第四章轴对称问题

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三、单元刚度矩阵 运用虚功原理来求解轴对称问题结构上任何单元的刚度矩阵。 运用虚功原理来求解轴对称问题结构上任何单元的刚度矩阵。 单元在结点力的作用下处于平衡状态， 单元在结点力的作用下处于平衡状态，结点力列阵为
{ R} = R
e
[
T i
R
T j
R
T m
]
T
假设单元e的三个结点的虚位移为 假设单元 的三个结点的虚位移为
式中： 是三角形截面环形单元的应力矩阵 是三角形截面环形单元的应力矩阵。 式中：[S]是三角形截面环形单元的应力矩阵。它的子矩阵为
A1ci bi + A1 f i 2 A3 A1 (bi + f i ) ci [Si ] = (i, j , m ) A1ci A A1bi + f i A2 ci A2bi
z
rj
rm
m
j
u = u(r, z) w = w(r, z) v =0
r
（4-1）
ri
i
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一、单元位移模式 由于轴对称性， 由于轴对称性，我们只需分析 任意一个子午面上的位移、 任意一个子午面上的位移、应力和 应变情况。 应变情况。其有限元分析计算步骤 和平面问题相似。 和平面问题相似。首先进行结构区 域的有限元剖分。 域的有限元剖分。采用的单元是三 角形、 角形、矩形或任意四边形环绕对称 旋转一周而得到的整圆环， 轴 z旋转一周而得到的整圆环 ， 通 旋转一周而得到的整圆环 常采用的单元是三角形截面的整圆 在单元类型确定之后， 环。在单元类型确定之后，单元剖 分可以在子午面内进行， 如图4-1 分可以在子午面内进行 ， 如图 表示的abcd子午面被分割为若干个 表示的 子午面被分割为若干个 三角形， 绕对称轴z旋转后即形成 三角形 ， 绕对称轴 旋转后即形成 若干个三棱圆环单元。 若干个三棱圆环单元。
（4-4）
类似于平面三角形单元的推导， 类似于平面三角形单元的推导，即将单元的结点坐标 z i , z j , z m , ri , r j , rm 及结点位移 ui , u j , um , wi , w j , wm 代入式（ ） 可以 代入式（4-4）中,可以 ,α 6 解出六个待定系数 α 1, α 2 , ⋅ ⋅ ⋅。再将这些待定系数回代到式 （4-4）中，就可以得到由结点位移和形函数所表示的单元内任 ） 一点的位移表达式
(
{δ
T * e
})
{ R} = ∫∫∫ {δ
e
= {δ
(
T * e
})
(
T * e
})
[ B] [ D][ B]{δ } rdrdzdθ
T e T e
⋅ 2π ∫∫ [ B] [ D][ B]rdrdz {δ }
（4-18）
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由于虚位移列阵 {δ
*
{ R} e = 2π ∫∫ [ B] T [ D][ B]rdrdz{δ }
第四章 轴对称问题的有限单元法 主要内容： 主要内容： 4-1轴对称问题有限单元法 轴对称问题有限单元法 4-2空间问题常应变四面体单元 空间问题常应变四面体单元
第一节
轴对称问题的有限单元法
轴对称结构体可以看成由任意 一个纵向剖面绕着纵轴旋转一周而 形成。此旋转轴即为对称轴， 形成。此旋转轴即为对称轴，纵向 剖面称为子午面，如图4-1表示一 剖面称为子午面，如图 表示一 圆柱体的子午面abcd被分割为若干 圆柱体的子午面 被分割为若干 个三角形单元， 个三角形单元，再经过绕对称轴旋 转，圆柱体被离散成若干个三棱圆 环单元， 环单元，各单元之间用圆环形的铰 链相连接。对于轴对称问题， 链相连接。对于轴对称问题，采用 圆柱坐标较为方便。 圆柱坐标较为方便。以弹性体的对 称轴为z轴 称轴为 轴，其约束及外载荷也都 对称于z轴 对称于 轴，因此弹性体内各点的 各项应力分量、 各项应力分量、应变分量和位移分 量都与环向坐标θ无关 无关， 量都与环向坐标 无关，
z
d
c
m j
i i
m j
θ a b
r
图4-1 轴对称结构
