单级倒立摆的PID和模糊控制对比研究
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１ 单级倒立摆的数学模型 本次设计中小车质量Ｍ ＝ ２ ｋ ｇ ，摆杆质量ｍ ＝ ０ ． １ ｋ ｇ ，摆
收稿日期：２００８－１１－１０ 作者简介：陈进（１ ９ ７ ４ － ），男，江苏南京人，硕士，讲师， 主要从事计算机控制和嵌入式系统与应用方面的研究。 ＊ 基金项目：安徽省高等学校青年教师科研资助计划 ２００５ｊｑ１０６６６ 安徽工程科技学院青年科研基金 ２ ０ ０ ３ Ｙ Ｑ ０ ０ ９ 安徽高校省级自然科学研究项目Ｋ Ｊ ２ ０ ０ ９ Ｂ ０ ４ ３
ห้องสมุดไป่ตู้ （５）
单级倒立摆的ＰＩＤ和模糊控制对比研究 陈 进，等
级顺序制定模糊控制规则，设计模糊控制器。在实际系 统中，问题的关键是设计者分析被控量的优先顺序，得 出输入输出架构，因此用模糊控制解决强耦合的多变量 控制，无疑是一种很好的方法［ ４ ］ 。
图 １ 单级倒立摆原理结构图
（１）
倒立摆装置由沿滑轨运动的小车和固定在小车上的 摆杆组成。导轨一端固定有位置传感器，测量出沿导轨 运动的小车位移；小车通过轴承连接摆杆，在小车与摆 杆之间的连接处固定有角度传感器，用以测量摆杆的角 度信号；滑轨的两端固定有伺服电机，通过皮带驱动小 车沿导轨运动，在小车沿导轨运动的过程中将力传递给 摆杆以实现整个系统的动态平衡。
１７
（３） 为了在计算机中实现以上Ｐ Ｉ Ｄ 控制器，对公式（ ３ ） 进 行离散化，对于积分采用累加和，对于微分采用后向差 分的方法，得出差分方程： （４）
将倒立摆系统的实际参数代入后， 得到系统的状态方 程如（ ２ ） 式。
（２）
２ 采用Ｐ Ｉ Ｄ 控制 根据偏差的比例Ｐ（Ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ）、积分Ｉ（Ｉｎｔｅｇｒａｌ）、
微分Ｄ（Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ）进行控制，简称为ＰＩＤ控制，这是在 工业控制系统中应用最为广泛的一种控制规律［ ２ ］ ，因为 实际运行经验和理论分析证明该控制规律对于众多被控 对象，通过合理的调节Ｐ Ｉ Ｄ 控制器的参数，都能取得满意 的效果。其控制规律为：
３ 采用模糊控制算法 模糊控制是智能控制的一个重要分支［ ３ ］ ，对于模型
复杂的系统，尤其是多变量系统，可以根据被控量优先
１８
图 ５ 模糊控制效果图 经过系统仿真，得出的控制效果图如图５ 所示。本问 题采用了智能控制中的一个重要分支——模糊控制等方 法来实现。可以看出，系统主要控制变量角度 的超调 量减小，系统的调节时间加快。应该说本文这种控制方 法，对于解决这种线性不稳定系统，提出了一种解决方 案和思路。
０ 前 言 倒立摆系统是一个多变量、严重非线性和绝对不稳
定系统，必须采用相应的控制方法使其稳定，其控制方 法在机器人领域和伺服控制中具有广泛用途。倒立摆系 统通常用来检验控制策略的效果， 是控制理论研究中较为 理想的实验装置，其结构如图１ 所示。
杆长 ＝０．５ｍ，重力加速度ｇ≈１０ｍ／ｓ２，是摆杆于垂线向上 的夹角，ｘ 是小车的水平位移，Ｆ 是加在小车上的控制 力。系统的控制目标是：通过产生合适的力，使得小车 和摆杆在一定的给定条件下，能够迅速的恢复到平衡位 置（ ＝０，ｘ＝０），并保持动态平衡。运用牛顿力学定律建立 系统的运动方程，消除中间变量后， 将方程在平衡点附近 进行线性化处理ｃｏｓ ＝１，ｓｉｎ ＝ 经过整理后可以得到以 摆杆的角度 、角速度 、小车位移ｘ 、小车速度 为状 态变量的倒立摆系统的状态方程，如（ １ ） 式［１］。
图 ４ 模糊控制方式
图 ２ ＰＩＤ 控制方式
图 ３ 控制效果图
由图３ 控制结果可以看出，对于这种不稳定系统采用 了Ｐ Ｉ Ｄ 控制方式，可以取得一定的控制作用，在系统出现 一定的超调之后，系统趋向稳定，但是系统在调节过程 中，超调量过大，这是由于控制对象的强不稳定性和控 制器的非自调节性所决定的。
建立如图４ 所示的模糊控制系统框图， 对于模糊控制 器采用双输入单输出的结构， 模糊控制规则表如表１ 所示［ ５ ］ 。
表 １ 模糊控制规则表
可以得到数字Ｐ Ｉ Ｄ 位置型控制算式为：
（６） 在本次实验中，采用如图２ 所示的控制方法，选择 Ｋｐ＝１００，Ｔｉ＝５０，Ｔｄ＝２０。
《自动化与仪器仪表》２００９ 年第 ２ 期（总第 １４２ 期）
单级倒立摆的ＰＩＤ和模糊控制对比研究＊
陈 进，王冠凌，邢景虎 （安徽工程科技学院 电气传动与控制安徽省高校重点实验室 安徽芜湖，２ ４ １ ０ ０ ０ ）
