第3章 正交各向异性单向板的强度准则
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c
2 Y t
c
12 S 拉伸时
1 1 ( 1 12 2 ) E1 1 2 ( 2 21 1 ) E2 12 12 G 12
S
21
Y 2
X 1
压缩时
1 12 2 X t ( X c ) 2 21 1 Yt ( Yc ) 12 S
(3)Tsai－Wu张量强度准则的强度比方程
对于四阶强度张量Fij，基本上不能用材料主方向的任何单向试验来确 定，必须采用双向试验，因为它是1和2的系数。我们采用双向拉伸 试验：
1 2
则有： 代入已知量：
(F1 F2 ) (F11 F22 2F12 ) 2 1
1 2
则有：
(F1 F2 ) (F11 F22 2F12 ) 2 1
F12 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 X X X t X c Yt Yc Yt Yc t c
第3章 正交各向异性单向板的强度准则
3.1 复合材料的强度特性与强度准则概念
3.2 最大应力强度准则与最大应变强度准则 3.3 Tsai－Hill强度准则 3.4 Tsai－Wu张量强度准则 3.5 单向板的强度比方程 3.6 结论与讨论
3.1 复合材料的强度特性与强度准则概念
(1)在材料力学或弹性理论中的主应力与主应变是与材料主方向
图3-10
双轴应力状态比例加载
3.5.2 强度比方程
(1)Tsai－Hill强度准则的强度比方程
对于纤维在1-方向的简单层板在1-2平面内的平面应力问题，
3 13 23 0
1 22 1 X X Y S
2 1 2 2 2 2 2 12 2
1 x cos 2
最大应变理论
1 x cos
2
1 2 12
1 (cos 2 12 sin2 ) x E1 1 (sin2 21 cos 2 ) x E2
2 x sin2 12 x sin cos
1 (sin cos ) x G 12
cos 4 1 1 sin4 1 2 2 cos 2 sin2 2 2 2 X X Y x S
蔡-希尔理论
• 一个破坏准则 • 强度随方向角的变化是光滑的,没有尖点 • 单向强度随角从0增加而连续减小而不是像最大应 力和最大应变两个准则那样增加 • 理论与试验之间的一致性比原先的好,最大应力和 应变准则压30时的误差是100% • 在蔡希尔准则中破坏强度X、Y、S之间存在着重要 的相互作用,但在其它准则中,这种作用不存在
代入已知量：
如果：2F12=-F11: 与霍夫曼准则相同 如果：拉压强度相同，2F12=-1/X2，与蔡-希尔准则相同
蔡-胡张量理论（Tsai-Wu)
• 一次项部分，描述不同拉压强度是有用的 • 二次项部分，描述应力空间的椭球 • F12描述1方向和2方向的正应力之间的相互作用， 不同于剪切强度 • 在旋转或重新定义坐标系下具有不变性 • 可由已知的张量变换规则进行变换 • 类似刚度和柔度，具有对称性 • 适合于理论分析
抗压强度不同，但在材料主方向上的抗剪强度是不随切应力的
方向(即切应力的正负号)而改变。
图3-1
纤维增强单向板 的基本强度
图3-2
在材料主方向的切应力
图3-3
在与材料主方向成45°角方向的切应力
• 基本强度特性
– Xt——纵向拉伸强度；Xc——纵向压缩强度 – Yt——横向拉伸强度；Yc——横向压缩强度 – S——面内剪切强度
• 刚度特性为：
– E1——1-方向上的弹性模量；E2——2-方向上的弹性 模量 – 12——-2/1，当1= ，而其他应力皆为零； – 21——-1/2，当2= ，而其他应力皆为零； – G12——在1-2平面内的剪切模量
3.2 最大应力强度准则与最大应变强度准则
3.2.1 最大应力强度准则
• 单层板在平面应力状态下，主方向的任意 一个分量达到极限应力时，就发生破坏或 失效
– 失效准则有3个相互不影响，各自独立的表达 式组成的，实际上有三个分准则 – 必须转换成材料主方向上的应力 – 理论预报与材料试验值温和的不好
