在Mathematica5.0的编辑栏中输入[()()]xtaax t f u du dt -⎰⎰即可算出(2)()f x ；然后由(58)式，直接在Mathematica5.0中输入1(2)(2)()()()[()]f x x a b a f b ααβ-+---+-，即为()h x ；最后在Mathematica5.0输入D[()h x ,x ]，即可得到()h x '.2) 计算(0,1;0,1,2)ij i j ∆== 由(60)式()(()()(()()))]bxa x p tb t q t p t dt '+-+--⎰ (62)同理 011()[()()(()()(()()))()x ax x t b x p t a t q t p t dt b a '∆=---+---⎰()()(()()(()()))]bxx t a x p t b t q t p t dt '+--+--⎰(63)2()()(()()(()()))]bxx t a x p t b t q t p t dt '+--+--⎰(64)(()()(()()))]bxp t b t q t p t dt '++--⎰(65)()(()()(()()))]bxx t p t b t q t p t dt '+-+--⎰ (66)2()(()()(()()))]bxx t p t b t q t p t dt '+-+--⎰ (67)所以，直接分别将(62)—(67)输入Mathematica5.0中运行后即可得到(0,1;0,1,2)ij i j ∆==3）计算近似解()y x先计算12,σσ，在Mathematica5.0中分别输入01021112()()()()()()()()1h x x x Det h x x x f x p x ∆∆⎛⎫ ⎪'∆∆ ⎪ ⎪⎝⎭和000102101112()()()()()()()()1x x x Det x x x q x p x ∆∆∆⎛⎫ ⎪∆∆∆ ⎪ ⎪⎝⎭，即可算出12,σσ.再由(46)式，可以算出(1)的近似解()y x .5 实例分析例 考虑下列边值问题2222(1)[1(1)]cos()(1)sin()1cos()(0)2,(1)1x x x y x y e y x e x x x e x y y e πππππ--'''⎧-+-=-+-++--⎨==-⎩(68) 显然，问题(68)的解析解为cos()x y e x π=+.下面分别对使用差分法和Taylor 展开法解边值问题(68)进行误差分析.5.1差分法的误差分析在(68)式中，分别取步长12341111,,,10203040h h h h ====，则由4.1的算法步骤，可以计算出改进后的差分格式(23)的最大误差max ()i i iE y y x =-以及收敛阶1212ln(/)/ln(/)r E E h h =. 结果见表1：Tab.1 Maximum error for problem (68) in differential format (23)改进后的差分格式(23)1/101291/20 8.04 4.00 1/30 1.59 4.00 1/40 0.504.005.2 Taylor 展式法的误差分析根据算法4.2可以解出(1)的近似解()y x (由于其表达式过于冗长，这里不便列出)，此处只对所求结果与(1)的解析解在对应点处值进行对比分析，并且分析最大误差max ()i i iE y y x =-.同样对区间[0,1]进行40等分，只在分点处考虑问题，结果见表2：Tab.2 Maximum error for problem (68) in Taylor expansion method0 2 2 0 21/40 1.6119998 1.6119885 0.0000113 1/40 2.0222325 2.0222328 0.0000003 22/40 1.5768186 1.5768256 0.0000070 2/40 2.0389594 2.0389599 0.0000005 23/40 1.5436852 1.5437025 0.0000127 3/40 2.0202541 2.0162212 0.0000006 24/40 1.5131018 1.5132035 0.0000017 4/40 2.0562274 2.0562212 0.0000062 25/40 1.4855625 1.4856021 0.0000604 5/40 2.0562274 2.0562212 0.0000062 26/40 1.4615503 1.4615569 0.0000066 6/40 2.0528408 2.0528309 0.0000091 27/40 1.4415344 1.4418695 0.0000151 7/40 2.0438864 2.0438526 0.0000338 28/40 1.4259675 1.4250231 0.000044413/40 1.9065292 1.9065592 0.0000300 34/40 1.4486403 1.4485693 0.0000701 14/40 1.8730580 1.8730268 0.0000312 35/40 1.4749958 1.4749894 0.0000064 15/40 1.8376748 1.8375990 0.0000758 36/40 1.5085466 1.5085362 0.0000005 16/40 1.8008417 1.8008235 0.0000182 37/40 1.5494983 1.5494976 0.0000007 17/40 1.7630358 1.7630986 0.0000628 38/40 1.5980213 1.5980242 0.0000029 18/40 1.7247467 1.7247854 0.0000387 39/40 1.6542499 1.6542491 0.000000819/40 1.6864733 1.6865231 0.0000798 1 1.71828181.71828180 20/401.64872131.64869850.00007720.00042525.3 5.1与5.2结果的对比分析由表1容易得知，当设定步长1/40h =，改进后的差分格式在问题(62)的最大误差为60.5010-⨯，其收敛阶为4.00，说明该方法应用于问题(1)是相当适宜的.由表2数据对比分析得知，用Taylor 展开法来解边值问题(62)，所得结果还是比较理想的.所得近似解在各节点处的值与解析解在相应节点处的值比较吻合.当然，如果(42)为更高阶的Taylor 展式，所得结果将更加精确，这说明用该法来解决二阶线性常微分方程边值问题是较为可行的.但通过对表1和表2综合对比不难发现，用改进后的差分格式(23)更能得到较为精确的数值解.致谢本论文是在指导老师查中伟教授的悉心指导下完成的.指导老师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远.不仅使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理.本论文从选题到完成，每一步都是在指导老师的指导下完成的，倾注了指导老师大量的心血.在此，谨向指导老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！