随机信号分析中文版答案

1.6 解： 由已知 f X n ( x ) =
1≤ y ≤ 6
1 b−a
+∞ −∞
X 1 ⋅⋅⋅ X n 相互独立
φ X (ω ) = ∫
i
f X ( xi )e jω xi dxi
=∫
b
a
1 jω xi 1 1 jωb e dxi = (e − e jω a ) b−a b − a jω
(b+ a ) ⎛ (b − a )ω ⎞ jω 2 = Sa ⎜ ⎟e 2 ⎝ ⎠
π
2
−2+
π2
8
2 2 2 ∴ D [ x] = σ X =E⎡ ⎣x ⎤ ⎦ − E [ x] 2 =σy =
π
2
−2+
π2
8
−
π2
16
=
π2
16
+
π
2
−2
（4）
Rxy = E [ xy ]
π 1 π 2 2 xy sin ( x + y ) dxdy 2 ∫0 ∫0 π π ⎤ 1 π ⎡ = ∫ 2 x ⎢ − y cos ( x + y ) 02 + sin ( x + y ) 02 ⎥ dx 2 0 ⎣ ⎦
5
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cx1x 2 = rx1x 2 − mx1mx 2 cx1x 2 ⎞ ⎛10 2 ⎞ ⎛c cx ( x1, x 2) = ⎜ x1x1 ⎟=⎜ ⎟ ⎝ cx 2 x1 cx 2 x 2 ⎠ ⎝ 2 10 ⎠
1 − f x ( x1 , x2 ) = e 192π
1.8 解： C XY = E[( x − mx )( y − m y )] = E[ XY ] − mx m y = m11 − mx m y
1.9 证明： 已知 X 在[0，a]均匀分布 Y 在[0，
π
2
]均匀分布，且相独立
2
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P ( x < b cos y ) = ∫
y − 1 e 2a 2π ay
1.18 解：z = x + y f z ( z ) = ∫ f x ( x) f y ( z − x)d = f x ( x) ∗ f y ( y ) 分段卷积
z 1 2 ⎧ ⎪0 < z < 1…… ∫0 zdz = 2 z ⎪ 1 1 1 5 ⎪ ⎪1 < z < 2…… ∫z −1 (2 − τ )dτ = z (2 − z ) + ( z − 1)(5 − z ) = 3z − f z ( z) = ⎨ 2 2 2 ⎪ 2 9 1 1 = z 2 − 3z + 4 − ( z − 1) 2 ⎤ ⎪2 < z < 3…… ∫z −1 (2 − τ )dτ = 2(3 − z ) − ⎡ ⎣ ⎦ 2 2 2 ⎪ ⎪ ⎩0…………… 其他
π
π
π
=
3
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同理： m y = mx = 1.12 解：
π
4
Φ x (ω ) = ∫
∞
0
∞
−∞
f x ( x ) e jω x dx 2 a − jω
= ∫ 2e− ax e jω x dx =
1.13 解：
−a t ⎤ F⎡ ⎣e ⎦ =
2a a + ω2
1.2 解： （1）分布函数右连续
F (2) = 1 0.5 + A sin( (2 − 1)) = 1 2 1 A= 2
（2）
π
1 π 1 π P(0.5 < x < 1) = F (1) − F (0.5) = 0.5 + sin (1 − 1) − 0.5 − sin (0.5 − 1) 2 2 2 2 1 1 2 2 = −( − )= 2 2 4 4
1.4 解： 已知随机变量 X 在 [α , β ] 内均匀分布 则概率密度为 f X ( x) =
∞
1 β −α
β
E[ X ] =
−∞
∫
xf X ( x)dx = ∫ x ⋅
α β α
1 β +α dx = β −α 2
E[ X 2 ] = ∫ x 2 f X ( x)dx =
1 1 (β 3 − α 3 ) 3 β −α 1 1 ( β + α )2 ( β − α )2 (β 3 − α 3 ) − = 12 3 β −α 4
2 5 x12 − 2 x2 x2 + 5 x2 96
− 1 f ( x1 , x2 , y1 , y2 ) = f x ( x1 , x2 ) f y ( y1 , y2 ) = e (192π ) 2
