第一章 高等代数多项式

根据数集对运算的封闭情况，可以得到两类数集：
一、数环
定义1：若P是由一些复数组成的非空集合，若数集P对加、 减、乘三种运算都封闭，即对a，b∈P，总有a+b，a-b， a•b∈P，则称数集P是一个数环。 例如：整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C都是数环。 例 1 除了以上数环外，是否还有其他数环？有没有最小数环？ 例 2 一个数环是否一定包含0元？除零环外，是否还有只包含 有限个元素的数环？
《高等代数题解精粹》 钱吉林著
多项式
第一章
多项式
绪论与准备知识
一、复
◆
数
复数的概念
复数的实部与虚部；模与幅角 复数的三角表示，欧拉公式
◆
◆
◆
代数基本定理
◆
z 1
n
的根
准备知识
二、 数 域 的 概 念
1、数的认识过程
自然数 整数 有理数 实数 复数
N
Z
Q
R
C
2、数的范围对问题的影响
●
域内就可以分解。
加法结合律：
乘法交换律： 乘法结合律：
[f (x)+g(x)]+h(x)=f (x)+[g(x)+h(x)]
f (x)•g(x)=g(x)•f (x) [f (x)•g(x)]•h(x) = f (x)•[g(x)•h(x)] f (x)•[g(x)+h(x)]=f (x)•g(x)+f (x)•h(x)
例 1 用带余除法，求g(x)除 f (x)所得的商式和余式，其中
f ( x) x3 x 2 x, g ( x) x 1 2i
多项式
§3 整除的概念和性质
二、多项式的整除性
定义1：设f (x)，g(x)∈P [x]，若存在h(x)∈P [x]使得 f (x) = g(x)h(x) 则称 g(x) 整除 f (x)，记为g(x) | f (x)。 否则称g(x)不能整除 f (x)，记为g(x) | f (x)。
f (x) | (u1(x)g1(x)+u2(x)g2(x)+…+ur(x)gr(x))
称作多项式 性质6 对任意的f (x)，g(x)∈P [x]，若 f (x) | g(x)，则对任意 g1(x),g2(x),…,gr(x) 的 h(x)∈P [x]，有f (x) | h(x)g(x) 。 的一个组合 性质7 对任意的f (x)∈P [x]，c∈P且c ≠ 0，有f (x) | cf (x) 。
i 0
其中a0，a1，…，an全属于数域P，称为系数在数域 P 中的 一元多项式，或简称为数域 P 上的一元多项式。 定义1在以下两方面推广了中学的多项式定义： 1) 这里的x不再局限为实数，而是任意的文字或符号。
2) 多项式中的系数可以在任意数域中。
多项式
§2 一元多项式的定义和运算
例如： f (x) 9x 3 3x 2 2x 1 是Q上的一元多项式。
数域的扩大而改变？
g(x) | f (x)的充要条件是g(x)除f (x)的余式r(x) = 0。
例 2 试求多项式 x 2 2ax a 2整除 x3 3 px 2q 的条件。 例 3 设f (x)，g(x)，h(x)∈P [x]，其中h(x) ≠ 0。证明： h(x) | (f (x)-g(x)) 当且仅当f (x)与g(x)除以h(x)所得的余式相等。
多项式
§1 数环和数域
例 3 证明 P {2a b 2 | a,b Z} 是包含 2 的最小数环。
二、数域
定义2：若P是由一些复数组成的集合，其中包含0和1，如 果数集P对加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都封闭， 则称数集P是一个数域。
定义3：若P是一个数环，如果① 数集P内含有一个非零数 ② 对a，b∈P，且b≠0，有a/b ∈P，则称数集P是一个 数域。 例如：有理数集Q、实数集R、复数集C都是数域。