本论文的顺利完成，还离不开各位老师、同学和朋友的关心和帮助.在此感谢杨贤仆副教授、杜祥林教授、刘学飞副教授、冯天祥副教授等老师的指导和帮助；在四年的学习期间，得到了同班同学师兄师姐的大力帮助，在此表示深深的感谢.没有他们的帮助和支持是没有办法完成我的学士学位论文的，同窗、好友以及师生之间的友谊永远长存.参考文献[1] 查中伟. 数学物理偏微分方程[M]. 成都：西南交通大学出版社，2005[2] 李龙华等. 微分方程数值解法[M]. 北京：人民教育出版社，1980[3] 李群. 微分方程数值解法基础[M].北京：科学出版社，2003[4] 李大侃. 常微分方程数值解法[M].杭州：浙江大学出版社，1994[5] 李庆杨. 数值分析[M].武汉：华中理工大学出版社,2000[6] 冯天祥. 数值计算方法理论与实践研究[M], 成都：西南交通大学出版社，2005[7] 钟万勰. 结构动力学方程的精细时程积分法[J].大连理工大学学报1994,34(2):131-136[8] 魏毅强. 数值计算方法[M]. 北京：科学出版社，2004[8] 陆平. 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偏微分方程边值问题的数值解法
求解偏微分方程的边值问题本实验学习使用MATLAB 的图形用户命令pdetool 来求解偏微分方程的边值问题。
这个工具是用有限元方法来求解的，而且采用三角元。
我们用内个例题来说明它的用法。
一、MATLAB 支持的偏微分方程类型考虑平面有界区域D 上的二阶椭圆型PDE 边值问题：()c u u f α-∇∇+= (1.1)其中 (1) , (2) a,f D c x y ⎛⎫∂∂∇=⨯ ⎪∂∂⎝⎭是上的已知函数(3)是标量或22的函数方阵未知函数为(,) (,)u x y x y D ∈。
它的边界条件分为三类：（1）Direchlet 条件：hu f = (1.2)（2）Neumann 条件： ()n c u qu g ∇+= (1.3)（3）混合边界条件：在边界D ∂上部分为Direchlet 条件，另外部分为Neumann 条件。
其中,,,,h r q g c 是定义在边界D ∂的已知函数，另外c 也可以是一个2*2的函数矩阵，n 是沿边界的外法线的单位向量。
在使用pdetool 时要向它提供这些已知参数。
二、例题例题1 用pdetool 求解 22D 1 D: 10u x y u ∂⎧-∆=+≤⎪⎨=⎪⎩ (1.4)解 ：首先在MATLAB 的工作命令行中键入pdetool ，按回牟键确定，于是出现PDE Toolbox 窗口，选Genenic Scalar 模式．( l ）画区域圆单击椭圆工具按钮，大致在（0，0）位置单击鼠标右键，拖拉鼠标到适当位置松开。
为了保证所绘制的圆是标准的单位园，在所绘园上双击，打开 Object Dialog 对话框，精确地输入圆心坐标X-center 为0 、Y-center 为0 及半径Radius 为l ，然后单击OK 按钮，这样单位画已画好．( 2 ）设置边界条件单击工具边界模式按钮 ，图形边界变红，逐段双击边界，打开Boundary condition 对话框．输入边界条件．对于同一类型的边界，可以按Shift 键，将多个边界同时选择，统一设边界条件．本题选择Dirichlet 条件，输入h 为1 , r 为0。
数学挑战解偏微分方程组的边值问题
数学挑战解偏微分方程组的边值问题数学挑战：解偏微分方程组的边值问题解决偏微分方程组的边值问题一直是数学中的重要挑战。
本文将介绍一种常见的数学方法——分离变量法，以及如何应用该方法来解决边值问题。
一、分离变量法简介分离变量法是解决偏微分方程组问题的一种常用方法。
它的基本思想是将多元函数表示为几个单元函数之积，通过对各个变量的分离求解单元函数，再通过线性叠加得到原方程的解。
在解决边值问题时，我们需要给定边界条件，将自变量的取值限定在一定范围内。
二、解决边值问题的步骤1. 确定偏微分方程组：首先我们需要明确要解决的偏微分方程组及其边界条件。
例如，假设我们要解决如下的二维波动方程：∂²u/∂t² - c²(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²) = 0边界条件为：u(a, y, t) = g(y, t)，u(b, y, t) = h(y, t)，u(x, c, t) = i(x, t)，u(x, d, t) = j(x, t)。
2. 设计分离变量：我们需要假设函数u(x, y, t)可以表示为三个独立的函数f(x), g(y)和h(t)之积：u(x, y, t) = f(x)g(y)h(t)。
3. 分离变量：将分离变量代入原方程，得到以下三个方程：g(y)h(t)∂²f/∂x² + f(x)h(t)∂²g/∂y² + f(x)g(y)∂²h/∂t²- c²(g(y)h(t)f''(x) + f(x)h(t)g''(y)) = 0拆分以上方程可以得到三个独立的方程：1）f''(x)/f(x) = -λ2）g''(y)/g(y) = -μ3）h''(t)/h(t) + c²(λ+μ) = 0其中λ和μ是常数。
微分方程的边值问题解析
微分方程的边值问题解析微分方程是描述自然和社会现象中许多变化过程的数学模型，在物理学、工程学和经济学等领域都有着重要的应用。
微分方程的边值问题是一类经典的数学问题，在数学分析中具有重要意义。
本文将从解微分方程的角度，探讨边值问题的求解方法和应用。
什么是微分方程的边值问题？微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
一般来说，微分方程可以分为初值问题和边值问题两种。
在初值问题中，给定函数在某一点的初始条件，求解函数在整个定义域上的解。
而边值问题是在给定函数在整个定义域上的条件下，求解函数的具体形式。
通常，边值问题是通过寻找满足给定条件的解函数来获得。
边值问题的解法对于线性微分方程的边值问题，可以使用常数变易法或特征值法等方法求解。
常数变易法是一种将未知函数表示为一组基本解线性组合的方法，通过确定待定系数的方式求解。
特征值法则是利用微分方程对应的特征值问题来解决边值问题，通过特征值和特征函数的组合求解。
对于非线性微分方程的边值问题，通常需要借助数值方法进行求解。
常见的数值方法包括有限元法、有限差分法和有限体积法等。
这些方法通过离散化微分方程，将连续问题转化为离散问题，进而利用计算机进行数值计算求解。
边值问题的应用微分方程的边值问题在科学和工程领域有着广泛的应用。
在物理学中，通过解微分方程的边值问题可以描述弹性体变形、电磁场分布等现象。
在工程学中，可以通过求解微分方程的边值问题来分析结构的稳定性和振动特性等问题。
在生物学和经济学中，边值问题也被用于描述种群动态和市场行为等现象。
结语微分方程的边值问题具有重要的理论意义和实际应用价值。
通过本文的介绍，我们了解到了微分方程的边值问题的定义、解法和应用。
希望读者在学习微分方程的边值问题时能够灵活运用不同的求解方法，深入理解微分方程的应用领域，为解决实际问题提供有力的数学支持。
二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法
