机械振动概念和运动方程

第十一章 机械振动

振动是指物体或系统在其平衡位置附近的往复运动。(例子：物体位置、电流强度、电压、电场强度、磁场强度等)。

物体或系统质点数是无穷的，自由度数也是无穷的，因此存在空间分布和时间分布，需要用偏微分方程描述 (如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或未知函数与几个变量有关，而且未知函数对应几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。例如弦包含很多的质点，不能用质点力学的定律研究，但是可以将其细分成若干个极小的小段，每小段可以抽象成一个质点，用微分的方法研究质点的位移，其是这点所在的位置和时间变量的函数，根据张力，就可以建立起弦振动的偏微分方程) 。

一、简谐振动(单自由度体系无阻尼自由小振动)

虽然多质点的振动要用偏微分方程描述，但是我们可以简化或只考虑细分成的每一小段，那么就成为单质点单自由度(只需一个坐标变量)的振动。

2222

22222,,0

cos():0i i t F k k

F kx a x m m m d x d x a x a x dt dt

x A t Ae e i ，令特征方程特征根：ϕωωωωωϕλωλω

=-=

=-==-=∴+==+=+==±A (振幅)、ϕ(初相位)都是积分常数，k 为倔强系数。 在微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的阶。

形如

()()dx P t x Q x dt +=的方程为线性方程，其特点是它关于未知函数x 及其导数dx

dt

都是一次的。若()0Q x =，则()0dx

P t x dt

+=称为齐次的线性方程。

二阶常系数齐次线性微分方程的解法：

()()

1

2

121212121,212cos sin t t

t

t x c e c e x c c t e i x e c t c t λλλαλλλλλαβββ≠=+==+=±=+

由cos()sin()x A t v A t ωϕωωϕ=+⇒=-+

按周期定义，

()()cos()cos sin()sin A t A t T A t A t T ωϕωϕωωϕωωϕ+=++⎡⎤⎣⎦

-+=-++⎡⎤⎣⎦

，同时满足以上两方程的T 的

最小值应为

2p w

1,2T n w pn ==，w 称为圆频率或角频率。不像A 、ϕ，由初始条件决定，w 由固有参量k 和m 决定，与初始条件无关，故称为振子的固有频

率。简谐振动的状态的物理量位置和速度随时间变化，但只要()t ωϕ+相同，振动的状态就相同，所以()t ωϕ+是决定振动状态的物理量，称为位相。w 是位相的变化速率，

单位是

弧度/秒。

由于复数平面上任一点对应一个矢量，还可以用一个旋转矢量来描述简谐振动。

在相空间中，简谐振动由一条椭圆曲线所描述： 位移和动量 c o s (),s i n (x A t p m v m

A t ωϕωωϕ

=+==-+ 满足椭圆方程 22

22

1()x p A m A ω+

= 举例：单摆的摆动

弹簧振子和单摆都是在弹性力或准弹性力作用下作简谐振动的保守系统，称为谐振子。由于弹性力是保守力，简谐振动中机械能是守恒的，于是

22

2222222

11cos (),sin()221sin (),221

2p k p k E kx kA t p m A t p k E m A t m m

E E E kA ωϕωωϕωωϕω=

=+=-+==+==+=

振动的合成与分解

①同方向、同频率的两简谐振动的合成(矢量法)

312123123i i i i t

x x x x Ae A e A e e ϕϕϕω⎡⎤=++=++⎣⎦

I.2

1

2,0,1,2,

k k j

j

p -==北则12A A A =+，即当两分振动的相位差为p 的偶数倍时，

合振动的振幅为两分振动振幅之和。 II.()2

1

21,0,1,2,

k k j

j

p -=+=北则12A A A =-，即当两分振动的相位差为

p 的奇数倍时，合振动的振幅为两分振动振幅之差。 III.2

1j

j -为一般值，则1212A A A A A -<<+。

②同方向、不同频率的两简谐振动的合成(三角函数法)—参见拍

③振动方向垂直的两谐振动的合成(三角法、计算机法)

()()

212121121212212112

222

2222112

2

1

2212

12

211

cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos cos 2

cos cos sin sin sin cos cos si x t t A y t t A x y t A A x y xy

t A A A A x t A j w j j w j j j w j j w j j j j w j j j j j j w j

j

j w j ü=-ïï

Þ

ýï=-ïïþ-=-?

+-=-=()()

()

212121************

2222112

2

1

221

2

12

2222

12

1

221212

n sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin sin cos sin cos cos 2

sin sin cos sin 2cos()sin t y t t A x y t A A x y xy

t A A A A x y xy A A A A j w j j j w j j w j j j j w j j j j j j w j

j

j j j

j

ü

-ï

ïÞ

ýï=-ïïþ-=-?

+-=-\+--=-

若频率比为简单整数比，则合成曲线是稳定的封闭的，运动也具有周期性，其轨迹称为李萨

如图形。 I.

若2

1

0j

j

-=，则2

1

A y x A =

II. 若 2

211

,A y x A j

j p -==-

III. 若22

212212,12x y y A A p j j -==+=

IV. 若22

2122123,12x y y A A p j j -==+=-

二、单自由度体系的小振动

单自由度指只需要一个坐标就可以确定系统的位置。

1. 自由振动

势能()V q 在平衡位置0q q =附近展开得

2200021()()()()2q q dV d V V q V q q q q q dq dq ⎛⎫⎛⎫=+-+-+

⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

11221122

12

cos(),cos()

cos cos sin sin ,cos cos sin sin x A t y A t x y t t t t A A w j w j w j w j w j w j

=+=+=-=-