摘 要：详细的分析了单级倒立摆的数学模型，通过应用Ｐ Ｉ Ｄ 控制和模糊控制两种方式对其进行了控制。通 过实验研究，发现Ｐ Ｉ Ｄ 控制规律对于倒立摆这种常规不稳定的系统具有一定的控制作用，模糊控制作为智能控制 的一个分支，对于这种复杂控制对象具有更好的控制效果。
关键词：倒立摆；Ｐ Ｉ Ｄ ；模糊控制 Abstract: The paper analyses the numerical model of single inverted pendulum in detail, PID and fuzzy control are used in comparison. Through experiment, it is discovered that PID control theory has some effect to this instability system, fuzzy control which is a part of intelligent control has better effect to the complicated object. Key words: Inverted pendulum ; PID ; Fuzzy control 中图分类号：Ｔ Ｐ ２ ７ ３ ＋ ． ４ 文献标识码：Ｂ 文章编号：１ ０ ０ １ － ９ ２ ２ ７ （ ２ ０ ０ ９ ） ０ ２ － ０ ０ １ ７ － ０ ２
参考文献 １ ＥＬＴＯＨＡＭＹ Ｋ Ｇ． Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｏｐｔｉｍａｌ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ａ ｔｒｉｐｌｅ
ｉｎｖｅｒｔｅｄ ｐｅｎｄｕｌｕｍ ｗｉｔｈ ｓｉｎｇｌｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｉｎｐｕｔ［Ｊ］．Ｉｎｔ．Ｊ ｏｆ Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９９８，６９（２） ２ 谢剑英．微型计算机控制技术（第三版）［Ｍ］．北京：国防工业出版 社，２００１，１３３～１３５ ３ 李士勇．模糊控制、神经控制和智能控制论［Ｍ］．哈尔滨：哈尔滨 工业大学出版社，１９９８．２７６～２７８ ４ 郑大钟． 线性系统理论（ 第２ 版） ［ Ｍ ］ ． 北京： 清华大学出版社， ２００２，５１０～５１５ ５ 北师大数学系．模糊控制理论及其在倒立摆控制中的应用［Ｊ］． 数学通报，２００３．６，１～３
收稿日期：２００８－１１－１０ 作者简介：陈进（１ ９ ７ ４ － ），男，江苏南京人，硕士，讲师， 主要从事计算机控制和嵌入式系统与应用方面的研究。 ＊ 基金项目：安徽省高等学校青年教师科研资助计划 ２００５ｊｑ１０６６６ 安徽工程科技学院青年科研基金 ２ ０ ０ ３ Ｙ Ｑ ０ ０ ９ 安徽高校省级自然科学研究项目Ｋ Ｊ ２ ０ ０ ９ Ｂ ０ ４ ３
ห้องสมุดไป่ตู้ （５）
单级倒立摆的ＰＩＤ和模糊控制对比研究 陈 进，等
级顺序制定模糊控制规则，设计模糊控制器。在实际系 统中，问题的关键是设计者分析被控量的优先顺序，得 出输入输出架构，因此用模糊控制解决强耦合的多变量 控制，无疑是一种很好的方法［ ４ ］ 。
图 １ 单级倒立摆原理结构图
（１）
倒立摆装置由沿滑轨运动的小车和固定在小车上的 摆杆组成。导轨一端固定有位置传感器，测量出沿导轨 运动的小车位移；小车通过轴承连接摆杆，在小车与摆 杆之间的连接处固定有角度传感器，用以测量摆杆的角 度信号；滑轨的两端固定有伺服电机，通过皮带驱动小 车沿导轨运动，在小车沿导轨运动的过程中将力传递给 摆杆以实现整个系统的动态平衡。
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（３） 为了在计算机中实现以上Ｐ Ｉ Ｄ 控制器，对公式（ ３ ） 进 行离散化，对于积分采用累加和，对于微分采用后向差 分的方法，得出差分方程： （４）
将倒立摆系统的实际参数代入后， 得到系统的状态方 程如（ ２ ） 式。
（２）
２ 采用Ｐ Ｉ Ｄ 控制 根据偏差的比例Ｐ（Ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ）、积分Ｉ（Ｉｎｔｅｇｒａｌ）、
微分Ｄ（Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ）进行控制，简称为ＰＩＤ控制，这是在 工业控制系统中应用最为广泛的一种控制规律［ ２ ］ ，因为 实际运行经验和理论分析证明该控制规律对于众多被控 对象，通过合理的调节Ｐ Ｉ Ｄ 控制器的参数，都能取得满意 的效果。其控制规律为：
３ 采用模糊控制算法 模糊控制是智能控制的一个重要分支［ ３ ］ ，对于模型
复杂的系统，尤其是多变量系统，可以根据被控量优先