二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法数学物理方程与特殊函数复习资料二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法20XX年-8-31数理方程所解决的问题与高等数学（微积分）教科书中的常微分方程有很大区别，其中最显著的特点是多数微分方程的条件是边值问题，即知道未知函数在自变量变化区域的边界上的取值。
这就是所谓的边值问题。
最简单的是二阶常微分方程的两点边值问题。
二阶常微分方程的解是一个一元函数，关于这个一元函数的信息，知道的不多，除了微分方程本身提供的之外，还有未知函数在一个区间的两个端点处的值。
微积分所教给我们的技巧是先求出常微分方程的通解，再根据两个条件确定通解中的两个任意常数。
进入这门课之初，先回顾初值问题，再思考边值问题。
在边值问题中，数理方程课程内容中出现了一个历史上非常著名的函数，即格林函数。
对力的分析中普遍使用一个方程：F=ma。
这是著名的牛顿第二定律，其中，F表示力，m表示物体的质量，而a表示物体运动的加速度。
由于加速度的物理意义可解释为物体运动时位移变量对时间的二阶导数，再结合使用虎克定律，就得出简单的振动所满足的二阶常微分方程y 2y 0如果考虑外力作用，该方程化为更一般的情况y 2y f(x)y(0) ,y(0)两个初始条件可解释为已经知道初始位移和初始速度。
求解上面方程需要用常数变易法。
先回顾一阶常微分方程求解的方法，然后再讨论二阶常微分方程的常数变易法。
一、一阶常微分方程初值问题的常数变易法一阶常微分方程常数变易法，用于解源函数不为零的常微分方程问题y (x) ry(x) f(x),x 0y(0)先求解简化的（源函数为零）的方程：y (x) ry(x) 0由分离变量：dydyrdx ry，ydx积分：lny rx c，y(x) Cexp( rx)应用常数变易法，假设简化前的方程的解具有与简化后方程的解有相同形式，将常数替换为待定的函数，即y(x) u(x)exp( rx)求导数，得y (x) u (x)exp( rx) ru(x)exp( rx)u (x)exp( rx) ry(x)数学物理方程与特殊函数复习资料将其代入化简前的方程，得等式u (x)exp( rx) f(x)，u (x) exp(rx)f(x)积分，得u(x)xexp(r )f( )d C代入表达式y(x) u(x)exp( rx)，得y(x) [ exp(r )f( )d C]exp( rx)x应用初始条件，得解函数y(x) exp( rx) exp[ r(x )]f( )dx从两部分解读解函数的意义。
偏微分方程中的边值问题解析与数值求解
偏微分方程中的边值问题解析与数值求解偏微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了自然界中的许多现象和过程。
在实际问题中，我们通常需要求解偏微分方程的边值问题，即在给定边界条件下找到满足方程的解。
本文将探讨偏微分方程中的边值问题的解析与数值求解方法。
1. 解析方法解析方法是指通过数学分析的手段，直接求解偏微分方程的边值问题。
这种方法通常需要利用数学工具和技巧，如分离变量法、特征线法、格林函数等。
以一维热传导方程为例，假设有一根长为L的金属棒，两端分别与温度为T1和T2的热源接触。
我们需要求解该金属棒上的温度分布。
通过分离变量法，可以将该问题转化为一系列常微分方程，进而得到温度分布的解析解。
解析方法的优点是能够给出问题的精确解，从而提供了对问题本质的深入理解。
然而，解析方法通常只适用于简单的边值问题，对于复杂的问题往往难以求解。
此外，解析解往往只存在于理想化的情况下，现实问题中的边界条件往往是复杂和不确定的，这使得解析方法的应用受到限制。
2. 数值方法数值方法是指通过数值计算的手段，近似求解偏微分方程的边值问题。
这种方法通常需要将偏微分方程离散化，将连续的问题转化为离散的问题，然后利用数值计算方法求解离散问题。
常见的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
有限差分法是最常用的数值方法之一，它将偏微分方程中的导数用差分近似表示，从而将偏微分方程转化为一个线性方程组，进而求解出近似解。
有限元法则是将求解区域划分为若干个小区域，然后在每个小区域内构造一个适当的试验函数，通过求解试验函数的系数来得到近似解。
谱方法则是利用傅里叶级数展开，将偏微分方程转化为一个无穷维的代数方程，通过截断级数求解出近似解。
数值方法的优点是适用范围广，可以求解各种复杂的边值问题。
同时，数值方法还可以通过增加计算精度和网格分辨率来提高计算结果的精确度。
然而，数值方法也存在一些问题，如舍入误差、稳定性问题和收敛性问题等，需要仔细处理。
二阶常微分方程边值问题的数值解法
二阶常微分方程边值问题的数值解法摘要求解微分方程数值解的方法是多种多样的，它本身已形成一个独立的研究方向，其要点是对微分方程定解问题进行离散化．本文以研究二阶常微分方程边值问题的数值解法为目标，综合所学相关知识和二阶常微分方程的相关理论，通过对此类方程的数值解法的研究，系统的复习并进一步加深对二阶常微分方成的数值解法的理解，为下一步更加深入的学习和研究奠定基础．对于二阶常微分方程的边值问题，我们总结了两种常用的数值方法：打靶法和有限差分法．在本文中我们主要探讨关于有限差分法的数值解法．构造差分格式主要有两种途径：基于数值积分的构造方法和基于Taylor展开的构造方法．后一种更为灵活，它在构造差分格式的同时还可以得到关于截断误差的估计．在本文中对差分方法列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这种方法的优缺点进行了细致的比较．在第一章中，本文将系统地介绍二阶常微分方程和差分法的一些背景材料．在第二章中，本文将通过Taylor展开分别求得二阶常微分方程边值问题数值解的差分格式．在第三章中，在第二章的基础上利用Matlab求解具体算例，并进行误差分析．关键词：常微分方程,边值问题，差分法，Taylor展开，数值解The Numerical Solutions ofSecond-Order Ordinary Differential Equationswith the Boundary Value ProblemsABSTRACTThe numerical solutions for solving differential equations are various. It formed an independent research branch. The key point is the discretization of the definite solution problems of differential equations. The goal of this paper is the numerical methods for solving second-order ordinary differential equations with the boundary value problems. This paper introduces the mathematics knowledge with the theory of finite difference. Through