论文----浅谈微积分思想在几何中的应用汇编

毕业论文题目：浅谈微积分思想在几何问题中的应用学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学毕业年限：2013年学生姓名：***学号：************指导教师：**说明：1.成绩评定均采用五级分制，即优、良、中、及格、不及格。

2. 评语内容包括：学术价值、实际意义、达到水平、学术观点及论证有无错误等。

目录摘要 (2)关键字 (2)Abstract (2)Keywords (2)1微积分介绍 (3)1.1微积分的基本内容 (3)2微分在几何问题中的应用 (5)2.1一元微分的几何应用 (5)2.2多元微分的几何应用 (7)3积分在几何问题中的应用 (9)3.1定积分的几何应用 (9)3.2二重积分的几何应用 (16)3.3三重积分的几何应用 (17)结束语 (20)参考文献 (21)浅谈微积分思想在几何问题中的应用***（西北师范大学数学与统计学院甘肃兰州 730070）摘要：微积分思想在几何问题中的应用主要分为一元微分、多元微分、定积分、二重积分、三重积分分别在几何问题中的应用。

一元微分可以求曲线的长；多元微分可以求曲线的切线、切平面、法线、法平面；定积分可以求曲线的长、图形的面积、立体的体积；二重积分可以求图形的面积、立体的体积；三重积分可以求立体的体积。

关键词：一元微分多元微分定积分二重积分三重积分曲线的长面积体积Application of differential calculus thought ingeometric problems.Lv Danqin(College of mathematics and statistics, Northwest Normal University, Gansu Lanzhou730070)Abstract:Application of differential calculus thought in geometric problemsconsists of a differential, multiple differential, integral, double integral,integral respectively three applications in geometric problems. A differential canfind the length of the curve; tangent, multivariate differential can find the curvetangent plane, normal, normal plane; definite integral can be the length of the curve,the graph area, volume of solid; double integral can be graphics area,three-dimensional volume; three points can be obtained three-dimensional volume. Keywords: A differential multiple differential ntegral double integral three integral curve length area volume1微积分介绍1.1微积分的基本内容1.1.1一元微分定义：设有函数()f x ，若存在常数A ，使得对于自变量x 的改变量x ∆，函数的改变量()()y f x x f x ∆=+∆-可以表示为：()(0)y A x x x ο∆=⋅∆+∆∆→，则称()f x 在点x 处可微，并称A x ⋅∆为()f x 在点x 处的微分，记为dy 或()df x ，即dy =A x ⋅∆或()df x =A x ⋅∆.几何意义：0()dy f x dx '=表示曲线()y f x =在点00(,)M x y 处的切线上的点的纵坐标相应于x ∆的增量。

1.1.2多元微分多元微分又叫全微分，是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。

定义：设有二元函数(,)z f x y =，若存在常数A,B 使得对于自变量x 和y 的改变量x ∆和y ∆，函数z 的改变量z ∆可以表示为(,)(,)()(0)z f x x y y f x y A x B y ορρ∆=+∆+∆-=⋅∆+⋅∆+→则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微，并称A x B y ⋅∆+⋅∆为(,)f x y 在点(,)x y 处的全微分，记为dz 或(,)df x y ，即dz A x B y =⋅∆+⋅∆或(,)df x y A x B y =⋅∆+⋅∆.1.1.3定积分定义：设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，用分点011...n n a x x x x b -=<<<<=将区间[,]a b 分成n 个小区间，小区间的长度为1(1,2,...,)i i i x x x i n -∆=-=，记{}1max i i nx λ≤≤=∆，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点1()i i i i x x ξξ-≤≤，作乘积()(1,2,...,)i i f x i n ξ⋅∆=和式1()nn i i i S f x ξ==⋅∆∑成为积分和，当0λ→（即n 无限增大）时积分和的极限如果存在，且此极限与[,]a b 的分法及ξ的取法无关，则称函数()f x 在区间[,]a b 上是可积的，并称此极限为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作01()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ→==⋅∆∑⎰。

