人教版高中数学必修一《指数函数及其性质》课件

名师点拨 1.指数函数y＝ax(a>1)底数越大时，函数的图象在y轴右侧 部分越靠近y轴，这一性质可通过x＝1时的函数值大小去理 解．如a>b>1>c时，见函数图象(下图(左)及下图(右))．
2．画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关 键点：(1，a)，(0,1)，－1，1a.
它们都不是y＝ax的形式，∴不是指数函数． 只有B，y＝πx为指数函数，应选B.
【答案】 B
误区警示 严格按定义y＝axa>0，a≠1的形式加以判别.
变式训练1 若y＝(a－4)x是指数函数，求a的取值范围．
解 由指数函数的定义，得aa－－44>≠01，， 得aa>≠45，. ∴a的取值范围是{a|a>4，且a≠5}.
C．{y|y>0}
D．{y|y≥0}
解析 ∵x∈R，∴y＝2x>0，即M＝{y|y>0}． 又∵N＝{y|y＝ x－1}＝{y|y≥0}， ∴M∩N＝{y|y>0}．
答案 C
3．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，
则f(x)的值域为( )
A．[9,81]
B．[3,9]
(2)函数y＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则 下列结论正确的是( )
A．a>1，b>0 B．a>1，b<0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0
解析 (1)由－a－22＋＋m＋m＝1＝0，2， 得m＝2. (2)由图象知，0<a<1，又x＝0时，0<a－b<1， ∴－b>0，∴b<0.
答案 32或12
思考探究2 指数函数定义中为什么规定a>0且a≠1? 提示 将a如数轴所示分为：a<0，a＝0,0<a<1，a＝1和 a>1五部分进行讨论：
(1)如果a<0比如y＝(－4)x，这时对于x＝
1 4
，x＝
1 2
等，在实
数范围内函数值不存在．
(2)如果a＝0，当当xx>≤00时时，，aax恒x无等意于义0.， (3)如果a＝1，y＝1x＝1，是个常数函数，没有研究的必 要． (4)如果0<a<1或a>1，即a>0且a≠1，x可以是任意实数．
解析 (1)当a>1时，函数f(x)＝ax在[0,1]上是增函数． 所以当x＝1时，函数f(x)取最大值；当x＝0时，函数f(x)取 最小值． 由题意得f(1)－f(0)＝12，即a－a0＝12，解得a＝32.
(2)当0<a<1时，函数f(x)＝ax在[0,1]上是减函数．所以当x ＝1时，函数f(x)取最小值；当x＝0时，函数f(x)取最大值．由 题意得f(0)－f(1)＝12，即a0－a＝12，解得a＝12.综上知a＝32或12.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析 一 指数函数的概念
【例1】 下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是
() A．y＝(－4)x
B．y＝πx
C．y＝－4x
D．y＝ax＋2(a>0，a≠1)
【解析】 利用指数函数y＝ax(a>0，a≠1)定义知，A中a ＝－4<0，C中的系数是－1，D中，ax的系数是a2.
C．[1,9]
D．[1，＋∞)
解析 因为函数f(x)＝3x－b的图象经过点(2,1)，所以32－b＝ 1，所以2－b＝0，b＝2，
所以f(x)＝3x－2.由2≤x≤4得0≤x－2≤2， 因为函数y＝3x在区间[0,2]上是增函数． 所以30≤3x－2≤32， 即1≤3x－2≤9，所以函数f(x)的值域是[1,9]．
其图象如图所示．
由图象知，增区间为[0，＋∞)，
减区间为(－∞，0]．
最小值为1，没有最大值．
规律技巧 函数y＝kax＋m＋bk，a，b为常数，且k≠0， a>0，且a≠1的图象过定点－m，k＋b.
变式训练2 (1)已知函数y＝ax＋m＋1(a>0，且a≠1)的图象 过定点P(－2,2)，则实数m＝________；
易错探究 【例4】 求函数y＝132x－x2的值域． 【错解】 令u＝2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1， 则y＝13u≤13，即函数的值域为－∞，13.