solving the problems, reviewing what have been learned systematically and understanding the ideas and methods of the finite difference method in a deeper layer, we can establish a foundation for the future learning.For the second-order ordinary differential equations with the boundary value problems, we review two kinds of numerical methods commonly used for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. There are mainly two ways to create these finite difference methods: i.e. Taylor series expansion method and Numerical Integration. The later one is more flexible, because at the same time it can get the estimates of the truncation errors. We give the exact calculating steps and Matlab codes. Moreover, we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example. In the first chapter, we will introduce some backgrounds of the ordinary differential equations and the difference method. In the second chapter, we will obtain difference schemes of the numerical solutions of the Second-Order ordinary differential equations with the boundary value problemsthrough the Taylor expansion. In the third chapter, we using Matlab to solve the specific examples on the basis of the second chapter, and analyzing the errors.KEY WORDS: Ordinary Differential Equations, Boundary Value Problems, Finite Difference Method, Taylor Expansion, Numerical Solution毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
偏微分方程的边值问题
偏微分方程的边值问题
偏微分方程的边值问题是高等数学中一个非常重要的问题，它是数
学建模中常见的一种形式，表示一种物理场或者机械系统的运动状态，它可以为这些模型系统提供可靠的结果，因此研究这一问题很有意义。
所谓偏微分方程边值问题，是指由偏微分方程表达的模型在物理上
有边界条件，而非数学上的无穷边界。
在物理上，假设有一个无限大
的区域，在这个区域内一个偏微分方程的边界条件是要求该方程的解
必须在边界上满足一定的条件。
例如，假设我们要求在某个区域内求解一个偏微分方程，那么该方
程所要求的边界条件就是要求它在边界满足某种特殊的条件，这些特
殊的条件通常是渐近稳定条件，也就是说解在边界上应该可以收敛，
且不受外部因素影响。
关于偏微分方程边值问题，在数学界一般包括一系列数学技术，来
解决偏微分方程边值问题。
如局部性离散法，就是通过将解空间离散
成一系列的小区域，在每一个小区域内构造有限元格式来解决问题，
这种方法有效的基于椭圆偏微分方程的数值求解，有效的解决边值问题。
另一种技术就是多阶段法，它基于椭圆偏微分方程，用有限元格
式来求解局部差分方程，并采用多阶段迭代来求解边值问题。
当然，
还有许多其他的解法，例如谱最优收敛性方法、复合格式、多重格式
等等，对于偏微分方程边值问题，这些解法都不失为有效的解决办法。
以上就是关于偏微分方程边值问题的概述，它是一个十分重要的问题，可以提供在物理和机械方面的实用结果，在解决这一问题的过程中，需要注意正确的数值技术，以及处理边界问题的技巧，以此来求
解偏微分方程边值问题。
偏微分方程中的初边值问题
偏微分方程中的初边值问题在偏微分方程的研究中，初边值问题是一种经常遇到的重要问题。
初边值问题指的是在一定的边界条件下，求解一个偏微分方程的解，并且需要给定该方程在初始时刻（即初始条件）的解。
本文将介绍初边值问题的概念、求解方法以及在实际问题中的应用。
一、初边值问题的概念偏微分方程是一个关于未知函数及其偏导数的方程。
初边值问题是一类特殊的偏微分方程问题。
它在求解过程中要给定方程在边界上的一些条件，这些条件通常称为边值条件，同时还需要指定方程在初始时刻（即初始条件）的解。
通过这些条件，我们可以求解出偏微分方程的解。
二、求解初边值问题的方法1. 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程初边值问题的常用方法之一。
该方法的基本思想是将多元函数拆分成单元函数的乘积形式，然后通过分别对各个单元函数积分来求解偏微分方程。
这种方法适用于一些满足特定条件的偏微分方程，例如波动方程、热传导方程等。
2. 特征线法特征线法是另一种常用于求解偏微分方程初边值问题的方法。
该方法的关键是找到方程的特征线，通过变量替换将原方程转化为常微分方程，然后利用常微分方程的解来求解原方程。
特征线法适用于一些具有特殊形式的偏微分方程，例如一阶线性偏微分方程等。
3. 数值解法除了上述的解析解法外，还可以使用数值解法来求解初边值问题。
数值解法通过离散化空间和时间，将偏微分方程转化为差分方程，并通过迭代计算逼近真实解。
常用的数值解法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
数值解法的优点是适用于一般性的偏微分方程，但需注意选择合适的离散化方法和求解器，确保结果的准确性和稳定性。
三、初边值问题的应用初边值问题在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
以热传导方程为例，它描述了物体内部的热分布随时间的变化规律。
在工程实际中，我们经常需要求解物体的温度分布，以控制温度变化对材料的影响。
另外，初边值问题还可以用于电磁场、弹性力学和流体动力学等领域的研究。
总结起来，偏微分方程中的初边值问题是一类常见且重要的问题。
二阶常微分方程边值问题数值方法
其中 p( x),q( x)为,r已( x知) 函数，则由常微分方程的理论知，通过
变量替换总可以消去方程中的 项，不妨y设 变换后的方程为