最大应力理论
1 Xc 2 Yc 12 S
拉伸时 压缩时
蔡-希尔理论(Tsai-Hill)
对于纤维在1-方向的简单层板在1-2平面内的平面应力，
3 13 23 0
2 2 1 1 2 2 12 2 2 2 1 X2 X Y2 S
1 x cos 2 2 x sin2 12 x sin cos
在平面应力状态下：
2 2 F11 F2 2 F6 6 F111 F22 2 F66 6 2F121 2 1 2
蔡-胡张量理论（Tsai-Wu)
强度张量的某些分量可以用已经讨论过的工程强度来确定： 对拉伸载荷： 对压缩载荷： 同理：
F1 X t F11X t2 1 F1 Xc F11X 1
3.6 结论与讨论
与各向同性材料完全不同，对于复合材料，其 强度的显著特点是具有方向性。对于正交异性 材料，存在三个材料主方向，不同主方向的强 度是不相同的。比如，纤维增强复合材料单向 板，沿着纤维方向的强度通常是垂直纤维方向 强度的几十倍。这样，在正交异性材料中，主 应力与主应变概念是没有意义的。所以，最大 工作应力不一定对应材料的危险状态，即不一 定是控制设计的应力，必须在合理且比较实际 的应力场和许用的应力场下，才能判断材料的 强度状态。
1 Xt
1 x cos 2 Xt x cos 2
2 Yt 12 S
2 x sin2 Y x sin2
12 x sin cos S x sin cos
图3-4 最大应力强度准则
3.2.2 最大应变强度准则 • 单层板在平面应力状态下，主方向的任意 一个分量达到极限应变时，就发生破坏或 失效
x x x Xt cos 2 12 sin2 Y sin2 21 cos 2 S sin cos
X Xt t E1 Xc Xc E1
Y S Y t t S E2 G 12 Y c Yc E2
图3-5 最大应变强度准则
– 失效准则有3个相互不影响，各自独立的表达 式组成的，实际上有三个分准则 – 必须转换成材料主方向上的应变 – 和最大应力理论相比,在最大应变准则中包含 了泊松比项,也就是说，最大应变理论中考虑 了另一弹性主方向应力的影响，如果泊松比很 小，这个影响就很小 – 与试验结果偏差也较大
最大应变理论
1 X t
图3-6 纤维沿1方向铺设的 单向板横截面
图3-7
Tsai－Hill强度准则
3.4 Tsai－Wu张量强度准则
蔡-胡张量理论（Tsai-Wu)
蔡-胡假定在应力空间中的破坏表面存在如下形式:
Fi i Fij i j 1 i, j 1,2,6
其中：Fi，Fij为二阶和四阶强度张量 4 23 5 13 6 12
其中： 2 x sin2
12 x sin cos
cos 4 1 1 sin4 1 2 2 2 2 cos sin 2 X2 X Y2 x S
蔡-希尔理论
一个破坏准则 强度随方向角的变化是光滑的，没有尖点； 单向强度随角度从0增加而连续减小，而不是像最大应力和最大应变 两个准则那样增加； 理论与试验之间较最大应力和应变准则吻合的好； 在蔡希尔准则中破坏强度X、Y、S之间存在着重要的相互作用,但在其 它准则中,这种作用不存在;
3.3 Tsai－Hill强度准则
蔡-希尔理论(Tsai-Hill)
如果只有12作用在物体上 2N 1 S2 如果只有1作用在物体上 G H 1 X2 如果只有2作用在物体上 F H 1 Y2 如果只有3作用在物体上 F G 1 Z2
1 1 1 2 2 X2 Y Z 1 1 1 2G 2 2 2 X Y Z 1 1 1 2F 2 2 2 X Y Z 2H
图3-8 Tsai－Wu张量强度准则
3.5 单向板的强度比方程
3.5.1 强度比定义百度文库
在二维应力空间中强度包络线是一个围绕坐标原点的椭圆，如图
3-10所示。对于一单向板，其实际应力场所对应的应力空间点的
位置有如下三种可能： •(1)落在椭圆线上。 (2)落在椭圆线外面。 (3)落在椭圆线的内部， • 所谓强度比(Strength Ratio)是指在比例加载条件下，极限应力与 实际应力之比。强度比Ｒ取值的含义为： •(1)Ｒ＝１，说明单向板的实际应力与极限应力相等，材料进入 极限状态。 (2)Ｒ＞１，说明实际应力小于极限应力。 (3)Ｒ＜１没有意义。
