全称量词命题和存在量词命题的否定

2021-2022学年高一上数学必修一

1．5.2全称量词命题和存在量词命题的否定

学习目标 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

知识点含量词的命题的否定

p 綈p 结论全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题

1．∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(√)

2．“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2<0”．(√)

3．“∃x∈R，|x|＝x”是假命题．(×)

一、全称量词命题的否定

例1写出下列命题的否定．

(1)所有矩形都是平行四边形；

(2)每一个素数都是奇数；

(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.

解(1)存在一个矩形不是平行四边形；

(2)存在一个素数不是奇数；

(3)∃x∈R，x2－2x＋1<0.

反思感悟全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题．

跟踪训练1写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：

(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；

(2)p：∀x∈N,2x>0.

解(1)綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝

m2＋4>0恒成立，故綈p为假命题．

(2)綈p：∃x∈N,2x≤0.綈p为假命题．

二、存在量词命题的否定

例2写出下列命题的否定．

(1)有些四边形有外接圆；

(2)某些平行四边形是菱形；

(3)∃x∈R，x2＋1<0.

解(1)所有的四边形都没有外接圆；

(2)所有平行四边形都不是菱形；

(3)∀x∈R，x2＋1≥0.

反思感悟对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．

跟踪训练2写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：

(1)有些实数的绝对值是正数；

(2)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.

解(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．

(2)命题的否定：“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．

∵当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，

∴命题的否定是假命题．

三、全称量词命题、存在量词命题的综合应用

例3对于任意实数x，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围．

解令y＝x2＋4x－1，x∈R，

则y＝(x＋2)2－5，

因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，

所以只要m<－5即可．

所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．

延伸探究

本例条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．

解令y＝－x2＋4x－1，

因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.

又因为∃x∈R，－x2＋4x－1>m有解，

所以只要m小于函数的最大值即可，

所以所求m的取值范围是{m|m<3}．

反思感悟求解含有量词的命题中参数范围的策略

(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或ay max(或a

(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或ay min(或a

跟踪训练3若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则实数a的取值范围是() A．a≥1 B．a>1 C．a<1 D．a≤1

答案 D

解析命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则Δ≥0，即a≤1.故选D.

1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()

A．∀x∈R，|x|＋x2<0

B．∀x∈R，|x|＋x2≤0

C．∃x∈R，|x|＋x2<0

D．∃x∈R，|x|＋x2≥0

答案 C

解析条件∀x∈R的否定是∃x∈R，结论“|x|＋x2≥0”的否定是“|x|＋x2<0”．

2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是()

A．对任意实数x，都有x>1

B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1

D．存在实数x，使x≤1

答案 C

解析利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．

“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.

3．关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是()

A．綈p：∃x∈R，x2＋1≠0

B．綈p：∀x∈R，x2＋1＝0

C．p是真命题，綈p是假命题

D．p是假命题，綈p是真命题

答案 C

解析命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，綈p是假命题．

4．命题“同位角相等”的否定为________．

答案有的同位角不相等

解析全称量词命题的否定是存在量词命题，故否定为：有的同位角不相等．

5．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是：________.

答案所有的三角形都不是直角三角形

解析命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定．

1．知识清单：

(1)全称量词命题、存在量词命题的否定．

(2)命题真假的判断．

2．方法归纳：转化思想．

3．常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反．

1．若p：∀x∈R，|x|≤1，则()

A．綈p：∃x∈R，|x|>1

B．綈p：∀x∈R，|x|>1

C．綈p：∃x∈R，|x|≥1

D．綈p：∀x∈R，|x|≥1

答案 A

解析根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，∀x∈R，|x|≤1的否定为：∃x∈R，|x|>1，故选A.

2．命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定()

A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0

B．∃x>0，使得x2－x＋3>0

C．∀x>0，都有x2－x＋3>0

D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0

答案 B

解析命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x>0，使得x2－x＋3>0.

3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()

A．任意一个有理数，它的平方是有理数