【错因分析】 忽略了y＝13u的单调性及值域．
【正解】 令u＝2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1. 又y＝13u为减函数， ∴y≥13，即函数的值域为[13，＋∞)．
当堂检测 1.已知0<a<1，b<－1，函数f(x)＝ax＋b的图象不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析 由0<a<1，b<－1易知图象如上图，故选A. 答案 A
源自文库
2．若集合M＝{y|y＝2x}，N＝{y|y＝ x－1 }，则M∩N＝
()
A．{y|y>1}
B．{y|y≥1}
课前热身 1.一般地，函数____________________叫做指数函数，其 中指数x是自变量，函数的定义域是____________．
2．指数函数的图象与性质 a>1
图象
0<a<1
定义域________
值域________
过点________，即x＝0，y＝1
性质 在(－∞，＋∞)上 在(－∞，＋∞)
误区警示 (1)求与指数函数有关的定义域、值域问题， 一定要充分利用指数函数的增减性解答．
(2)本例分类讨论时，不能丢掉a＝1的情形．
变式训练3 求下列函数的定义域、值域． (1)y＝2x2－1； (2)y＝13 3－x； (3)y＝ 2x＋1.
解 (1)定义域为R，值域为[12，＋∞)． (2)由3－x≥0知，定义域是{x|x≤3}，值域为(0,1]． (3)定义域为R，值域为(1，＋∞).
x≥0， x<0，
可转化为y＝2x与y＝12x作图，利
用图象写出单调区间及最值．
【解析】 (1)当x＋2＝0，即x＝－2时，y＝a－2＋2＋3＝1 ＋3＝4，
∴函数y＝ax＋2＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(－2，4)．
【答案】 (－2,4)
(2)解：y＝2|x|＝22x－x
x≥0， x<0，
答案 (1)2 (2)D
三 求定义域、值域问题
【例3】 求函数y＝ 1－ax(a>0)的定义域和值域． 【分析】 要使偶次根式有意义，需被开方数1－ax≥0， 即ax≤1.而a>0，函数y＝ax的增减性不定，因此要分情况解 答．
【解】 由1－ax≥0，得ax≤1，讨论如下： (1)当0<a<1时，定义域为[0，＋∞)； (2)当a＝1时，定义域为(－∞，＋∞)； (3)当a>1时，定义域为(－∞，0]． ∵ax>0，∴1－ax<1. ∴值域为{y|0≤y<1}．
二 指数函数型的图象问题
【例2】 (1)函数y＝ax＋2＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点 P，则点P的坐标是________．
(2)作出函数y＝2|x|的图象，指出它的单调区间及最值． 【分析】 (1)利用y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1) 来确定．
(2)y＝2|x|＝22x－x
答案 C
4．函数y＝3x3＋x 1的值域是(
)
A.12，1 C．(0,1)
B．(－∞，0) D．(1，＋∞)
解析 y＝3x3＋x 1＝1－3x＋1 1， ∵3x>0，∴3x＋1>1. ∴0<3x＋1 1<1.
∴0<1－3x＋1 1<1. 即原函数的值域为(0,1)． 答案 C
5．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值 的差为12，则a＝________.
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2．1 指数函数
2.1.2 指数函数及其性质
第一课时 指数函数及其性质
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.理解指数函数的概念和意义． 2．能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象． 3．探究并理解指数函数的单调性与特殊点，初步掌握指 数函数的性质.
是________
上是________
x>0时，________ x>0时，______
x<0时，0<y<1
x<0时，y>1
自 1.y＝ax(a>0，且a≠1) R 我
2.(－∞，＋∞) (0，＋∞) (0,1) 增函数 校
减函数 y>1 0<y<1 对
思考探究1 指数函数的解析式具有怎样的结构特征？ 提示 (1)底数a为大于0且不等于1的常数． (2)指数位置是自变量x，且x的系数是1. (3)ax的系数是1.