不一定对所有的材料都适合;
不能用一个表达式同时表达拉、压应力两种情况。
(2)Hoffman强度准则的强度比方程
• 对拉、压强度不同的材料可用同一个表达式
2 2 XC Xt YC Yt 1 1 2 2 12 2 1 2 2 1 Xt Xc Yt Yc Xt Xc Yt Yc S
蔡-希尔理论
• 不一定对所有的材料都适合
• 不能用一个表达式同时表达拉、压应力两 种情况
单向板的Tsai－Hill强度准则的优越性
(1)和最大应力、最大应变强度准则不同，曲线连续、光滑、没
有尖点。 (2)对于拉伸，σx随θ角的增加而连续减少，没有像最大应力、最 大应变强度准则那样，随θ角的增加反而增大。 (3)考虑了基本强度X、Y、S之间相互作用。 (4)理论曲线与试验数据很吻合。 (5)该准则也适用于各向同性材料。
1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 X X t c Yt Yc X t X c Yt Yc
F12
——如果2F12=-F11: 与霍夫曼准则相同 ——如果拉压强度相同，2F12=-1/X2，与蔡-希尔准则相同
2 c
F1
1 1 Xt Xc 1 Xt Xc
F11
F2
1 1 Yt Yc 1 Yt Yc
F22
材料主方向上的剪切强度和剪应力的符号无关，则有：
F6 0 F66 1 S2
蔡-胡张量理论（Tsai-Wu)
对于四阶强度张量Fij，基本上不能用材料主方向的任何单 向试验来确定，必须采用双向试验，因为它是1和2的系 数。我们采用双向拉伸试验：
无关的应力、应变极值，故主应力与主应变的概念在各向异性 材料中是没有意义的。 (2) 在材料主方向坐标系下，若正交各向异性单向板处于简单应 力状态，则其极限应力很容易通过试验测定，通常把这些极限 应力称为单向板的基本强度(Basic Strength)。 (3)对于正交各向异性材料，尽管在材料主方向上的抗拉强度与
2 Y t
c
12 S 拉伸时
1 1 ( 1 12 2 ) E1 1 2 ( 2 21 1 ) E2 12 12 G 12
S
21
Y 2
X 1
压缩时
1 12 2 X t ( X c ) 2 21 1 Yt ( Yc ) 12 S
(3)Tsai－Wu张量强度准则的强度比方程
对于四阶强度张量Fij，基本上不能用材料主方向的任何单向试验来确 定，必须采用双向试验，因为它是1和2的系数。我们采用双向拉伸 试验：
1 2
则有： 代入已知量：
(F1 F2 ) (F11 F22 2F12 ) 2 1
1 2
则有：
(F1 F2 ) (F11 F22 2F12 ) 2 1
F12 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 X X X t X c Yt Yc Yt Yc t c
第3章 正交各向异性单向板的强度准则
3.1 复合材料的强度特性与强度准则概念
3.2 最大应力强度准则与最大应变强度准则 3.3 Tsai－Hill强度准则 3.4 Tsai－Wu张量强度准则 3.5 单向板的强度比方程 3.6 结论与讨论
3.1 复合材料的强度特性与强度准则概念
(1)在材料力学或弹性理论中的主应力与主应变是与材料主方向
图3-10
双轴应力状态比例加载
3.5.2 强度比方程
(1)Tsai－Hill强度准则的强度比方程
对于纤维在1-方向的简单层板在1-2平面内的平面应力问题，
3 13 23 0
1 22 1 X X Y S
2 1 2 2 2 2 2 12 2
1 x cos 2
最大应变理论
1 x cos
2
1 2 12
1 (cos 2 12 sin2 ) x E1 1 (sin2 21 cos 2 ) x E2
2 x sin2 12 x sin cos
1 (sin cos ) x G 12
cos 4 1 1 sin4 1 2 2 cos 2 sin2 2 2 2 X X Y x S