2 2 2 5 x1 − 2 x1 x2 + 5 x2 5 y 2 − 2 y1 y2 + 5 y2 + 1 96 96
π
−
π2
1．14 解：
⎤ = 2 2a 2 ⎦ a +ω 1 2 1 ∴Φ x (ω ) = ⋅ = 2 2 1+ ω 1+ ω2 F⎡ ⎣e
−a t
1．16 解： 因为随机点 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) 服从高斯分布 N（0，10） 同一坐标相关
E [ x1 x2 ] = E [ y1 y2 ] = 2 ， 不同坐标不相关，即有
1.11 解： （1）由
∫ ∫
−∞
+∞
+∞
−∞
f xy ( x, y )dxdy = 1 得：
π
0
∫ ∫
2 0
π
π
2 0
A sin( x + y )dxdy = 1 ⇒ A∫ 2 (sin x + cos x)dx = 1
1 ∴A= 2
（2） mx = E[ X ] =
∫ ∫
2 0
π
π
2 0
1 1 π x ⋅ sin( x + y )dxdy = ∫ 2 x(sin x + cos y )dx 2 2 0
=J=
∂x1 ∂y1 ∂x2 ∂y1 ∂y1 ∂x1 ∂y2 ∂x1
∂x1 ∂y2 ∂x2 ∂y2 ∂y1 ∂x2 ∂y2 ∂x2
=
a1 c1
b1 = a1d1 − b1c1 d1
ds y1 y2 dsx1x2
∴J =
=J=
=
a b = ad − bc c d
1 ad − bc
∴ f y1 y2 = J f x1x2 [h1 ( y1 , y2 ), h2 ( y1 , y2 )] = 1 f x x (a1 y1 + b1 y2 , c1 y1 + d1 y2 ) ad − bc 1 2
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Chapter 1
1.1 解：
n 1 1 1 1 7 E[ X ] = ∑ X i × Pi = 0 × + 1× + 2 × + 3 × = 2 4 8 8 8 i =1 n 1 1 1 1 15 E[ X 2 ] = ∑ X i 2 × Pi = 0 × + 1× + 4 × + 6 × = 2 4 4 8 8 i =1 15 7 71 D[ X ] = E[( x − mx ) 2 ] = E[ X 2 ] − E 2 [ X ] = − ( ) 2 = 8 8 64
=
π
2
−1
Cxy = Rxy − mx my = Cxy
π
2
−
π2
16
−1 ]
−1 2 16 rxy = = σ Xσ y π 2 π + −2 16 2 f X (x1,x2)= 1 2π c e⎩
⎧ 1 ⎫ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ −1 ⎨− ( x − m ) c ( x − m ) ⎬ 2 ⎭
π
−
π2
(x1,x2)的协方差矩阵为：
=
1 π ⎛π ⎞ = ∫ 2 x ⎜ sin x + cos x − sin x ⎟ dx 0 2 ⎝2 ⎠
π π π π 1⎛π ⎤ 1⎡ ⎤ ⎞⎡ = ⎜ − 1⎟ ⎢ − x cos x 02 + sin x 02 ⎥ + ⎢ x sin x 02 + cos x 02 ⎥ 2⎝ 2 ⎠⎣ ⎦ 2⎣ ⎦ 1⎛π ⎞ π 1 = ⎜ − 1⎟ + − 2⎝ 2 ⎠ 4 2
Y = ∑ Xi
i =1
n
ΦY (ω ) = ∏ Φ xi (ω )
i =1
n
所以 当 n=2 时 Φ Y (ω ) = S 2 a 1.7 解： E[ X ] = D[ X ] + E [ X ] = a + m
2 2 2
(b − a )ω jω ( b + a ) e 2
E[Y ] = E[ −3 X − 2] = −3E[ X ] − 2 = −3m − 2
1.17 ⎧ y …… y > 0 ⎪h1 ( y ) = x ⎪ 解：x = ⎨ ⎪h ( y ) = − y …… y < 0 2 ⎪ x ⎩ 1 − x2 fx = e 2π
2
` ( y) = h1` ( y ) = h2
1 1 2 ay1
f y ( y ) = f x (h1 ( y )) h1` ( y ) + f x ( h2 ( y )) h2 ( y ) =
6
