几何凸函数的一个特征性质及其应用

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（ &’ $!） （ &’ $"） . -. "
（ &’ $!） . （ （ 1（ &’ $"） % ! ! $ !） ! $ "） & % !1. / 0 故函数 ! 为 ［1 ， 上的几何凸函数 & 1 ］ 反之， 若 !： ［ (， ［ 为几何凸函数， 则 ’ $!， ［ &’ ( ， ， 有 )］ $" # &’ ) ］ & $，- % ） $ $ ! " $ - $ "） （ ! （ 1 " ）% 2*! （!1$! 1$" ） （ （ . ! 1$ ! ） ! 1$ " ） % 2*! " 2* ! " （ $ !）- 2*! （ $ "） . （ $ !）- . （ $"） 2*! % % " " 这说明函数 . 为 ［ 2*( ， 上的凸函数 & 2*) ］ 将上述证明中的 “ "” 改为 “ $” ， 即得 （ 2*$ ） 定理 "#" 若 . ： ［ /， ］ （ 为凹函数， 则 !： 为 ［ 1/ ， 上的几何凹函数； 反之， 0 & " % ，- % ） $ & 1. 10 ］ $ 若 !： ［ (， ［$，- % ） 为几何凹函数， 则 .： 为 ［ &’ ( ， 上的凹函数。 )］ $ & &’（ ! 1） &’ ) ］ & 上述定理 "#! 揭示了凸函数与几何凸函数之间的亲缘关系， 是用凸函数来刻画几何凸函数的一个特征性 质。 众所周知， 判别一个函数是否为凸函数方法有很多， 这样我们可以通过以上定理得到几何凸函数另外 的判别方法 & 定理 "#( 设 ［ (， ［$，- % ） ， 函数 ! ： ［ (， ［$，- % ） 二阶可导， 则 ! 为几何凸函数的充分必 )］ )］ % & 要条件是： " ［（ ） ］- （ （"#!） $ ! $） !（ 3 $ ）"（ ! （ 4 $） ! $） !（ 4 $） $$ $ ( ) 证明 设 .： （$ # ［ &’（ ， ］ ） ， 则函数 . 二阶可导， 且 $ & &’（ ! 1） ! 1 ） &’（ ! 1）
.A@10>71： 894 *4-,23(+1 R42S44+ 6(+L4T .)+623(+ ,+7 :4(G42*36 6(+L4T .)+623(+ ,*4 7316)1147， ,+7 2S( 3GO(*2,+2 G429(71 (. 73123+:)3193+: :4(G42*36 6(+L4T .)+623(+ ,*4 :3L4+ J P(*4L(4*， R; G4,+1 (. :4(G42*36 6(+L4T .)+623(+， 1(G4 3+4U),-32341 ,*4 412,R-31947 J B*2 C"0?@： 6(+L4T .)+623(+；:4(G42*36 6(+L4T .)+623(+；3+4U),-32;；G,V(*3W,23(+；-(:,*329G36 G,V(*3W,23(+
则称向量 （ $!， …， 对数控制向量 （ #!， …， 。 $"， $* ） #"， #* ）
［!］ 引理 !#" ， 设 ［ (， ［$， ， ［ (， 上的凸几何函数， 向量 （ $!， …， 对数控制向量 （ #!， )］ !为 )］ $"， $* ） - %］ % …， ， 则有 #"， #* ）
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"! （ # "） 只需证 ! 为几何凸函数的情形 ! ! 的弹性函数为!： ， 而 "! （ ! "） " （ ［! （ （ ） ］ ! "） !（ # " ）% " & "） ! " ）’（ ! （ # "） # $ " ! ［（ ） ］ ! " 再由定理 "!# 即知定理 #!$ 成立 ! 证明 设 % " " " "， 则 &’(： 而 +,(： " ! &’( " ， )*&： " ! )*& " ， )*+： " ! )*+ " 皆为几何凹函数， "! " +,( " 为几何凸函数。 因此， 设 ( $ &’( " ， 则有 证明 当 % " " " " 时， &’( " " " ， " ［ ((& ’（ (# ） ］% ((# $ ’ " % &’( " )*& " " $ $ $ ’ " % &’(" " " ’ " % " " $ %， " " 所以正弦函数 &’( 为几何凹函数 ! 余可类似证明 （注意当 % " " " " 时， &’( " " " " +,( " ） ) " 由推论 #!$ 与引理 $!$ 可得 推论 #!" 设 % " " " $， 则 )*& ’ $ ： " ! )*& ’ $ " +,( ’ $ ： " ! +,( ’ $ " )*+ ’ $ ： " ! )*+ ’ $ " 皆为几何凹函数， 而 &’( ’ $ ： " ! &’( ’ $ " 为几何凸函数。 