其中符号“⎰”称为积分符号，()f x 称为被积函数，x 称为积分变量，区间[,]a b 称为积分区间，a 称为积分下线，b 称为积分上限。

1.1.4二重积分定义：设(,)f x y 是定义在平面有界闭区域D 上的有界函数对区域D 的任意划分12,,...,n D D D ∆∆∆以及任意属于i D ∆的点(,)i i i P ξη，作和式1(,)ni i ii f ξησ=∆∑（其中i σ∆表示i D ∆的面积）。

当{}1max 0i i nd λ≤≤=→时（i d 为i D ∆的直径），如果不论对D 怎样划分，点i P 怎样选取，上述和式都趋于同一常数，则称函数(,)f x y 在区域D 上是可积的，并称该常数为函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分，记作(,)Df x y d σ⎰⎰，即01(,)lim (,)n i i i i D f x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰。

其中(,)f x y 叫做被积函数，(,)f x y d σ叫做被积表达式，d σ叫做面积元素，x 和y 叫做积分变量，D 叫做积分区域。

1.1.5三重积分定义：设(,,)f x y z 是定义在空间有界闭区域Ω上的有界函数。

对区域Ω的任意划分123,,...,∆Ω∆Ω∆Ω以及(,,)i i i i i P ξηζ∈∆Ω任意取法，作和式1(,,)ni i i i i f v ξηζ=∆∑（其中i v ∆表示i ∆Ω的体积）。

当{}1max 0i i nd λ≤≤=→（i d 为i ∆Ω的直径），如果不论对Ω怎样划分，点i P 怎样选取，上述和式都趋于同一常数，则称函数(,,)f x y z 在区域Ω上是可积的，并称该常数为函数(,,)f x y z 在区域Ω上的三重积分，记为(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰，即01(,,)lim (,,)n i i i ii f x y z dv f v λξηζ→=Ω=∆∑⎰⎰⎰。

其中(,,)f x y z 叫做被积函数，dv 叫做体积元素,z y x ,,叫做积分变量，Ω叫做积分区域。

2微分在几何问题中的应用2.1一元微分的几何应用2.1.1求平面曲线的切线若函数()y f x =在包含x u =的区间上可导，则曲线()y f x =在点(,())A u f u =有切线，切线方程为()()()y f u x u f u '=-+。

例1、写出过点)1,3(-A 而与曲线1xy =相切的直线的方程。

解:将曲线方程1xy =写成函数形式1()y f x x==。

设所求直线与曲线相切于点(,())B u f u ,则直线斜率为()f u '。

根据直线AB 斜率意义可得 1()()(3)f u f u u '-=--。

将1()f u u =和21()f u u'=-代入上式得到关于u 的方程 2111(2)u u u-=---。

整理后得二次方程2230u u --=，解得3u =或1u =-，即切点可能是1(3,)3或(1,1)--； 所以满足要求条件的切线有两条，用两点式直线方程写出 整理后分别为：20x y ++=和960x y --= 如图一图一2.1.2求参数方程曲线的切线设曲线Γ由下列参数方程表示，(),()()x u t y v t t I Γ===∈，))((),(:I t t v y t u x ∈==Γ函数()x u t =和()y v t =都在区间I 上可导，则对于任意0t I ∈，当2200()()0u t v t ''+≠时，对应的Γ上的点00(,)P x y 处有切线L ，其方程为0000()()()()u t y y v t x x ''-=-。

这里0000(),()x u t y v t ==。

也就是说，00((),())u t v t ''是曲线在00(,)P x y 处切线的方向向量。

例2、设曲线Γ的参数方程为{3sin ,2cos }x t y kt ==，求曲线上对应于u t =的点00(,)x y 处的切线方程.解：计算得3cos ,2sin x t y k kt ''=-故曲线上对应于00(,)x y 处的切线的方向向量为(3cos ,2sin )u k ku - 结合003sin ,2cos x u y ku ==，可得点00(,)x y 处的切线方程为3cos (2cos )2sin (3sin )0u y ku k ku x u ⋅-+⋅-=，整理得2sin 3cos 60k ku x u y ⋅+⋅-=2.2多元微分的几何应用2.2.1空间曲线的切线与法平面设曲线L 的参数方程为(),(),()x x t y y t z z t ===，并假设参数方程中三个函数的导数均存在，且在t 的某一个确定值0t 处，三个导数不同时为零。