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只是径向坐标r和轴向坐标 的函数 也就是说， 只是径向坐标 和轴向坐标z的函数。也就是说，在任何一个过 和轴向坐标 的函数。 z轴的子午面上的位移、应变和应力的分布规律都相同。因此 轴的子午面上的位移、 轴的子午面上的位移 应变和应力的分布规律都相同。 轴对称问题可把三维问题简化为以（ ， ） 轴对称问题可把三维问题简化为以（z，r）为自变量的二维 问题。 问题。 由于轴对称性，弹性体内各点只可能存在径向位移u和 由于轴对称性，弹性体内各点只可能存在径向位移 和 轴向位移w。此时，位移u、 只是 只是r、 的函数 的函数， 轴向位移 。此时，位移 、w只是 、z的函数，而环向位移 v=0。即： 。
bi 1 0 [ Bi ] = 2∆ f i ci 0 ci 0 bi
（ i，j，m）
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可以看出，单元中的应变分量，都是常量， 可以看出，单元中的应变分量，都是常量，但是环向应变不 是常量，而是坐标r和 的函数 的函数。 是常量，而是坐标 和z的函数。为了简化计算和消除由于结 点落在对称轴上使r 而引起的计算溢出， 点落在对称轴上使 = 0而引起的计算溢出，通常采用单元的 而引起的计算溢出 来近似代替（ 形心坐标值 (r, z)来近似代替（4-12）中的 ，z值，即令 ）中的r， 值
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其中
1 − 2u A2 = 2(1 − u)
u A1 = 1− u
，
，
(1 − u) E A3 = 4(1 + u)(1 − 2u)
从（4-14）式可知，只有剪应力在单元中是常数，而其他 ）式可知，只有剪应力在单元中是常数， 三个正应力在单元中都不是常数，与坐标r和 有关 有关。 三个正应力在单元中都不是常数，与坐标 和z有关。同样 采用形心坐标和来代替， 采用形心坐标和来代替，每个单元近似地被当作常应力单 所求得的应力是单元形心处的应力近似值。 元，所求得的应力是单元形心处的应力近似值。
r≈r = 1 ri + r j + rm 3 1 z ≈ z = zi + z j + zm 3 ai cz + bi + i r r
( (
)
)
(i, j, m)
于是
fi = fi =
有限元网格确定后，各单元的就是定值。 有限元网格确定后，各单元的就是定值。这样就可以把轴对 称问题的各单元看成是常应变矩阵， 称问题的各单元看成是常应变矩阵，所求得的应变是形心处 的应变值。当轴对称结构的单元划分比较小时， 的应变值。当轴对称结构的单元划分比较小时，这种近似所 引起的误差是很小的。特别当结构上各单元的形心离Z轴较 引起的误差是很小的 。 特别当结构上各单元的形心离 轴较 远时，产生的误差就更小了。 远时，产生的误差就更小了。 返回
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
δ 0 i δ j N m δ m
(4-11)
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二、单元应变与应力 为了将单元任意点的应变和应力用结点位移表示， 为了将单元任意点的应变和应力用结点位移表示，可按以 下步骤推导。 下步骤推导。 将式（ ）代入轴对称问题的几何方程， 将式（4-5）代入轴对称问题的几何方程，便得到单元体内 的应变， 的应变，即
图4-2
r
{δ }
e
=δ
[
T i
δ
T j
δ
T T m
] = [u
i
wi
uj
Fra Baidu bibliotek
wj
um
wm
]
T
（4-3）
对于每一个环形单元，需要假定其位移模式。 对于每一个环形单元，需要假定其位移模式。仿照平面三 角形单元， 角形单元，取线性位移模式
u = u( r , z ) = α 1+ α 2 r + α 3 z w = w( r , z ) = α 4 + α 5 r + α 6 z
（4-21）
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其中每个子矩阵为
[k ]
st
e
= 2π ∫∫ [ Bs ] [ D][ Bt ]rdrdz
