134_最短路径问题-课件(PPT·精讲义·选)
最短路径问题PPT课件
A
·
C′ C
B
·
l
B′
问题1 归纳
B A
l
解决实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知解决新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
尝试应用：
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建
一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中
实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
A
·
l C
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′， AC′+BC′
= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
B A
l
将A，B 两地抽象为两个点，将河流l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河流l边 饮马，然后到B 地；
AM+NB+MN.
问题3：还有其他的方法选两点M,N，使得 AM+MN+NB的和最小吗？试一试。
a
b
A
M
N
B
问题2 归纳
解决实 际问题
人教版八年级数学上册《13-4 课题学习 最短路径问题》教学课件PPT初二优秀公开课
因此AM1 +M1N1+BN1 ＞ AM+MN+BN.
探究新知
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为
AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长
A
连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥
C.
DF
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，
C′ D ′
于则是四A边D形=AFDF′D, ′D为平行四边形， 同理，BE=GE′，
E E′
由两点之间线段最短可知，GF最小.
BG
课堂检测
拓广探索题
1如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点 组 成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
A 图① B
A
P
O 图②
BO
A
M
N B
图③
课堂检测
D C
AP
PA
'
E
P
C' 图①
O
F
B
图② P''
B
A M'
E
M
N
O
B F
图③ N'
课堂小结 原 理 线段公理和垂线段最短
最短路径 问题
最 短路 径 问题
解题方法
轴对称知识+线段公理
造桥选 址问题
解题方法
关键是将固定线段“桥” 平移
《13.4 课题学习 最短路径问题》课件PPT3
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
A
·
C′ C
B
·
l
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
能否通过图形的变化（轴对称、平移等），把问 题转化为两点之间，线段最短问题呢？
再设情景 深入探究
作法：将点A沿与河垂直的方向平移EF的距离到A ′ ，那 么为了使AEFB最短，只需A ′ B最短。根据两点之间距离 最短，连接A ′ B，交河岸于点F，在此处造桥EF，所得 路径AEFB就是最短路径。
证明时要利用三角形三边关系来证明。
再设情景 深入探究
情景3：造桥选址问题 如图，A和B两地在一 条河的两岸，现要在河上造一座桥EF。桥造在 何处才能使从A到B的路径AEFB最短？（假定 河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。
1.你能仿照情景2将这个问 题抽象为数学问题吗？ 2.这个问题与前一个问题 有什么不同？ 3.要保证路径AEFB最短， 应怎样选址？
同侧问题
转化异侧问题
如何将点B“移”到l 的另
B
一侧B′处，满足直线l 上
A
的任意一点C都保持CB 与
CB′的长度相等？
C
l
设置情景 合作探究
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
于点C．
A
13.4 课题学习 最短路径问题 课件(共15张PPT)人教版初中数学八年级上册
迁移应用
3.如图，点P是∠AOB内任意一点，点M和点N分别是射线OB和射线OA 上的动点，当△PMN的周长为最小时，画出点M,N的位置.
B P'
M P
O
N
A
P''
解：如图所示，点 M,N 即为所求
B
M
P
O
A N
课后延伸
1.课本P93，第15题 2.收集最短路径的其他模型
人教版八年级数学第十三章《轴对称》
课题学习—最短路径问题
情境引入
古从军行 唐·李颀
经验唤醒
如图所示，请规划从A地到B地最近的路线？为什么 这条路线最近？
A
B
AB即为最短路线，因为两点之间，线段最短
探究一
问题情境1
图形
将军从烽火台到河边饮马 在这个情境中我们 再回到营地，饮马点在什么位 分别把烽火台，营 置，可使将军所走的路径最短？ 地，河流抽象成哪
种几何图形？
A. 点 B.线
A
l B
最短路径作法
直线异侧 “两定点”
连定点 得最短
A
l P
B
两点之间 线段最短
探究二
问题情境2
将军从烽火台到河边 饮马再回到营地，饮马点 在什么位置，可使将军所 走的路径最短？
图形
我们可以把情境 2抽象成怎样的几何 图形？
最短路径作法
直线同侧“两定点”
作对称 化折为直得最短
∴AＭ１+M１N１+BN１＝AA１+A１N１+BN１ 在△A１N１B中
因为A1N1+BN1＞A1B 因此AM１+M１N１+BN１＞ AM+MN+BN. ∴AM +MN+BN为最短路径.
