人教新课标版数学高一A版必修2备课资料 1.3.2球的体积和表面积
高一数学人教A版必修二课件：1.3.2 球的体积和表面积
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
1.两个球的体积之比为1∶27,那么两个球的表面积之比为
()
A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1
答案:A
2.三个球的半径比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两
球体积和的( ) A.1倍B.2倍 C.3倍 D.8倍
答案:C
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
三、有关几何体的外接球与内切球 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接,解题时要
明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出
过球心的截面图.
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
1.若一正方体边长为 a,则该正方体的内切球与外接球半径与 a
∴表面积 S 球=4πR2=64π(cm2),
体积 V 球=43πR3=2536π(cm3).
(2)∵S 球=4πR2=144π,∴R=6. ∴V 球=43πR3=43π×63=288π. (3)∵V 球=43πR3=5030π,∴R=5. ∴S 球=4πR2=4π×52=100π.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
有什么关系? 提示:该正方体内切球直径应等于边长,所以半径 r=���2���,该正方体
外接球直径应等于正方体的体对角线长,所以半径 R= 23a. 2.若从球面上一点出发的三条弦两两垂直,其长分别为 a,b,c,则
该球的半径 R 与 a,b,c 有怎样的关系?
提示:从球面上一点出发的三条弦两两垂直,则以这三条弦为棱
������球
=
2 5πℎ2 4πℎ 2
人教A版数学必修二课件：1.3.2 球的体积和表面积
球的体积和表面积
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探究学习
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的体积之比.
【审题视角】 过正方体的对角面作一截面,在这个截面中用正方
体的棱长、球半径的关系求解;或将球补为一个整球,利用球内接
长方体求解.
-15-
1.3.2
球的体积和表面积
探究一
探究二
探究三
首页
课前篇
自主预习
课堂篇
课堂篇
探究学习
探究学习
当堂检测
思想方法
解法一作正方体对角面的截面,如图所示,设半球的半径为R,正方
即 ( + )(-) = 12,
+ = 6,
整理,得 - = 2,
+ = 6,
= 4,
解得
= 2.
4
4
故两球的体积之差的绝对值为 π×43- π × 23
=
4
3 3
π(4
-2 ) =
3
224π
3
3
3
.
224π
答案:
3
-9-
1.3.2
探究一
球的体积和表面积
探究二
探究三
倍. (
)
(3)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也
等于圆柱底面圆的直径. (
《球的表面积和体积》人教版高中数学必修二PPT课件(第1.3.2课时)
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2 2 .
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1: 3 4 .
2、若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为（ A ）
（A）2:1 (B) 2:3 (C) 2:
(D) 2:5
随堂练习
立体图形的内切和外接问题 例4：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比。
初态温度T1＝(273＋27) K＝300 K
由 p1V1 p2V2
T1
T2
V2 =
p1T2 p2T1
V1
6.25 m3
课堂训练
3.如图所示，粗细均匀一端封闭一端开口的U形玻
璃管，当t1＝31 ℃，大气压强p0＝76 cmHg时，
两管水银面相平，这时左管被封闭的气柱长L1＝8
10.9150 1635(朵)
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
新知探究
例3、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ； 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
RO
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4 倍.
3、从微观上说：分子间以及分子和器壁间，除碰撞外无其他作用力，分子本身没有体积，即它 所占据的空间认为都是可以被压缩的空间。
4、从能量上说：理想气体的微观本质是忽略了分子力，没有分子势能，理想气体的内能只有分 子动能。
一、理想气体
一定质量的理想气体的内能仅由温度决定 ,与气体的体积无关.
例1.（多选）关于理想气体的性质，下列说法中正确的是( ABC )
高中数学：1.3.2《球的表面积和体积》课件(新人教A版必修2)
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 (4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1 :
4 倍.
4.
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1 : 2 2 .
高中数学பைடு நூலகம்1.3.2《球的表 面积和体积》课件（新人 教A版必修2）
1.3.2球的表面积和体积
球
人类的家－－地球
人类未来的家－－火星
探索火星的航天飞船
实际问题
如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且 涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？ 为什么？
实际问题
一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球， 球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则 哪一个球充入的气体较多？为什么？
3
影响球的表面积及体积的只有一个元素， 就是球的半径.
知识小结 1.球的体积和表面积的推导方法： 分割 求近似和
化为准确和
2.影响球的表面积及体积的只有一个元 素，就是球的半径.
球的体积 已知球的半径为R,用V表示球的体积.
