土木工程力学教案——弯曲内力及扭转时的内力

一、用叠加法画弯矩图

(一)、叠加原理

由于在小变形条件下，梁的内力、支座反力，应力和变形等参数均与荷载呈线性关系，每一荷载单独作用时引起的某一参数不受其他荷载的影响。所以，梁在n个荷载共同作用时所引起的某一参数（内力、支座反力、应力和变形等），等于梁在各个荷载单独作用时所引起同一参数的代数和，这种关系称为叠加原理（图9-20）。

=

M图

图9-20 叠加原理

(二)、叠加法画矩图

根据叠加原理来绘制梁的内力图的方法称为叠加法。由于剪力图一般比较简单，因此不用叠加法绘制。下面只讨论用叠加法作梁的弯矩图。其方法为，先分别作出梁在每一个荷载单独作用下的弯矩图，然后将各弯矩图中同一截面上的弯矩代数相加，即可得到梁在所有荷载共同作用下的弯矩图。

为了便于应用叠加法绘内力图，在表9-1中给出了梁在在简单荷截作用下的剪力图和弯矩图，可供查用。

【例9-9】试用叠加法画出图9-21所示简支梁的弯矩图。

【解】（1）先将梁上荷载分为集中力偶m和均布荷载q两组。

（2）分别画出m和q单独作用时的弯矩图M1和M2（图9-21b、

(a)M图(b)M1图(c)M2图

图9-21 例9-9图

c），然后将这两个弯矩图相叠加。叠加时，是将相应截面的纵坐标代数相加。

叠加方法如图9-21a 所示。先作出直线形的弯矩图M 1（即ab 直线，可用虚线画出），再以ab 为基准线作出曲线形的弯矩图M 2 。这样，将两个弯矩图相应纵坐标代数相加后，就得到m 和q 共同作用下的最后弯矩图M （图9-21a ）。其控制截面为A 、B 、C 。即

A 截面弯矩为 ：m m M -=+-=0A ，

B 截面弯矩为 ：000B =+=M

跨中C 截面弯矩为：2

82C m

ql M -= 叠加时宜先画直线形的弯矩图，再叠加上曲线形或折线形的弯矩图。 由上例可知，用叠加法作弯矩图，一般不能直接求出最大弯矩的精确值，若需要确定最大弯矩的精确值，应找出剪力Q =0的截面位置，求出该截面的弯矩，即得到最大弯矩的精确值。

【例9- 10】 用叠加法画出图9-22所示简支梁的弯矩图。

【解】（1）先将梁上荷载分为两组。其中，集中力偶m A 和m B 为一组，集中力F 为一组。

（2）分别画出两组荷载单独作用下的弯矩图M 1和M 2（图9-22b 、c ），然后将这两个弯矩图相叠加。叠加方法如图9-22a 所示。先作出直线形的弯矩图M 1（即 (a )M 图 (b )M 1图 (c )M 2图

图

9-22

例

9-10图

ab 直线，用虚线画出），再以ab 为基准线作出折线形

的弯矩图M 2。这样，将两个弯矩图相应纵坐标代数相加后，就得到两组荷载共同作用下的最后弯矩图M （图9-22a ）。其控制截面为A 、B 、C 。即

A 截面弯矩为 ：A A A 0m m M =+=，

B 截面弯矩为 ：B B B 0m m M =+= 跨中

C 截面弯矩为：4

2B A C Fl

m m M +

+=

(三)、用区段叠加法画弯矩图

上面介绍了利用叠加法画全梁的弯矩图。现在进一步把叠加法推广到画某一段梁的弯矩图，这对画复杂荷载作用下梁的的弯矩图 和今后画刚架、超静定梁的弯矩图是十分有用的。

图9-23a 为一梁承受荷载F 、q 作用，如果已求出该梁截面A 的弯矩M A 和截面B 的弯矩M B ，则可取出AB 段为脱离体然后根据（见图9-23b ），脱离体的平衡条件分别求出截面A 、B 的剪力Q A 、Q B 。将此脱离体与图9-23c 的简支梁相比较，由于简支梁受相同的集中力F 及杆端力偶M A 、M B 作用，因此，由简支梁的平衡条件可求得

支座反力Y A =Q A ，Y B =Q B 。

图

9-23 区段叠加法

可见图9-23b 与9-23c 两者受力完全

相同，因此两者弯矩也必然相同。对于图9-23c 所示简支梁，可以用上面讲的叠加法作出其弯矩图如图9-23 d 所示，因此，可知AB 段的弯矩图也可用叠加法作出。由此得出结论：任意段梁都可以当作简支梁，并可以利用叠加法来作该段梁的弯矩图。这种利用叠加法作某一段梁弯矩图的方法称为“区段叠加法”。

【例9-11】试作出图9-24外伸梁的弯矩图。 【解】（1）分段 将梁分为AB 、BC 两个区段。 （2）计算控制截面弯矩

0A =M

M 图(kN ·m) 图9-24 例9-11图

m kN 6123B ⋅-=⨯⨯-=M 0D =M

AB 区段C 点处的弯矩叠加值为

m kN 86

2

46⋅=⨯⨯=l Fab m kN 463

2832B C ⋅=⨯-=-=M l Fab M

BD 区段中点的弯矩叠加值为

m kN 5.18

23822⋅=⨯=ql （3）作M 图如图9-24所示。

由上例可以看出，用区段叠加法作外伸梁的弯矩图时，不需要求支座反力，就可以画出其弯矩图。所以，用区段叠加法作弯矩图是非常方便的。

【例9-12】 绘制图9-25a 所示梁的弯矩图。 【解】 此题若用一般方法作弯矩图较为麻烦。现采用区段叠加法来作，可方

便得多。

(a )

(b )

M 图(kN ·m) 图9-25例9-12图

(1) 计算支座反力

0B =∑M kN 15A =R (↑) 0A =∑M kN 11B =R (↑)

校核：022********=⨯-+-⨯-+-=∑Y 计算无误。

（2）选定外力变化处为控制截面，并求出它们的弯矩。

本例控制截面为C 、A 、D 、E 、B 、F 各处，可直接根据外力确定内力的方法求得

0C =M

m kN 1226A ⋅-=⨯-=M

m kN 824241566D ⋅=⨯⨯-⨯+⨯-=M m kN 10211322E ⋅=⨯+⨯⨯-=M m kN 4122B ⋅-=⨯⨯-=M 0F =M

(3)把整个梁分为CB 、AD 、DE 、EB 、BF 五段，然后用区段叠加法绘制各段的弯矩图。方法是：先用一定比例绘出CF 梁各控制截面的弯矩纵标，然后看各段是否有荷载作用，如果某段范围内无荷载作用（例如CA 、DE 、EB 三段），则可把该段端部的弯矩纵标连以直线，即为该段弯矩图。如该段内有荷载作用（例如AD 、