T
( s, t = i, j, m) （4-22）
在轴对称问题中，矩阵[B]不是常数而是坐标r, z的函数，所以 （5-22）式的积分运算比平面问题要复杂得多。为了简化计算 仍取单元形心的坐标 r , z 代替矩阵[B]中的坐标r, z，得到一个近 似的单元刚度矩阵。此时，（5-22）式可以写成
单元的各应力分量可通过将式（ 单元的各应力分量可通过将式（5-12）代入轴对称问题 ） 的物理方程得到
σ r σ e {σ } = Z = [ D]{ε } = [ D][ B]{δ } = Si σθ τ rZ
[
Sj
S m {δ }
]
e
（4-14）
m
v
u ri i
这样， 各单元在子午面rz平 这样 ， 各单元在子午面 平 面上形成三角形网格， 面上形成三角形网格 ， 就如 同平面问题中在xy平面上的 同平面问题中在 平面上的 网格一样。 网格一样 。 采用位移法有限 元分析， 元分析 ， 其基本未知量为结 点位移。 单元的结点位移列 点位移 。 阵如下： 阵如下：
0 ci 0 bi
bj 0 fj cj
0 cj 0 bj
bm 0 fm cm
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式中
ai ci z f i = + bi + r r
（i，j，m）
上式可简写成
{ε } = [B ]{δ }e
（4-13）
其中 [B] [B]为三角形断面环元的应变矩阵，它可写成分块矩阵形 式[B]=[Bi Bj Bm]
∂u ∂r bi ε r ∂ w 0 ε {ε } = z = ∂ z = 1 εθ u 2 A fi γ rz r ci ∂ u ∂ w ∂ z + ∂ r ui 0 wi c m u j 0 w j （4-12） bm um wm
({δ } ) {R}
T * e
e
= ∫∫∫ {ε
* T
} {σ }rdrdzdθ
（4-17）
上式等号左边为单元结点力所作的虚功， 上式等号左边为单元结点力所作的虚功，与平面问题不同的是 这里所说的结点力是指作用在整个结圆上的力，等式右边是指 这里所说的结点力是指作用在整个结圆上的力， 整个三角形环状单元中应力的虚功。 整个三角形环状单元中应力的虚功。 将（5-14）式和（5-16）式代入（5-17）式，则得
u = N i ui + N j u j + N m um w = N i wi + N j w j + N m wm
（4-5）
其中形函数
Ni =
(ai + bi r + ci z ) (i, j,m ) 2A
1 ri zi zj zm
（4-6）
而
A=
1 1 rj 2 1 rm
（4-7）
ai =
rj rm
z
d
c
m j
i i
m j
θ a b
r
图4-1 轴对称结构
相邻的单元由圆环形 的铰链相连接 。 单元的棱 边都是圆， 故称为结圆。 边都是圆 ， 故称为结圆 。 每个结圆与rz平面的交点称 每个结圆与 平面的交点称 结点。 为结点。 如图4-2中的 如图 中的 i, j, m点。 点
z rj j
rm
= [ K ] {δ }
e e
}
e
是任意给定的，所以有
e
（4-19）
[ K ] e 就是单元刚度矩阵 式中，
[ K ] e = 2π ∫∫ [ B] T [ D][ B]rdrdz
写成分块形式，则为
（4-20）
[ K ]e
k ii = k ji k mi
kij k jj k mj
k im k jm k mm
zj zm
= rj z m − rm z j = z j − zm
（4-8）
bi = −
1 zj 1 zm
(i, j, m)
（4-9） （4-10）
ci =
1
rj
1 rm
= rm − r j
（4-5）式也可以写成矩阵形式
{u} =
u e = [N ]{δ } w
Ni = 0
{δ }
* e
= u
[
* i
v
* i
u
* j
v
* j
u
* m
v
* m
]
T
单元任一点的虚位移为
{u }= [N ]{δ }
*
* e
（4 -15） （4-16）
单元的虚应变为
{ ε } = [ B ] {δ }
*
* e
根据虚功原理， 根据虚功原理， 三角形断面形状的单元体所吸收的虚应变 能等于单元结点力所做的虚功