立体几何典型问题的向量解法

立体几何中几类典型问题的向量解法

空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几 何的探索性试题提供了简便、快速的解法。它的实用性是其它方法无法比拟的， 因此应加强

运用向量方法解决几何问题的意识， 提高使用向量的熟练程度和自觉性， 注意培养向量的代

数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、 平行与垂

直问题。

「、利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离

(1)求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法是:

(3)求点P 到直线AB 的距离，可在 AB 上取一点Q ，令AQ

的最小值求得参数 ■,以确定Q 的位置，贝U PQ 为点P 到直线AB 的距离。还可以在AB 上

任取一点Q 先求cos ：：： PQ, AB •，再转化为sin ：：： PQ, AB •，则 点P 到直线AB 的距离。

(4)求两条异面直线li,l2之间距离，可设与公垂线段

例 1：设 A(2,3,1), B(4,1,2), C(6,3,7), D(-5,-4,8)，求点 D 到平面 ABC 的距离

例2：如图，正方形 ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直。 点M 在AC 上移动，点 N 在BF 上移动，若CM 二BN 二a (0 ：：： a 2)。

求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点

P 与平面内任一点

M 构成的向量 M P 的坐

标, 那么P 到平面的距离d = MP •'cosen,MP >

(2)求两点P,Q 之间距离，可转化求向量

PQ 的模。

sin ：： PQ, AB 为

AB 平行的向量n , C,D 分别是ht 上

的任意两点，贝y h,l2之间距离 AB =

例3：正方体 ABCD -AB 1C 1D 1的棱长为1,求异面直线 AQ ,与AB ,间的距离

点评：若n 是平面:-的法向量，AB 是平面:-的一条斜线段，且B e

::^，则点A 到平面〉的

r 4

AB ・n

距离d =—4一，平行平面之间的距离转化为点到平面的距离，变为斜线在法向量上的射

n

影。

二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。

(i )设- J

是两条异面直线，A,B 是l i 上的任意两点,

AB ・CD

例4：如图，在长方体 面ACD i 的距离。

ABCD - A i B i C i D i 中, C, D 是直线12上的任意两点，则1」2

(2)设AB 是平面〉的斜线，且B : , BC 是斜线 AB 在平面 :内的射影，则斜线AB 与

AB

平面a 所成的角为 arccos-^-

AB ・BC

:-的法向量, AB 是平面〉的一条斜线, AB *n

«所成的角为一 —arccos-

或者 arcs in J

2

AB

n

AB ■

y

所成的角为arccos

。设n 是平面 AB ・n

o

则AB 与平面

例7：如图，PA _平面ABC ,

AC — BC, PA = AC -1, BC = 2，求二面角 A - PB - C 的大小。

点评：如果 AB,CD 分别是二面角〉-丨- 一：两个面内的两条直线，且 l,C • I,

AB — l,CD —丨，则二面角的大小为：::AB,CD

(3)设ri|,n 2是二面角 .--的面二F ：的法向量，则

.面角的平面角或补角的大小。

例5：在棱长为a 的正方体 ABCD -A'B 'C 'D '中,

(1) 求直线AC 与DE 所成角；

(2) 求直线AD 与平面B 'EDF 所成的角， (3) 求平面B EDF 与平面ABCD 所成的角

例6:如图，四棱锥 P - ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD _底面ABCD ，AD=PD ，E ，

F 分别CD 、PB 的中点.

(I)求证：EF _平面PAB ;

(H)设AB= .2 BC ，求AC 与平面AEF 所成角的大小

:::n2

就是

=arc cos

m • n 2

EF 分别是BC, A 'D '的中点,

y

D

AB = BC = 1 , AD二1.求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值. _2

点评：用向量知识求二面角的大小时，是将二面角的问题转化为两平面的法向

量的夹角问题，

(1 V法向量别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量

厲与r t的夹角的大小。

(2)当法向量厲与r2的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量厲与r t的夹角的补角二-:::r i, rr，•。

三、利用向量知识解决平行与垂直问题。

例9:如图，在直三棱柱ABC —A i B i C i 中，AC = 3, BC = 4, AA i = 4, AB = 5,点D 是AB 的中点，(I)求证：AC丄BC i；(II)求证：A i C〃平面CDB i ；

点评：平行问题的转化：

面面平行转化线面平行转化线线平行；

例iO.如图，在长方体ABCD —A i B i C i D i，中，AD=AA i=i ,

AB=2，点E在棱AD上移动.

(1)证明：D i E丄A i D;

(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD i的距离；

(3)AE等于何值时，二面角D i—EC —D的大小为一.

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四、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。

例ii.如图，在直三棱柱(i)求证AC _ BC i；

ABC - A, B i C i中，AC = 3, BC = 4, AB = 5, AA|

(3)在AB上是否存在点D使得A,C //平面CDB ,

C

C

i

B i

A

D