第三章 有线性算子

第三章 有界线性算子

一 有界线性算子与有界线性泛函 1 定义与例

设1,X X 是赋范空间，T 是X 中线性子空间)(T D 上到1X 中的映射 ，满足条件：对于任意)(,T D y x ∈，K ∈α

,)(Ty Tx Y x T +=+Tx x T αα=)(

称T 是X 中到1X 中的线性算子。称)(T D 是T 的定义域。 特别地，称赋范空间X 上到数域K 中的线性算子为线性泛函，并且它们是到实数域或复数域分别称为实线性泛函与复线性泛函。 如果一个线性泛函

f 是有界的，即

)( |||||)(|M x x M x f ∈≤

称为

f 有界线性泛函。此外取算子范数作为空间中的范数。

定理1.1 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，如果T 在某一点X x ∈0

连续，则T 是连续的。

定理1.2 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，则T 是连续的，当且仅当，T 是有界的。 2 有界线性算子空间

设1,X X 是赋范空间，用),(1X X β表示所有X 上到1X 中的有界线性算子全体。在),(1X X β中可以自然地定义线性运算，即对

于任意∈B A ,),(1X X β及K ∈α

，定义

Bx Ax x B A +=+))((

Ax x A αα=))((

不难到，两个有界线性算子相加及数乘一个有界线性算子仍有界线性算子。此个取算子范数作为空间),(1X X β的范数，具体见

)(77P 。

由此可知，),(1X X β是一个赋范线性空间，如果1X X =，

把),(1X X β简记为)(X β。

在空间),(1X X β中按范数收敛等价于算子列在X 中的单位球面上一致收敛。事实上，设∈n

A A ,),(1X X β,...)2,1(=n 及

}1||:||{=∈=X X x S 。如果)(∞→→n A A n ，则对任意

0>ε，存在N ，当N n >时，对于每一个S x ∈

≤-||||Ax x A n

1

||||sup =x ||||Ax x A n -=||||A A n

-ε<。

即}{n A 在S 上一致收敛于A 。

反之，如果}{n A 在S 上一致收敛于A ，则对任意0>ε

，存在

N ，当N n >时，对于每一个S x ∈：

||||Ax x A n -ε<

于是：||||

A A n -=1

||||sup =x ||||Ax x A n -ε≤。

即}{n A 在上一致收敛于A 。

定理1.3 设X 是赋范空间，1X 是anach B 空间，则),(1X X β是anach B 空间。

在空间

)

,(1

X X β中还有另一种收敛方式。设

∈n T T ,),(1X X β,...)2,1(=n ，如果对于每一X x ∈

Tx X T n → )(∞→n

称}{n T 逐点收敛于T 或}{n T 强收敛于T 。 二 Steinhaus Banach -定理及其某些应用

定理 2.1(

Steinhaus Banach -) 设}{αT (I ∈α)是

Banach 空间X 上到赋范空间1X 中的有界线性算子族，如果对于

每一X x ∈

，||||sup x T I

αα∈<∞，则||}{||x T α)(I ∈α是有界集。

定理2.2 设}{n T 是赋范空间X 上到Banach 空间1X 中的有界线性算子列。如果

1) ||}{||n

T 有界；

2) 对于一个稠密子集G 中的元x ，}{x T n 收敛，则}{n T 强收敛于一个有界线性算子T ，并且

||||lim ||||_

n n T T ∞

→≤。

定理 2.3 设

1,X X 是Banach 空间，则有界线性算子空间

),(1

X X β在强收敛意义下完备。

例子就见第82页例1、例2。

三 开映射定理与闭图像定理 1 逆算子

设21,,X X X 是赋范空间，∈1T ),(1X X β，∈2T ),(21X X β。

这时可以定义算子的乘法12T T T

=，

)(12x T T Tx = )(X x ∈

由于

))(()(12y x T T y x T +=+=)(112y T x T T +=)()(1212y T T x T T +=

Ty Tx +=

类似地

Tx x T αα=)(

及

≤=||)(||||||12x T T Tx ≤||||||||12X T T )( ||||||||||||12X x x T T ∈

所以T 是有界线性算子，∈T

),(2X X β并且

≤=||||||||12T T T ||||||||12T T 。 (1)

不难证明，算子乘法满足结合律和分配律，但是注意算子乘法不满足交换律。

设T 是从线性空间X 上映到线性空间1X 中的恒等算子。如果存在一个1X 上到X 中的线性算子1T ，使得

X I T T =1，1

1X I TT = (2)

则称算子T 有逆算子。X I ，1

X I 分别为空间X 及1X 中的恒等算子。

算子1T 称为T 的逆算子，并记为11

-=T T 。

定理 3.1 设T 是赋范空间X 上到赋范空间1X 上的线性算子且存在常数0>m

，使得

||||||||x m Tx > )(X x ∈ (4)

则T 有有界逆算子1

-T

定理 3.2 设X 是Banach 空间中，如果)(X T β∈，如果