A A
r3
B2
O
O
C2
r2
r1
r1
2R 2 R 2 2 R R, r2 R ( ) , r3 R ( ) . n n
2
2
球的体积 A
ri
O
R ( i 1) n
R
O
第i层“小圆片”下底面的 半径：
ri R R [ ( i 1)]2 , i 1,2 , n. n
提出问题
新课标高中数学人教A版必修二全册课件1 .3.2球的体积和表面积
例2 圆柱嘚底面直径与高都等于球 嘚直径. (1) 求球嘚体积与圆柱体积之比； (2) 证明球嘚表面积等于圆柱嘚
侧面积.
练习 1. 教科书P.28 练习 第1、3题
练习 1. 教科书P.28 练习 第1、3题
2. 教科书P.28 练习 第2题
一个正方体嘚 顶点都在球面上， 它嘚棱长是a cm， 求球嘚体积．
体积公式嘚应用.
课后作业 1．阅读教材P.27到P.28； 2. 《习案》第七课时.
A
RO C
B
2. 球嘚表面积 半径是R嘚球嘚表面积是
2. 球嘚表面积 半径是R嘚球嘚表面积是 S＝4 R2
3. 球嘚体积 半径是R嘚球嘚体积是
3. 球嘚体积 半径是R嘚球嘚体积是
V 4 πR3 . 3
例1 有一种空心钢球， 质量为142g， 测得外径等于5.0cm， 求它嘚内径 (钢嘚密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm)．
RO C
B
讲授新课
1．球嘚概念 与定点嘚距离等于或小于定长嘚点
嘚集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心， 定长叫做球嘚半径．
与定点距离等 于定长嘚点嘚集合 叫做球面．
A
RO C
B
讲授新课
1．球嘚概念 与定点嘚距离等于或小于定长嘚点
嘚集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心， 定长叫做球嘚半径．
与定点距离等 于定长嘚点嘚集合 叫做球面．
练习 1. 教科书P.28 练习 第1、3题
2. 教科书P.28 练习 第2题
一个正方体嘚 顶点都在球面上， 它嘚棱长是a cm， 求球嘚体积．
探究 若正方体嘚棱长为a，则
⑴正方体嘚内切球直径＝ ⑵正方体嘚外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切嘚球直径＝
高中数学必修2(人教A版)配套课件：全科33套1.3.2 球的
解：∵PA、PB、PC 两两垂直，PA＝PB＝PC＝a， ∴以 PA、PB、PC 为相邻三条棱可以构造正方体． 又∵P、A、B、C 四点是球面上四点， ∴球是正方体的外接球，正方体的体对角线是球的直径．
∴2R＝ 3a，R＝ 23a，
∴V＝4πR3＝4π( 3a)3＝ 3πa3.
3 32
2
题型三 有关几何体的内切球
跟踪训练
3．将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球， 则该球的体积为( )
4π A. 3
2π B. 3
3π
π
C. 2
D.6
解析：选 A.由题意知，此球是正方体的内切球，根据其 几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可
得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是4×π×13＝4π.
3
3
3
【解】 (1)∵直径为 6 cm，∴半径 R＝3 cm，
∴表面积 S 球＝4πR2＝36π(cm2)，
体积 V 球＝43πR3＝36π(cm3)．
(2)∵S 球＝4πR2＝64π，∴R2＝16，即 R＝4.
∴
V
球＝43πR3
＝43π×
43＝256π. 3
(3)∵V 球＝43πR3＝5030π，∴R3＝125，R＝5，
跟踪训练
4．若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6， 求两球的体积之差．
解：设两个球的半径分别为 R，r(R>r)， 则由题意得4πR2 － 4πr2＝ 48π，
R＋ r＝ 6，
∴ R＋r R－r＝12， ∴R－r＝2， ∴R＝4，
R＋ r＝ 6，
R＋r＝6， r＝2.
