高中数学总复习教学案12C：几何概型

高中数学总复习教学案

§12.3 几何概型

新课标要求

理解几何概型的意义，会用公式计算几何概率

重点难点聚焦

教学重点: 理解几何概型的意义，会用公式计算几何概率

教学难点：如何计算基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的区域的长度（面积、体积、角度）

高考分析及预测

几何概型是新增内容，高考考察的目前为止不多，新课标对几何概型的要求较低，因此考察以低、中挡题为主。

再现型题组

1.两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．

2．某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）

巩固型题组

3、在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？

4、两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．求两人会面的概率．

提高型题组

5、假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A ）的概率是多少．

6、将长为l 的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.

反馈型题组

7、（2008高考江苏卷6）在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ．

8、（2008高考宁夏文）设有关于x 的一元二次方程22

20x ax b ++=．

（Ⅰ）若a 是从0123，

，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

（Ⅱ）若a 是从区间[03]，

任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

几何概型45分钟单元检测

1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（）

A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定

2、向半径为R的圆内任意投掷一点，此点也落在与圆内接的下列图形上的概率:（1）（2）

(1)

3、在400 mL自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察,则发现大肠杆菌的概率为_____.

4、某人午觉醒来,发觉表停了,他打开收音机,想听电台报时,假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10 min的概率为___________.

5、在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？

6、平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r

7、设有一个均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间[0，1]上的诸数字，另一半上均匀地刻上区间[1，3]上的诸数字.旋转陀螺，求它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于[0.5,1.5]上的概率.

A

B

x

y

8、甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等

待码头空出的概率.

参考答案 再现型题组

1.答案：记“灯与两端距离都大于2m ”为事件A ，则P(A)=

62=3

1． 2.答案：可以认为人在任一时刻到站是等可能的． 设上一班车离站时刻为a ，则某人到站的一切可能时刻为 Ω= (a, a+5)，记A={等车时间少于3分钟}，则他到站的时刻只能为g = (a+2, a+5)中的任一时刻，故3

()5

g P A =

=Ω的长度的长度

巩固型题组

3、答案：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则 P(A)=

所有种子的体积取出的种子体积=1000

10

=0.01．

答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．

4、答案：因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数（甲乙两人各自到达的时刻）组成．以7点钟作为计算时间的起点，设甲乙各在第x 分钟和第y 分钟到达，则样本空间为 Ω:{(x,y) | 0≤x ≤60,0≤y ≤60},画成图为一正方形．会面的充要条件是|x －y| ≤20，即事件A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影线部分．

22260(6020)5

()609

g P A --===Ω的面积的面积

提高型题组

5、答案：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间．

假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A 发生，所以

6、答案：设A 表示“3段构成三角形”，x,y 分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l －x －y.则试验的全部结果可构成集合Ω={(x,y)|0

x+y>l －x －y ⇒x+y>

21,x+l －x －y>y ⇒y<21,y+l －x －y>x ⇒x<2

1. 故所求结果构成集合A={(x,y)|x+y>21,y<21,x<2

1

}.

由图可知，所求概率为

P(A)=的面积的面积ΩA =2

)

2(2122l l ⋅=4

1.

反馈型题组

7.答案：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．2

144

16

P ππ

⨯=

=

⨯。

8．解析：设事件A 为“方程22

20a ax b ++=有实根”．

当0a >，0b >时，方程22

20x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．

（Ⅰ）基本事件共12个：

(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a 的

取值，第二个数表示b 的取值．

事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93

()124

P A =

=． （Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}

()|0302a b a b ，，≤≤≤≤． 构成事件A 的区域为{}

()|0302a b a b a b ，，

，≤≤≤≤≥． 所以所求的概率为2

1

32222323

⨯-⨯==⨯．

几何概型45分钟单元检测

1、C （提示：由于取水样的随机性，所求事件A ：“在取出2ml 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比500

2

=0.004） 2、答案:(1)

π

2

(2)π433

3、解析:由于取水样的随机性,所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比，即4002

=0.005. 4、解:因为电台每小时报时一次,

我们自然认为这个人打开收音机时处于两次报时之间,例如