ppt《最短路径问题》
问题： 你能用所学知识证明AC+BC 最短吗？
B
A C L
B´
• 证明：如图,在直线L上 任取一点C´（与点C不 重合），连接A C´,B C´,C´B´. • 由轴对称的性质知 BC= B´C BC´= C´B´.所以 AC+BC=AC+ B´C=A B´ • A C´+B´C´= A C´+ BC´又因为在三角形A B´C´中A B´< A C´+B´C´,所以 • AC+BC< A C´+B´C´即 AC+BC最短。
C
两点之间线段最短
问题1：如图，某天然气公司分别要向两个新建
住宅小区提供天然气，需要在主天然气管道上修建 一个供气站，问供气站修在主管道的什么地方，可 使所用的输气管线最短？
A L B
AB与L的交点处即 为供气站修建地
如图1牧马人从A地出发，到一条笔直的河边L 饮水，然后到B地。牧马人到河边的什么地方 饮水，可使所走的路径最短？
练习1、 如图，直线L是一条河，P、Q是两个村庄，欲在 L上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现 有四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所 需管道最短的是（ ）
Q P L M M P L M Q P L M Q P L Q
A
B
C
D
思考：已知如图，点A和两条直线m和n，你能在
直线m、n上分别找一点P、Q，使得AP+PQ+AQ的值 最小吗？
A
B
L
思考
如果将河L抽象成一条直线，把牧 马人饮水的地方看成C点，这样C 就为直线L上的一个动点，那么上 面的问题就可以转化为：当点C在 L的什么位置时，AC与BC的和最 小。
最短路径问题课件
·
l
A
·
B′
C
C′
追问4 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？
运用新知
练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径．
追问2 利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？如何解决？
新课推进
M
解：如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.
A
B
C
P
Q
山
河岸
大桥
新课推进
问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
B
A
新课推进
追问1 如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
B
A
l
新知探究
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马”。你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B
A
l
新知探究
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
B
数学人教版八年级上册13.4最短路径问题.4最短路径问题.ppt
数学人教版八年级上册13.4最短路径问题.4最短路径问题.ppt1、人教版数学八年级上册河北省丰宁满族自治县土城中学李国13.4课题学习最短路径问题一、两点式1.如图,从A地到B地有三条路可供选择,你会选则哪条路?理由是什么?BA②③①二、一点一线式2.如图,从点A到直线l有四条路可供选择，你会选则哪条路?理由是什么?ElDCBA两点之间线段最短。
垂线段最短。
最短路径问题三角形两边之和大于第三边。
基础储备１．能利用轴对称解决最短路径问题；２．体会图形的改变在解决最值问题中的作用；３．感悟转化思想。
学习目标一、两点在一条直线异侧１.当两点Ａ、Ｂ在直线l的异侧时，如何在直线l上确定一点Ｐ，使点Ｐ到Ａ、Ｂ两点的距离和最短？二、两点在一条直线同侧２.当两点Ａ、Ｂ在直线l的同侧时，如何在直线l上确定一点Ｐ，使点Ｐ到Ａ、Ｂ两点的距离和最2、短？lＢＡPlＢＡ三、两点一线式自学探究问题1：(相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜见海伦，求教一个百思不得其解的问题精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的学问回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．)BAl从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探究新知创设情境，激发兴趣问题1：将军饮马问题你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAlB··Al·B′·C探究新知将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．A·B问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？作法：〔1〕作点B关于直3、线l的对称点B′；〔2〕连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．小组商量，合作学习··证明：如图，在直线l上任取一点C′〔与点C不重合〕，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．探究新知问题3 你能用所学的学问证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′·一点在两相交线内部CBA’A’’OANM导练达标四、一点两线式1、某市的水果加工厂A恰好在两条铁路OM，ON的夹角内部，如图，为了抓住机遇，提高水果的销量，确定在这两条铁路沿线上各建一4、个运转站B，C，把加工厂加工好的水果每天从加工厂A运往B，C。