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Chapter 2
2.1 解：
RX (t1 + t2 ) = E[{ A cos(ωt1 ) + B sin(ωt2 )}{ A cos(ωt2 ) + B sin(ωt1 )}]
= E[ A2 ]cos(ωt1 ) cos(ωt2 ) + E[ AB ][sin(ωt1 ) cos(ωt2 ) + cos(ωt1 ) sin(ωt2 )] + E[ B 2 ]sin(ωt1 ) sin(ωt2 ) A,B 互相独立，∴ E[ AB ] = E[ A]E[ B ] = 0
E [ x1 y1 ] = E [ x2 y2 ] = E [ x1 y2 ] = E [ x2 y1 ] = 0
有 ( x1 , x2 ) 和 ( y1 , y2 ) 独立 （3）
4
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E⎡ ⎣x ⎤ ⎦=∫
2
π
2 0
∫
π
2 0
1 x 2 sin ( x + y ) dxdy 2
=
1 π 2 2 x ( sin x + cos x ) dx ∫ 0 2 π π π π π π ⎡ ⎤⎫ 1⎧ ⎪ ⎪ ⎡ ⎤ = ⎨− x 2 cos x 2 + 2 ⎢ x sin x 02 + cos x 02 ⎥ + − x 2 sin x 2 − 2 ⎢ − x cos x 02 + sin x02 ⎥ ⎬ 0 0 2⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎩ ⎭ 2 ⎫ 1⎧ π π = ⎨2 × − 2 + − 2⎬ 2⎩ 2 4 ⎭ =
E[Y 2 ] = E[(−3 X − 2)2 ] = E[9 X 2 + 4 + 12 X ] = 9 E[ X 2 ] − 4 + 12 E[ X ] = 9(δ + m 2 ) − 4 + 12m
D[Y ] = E[Y 2 ] − E 2 [Y ] = 9(δ + m 2 ) − 4 + 12m − (−3m − 2) 2 = 9δ RXY = E[ XY ] = E[−3 X 2 − 2 X ] = −3E[ X 2 ] − 2 E[ X ] = −3(δ + m 2 ) − 2m = −3a − 3m 2 − 2m
D[ X ] = E[ X 2 ] − E 2 [ X ] =
1.5 解： 由 x = h( y ) 在单调区间 在 1 ≤ y ≤ 6 区间 X =
1 (Y − 1) 5
1
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fY ( y ) = f X (h( y )) h′( y ) 1 1 = 1⋅ = 5 5 ⎧1 ⎪ (1 ≤ y ≤ 6) fY ( y ) = ⎨ 5 ⎪ ⎩0(其他）
=
1.10
+∞
−∞
∫
b cos y
−∞
f x ( x) f y ( y )dxdy = ∫
π
2 0
∫
b cos y
0
1 2 2 ⋅ dxdy = a π aπ
∫
π
2 0
dy ∫
b cos y
0
dx
2b aπ
（x1 , x2 ) 到 （y1 , y2 ) 的雅可比行列式 解：二位随机变量
dsx1x2 ds y1 y2
1 [− x cos + sin x 2 + x sin x 2 + cos x 2 ] 2 0 0 0
π π π π 1⎡ ⎤ 2 + sin x 2 + x sin x 2 + cos x 2 − x x cos 0 0 0 0 ⎥ ⎢ 2⎣ ⎦
π π π π π 1⎡ ⎤ 2 + sin x 2 + x sin x 2 + cos x 2 = cos x x − 0 ⎥ 0 0 0 ⎢ 2⎣ 4 ⎦
2
又对称性可知： F ⎢
⎡ 2a ⎤ −a ω = 2π e 2 2⎥ a t + ⎣ ⎦
Φ x (ω ) = ∫
+∞
−∞
f x ( x ) e jω x dx
令 Fx (ω ) = F ⎡ ⎣ f x ( x )⎤ ⎦=
∫
+∞
−∞
f x ( x ) e jω x dx
ϒ xy =
−1 ∴Φ x (ω ) = Fx ( −ω ) = 22 16 σ Xσ y π π + −2 16 2 1 −a ω −a ω ∴Φ x (ω ) = ⋅ 2π e =e 2π Cxy