题型二 有关几何体的外接球
例2 球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的 距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比 值为________．
高中数学1.3.2球的体积与表面积教案新人教A版必修2
必修2第1章第3节《球的体积和表面积》第1课时教学设计【课标解读】由于球的体积和表面积公式在推导证明上比较繁琐，先生在理解掌握上也比较困难，根据新的《数学课程标准》要求，本节的公式证明和推导应淡化处理，只需让先生简单了解推导过程，领会其中所包含的数学思想和方法，和它们在后续学习中的作用，不要求先生掌握其证明。
在球的体积和表面积公式运用和球与几何体组合体的求解过程中，进步先生的空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。
经过运用预设和相应的运用练习进步先生的提出、分析和解决成绩（包括简单的理论成绩）的能力，利用先生身旁熟知的成绩预设进步先生学习数学的兴味，建立学好数学的决心，进而构成锲而不舍的研讨精神和科学态度。
【教材分析】本节课是人教A版高中数学（课程标准实验教材）必修2第一章“空间几何体”第三节“球的体积和表面积”，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，经过空间度量方式了解另一种基本几何体的结构特点。
从知识上讲，球是一种高度对称的基本空间几何体，同时它也是进一步研讨空间组合体结构特点的基础；从方法上讲，它为我们提供了另外一种求空间几何体体积和表面积的思想方法；从教材编排上，更注重先生的直观感知和操作确认，为螺旋式上升的学习奠定了基础。
【学情分析】先生刚学习立体几何不久，具备的图形言语表达及空间想象能力绝对不足，几何体的内切球、外接球的地位关系较难想象，很难顺利作出正确的直观图，空间图构成绩向平面图构成绩的转化认识也不够，对于解决组合体的体积和表面积的成绩有必然的困难，而且先生的归纳总结能力不够，独立完成自主学习任务有必然困难，还不能从必然高度去体会和感悟数学思想。
这些都是摆在先生面前的难题，也是教学中迫切需求解决的成绩。
【教学目标】1.掌握球的体积、表面积公式及其运用。
2会用球的表面积公式、体积公式解决相关成绩，培养先生运用数学的能力，发展逻辑思想能力，加强辩证唯物主义观点。
高一数学人教版A版必修二课件：1.3.2 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( C )
A.2π＋2 3
B.4π＋2 3
C.2π＋2 3 3
D.4π＋2 3 3
解析 该空间几何体由一圆柱和一四棱锥组成，
圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，
四棱锥的底面边长为 2，高为 3，
所以体积为31×( 2)2× 3＝233，
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~ TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
如何利用规律实现更好记忆呢？
身体记忆法小妙招
超级记忆法--故事法
• 鲁迅本名：周树人
• 主要作品：《阿Q正传》、《药》
、
、
• 《狂人日记》、《呐喊》、《孔乙
己》
• 《故乡》、《社戏》、《祝福》。
• 阿Q吃错了药，发狂地喊着孔乙己 去他 的故乡看社戏，没想到撞树上了 ，我们 祝福他身体早日康复。
超级记忆法-记忆规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！ TIP2：很多我们觉得比较容易背的古诗词，大多不超过七个字，很大程度上也 是因为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制 在7组之内（每一组不代表只有一个字哦，这7组中的每一组容量可适当加大）。 TIP3：比如我们记忆一个手机号码18820568803，如果一个一组的记忆，我 们就要记11组，而如果我们拆解一下，按照188-2056-8803，我们就只需要 记忆3组就可以了，记忆效率也会大大提高。
人教A版高中数学必修二1.3.2球的体积与表面积课件
4 3
R3
32
3
结论（1）长方体的外接球的球心是体对角线的交点，半
径是体对角线的一半
（2）设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则对角线长为 a2 b2 c2
3.一个球与它的外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的
体积之比为（ ）
A
A
(A)2∶5 (B)1∶2
(C)2∶3 (D)4∶9
R
O
B O1
C2
O
A2
O
B
令上下两个截面圆的圆心分别为C1 、C2，半径分别为r1、r2
由 r12 5 得r12 5，由 r22 8 得r22 8
在RtOC1A1中,OC1
R2 r12
R2 5
B1 B2
在RtOC2 A2中,OC2 R2 r22 R2 8
C1 C2
A1 A2
OC1 OC2 2, R2 5 R2 8 1
R2 2R 2 R3.
V球
2 3 V圆柱
（2） S球 4 R2，
S圆柱侧 2 R 2R 4 R2
S球 S圆柱侧
练一练
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是__1_: 2___2. 4.若两球体积之比是1:8，则其表面积之比是__1_:_4__.
