2013届高考数学一轮复习课时检测 第二节 不等式证明的基本方法 理

选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法
1．已知a 、b 、x 、y 均为正实数，且1a >1
b
，x >y .
求证：
x
x ＋a y
y ＋b
.
证明：∵
x
x ＋a －
y
y ＋b ＝
bx －ay
x ＋a y ＋b
又1a >1
b
，且a 、b 均为正实数，
∴b >a >0. 又x >y >0， ∴bx >ay . ∴
bx －ay x ＋a y ＋b >0，即x x ＋a >y
y ＋b
.
2．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1
c
)2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．
证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得
a 2＋
b 2＋
c 2≥3(abc )2
3，①
1
a ＋1
b ＋1
c
≥3(abc )
13
-
，②
所以(1
a ＋1
b ＋1c
)2
≥9(abc ) 2
3-.
故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1
c
)2≥3(abc ) 2
3＋
9(abc )
23
-
.
又3(abc ) 2
3＋9(abc ) 23
-≥227＝63，③
所以原不等式成立．
当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc ) 2
3＝9(abc )
23
-
时，③式
等号成立．
即当且仅当a ＝b ＝c ＝31
4时，原式等号成立． 法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得
a 2＋
b 2≥2ab ，b 2＋
c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac .
所以a 2
＋b 2
＋c 2
≥ab ＋bc ＋ac ，① 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1
ac
，②
故a 2＋b 2＋c 2
＋(1a ＋1b ＋1c
)2≥ab ＋bc ＋ac ＋
3
1
ab
＋3
1
bc
＋3
1
ac
≥6 3.③
所以原不等式成立．
当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2
＝(bc )2
＝(ac )2
＝3时，③式等号成立．
即当且仅当a ＝b ＝c ＝31
4时，原式等号成立．
3．(2012·豫南九校联考)已知x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：2x ＋1
x 2
－2xy ＋y 2
≥2y
＋3.
解：因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0， 2x ＋1
x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋
1x －y 2
＝(x －y )＋(x －y )＋
1x －y 2
≥3
3x －y 2
1x －y 2
＝3，
所以2x ＋
1
x 2
－2xy ＋y 2
≥2y ＋3.
4．已知正实数a ，b ，c 满足1a ＋2b ＋3c ＝1，求证：a ＋b 2＋c
3≥9.
证明：因为a ，b ，c 均为正实数， 所以1a ＋2
b ＋3
c ≥3
31
a ·2
b ·3
c
.同理可证：
a ＋
b 2
＋c
3
≥3
3
a ·
b 2
·c 3
.
所以(a ＋b 2＋c 3)(1a ＋2b ＋3
c
)≥
3
3a ·b 2
·c
3
·3
31
a ·2
b ·3
c
＝9.
因为1a ＋2b ＋3c ＝1，所以a ＋b 2＋c
3≥9，
当且仅当a ＝3，b ＝6，c ＝9时，等号成立．
5．已知x 、y 、z ∈R, 且2x ＋3y ＋3z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 解：由柯西不等式得，
(2x ＋3y ＋3z )2≤(22＋32＋32)(x 2＋y 2＋z 2)． ∵2x ＋3y ＋3z ＝1，∴x 2＋y 2＋z 2≥1
22
，
当且仅当x 2＝y 3＝z 3，即x ＝111，y ＝z ＝3
22
时，等号成立，
∴x 2＋y 2＋z 2的最小值为1
22
.
6．设f (x )＝2x 2
－2x ＋2 010，若实数a 满足|x －a |<1 ，求证：|f (x )－f (a )|<4(|a |＋1)．
证明：∵f (x )＝2x 2－2x ＋2 010， ∴|f (x )－f (a )|＝2|x 2－x －a 2＋a | ＝2|x －a |·|x ＋a －1|<2|x ＋a －1|， 又∵2|x ＋a －1|＝2|(x －a )＋2a －1| ≤2(|x －a |＋|2a －1|) <2(1＋|2a |＋1)＝4(|a |＋1)． 7．求证：
1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞12
(n ≥2，n ∈N *)． 证明：法一：利用数学归纳法：
(1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＞1
2，不等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立． 即
1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＞12
. 则当n ＝k ＋1时， 1k ＋1＋1
＋1k ＋1＋2
＋…＋
13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (13)
＋(
13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)＞12＋(3×13k ＋3－1k ＋1)＝1
2
. 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立，
由(1)，(2)知原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立． 法二：利用放缩法： ∵n ≥2，∴
1n ＋1＋1n ＋213n ＞13n ＋13n ＋…＋13n ＝23＞12.即1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞1
2
(n ≥2，n ∈N *
)．
8．已知a ，b ，c 为实数，且a ＋b ＋c ＋2－2m ＝0，a 2＋14b 2＋1
9c 2＋m －1＝0.
(1)求证：a 2
＋14b 2＋19
c 2≥
a ＋
b ＋
c 2
14
；
(2)求实数m 的取值范围．
解：(1)由柯西不等式得[a 2＋(12b )2＋(13c )2]()12＋22＋32≥(a ＋b ＋c )2
，
即(a 2＋14b 2＋19c 2)×14≥(a ＋b ＋c )2
.
∴a 2
＋142＋19
c 2≥
a ＋
b ＋
c 2
14
.
当且仅当|a |＝14|b |＝1
9|c |取得等号．
(2)由已知得a ＋b ＋c ＝2m －2，
a 2＋14
b 2＋19
c 2＝1－m ，
∴14(1－m )≥(2m －2)2
. 即2m 2＋3m －5≤0.∴－5
2≤m ≤1.
又∵a 2＋14b 2＋1
9c 2＝1－m ≥0，
∴m ≤1， ∴－5
2≤m ≤1.。