是数域P上次数分别为n和m的多项式(不妨假设m≤n)，则 多项式f (x)和g(x)的和，差为：
g ( x) bm x m bm1 x m1 b1 x b0 ,
f ( x) g ( x) (an bn ) x (a1 b1 ) x (a0 b0 ) ,
f (x) x 2 2x 3是R上的一元多项式。
f (x) 5x 2 ix 3 是C上的一元多项式。
而
1 2 x , 2x 3 , x
x 3 3x 2 x 1
都不是多项式。
定义2：如果在多项式f (x)与g(x)中，除去系数为零的项外， 同次项的系数相等，那么就称多项式 f (x) 或 g(x) 相等，记为 f (x) = g(x)
§3 整除的概念和性质
§3 整除的概念和性质
一、带余除法
余式 商式 带余除法：对于P [x]中的任意两个多项式f (x)与g(x)，其中 g(x) ≠ 0，则一定存在P [x]中的多项式q(x)，r(x)使得
f (x) = q(x)g(x)+r(x)
成立，其中(r ( x)) ( g ( x)) 或者r(x) = 0，并且这样的q(x) 和r(x)是唯一确定的。
多项式
§3 整除的a) 对任意的 f (x)∈P [x]，有 f (x) | f (x)； (b) 对任意的 f (x)∈P [x]， 有 f (x) | 0；
(c) 对任意的 f (x)∈P [x]，a ≠ 0，有 a | f (x)；
性质2 对任意的f (x)，g(x)∈P [x]，若f (x) | g(x)，且g(x) | f (x) 那么f (x) = cg(x)和g(x) = df (x)，其中c，d为非零常数。 性质3 对任意的f (x)，g(x)，h(x)∈P [x]，若f (x) | g(x)，且 g(x) | h(x)，那么f (x) | h(x) 。(整除的传递性)
f (x) 3
几类特殊的多项式：
零次多项式：次数为0的多项式，即非零常数。 零多项式：系数全为0的多项式，即f (x)=0。对零多项式不 定义次数，因此，在使用次数符号时，总假定f (x)≠0。 首一多项式：首项系数为1的多项式。
多项式
§2 一元多项式的定义和运算
二、多项式的运算
定义4：设
f ( x) an x n an1 x n1 a1 x a0 ,
●
x 2 2 在有理数范围内不能进行因式分解，但在实
2
x 1 0
在实数范围内没有根，但在复数域内就有
一对共轭复根。
多项式
§1 数环和数域
§1 数环和数域
数是数学中的一个基本概念，人们对数的认识经历了一个长期 的发展过程，由自然数到整数、有理数，然后是实数到复数。 数学中的许多问题都和数的范围有关，数的范围不同，对同一 问题的回答可能也不相同。例如
多项式
§3 整除的概念和性质
性质4 对任意的f (x)，g(x)，h(x)∈P [x]，若h(x) | f (x)，且 h (x) | g(x)，那么h(x) | ( f (x) ± g(x) ) 。 性质5 对任意的f (x)，gi(x)∈P [x]，i=1,2,…,r，若f (x) | gi(x) 那么对任意的ui(x)∈P [x]，i=1,2,…,r，有
高等代数
高
等
代
Algebra
数
Higher
湖南大学数学与计量经济学院
多项式
推荐教材： 《高等代数简明教程》(上、下册) 蓝以中著 《高等代数》(上、下册) 丘维声著 《高等代数学》(第2版) 姚慕生、吴泉水著 推荐习题集：
《高等代数精选题解》 杨子胥著
《高等代数中的典型问题与方法》李志慧、李永明著
多项式 例 4 设g1(x)g2(x) | f1(x)f2(x)，
§3 整除的概念和性质
1) 证明：若f1(x) | g1(x)，f1(x) ≠ 0，则g2(x) | f2(x)；
2) 若 g1(x) | f1(x)，是否有 g2(x) | f2(x) ?