蔡-希尔理论
• 一个破坏准则 • 强度随方向角的变化是光滑的,没有尖点 • 单向强度随角从0增加而连续减小而不是像最大应 力和最大应变两个准则那样增加 • 理论与试验之间的一致性比原先的好,最大应力和 应变准则压30时的误差是100% • 在蔡希尔准则中破坏强度X、Y、S之间存在着重要 的相互作用,但在其它准则中,这种作用不存在
代入已知量：
如果：2F12=-F11: 与霍夫曼准则相同 如果：拉压强度相同，2F12=-1/X2，与蔡-希尔准则相同
蔡-胡张量理论（Tsai-Wu)
• 一次项部分，描述不同拉压强度是有用的 • 二次项部分，描述应力空间的椭球 • F12描述1方向和2方向的正应力之间的相互作用， 不同于剪切强度 • 在旋转或重新定义坐标系下具有不变性 • 可由已知的张量变换规则进行变换 • 类似刚度和柔度，具有对称性 • 适合于理论分析
抗压强度不同，但在材料主方向上的抗剪强度是不随切应力的
方向(即切应力的正负号)而改变。
图3-1
纤维增强单向板 的基本强度
图3-2
在材料主方向的切应力
图3-3
在与材料主方向成45°角方向的切应力
• 基本强度特性
– Xt——纵向拉伸强度；Xc——纵向压缩强度 – Yt——横向拉伸强度；Yc——横向压缩强度 – S——面内剪切强度
• 刚度特性为：
– E1——1-方向上的弹性模量；E2——2-方向上的弹性 模量 – 12——-2/1，当1= ，而其他应力皆为零； – 21——-1/2，当2= ，而其他应力皆为零； – G12——在1-2平面内的剪切模量
3.2 最大应力强度准则与最大应变强度准则
3.2.1 最大应力强度准则
• 单层板在平面应力状态下，主方向的任意 一个分量达到极限应力时，就发生破坏或 失效
– 失效准则有3个相互不影响，各自独立的表达 式组成的，实际上有三个分准则 – 必须转换成材料主方向上的应力 – 理论预报与材料试验值温和的不好
最大应力理论
1 Xc 2 Yc 12 S
拉伸时 压缩时
蔡-希尔理论(Tsai-Hill)
对于纤维在1-方向的简单层板在1-2平面内的平面应力，
3 13 23 0
2 2 1 1 2 2 12 2 2 2 1 X2 X Y2 S
1 x cos 2 2 x sin2 12 x sin cos
在平面应力状态下：
2 2 F11 F2 2 F6 6 F111 F22 2 F66 6 2F121 2 1 2
蔡-胡张量理论（Tsai-Wu)
强度张量的某些分量可以用已经讨论过的工程强度来确定： 对拉伸载荷： 对压缩载荷： 同理：
F1 X t F11X t2 1 F1 Xc F11X 1
3.6 结论与讨论
与各向同性材料完全不同，对于复合材料，其 强度的显著特点是具有方向性。对于正交异性 材料，存在三个材料主方向，不同主方向的强 度是不相同的。比如，纤维增强复合材料单向 板，沿着纤维方向的强度通常是垂直纤维方向 强度的几十倍。这样，在正交异性材料中，主 应力与主应变概念是没有意义的。所以，最大 工作应力不一定对应材料的危险状态，即不一 定是控制设计的应力，必须在合理且比较实际 的应力场和许用的应力场下，才能判断材料的 强度状态。
1 Xt
1 x cos 2 Xt x cos 2
2 Yt 12 S
2 x sin2 Y x sin2
12 x sin cos S x sin cos
图3-4 最大应力强度准则
3.2.2 最大应变强度准则 • 单层板在平面应力状态下，主方向的任意 一个分量达到极限应变时，就发生破坏或 失效
x x x Xt cos 2 12 sin2 Y sin2 21 cos 2 S sin cos
X Xt t E1 Xc Xc E1
Y S Y t t S E2 G 12 Y c Yc E2
图3-5 最大应变强度准则
– 失效准则有3个相互不影响，各自独立的表达 式组成的，实际上有三个分准则 – 必须转换成材料主方向上的应变 – 和最大应力理论相比,在最大应变准则中包含 了泊松比项,也就是说，最大应变理论中考虑 了另一弹性主方向应力的影响，如果泊松比很 小，这个影响就很小 – 与试验结果偏差也较大