球的表面积是大 圆面积的4倍
R
例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的 2 ，
(2) 球的表面积等于圆柱的侧面3 积。
分析：由题可得：球内切于圆柱
作圆柱的轴截面（如图）
人教A版高中数学必修二课件第一章1.3.2球的体积和表面积(共41张PPT)
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
新课标高中数学人教A版必修二全册课件1.3.2球的体积和表面积
顶点都在球面上， 它的棱长是a cm，
求球的体积．
第十五页，编辑于星期日：十三点 十五分。
练习
1. 教科书P.28 练习 第1、3题 2. 教科书P.28 练习 第2题
一个正方体的 顶点都在球面上，
它的棱长是a cm， 求球的体积．
第十六页，编辑于星期日：十三点 十五分。
探究 若正方体的棱长为a，则 ⑴正方体的内切球直径＝ ⑵正方体的外接球直径＝
课后作业
1．阅读教材P.27到P.28； 2. 《习案》第七课时.
第二十二页，编辑于星期日：十三点 十五分。
2. 球的表面积
半径是R的球的表面积是
S＝4R2
第九页，编辑于星期日：十三点 十五分。
3. 球的体积 半径是R的球的体积是
第十页，编辑于星期日：十三点 十五分。
3 3
第十一页，编辑于星期日：十三点 十五分。
例1 有一种空心钢球， 质量为142g， 测得外径等于5.0cm， 求它的内径 (钢的密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm)．
第十九页，编辑于星期日：十三点 十五分。
探究 若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ a
⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
第二十页，编辑于星期日：十三点 十五分。
课堂小结
1. 球的表面积公式； 2. 球的体积公式； 3. 球的表面积公式与
体积公式的应用.
第二十一页，编辑于星期日：十三点 十五分。
第十二页，编辑于星期日：十三点 十五分。
例2 圆柱的底面直径与高都等于球
的直径. (1) 求球的体积与圆柱体积之比；
(2) 证明球的表面积等于圆柱的
侧面积.
人教新课标版数学高一A版必修2目标导引 1.3.2球的体积和表面积
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1.3.2 球的体积和表面积
一览众山小
三维目标
1.理解球的表面积公式和体积公式，并会应用其解决相关问题.
2.经历用极限的思想来推导球的体积公式的过程，体会较复杂的体积问题怎样通过转化成为能利用简单几何体体积来解决的方法，从而在数学思维能力方面有所提高.
3.在了解推导球的体积公式的过程中，激发学习欲望和探究精神，提高学习数学的兴趣.
学法指导
本节内容主要是球的体积与表面积公式的应用，其核心问题是求出球的半径.所以常常要用到前面所学习过的球的相关性质，所以在学习本节前要对球的定义、性质，球的截面性质，球的简单组合体等知识进行系统复习.明确如何在不同的条件下求球的半径.
对于球的体积和表面积公式的推导，我们只作了解即可，关键是会应用两个公式解决问题，并且常常与其他几何体综合考查，所以学习本节时，要注意与柱、锥、台的体积求法相结合，达到熟练应用的目的.
高中数学。
人教新课标A版高一数学《必修2》1.3.2 球的体积和表面积
知识识记
探究点5 球的体积与表面积的求法
小结：以下结论在解决与球有关的组合体时经常用到，通过画图理解并记住 (1)球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长． (2)球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线． (3)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底 面圆的直径． (4)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
课堂小结
总结本节课的学习内容.
谢谢大家！
等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系如何？等
底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系如何？
问题4
根据圆锥的体积公式，推测一般锥体的体积计算公式？
课堂探究 问题5
探究点3 台体体积的求法
台体的上底面积S′，下底面积S，高h，则台体的体积是怎样的？
圆台的体积公式如何用上下底面半径及高表示？
注意：台体的高是指过台体上底面的任意一点 向下底面作垂线，垂线段的长度叫做台体的高， 要与侧棱长、母线长区分开.