y( x) q( x) y( x) r( x)
y(a) ,
y(b)
则近似差分方程成离散差分方程为
yi 1
2 yi h2
yi 1
qi
yi
ri
其中 qi q( xi ), ri r( xi ), i 1,2, , n. y0 ,
第一边界问题：
y0 , yn1
(8.9)
第二边界问题：
y1 y0 h , yn1 yn h
(8.10)
第三边界问题：
y1 (1 0h) y0 1h,
(1 0h) yn1 yn 1h
(8.11)
若 f ( x, y,是y) 的y线, y性 函数时，f 可写成
f (x, y, y) p(x) y( x) q( x) y(x) r( x)
以
y
为待定参数。
0
对第三类边界问题，仍可转化为考虑初值问题(8.5)，取
y0 ,
y0 1 0 y0 ，以 y为0 待定参数。
8.2 有限差分法
将区间[a,b]进行等分：
h
ba, n1
xi
a ih, i 0,1,
,n 1,
设在
x xi , i 0,1, , n 1处的数值解为 。 yi 用中心差分近似微分，即
而且还有误差估
计：
Ri
y( xi )
yi
M 24
h2
(
xi
a)(b xi )
其中 M max y(4。) ( x)
x[a ,b]
(完整版)二阶常微分方程边值问题的数值解法毕业论文
二阶常微分方程边值问题的数值解法摘要求解微分方程数值解的方法是多种多样的，它本身已形成一个独立的研究方向，其要点是对微分方程定解问题进行离散化．本文以研究二阶常微分方程边值问题的数值解法为目标，综合所学相关知识和二阶常微分方程的相关理论，通过对此类方程的数值解法的研究，系统的复习并进一步加深对二阶常微分方成的数值解法的理解，为下一步更加深入的学习和研究奠定基础．对于二阶常微分方程的边值问题，我们总结了两种常用的数值方法：打靶法和有限差分法．在本文中我们主要探讨关于有限差分法的数值解法．构造差分格式主要有两种途径：基于数值积分的构造方法和基于Taylor展开的构造方法．后一种更为灵活，它在构造差分格式的同时还可以得到关于截断误差的估计．在本文中对差分方法列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这种方法的优缺点进行了细致的比较．在第一章中，本文将系统地介绍二阶常微分方程和差分法的一些背景材料．在第二章中，本文将通过Taylor展开分别求得二阶常微分方程边值问题数值解的差分格式．在第三章中，在第二章的基础上利用Matlab求解具体算例，并进行误差分析．关键词：常微分方程,边值问题，差分法，Taylor展开，数值解The Numerical Solutions ofSecond-Order Ordinary Differential Equations with the Boundary Value ProblemsABSTRACTThe numerical solutions for solving differential equations are various. It formed an independent research branch. The key point is the discretization of the definite solution problems of differential equations. The goal of this paper is the numerical methods for solving second-order ordinary differential equations with the boundary value problems. This paper introduces the mathematics knowledge with the theory of finite difference. Through solving the problems, reviewing what have been learned systematically and understanding the ideas and methods of the finite difference method in a deeper layer, we can establish a foundation for the future learning.For the second-order ordinary differential equations with the boundary value problems, we review two kinds of numerical methods commonly used for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. There are mainly two ways to create these finite difference methods: i.e. Taylor series expansion method and Numerical Integration. The later one is more flexible, because at the same time it can get the estimates of the truncation errors. We give the exact calculating steps and Matlab codes. Moreover, we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example. In the first chapter, we will introduce some backgrounds of the ordinary differential equations and the difference method. In the second chapter, we will obtain difference schemes of the numerical solutions of the Second-Order ordinary differential equations with the boundary value problems through the Taylor expansion. In the third chapter, we using Matlab tosolve the specific examples on the basis of the second chapter, and analyzing the errors.KEY WORDS: Ordinary Differential Equations, Boundary Value Problems, Finite Difference Method, Taylor Expansion, Numerical Solution毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
二阶常微分方程边值问题
(2.25)
从而可以的到
(2.26a)
或者
(2.26b)
其中， .
