2013届高考数学一轮复习课时检测 第二节 不等式证明的基本方法 理

选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法

1．已知a 、b 、x 、y 均为正实数，且1a >1

b

，x >y .

求证：

x

x ＋a y

y ＋b

.

证明：∵

x

x ＋a －

y

y ＋b ＝

bx －ay

x ＋a y ＋b

又1a >1

b

，且a 、b 均为正实数，

∴b >a >0. 又x >y >0， ∴bx >ay . ∴

bx －ay x ＋a y ＋b >0，即x x ＋a >y

y ＋b

.

2．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1

c

)2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．

证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得

a 2＋

b 2＋

c 2≥3(abc )2

3，①

1

a ＋1

b ＋1

c

≥3(abc )

13

-

，②

所以(1

a ＋1

b ＋1c

)2

≥9(abc ) 2

3-.

故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1

c

)2≥3(abc ) 2

3＋

9(abc )

23

-

.

又3(abc ) 2

3＋9(abc ) 23

-≥227＝63，③

所以原不等式成立．

当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc ) 2

3＝9(abc )

23

-

时，③式

等号成立．

即当且仅当a ＝b ＝c ＝31

4时，原式等号成立． 法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得

a 2＋

b 2≥2ab ，b 2＋

c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac .

所以a 2

＋b 2

＋c 2

≥ab ＋bc ＋ac ，① 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1

ac

，②

故a 2＋b 2＋c 2

＋(1a ＋1b ＋1c

)2≥ab ＋bc ＋ac ＋

3

1

ab

＋3

1

bc

＋3

1

ac

≥6 3.③

所以原不等式成立．

当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2

＝(bc )2

＝(ac )2

＝3时，③式等号成立．

即当且仅当a ＝b ＝c ＝31

4时，原式等号成立．

3．(2012·豫南九校联考)已知x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：2x ＋1

x 2

－2xy ＋y 2

≥2y

＋3.

解：因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0， 2x ＋1

x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋

1x －y 2

＝(x －y )＋(x －y )＋

1x －y 2

≥3

3x －y 2

1x －y 2

＝3，

所以2x ＋

1

x 2

－2xy ＋y 2

≥2y ＋3.

4．已知正实数a ，b ，c 满足1a ＋2b ＋3c ＝1，求证：a ＋b 2＋c

3≥9.

证明：因为a ，b ，c 均为正实数， 所以1a ＋2

b ＋3

c ≥3

31

a ·2

b ·3

c

.同理可证：

a ＋

b 2

＋c

3

≥3

3

a ·

b 2

·c 3

.

所以(a ＋b 2＋c 3)(1a ＋2b ＋3

c

)≥

3

3a ·b 2

·c

3

·3

31

a ·2

b ·3

c

＝9.

因为1a ＋2b ＋3c ＝1，所以a ＋b 2＋c

3≥9，

当且仅当a ＝3，b ＝6，c ＝9时，等号成立．

5．已知x 、y 、z ∈R, 且2x ＋3y ＋3z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 解：由柯西不等式得，

(2x ＋3y ＋3z )2≤(22＋32＋32)(x 2＋y 2＋z 2)． ∵2x ＋3y ＋3z ＝1，∴x 2＋y 2＋z 2≥1

22

，

当且仅当x 2＝y 3＝z 3，即x ＝111，y ＝z ＝3

22

时，等号成立，

∴x 2＋y 2＋z 2的最小值为1

22

.

6．设f (x )＝2x 2

－2x ＋2 010，若实数a 满足|x －a |<1 ，求证：|f (x )－f (a )|<4(|a |＋1)．

证明：∵f (x )＝2x 2－2x ＋2 010， ∴|f (x )－f (a )|＝2|x 2－x －a 2＋a | ＝2|x －a |·|x ＋a －1|<2|x ＋a －1|， 又∵2|x ＋a －1|＝2|(x －a )＋2a －1| ≤2(|x －a |＋|2a －1|) <2(1＋|2a |＋1)＝4(|a |＋1)． 7．求证：

1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞12

(n ≥2，n ∈N *)． 证明：法一：利用数学归纳法：

(1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＞1

2，不等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立． 即

1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＞12

. 则当n ＝k ＋1时， 1k ＋1＋1

＋1k ＋1＋2

＋…＋

13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (13)

＋(

13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)＞12＋(3×13k ＋3－1k ＋1)＝1

2

. 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立，

由(1)，(2)知原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立． 法二：利用放缩法： ∵n ≥2，∴

1n ＋1＋1n ＋213n ＞13n ＋13n ＋…＋13n ＝23＞12.即1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞1

2

(n ≥2，n ∈N *

)．