第一章 空间几何体
1.3 空间几何体的表面积和体积 1.3.2 球的体积和表面积
第2课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积
1、通过对柱、锥、台、球的研究，掌握柱、锥、 台、球的表面积和球的体积的求法； 2.能运用公式求解柱体、锥体、台体及球体的表面 积和体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换 关系；会求简单组合体的体积及表面积．
课堂探究
探究点4 柱体、锥体、台体的体积公式的关系
问题6: 你能想象出柱体、锥体和台体的体积公式之间有什么关系吗？
上底扩大
上底缩小
S为底面面积，
h为柱体的高
S为底面面积，
h为锥体的高
典例精析
1.3.2球的体积和表面积学案(含解析)新人教A版必修2
1．3.2 球的体积和表面积学习目标 1.掌握球的表面积和体积公式.2.能解决与球有关的组合体的计算问题．重点：球的体积和表面积的计算公式的应用.难点：解决与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题 [导入新知]1．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝ . 2．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝ ，即球的表面积等于它的大圆面积的 倍． [化解疑难]1．一个关键 把握住球半径 2．两个结论(1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方． (2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方． 题型一 球的体积与表面积[例1] 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比．球的体积是32π3，则此球的表面积是( )A ．12πB ．16π C.16π3D.64π3题型二 根据三视图计算球的体积与表面积[例2] 一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是________cm 2.[类题通法]计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( ) A．18πB．30πC．33πD．40π题型三球的截面问题[例3] 已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．[类题通法]球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面积与球的体积．题型四 1．探究与球有关的组合问题[典例] 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．[多维探究]1．球的内接正方体问题若棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的体积．2．球内切于正方体问题将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π63．球的内接正四面体问题若棱长为a 的正四面体的各个顶点都在半径为R 的球面上，求球的表面积．4．球的内接圆锥问题球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．5．球的内接直棱柱问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2D ．5πa 2[方法感悟] 1．正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面，如图(1)． 2．球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝2a2，如图(2)． 3．长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图(3)．4．正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . 5．正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为：2R ＝62a . [随堂即时演练]1．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A ．1∶9 B ．1∶27 C ．1∶3D ．1∶12．棱长为2的正方体的外接球的表面积是( ) A ．8π B ．4π C ．12πD ．16π3．火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的________倍． 4．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M .若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．5．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积． (2)已知球的体积为36π，求它的表面积．一、选择题1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C.2∶ 3D.8∶272．设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 23．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为( )A ．4∶3B ．3∶1C ．3∶2D ．9∶44．(全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π5．(山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23π B.13＋23π C.13＋26π D ．1＋26π 二、填空题6．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为________ cm 2.7．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．8．(天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．10．用两个平行平面去截半径为R 的球面，两个截面圆的半径为r 1＝24 cm ，r 2＝15 cm ，两截面间的距离为d ＝27 cm ，求球的表面积．。
新人教A版必修2高中数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积
空间想象不全面致误
1．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)决定球的大小的因素是球的半径．( ) (2) 球 面 被 经 过 球 心 的 平 面 截 得 的 圆 的 半 径 等 于 球 的 半 径．( ) (3)球的体积 V 与球的表面积 S 的关系为 V＝R3S.( )
【答案】(1)√ (2)√ (3)√
3．(2019年安徽合肥期末)已知一个圆锥底面半径为1，母
线长为3，则该圆锥内切球的表面积为( )
A．π C．2π
B．32π D．3π
【答案】C
【解析】作出圆锥与球的轴截面如图所示．设球的半径为 r，易知轴截面三角形边AB上的高为2 2，因此2 23－r＝1r，解 得r＝ 22，所以圆锥内切球的表面积为4π× 222＝2π.故选C．
8
(2)几个常用结论：①球内切于正方体，切点为正方体各个 面的中心，正方体的棱长等于球的直径；②球外接于正方体， 正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径； ③球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高， 也等于圆柱底面圆的直径；④球与棱锥相切，则可利用 V 棱锥＝13 S 底 h＝13S 表 R，求球的半径 R.
1．若圆锥与球的体积相等且圆锥底面半径与球的直径相 等，求圆锥侧面积与球面面积之比．
【解析】设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，球 的半径为 R，
则由题意得13πr2·h＝43πR3.∴R＝h，r＝2h.
∴l＝ r2＋h2＝ 5h.
∴S 圆锥侧＝πrl＝π×2h× 5h＝2 5πh2，S 球＝4πR2＝4πh2.
求体对角线长，则球的表面积易求．
【答案】B
【解析】由于长方体的长、宽、高分别为 2a，a，a，则长 方体的体对角线为 2a2＋a2＋a2＝ 6a，又长方体的外接球的 直径 2R 等于长方体的体对角线，所以 2R＝ 6a，则 S 球＝4πR2 ＝4π 26a2＝6πa2.
高中数学人教A版必修2第一章 1.3.2 球的表面积和体积 课件优秀课件PPT
R
o
o
根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即
1 2
V球
=
R2
R
1 3
R2
R
=
2 3
R3
所以
V球 =
4 3
R3
球体的体积公式
V球 =
4
R3
3
地球可近似地看作球体，地球的半径为6370km， 怎样计算它的体积？
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如果球的半径为 R，那么它的体积
V= 4 πR3 3
地球可近似地看作球体，地球的半径为6370km， 怎样计算它的表面积 ？
O
C
A
O
B
例4、一个正方体的各个顶点都在球面上,正方体棱 长为a,求这个球的体积.