可得一阶导数 的差分近似表达式为
(2.27)
由此可知，(2.16)差商逼近微商 的精度为二阶，即为 。
有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。
二、二阶常微分方程
二阶常微分方程一般可表示成如下的形式：
， (2.1)
边值条件有如下三类[9]：
第一类边值条件
， (2.2)
第二类边值条件
， (2.3)
第三类边值条件[19]
， (2.4)
其中 ， ， ， 。
在对边值问题用数值方法求解之前，应该从理论上分析该边值问题的解是否存在，若问题的解不存在，用数值方法计算出来的数据没有任何意义。下面的定理给出了边值问题存在唯一解的充分条件。
许多物理现象随着时间而发生变化、如热传导过程、气体扩散过程和波的传播过程都与时间有关。描述这些过程的偏微分方程具有这样的性质；若初始时刻t=t0的解已给定，则t>t0时刻的解完全取决于初始条件和某些边界条件。利用差分法解这类问题，就是从初始值出发，通过差分格式沿时间增加的方向，逐步求出微分方程的近似解。
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实验结果与分析：
差分法结果如下：
从图上我们可以看到，可以得到函数图像确实十分接近理论上的解答，差分二阶导数比起差分一阶导数来说，更加接近原函数。差分二阶导数在后面几乎能跟原函数重合，是非常好的求边值问题的方法。
偏微分方程中的初边值问题
偏微分方程中的初边值问题偏微分方程中的初边值问题是数学中一个重要的研究课题。
在解决偏微分方程时，通常需要通过给定初值和边界条件来确定问题的唯一解。
本文将通过介绍初边值问题的定义、分类和求解方法，探讨在偏微分方程中的应用。
在数学中，偏微分方程描述的是未知函数的偏导数和自变量之间的关系。
初边值问题是在偏微分方程问题中，同时给定了函数在某点的初值和函数在边界上的值或导数等条件。
通过这些条件，可以精确地确定偏微分方程的解。
初边值问题可以分为三类：第一类是Cauchy问题，即在曲面上给出解的初值和法向导数，通常用于描述波动方程等问题；第二类是Dirichlet边值问题，即在区域的边界上给定解的值，例如热传导方程中常见的问题；第三类是Neumann边值问题，即在区域的边界上给定解的导数值，常见于电场、磁场等领域。
对于初边值问题的求解方法，通常可以通过分离变量法、变分法、格林函数等数学工具来实现。
在实际问题中，初边值问题常常与物理问题相结合，例如热传导、波动方程、电磁场等领域均可以通过初边值问题来建模并解决。
综上所述，初边值问题是偏微分方程中一个重要的研究课题，通过给定初值和边界条件可以确定问题的唯一解。
研究初边值问题不仅对数学理论有重要意义，也对物理问题的建模和求解具有重要应用。
希望本文对初边值问题感兴趣的读者有所启发。
二阶微分方程组边值问题解的存在性
二阶微分方程组边值问题解的存在性引言：微分方程是数学探究中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学等领域。
对于二阶微分方程组来说，探究其边值问题解的存在性具有重要意义。
本文将从理论和实例两个方面探讨。
一、理论基础1. 边值问题的定义对于二阶微分方程组，我们可以给出边值条件，通常包括一阶导数和二阶导数的边界条件。
边值问题的目标是找到满足这些条件的解。
2. 确定性理论通过分析微分方程组的性质和边界条件的要求，可以得到存在性的定理。
其中，广义极值原理是常用的分析工具之一。
这个原理告知我们，在特定条件下，方程组解的存在和非存在性是由边界条件的详尽形式所决定的。
3. 上下解的构造对于一些特殊的微分方程组，我们可以使用上下解的构造方法来证明边值问题解的存在性。
这种方法涉及到将原方程组转化为帮助方程组的形式，并通过比较上下解的大小干系来确定解的存在性。
二、实例分析思量如下的边值问题：$\begin{cases}y''(t) + p(t)y'(t) + q(t)y(t) = 0\\y(0) = y(T) = 0\end{cases}$我们假设$p(t)$和$q(t)$在闭区间$[0,T]$上连续。
为了证明边值问题的解的存在性，我们起首将其转化为帮助方程组：$\begin{cases}z''(t) + p(t)z'(t) + q(t)z(t) = 0\\z(0) = z(T) = 0\end{cases}$其中$z(t)$是未知函数。
依据广义极值原理，我们期望找到帮助方程组的上解$u(t)$和下解$v(t)$，满足条件$u(t)\geq z(t) \geq v(t)$。
为了构造上解和下解，我们思量方程$y''(t) + p(t)y'(t) + q(t)y(t) = 0$的震荡特征。
令$\lambda_1$和$\lambda_2$为方程特征方程的两个根，由于$p(t)$和$q(t)$在闭区间$[0,T]$上连续，我们可以得到两个实数$\mu_1$和$\mu_2$，使得$\mu_1 < \lambda_1 < \mu_2$。
平面二阶偏微分方程组的边值问题
平面二阶偏微分方程组的边值问题
平面二阶偏微分方程组是将二阶变分操作应用到平面区域上的一种重要方法，其又称为非线性偏微分方程系统或二阶偏微分方程组。
这种方程组常常被用来求解弹性理论、热传导、流体动力学等众多物理现象中的重要问题，这些现象处于不同的变量域。
对平面二阶偏微分方程组的边界值问题提出的要求是提供一组独立的条件，用于定义边界上的解，即在边界上解的某个变量的值必须可以从边界上的这组条件中确定，而这组条件又是由解的一些给定特性定义的。
其中，一种常见的边界条件是“自由边界”，在这种情况下，在边界上得到的解值必须满足解在边界点处满足一定标准，如解必须是一个恒定的特定值，这也就确定了边界条件。
另一种常见的边界条件是“内禀边界”，这种边界条件要求解的某个变量只有在某个内禀函数下才能被确定，故边界条件也可以称为内禀函数条件。
在这种情况下，边界上具体的解值可以根据所计算出来的内禀函数来计算，然后可以得到特定的边界条件，而这些边界条件也是独立的，可以用于求解整个问题。