最大应变理论
1 X t
图3-6 纤维沿1方向铺设的 单向板横截面
图3-7
Tsai－Hill强度准则
3.4 Tsai－Wu张量强度准则
蔡-胡张量理论（Tsai-Wu)
蔡-胡假定在应力空间中的破坏表面存在如下形式:
Fi i Fij i j 1 i, j 1,2,6
其中：Fi，Fij为二阶和四阶强度张量 4 23 5 13 6 12
其中： 2 x sin2
12 x sin cos
cos 4 1 1 sin4 1 2 2 2 2 cos sin 2 X2 X Y2 x S
蔡-希尔理论
一个破坏准则 强度随方向角的变化是光滑的，没有尖点； 单向强度随角度从0增加而连续减小，而不是像最大应力和最大应变 两个准则那样增加； 理论与试验之间较最大应力和应变准则吻合的好； 在蔡希尔准则中破坏强度X、Y、S之间存在着重要的相互作用,但在其 它准则中,这种作用不存在;
3.3 Tsai－Hill强度准则
蔡-希尔理论(Tsai-Hill)
如果只有12作用在物体上 2N 1 S2 如果只有1作用在物体上 G H 1 X2 如果只有2作用在物体上 F H 1 Y2 如果只有3作用在物体上 F G 1 Z2
1 1 1 2 2 X2 Y Z 1 1 1 2G 2 2 2 X Y Z 1 1 1 2F 2 2 2 X Y Z 2H
图3-8 Tsai－Wu张量强度准则
3.5 单向板的强度比方程
3.5.1 强度比定义百度文库
在二维应力空间中强度包络线是一个围绕坐标原点的椭圆，如图
3-10所示。对于一单向板，其实际应力场所对应的应力空间点的
位置有如下三种可能： •(1)落在椭圆线上。 (2)落在椭圆线外面。 (3)落在椭圆线的内部， • 所谓强度比(Strength Ratio)是指在比例加载条件下，极限应力与 实际应力之比。强度比Ｒ取值的含义为： •(1)Ｒ＝１，说明单向板的实际应力与极限应力相等，材料进入 极限状态。 (2)Ｒ＞１，说明实际应力小于极限应力。 (3)Ｒ＜１没有意义。
不一定对所有的材料都适合;
不能用一个表达式同时表达拉、压应力两种情况。
(2)Hoffman强度准则的强度比方程
• 对拉、压强度不同的材料可用同一个表达式
2 2 XC Xt YC Yt 1 1 2 2 12 2 1 2 2 1 Xt Xc Yt Yc Xt Xc Yt Yc S
蔡-希尔理论
• 不一定对所有的材料都适合
• 不能用一个表达式同时表达拉、压应力两 种情况
单向板的Tsai－Hill强度准则的优越性
(1)和最大应力、最大应变强度准则不同，曲线连续、光滑、没
有尖点。 (2)对于拉伸，σx随θ角的增加而连续减少，没有像最大应力、最 大应变强度准则那样，随θ角的增加反而增大。 (3)考虑了基本强度X、Y、S之间相互作用。 (4)理论曲线与试验数据很吻合。 (5)该准则也适用于各向同性材料。
1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 X X t c Yt Yc X t X c Yt Yc
F12
——如果2F12=-F11: 与霍夫曼准则相同 ——如果拉压强度相同，2F12=-1/X2，与蔡-希尔准则相同
2 c
F1
1 1 Xt Xc 1 Xt Xc
F11
F2
1 1 Yt Yc 1 Yt Yc
F22
材料主方向上的剪切强度和剪应力的符号无关，则有：
F6 0 F66 1 S2
蔡-胡张量理论（Tsai-Wu)
对于四阶强度张量Fij，基本上不能用材料主方向的任何单 向试验来确定，必须采用双向试验，因为它是1和2的系 数。我们采用双向拉伸试验：
无关的应力、应变极值，故主应力与主应变的概念在各向异性 材料中是没有意义的。 (2) 在材料主方向坐标系下，若正交各向异性单向板处于简单应 力状态，则其极限应力很容易通过试验测定，通常把这些极限 应力称为单向板的基本强度(Basic Strength)。 (3)对于正交各向异性材料，尽管在材料主方向上的抗拉强度与