１８
图 ５ 模糊控制效果图 经过系统仿真，得出的控制效果图如图５ 所示。本问 题采用了智能控制中的一个重要分支——模糊控制等方 法来实现。可以看出，系统主要控制变量角度 的超调 量减小，系统的调节时间加快。应该说本文这种控制方 法，对于解决这种线性不稳定系统，提出了一种解决方 案和思路。
０ 前 言 倒立摆系统是一个多变量、严重非线性和绝对不稳
定系统，必须采用相应的控制方法使其稳定，其控制方 法在机器人领域和伺服控制中具有广泛用途。倒立摆系 统通常用来检验控制策略的效果， 是控制理论研究中较为 理想的实验装置，其结构如图１ 所示。
杆长 ＝０．５ｍ，重力加速度ｇ≈１０ｍ／ｓ２，是摆杆于垂线向上 的夹角，ｘ 是小车的水平位移，Ｆ 是加在小车上的控制 力。系统的控制目标是：通过产生合适的力，使得小车 和摆杆在一定的给定条件下，能够迅速的恢复到平衡位 置（ ＝０，ｘ＝０），并保持动态平衡。运用牛顿力学定律建立 系统的运动方程，消除中间变量后， 将方程在平衡点附近 进行线性化处理ｃｏｓ ＝１，ｓｉｎ ＝ 经过整理后可以得到以 摆杆的角度 、角速度 、小车位移ｘ 、小车速度 为状 态变量的倒立摆系统的状态方程，如（ １ ） 式［１］。
图 ４ 模糊控制方式
图 ２ ＰＩＤ 控制方式
图 ３ 控制效果图
由图３ 控制结果可以看出，对于这种不稳定系统采用 了Ｐ Ｉ Ｄ 控制方式，可以取得一定的控制作用，在系统出现 一定的超调之后，系统趋向稳定，但是系统在调节过程 中，超调量过大，这是由于控制对象的强不稳定性和控 制器的非自调节性所决定的。
建立如图４ 所示的模糊控制系统框图， 对于模糊控制 器采用双输入单输出的结构， 模糊控制规则表如表１ 所示［ ５ ］ 。
表 １ 模糊控制规则表
可以得到数字Ｐ Ｉ Ｄ 位置型控制算式为：
（６） 在本次实验中，采用如图２ 所示的控制方法，选择 Ｋｐ＝１００，Ｔｉ＝５０，Ｔｄ＝２０。
《自动化与仪器仪表》２００９ 年第 ２ 期（总第 １４２ 期）
单级倒立摆的ＰＩＤ和模糊控制对比研究＊
陈 进，王冠凌，邢景虎 （安徽工程科技学院 电气传动与控制安徽省高校重点实验室 安徽芜湖，２ ４ １ ０ ０ ０ ）
摘 要：详细的分析了单级倒立摆的数学模型，通过应用Ｐ Ｉ Ｄ 控制和模糊控制两种方式对其进行了控制。通 过实验研究，发现Ｐ Ｉ Ｄ 控制规律对于倒立摆这种常规不稳定的系统具有一定的控制作用，模糊控制作为智能控制 的一个分支，对于这种复杂控制对象具有更好的控制效果。
关键词：倒立摆；Ｐ Ｉ Ｄ ；模糊控制 Abstract: The paper analyses the numerical model of single inverted pendulum in detail, PID and fuzzy control are used in comparison. Through experiment, it is discovered that PID control theory has some effect to this instability system, fuzzy control which is a part of intelligent control has better effect to the complicated object. Key words: Inverted pendulum ; PID ; Fuzzy control 中图分类号：Ｔ Ｐ ２ ７ ３ ＋ ． ４ 文献标识码：Ｂ 文章编号：１ ０ ０ １ － ９ ２ ２ ７ （ ２ ０ ０ ９ ） ０ ２ － ０ ０ １ ７ － ０ ２
参考文献 １ ＥＬＴＯＨＡＭＹ Ｋ Ｇ． Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｏｐｔｉｍａｌ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ａ ｔｒｉｐｌｅ
ｉｎｖｅｒｔｅｄ ｐｅｎｄｕｌｕｍ ｗｉｔｈ ｓｉｎｇｌｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｉｎｐｕｔ［Ｊ］．Ｉｎｔ．Ｊ ｏｆ Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９９８，６９（２） ２ 谢剑英．微型计算机控制技术（第三版）［Ｍ］．北京：国防工业出版 社，２００１，１３３～１３５ ３ 李士勇．模糊控制、神经控制和智能控制论［Ｍ］．哈尔滨：哈尔滨 工业大学出版社，１９９８．２７６～２７８ ４ 郑大钟． 线性系统理论（ 第２ 版） ［ Ｍ ］ ． 北京： 清华大学出版社， ２００２，５１０～５１５ ５ 北师大数学系．模糊控制理论及其在倒立摆控制中的应用［Ｊ］． 数学通报，２００３．６，１～３