总之，平面二阶偏微分方程组的边界值问题可以抽象地认为是将某个物理场的动力学特性定义在边界上的一种重要的分析方法，它是从二阶变分的角度来理解平面问题的解的一种重要框架，是解决物理量在多变量域中的多维动力学问题中的常用方法。
微分方程的边值问题【最新】
微分方程边值问题的数值方法本部分内容只介绍二阶常微分方程两点边值问题的的打靶法和差分法。
二阶常微分方程为(,,),y f x y y a x b '''=≤≤(1.1)当(,,)f x y y '关于,y y '为线性时，即(,,)()()()f x y y p x y q x y r x ''=++，此时(1.1)变成线性微分方程()()(),y p x y q x y r x a x b '''--=≤≤(1.2)对于方程(1.1)或(1.2)，其边界条件有以下3类： 第一类边界条件为(),()y a y b αβ==(1.3)当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。
第二类边界条件为(),()y a y b αβ''==(1.4)当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。
第三类边界条件为0101()(),()()y a y a y b y b ααββ''-=+=(1.5)其中00000,0,0αβαβ≥≥+>，当10α=或者10β=称为齐次的，否则称为非齐次的。
微分方程(1.1)或者(1.2)附加上第一类，第二类，第三类边界条件，分别称为第一，第二，第三边值问题。
1 打靶法介绍下面以非线性方程的第一类边值问题(1.1)、(1.3)为例讨论打靶法，其基本原理是将边值问题转化为相应的初值问题求解。
【原理】假定()y a t '=，这里t 为解()y x 在x a =处的斜率，于是初值问题为(,,)()()y f x y y y a y a t α'''=⎧⎪=⎨⎪'=⎩(1.6)令z y '=，上述二阶方程转化为一阶方程组(,,)()()y zz f x y z y a z a tα'=⎧⎪'=⎪⎨=⎪⎪=⎩ (1.7)原问题转化为求合适的t ，使上述初值问题的解(,)y x t 在x b =的值满足右端边界条件(,)y b t β=(1.8)这样初值问题(1.7)的解(,)y x t 就是边值问题(1.1)、(1.3)的解。
边界值问题的定义及求解方法
边界值问题的定义及求解方法边界值问题（Boundary Value Problem，简称BVP）是数学中经典问题之一，它被广泛应用于各种科学和工程领域的模型分析和数值计算中。
本文将为您介绍边界值问题的定义、求解方法以及应用实例。
一、边界值问题的定义边界值问题是一类微分方程求解问题，它要求在某个区域内已知微分方程的解，以及在区域边界上给出解的初值或者边界值条件，求解微分方程在整个区域内的解。
边界值问题一般分为两种：Dirichlet问题和Neumann问题。
Dirichlet问题即在区域边界上给出解的值，而Neumann问题则是在区域边界上给出解的导数值。
二、边界值问题的求解方法1. 差分法差分法是一种常见的数值解法，它利用微分方程的一阶或者高阶差分逼近微分算子，将微分方程转化为代数方程组。
然后采用迭代或者直接求解代数方程组的办法得到微分方程的解。
2. 有限元法有限元法是一种求解偏微分方程的数值计算方法，它使用有限维函数空间来逼近实际问题的解。
将区域分割成若干个单元，建立有限元函数空间，然后根据偏微分方程和边界条件构造代数方程组，最后采用数值计算方法求解。
3. 辛普森法辛普森法是一种求解积分的数值方法，利用区间端点、抛物线顶点和中点构成的近似抛物线来逼近被积函数，从而得到积分的近似值。
三、边界值问题的应用实例1. 电路问题电路问题是一种常见的边界值问题，求解电路问题可以将电路看作一个带有边界条件的微分方程模型。
通过差分法或者有限元法求解该微分方程，可以得到电路中电流、电压等物理量的数值解。
2. 热传导问题热传导问题是一种边界值问题，它描述了物体中的温度分布问题。
通过差分法或者有限元法求解该方程，可以得到物体中温度的分布以及热流分布，为物体的热力学分析提供了重要的数值计算方法。
3. 声波传播问题声波传播问题也是一种边界值问题，它描述了声波在介质中的传播。
通过有限元法求解该方程，可以得到声波的传播路径以及声压分布，为声学分析提供了重要的数值计算方法。
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1 0 0 α
,
, αλ + µ + 4 = λµ + α,
α > 0, λ > 0, µ > 0 .
(12)
sa Q oD [4,5] ^) C (1) , ' # 2^)AnAc! T^) C (1) * k c 9 x - } " > h % = 4 n x - ] c 2 (D) A > h
1 0 0 1 , 0 1 b 0 , 0 0 0 4b , (D). b=0. λ= 1 b , (16)
519
(16)
>
b>0
>
α > β2,
b<0
(v)
H{9g
|
∆(α, β ) > 0, (16)
2 1 4b ,
h ^) C A
α=β −
>h
0 1
α>β , ( ,
2
J
v
2
∆(α, β ) = 0, (16) [4], p201 ): , λ 0 0 0 .
6 ~ ( (6); T β = 0,
α > β2,
∆(α, β ) > 0, (14) α = (1 − 4k)β > β , ( k> 1 4,
2 2
2
λ = −1/( 1 4 − k ), (14)
6 ( (7). ∆(α, β ) = 0, % (14)
(D).
2
(D). (iii)
H # 9 ! z h ^) C A > h
v ∆(α, β ) = 0, u^) C (13) H 9 ! z h ^) C A > h (
1 0 0 0 ,
1 4
J
1 0 ,
2
0 0
(D).