多项式的根与因式分解会因数域的扩大而改变。 问题：数域P上的多项式 f(x) 与 g(x) 的整除性是否会因为
x 2在有理数范围内不能进行因式分解，但在实域
2
内就可以分解。
对共轭复根。
x 1 0 在实数范围内没有根，但在复数域内就有一
2
多项式
§1 数环和数域
我们通常考虑的数的范围主要包括全体实数、全体有理数以 及全体复数等，它们具有一些不同的性质，但也有很多共同 的性质，在代数中经常将具有共同性质的对象统一进行讨论。 一个数集中，数的加、减、乘、除运算称为数的代数运算。
若数集P中任何两个数做某一运算后的结果仍然在这个数集 P中，则称该数集P对这个运算是封闭的。 a) 自然数集N对加、乘运算封闭，对减、除不封闭。
b) 整数集Z对加、减、乘运算封闭，对除不封闭。 c) 有理数集Q、实数集R、复数集C对加、减、乘、除
(除数不为0)四种运算都封闭。
多项式 数环和数域。
§1 数环和数域
②
( f ( x) g ( x)) ( f ( x)) ( g ( x))
多项式
§2 一元多项式的定义和运算
推论1：f (x)•g(x) = 0当且仅当f (x) = 0或 g(x) = 0。
推论2：若f (x)•g(x) = f (x)•h(x)，且f (x) ≠ 0，则 g(x) = h(x)。
由推论2可知，一元多项式满足乘法的消去律。 定义5：记P [x]={数域P上所有一元多项式全体}，由于P [x] 对多项式的加、减、乘法封闭，故称P [x]为数域P上的一
元多项式环。
若记Pn [x]={数域P上所有次数小于n的一元多项式全体+零多 项式}，那么Pn[x]是数域P上的一元多项式环吗？
多项式
多项式
§1 数环和数域
例 4 证明 Q( 2) {a b 2 | a,b Q} 是一个数域。 例 5 设 P1 {a b 2 | a,b Q} P2 {a b 3 | a,b Q}
P {a b 2 c 3 d 6 | a,b,c,d Q}
证明P2，P是一个数域，而且P是包含P1和P2的最小数域。 例 6 证明任何数域都包含有理数域Q。 例 7 在Q与R之间是否还有别的数域?R与C之间呢？ 例 8 设F1和F2是两个数域，证明： 1）F1∩F2是一个数域； 2）F1∪F2是数域的充分必要条件是F1⊆F2或F2⊆F1。
定义2：设f (x)，g(x)∈P [x]，当g(x) | f (x)时，g(x)称作f (x) 的因式，f (x)称作g(x)的倍式。
多项式
§3 整除的概念和性质
当 g(x) ≠ 0 时，带余除法给出了整除性的一个判别法。 定理1：对任意的 f (x)，g(x)∈P [x]，其中g(x) ≠ 0，则
多项式
§2 一元多项式的定义和运算
§2 一元多项式的定义和运算
常数项，或称 其中首项系数an≠0 零次项 定义1：设 x 是一个文字(或符号)，n 是一个非负整数， n 表达式 n n 1 i
一、一元多项式的定义 称为首项，
an x an1 x
a1 x a0 ai x
n
当m<n时，设bm+1=…=bn=0。 多项式f (x)和g(x)的乘积为：
f ( x) g ( x) ( ai b j ) x s
s 0 i j s
nm
多项式
§2 一元多项式的定义和运算
多项式的运算(加、减、乘)满足以下运算规律： 加法交换律： f (x)+g(x) = g(x)+f (x)
多项式 定义3：设
§2 一元多项式的定义和运算
f ( x) an xn an1xn1 a1x a0 ,
非负整数 n 称为多项式 f (x) 的次数，记为 例如：
an 0,
( f ( x)) n
f (x) 3x 2 2x 1
(f (x)) 2 (f (x)) 0
乘法对加法的分配律：
乘法对减法的分配律：
f (x)•[g(x)-h(x)]=f (x)•g(x)-f (x)•h(x)
多项式
§2 一元多项式的定义和运算
三、多项式的次数定理
定理1：设 f (x) ≠ 0，g(x) ≠ 0，则
① 当 f (x) ± g(x) ≠ 0时，有
( f ( x) g ( x)) max( f ( x)),( g ( x))