长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、 4、5，若它的八个顶点都在同一球面上，则 这个球的表面积是——
D A
D A11
C B
O C1
B1
D A
D A11
C B
O C1
B1
将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来 的几倍？
解：设气球原来的半径为R
它的体积V1=
4 πR3， 3
气球半径扩大一倍，那么
它的体积V2=
4 π(2R)3= 3
32 πR3 3
所以气球的半径扩大1倍，体积扩大8倍.
一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋， 如果冰淇淋融化了，会溢满杯子吗？
解：由图可知，半球的半径为4
半球的体积为 4 π43= 256 π
例：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
求证：（1）球的体积等于圆柱的体积的
2 3
倍
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积
高中数学必修二6.备课资料(1.3.2 球的体积和表面积)教案课时训练练习教案课件
备课资料知识拓展利用体积法求简单多面体的内切球半径求简单多面体的内切球的半径常用的方法是作轴截面，把空间问题转化为多边形内切圆问题，如果简单多面体是不规则的，要作轴截面就很困难，因此这种方法用起来很繁琐.我们可以利用另一种既简便又快速的方法——体积法，即把多面体进行分割，且分割成以内切球球心为公共顶点的若干个棱锥，这些棱锥的高都是内切球的半径，然后根据这些棱锥的体积之和等于多面体体积，从而求出半径.现举例说明如下：图8如图8，在三棱锥S —ABC 中，SA=AB=AC=1，∠BAC=90°，SA ⊥面ABC ，求三棱锥S —ABC 的内切球的半径.解：设内切球的球心为O ，球的半径为r,则V S —ABC =V O —SAB +V O —SAC +V O —SBC +V O —ABC . 又∵V O —SAB 、V O —SAC 、V O —SBC 、V O —ABC 的高都是r ，SA ⊥面ABC ，∴V S —ABC =V O —SAB +V O —SAC +V O —SBC +V O —ABC =r 31(S △SAB +S △SAC +S △SBC +S △ABC ) =21131)112124*********(31••=••+•+••+••r . ∴r=633331-=+. 点评：若一个简单n 面体有内切球，且简单n 面体的各个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,…,S n ，简单n 面体的体积为V ，则此简单n 面体的内切球的半径为r=nS S S S V +++3213. 用体积法求简单多面体的内切球半径的优点是不用作轴截面，对空间想象能力要求高，但并不是意味着遇到这种类型的问题都用体积法，体积法的缺点是计算量较大，而且要考虑多面体是否是规则的，因此在解题时要注意选择方法.（设计者：赵冠名）下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
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知识拓展
利用体积法求简单多面体的内切球半径
求简单多面体的内切球的半径常用的方法是作轴截面，把空间问题转化为多边形内切圆问题，如果简单多面体是不规则的，要作轴截面就很困难，因此这种方法用起来很繁琐.我们可以利用另一种既简便又快速的方法——体积法，即把多面体进行分割，且分割成以内切球球心为公共顶点的若干个棱锥，这些棱锥的高都是内切球的半径，然后根据这些棱锥的体积之和等于多面体体积，从而求出半径.现举例说明如下：
图8
如图8，在三棱锥S —ABC 中，SA=AB=AC=1，∠BAC=90°，SA ⊥面ABC ，求三棱锥S —ABC 的内切球的半径.
解：设内切球的球心为O ，球的半径为r,则V S —ABC =V O —SAB +V O —SAC +V O —SBC +V O —ABC . 又∵V O —SAB 、V O —SAC 、V O —SBC 、V O —ABC 的高都是r ，SA ⊥面ABC ，
∴V S —ABC =V O —SAB +V O —SAC +V O —SBC +V O —ABC
=r 3
1
(S △SAB +S △SAC +S △SBC +S △ABC ) =2
1131)112124*********(31
••=••+•+••+••r . ∴r=633331
-=+. 点评：若一个简单n 面体有内切球，且简单n 面体的各个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,…,S n ，简单n 面体的体积为V ，则此简单n 面体的内切球的半径为r=n
S S S S V +++3213. 用体积法求简单多面体的内切球半径的优点是不用作轴截面，对空间想象能力要求高，但并不是意味着遇到这种类型的问题都用体积法，体积法的缺点是计算量较大，而且要考虑多面体是否是规则的，因此在解题时要注意选择方法.。