[4], p95 ): 0 1 , k = 0, 1 . 4 0< k <
1 4
0 −k
(14)
λ = 1/( 1 4 − k ), (14)
> >
k > 0 k<0
(11), (12).
v
∆(α, β ) = 0, (18)
2
(D).
z] m7
Γ
Γ
UO] \ U 2 < Sx A Jordan z ] C (
§3. Γx = {(x, y ) ∈ Γ | nx (x, y ) = 0}, Γy = {(x, y ) ∈ Γ | ny (x, y ) = 0} ,
1 0 0 µ
518
s
1 0 0 µ (iv) , 0 −1 1 0 , λ 0 0 0
s
, λµ + 4 = µ, λ ≥ 0, µ > 0 .
36
0
(10)
9 h ^) C
1 0 0 α , 0 −1 0 1 1 0 1 0 , , λ 0 0 µ λ 0 0 µ , αλ + µ − 4 = λµ + α, α > 0, λ > 0, µ > 0 . (11)
>
0<k<1
H { 9 ! z h ^) C > { | ,c b A |β |, @
− 1 < b1 β < 0, 2
k=1
HX 9 ! z h ^) C
β2 + k +
1 k
β+1>0 ,
v
α= β 2 < α, (ii)
β 2 − 2b1 β − 2 k +
1 k
b1 β 2 /(1 + 2b1 β ) ,
9 h ^) C 2 (D) A > h A * Z J [4], p227, O < 1. m > hD *< 2 (D) A^) C (6)—(12) A , ' # 2 h |Aξ 2 + 2Bξη + Cη2 | ) OA ahO A , ' # 2 h D H A^) C z 2 (D), m + O J [8—11]. J [2—5, 12] + OE ^ ) C (11), (12) A Dirichlet K/ AsK & y & A6 B{l
(4)
'^) C (1) ^) C (4) D A Q $ _ * Z U A B kO < P_ 1 ^) C (1) A S - & U B 2 (D) A,c - & U B 2 (D). P_ 2 ^) C (1) 6 c & A 5 |a AD
a1 uxx + 2b1 uxy + c1 uyy = 0 ,
36 1993
I 0I 4 l a7
u
u
ACTA MATHEMATICA SINICA
Vol.36, No. 4 July, 1993
c`Q\bgSRKvMHtie 8 8t ^t
7 ,<
&
(
5tT z:
510275)
y :+% $ 9 & !w98 4 x *# ' } > (2 ~1& & | 9 3 -5 y:+% 8(20 { 8 2. = ;z /; ; 3 VZL ' } > ;y :+% ;&
Bi ((u, v ), (ϕ, ψ )) (ϕx ux + 2ϕx vy + 2ψy ux + λψy vy )dxdy, Ω Ω (ϕx ux + 2ϕx vy − 2ψy ux + λψy vy )dxdy, ((ϕx + 2ψy )(ux + 2vy ) + λψx vx )dxdy, = Ω Ω (ϕx ux + µψx vx + 2ψx uy + 2ϕy vx + λϕy uy )dxdy, (ϕx ux + µψx vx − 2ψx uy + 2ϕy vx + λϕy uy )dxdy, Ω
4
1 2
dXf (D) NIuk # Q oDAO [4,5] , ^) C (1) 5 |^) C. A ]l C @ A ]l D 9 a A ^) C (1) (^) C
§2. A0 ∂2 ∂2 ∂2 + C0 2 + 2B0 2 ∂x ∂x∂y ∂y u u = 0 0 ,
G,}
. A ]l
^) C (1)
{2 a H&
1989
5
6 "
8
1992
6
6
= (x2 + 2βxy + αy 2 − R2 )
30
);
a b
l J 2 E iX Y #f ? d_* D B 1 L0 517 U B p 2 ( 2 u |Γ = v |Γ = 0, W (a, b) a H A D =>^) C (1) a 9 h { L 8 G . Dirichlet K/ , - Z O & 2 |U 4W _ ~ * & A6 l r | < A Γ1 Γ2 , ~ * Z U J x2 (D) A^) C (1) A > h %O (i) 2 (D) * ( 0 K/ (1), (2) AsK & B{ A,c 2 T {c , w j+ O sK & A6 l (ii) 0 K/ (1), (2) Ay & 6 B{l
1 0 0 0 ,
J
, 0 0
[4], p110): 0 1 , k=0. (15)
0 1 1 k 4
|
β
@
βk < 0,
α = β 2 − 2βk > β 2 ,
∆(α, β ) = 0,
)~ (15)
2
(D).
4
l
(iv)
J 2 E iX Y #f ? d_* D B 1 L0 d Rh ^) C A > h ( J [4], p129 ):
∆(α, β ) = |A + 2βB + αC | . (i) 1 0
H { ;X 9 ! z h ^) C A > h
0 0 , b1 1 b3 b1 (13) , 0 0 0 1 , b3 = b2 1−
( 1 2
J
k+
[4], p32, p72 ): 1 k 1 b1 + , 4 (13) b1 = 0, 0 < k ≤ 1 . (13)
(1) (D) (1), (2) (D) (D)
r m
ql v e > c^) (C) r ? ; 0Gm- ( 2 ^) <O 7 D g A K/ z F D 7 g A K/ . { 4N U AX "e > c^) C A 0 K/
§1. A ∂2 ∂2 ∂2 + C + 2 B ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 u, v u v =
1 0 0 0 |β | , k 1 b k , 0 0 0 1 1 , b = k2 − ak + , 4
2
(D).
0 ≤ a < 1, b = 0 .
(18)
| ,c b A v
β 2 < α, (vii)
@
− 1 < kβ < 0, 2 β 2 − 2aβ + 1 > 0 ,
α = (β 2 − 4akβ 2 + 2kβ )/(1 + 2kβ ) ,