从以上结果出发， 可以得到一大批不等式， 正如 ［$］ 所说的， 几何凸、 凹函数是发现新型不等式的强有力的 工具 ) 例 $ 设 *， 则有 + 皆为锐角， 推论 #!$ &’( # *+ $ #&’( * &’( + ，)*& # *+ $ #)*& * )*& + ，+,( # *+ " #+,( * +,( + ， )*+ # *+ $ #)*+ * )*+ + 这些不等式可由推论直接推出 ) 例 " 设 , - %， 则函数 ( $ ," " % ." % / 为几何凸函数 ) . - %， / - %， 证明 用定理 # 即可简单得出 ) ［"］ 下面证明引理 $!" （即 ［$］ 中定理 -） 与著名的控制不等式 是等价的。 定理 #!" （控制不等式） 设 0 是一个凸函数， 两个实数列 （ ,$， …， 和 （ .$， …， 满足条件 ,"， ,1 ） ."， .1 ） , $ $ , " … $ ,1 ) . $ $ . " … $ .1 ) 2 2 （ , . 3 3 $ " 2 " 1 ’ $） $ % % 3$$ 3$$ 1 1 % ,3 $ % .3 )
第 !" 卷第 # 期
$%%# 年 & 月
湖南理工学院学报 （自然科学版）
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几何凸函数的一个特征性质及其应用
张小明!，吴善和$
（!= 浙江海宁电大 摘
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#!>>%%；$= 福建龙岩学院数学系
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要： 研究几何凸函数与凸函数之间的关系， 给出判定几何凸函数的两种方法； 并运用几何凸函数建立了
若干不等式。 关键词： 凸函数；几何凸函数；不等式；控制；对数控制 中图分类号： ?!@A=! 文献标识码： B 文章编号： （$%%#） !%%AC"$%D %#C%%!@C%#
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1$ $ " ｛1［ （ ） ］- （ ｝ （" & "） !（ 3 1$ ） ! 1$ ）"（ ! （ 4 1$ ） ! 1$ ） !（ 4 1$ ） & " ［（ ］ ! 1$ ） 注意到当函数 . 二阶可导时， 于是， 由定理 !#!， （"#"） 式即知。 . 为凸函数的充分必要条件是： .（ 3 $） $ $， 当且仅当 . 是一个凸函数， 当且仅当 . （ 当且仅当 （"#!） 式成立 & ! 为几何凸函数， 3 $） $ $， .（ 3 $ ）%
$%%#C%YC!A " 收稿日期： 作者简介： 张小明 （!&"AC） ， 男， 汉族， 浙江海宁电大讲师， 硕士， 研究方向为解析不等式和泛函微分方程。
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湖南理工学院学报 （自然科学版）
第 !* 卷
! ! ， ， 则有 # ! % （ ， ， 于是， 由 （!#!） 式， 有 ! "（ # !） $ " % ! "（ # "） ! $ !） #" % （ ! $ "） ! ! （ 但 ! " ! 也是单调递增函数， 所以 ! !! "（ # !） ! "（ # "）" !# ! # " ， ! " 再由定义 !#! 即知 ! 为几何凹函数 & 定义 !#" 设 $’ ， ［ (， ， … *， 满足条件： #’ # )］ ’ % !， "， … $ $* + $ & $! $ $"， # ! $ # " … $ #* + $ & , , （! " , " * " !） $’ $ ! #’ ， ! ’%! ’ % ! $ ! $ " … $* % # ! # " ， … #* & ! ! ! #!） ! "（ # "）" ! "（ !! "（ !#! #" ）
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主要来自百度文库果
（ 2*$ ） 定理 "#! 若 . ： ［ /， （ " % ，- % ） 为凸函数， 则 !： 为 ［ 1/ ， 上的几何凸函数； 反之， 0］ $ & 1. 10 ］ & $ 若 !： ［ (， ［ ， ） 为几何凸函数， 则 ： （ ） 为 ［ ， ］ 上的凸函数 )］ $ % . $ &’ ! 1 &’ ( &’ ) & & & 证明 若 .： ［ /， （ " % ，- % ） 为凸函数， 则 ’ $!， ［ 1/ ， ， 有 0］ $" # 10 ］ & ［ &’ （ ］ （ !$! $" ） （ ! !$ ! $ " ）% 1. % 1. &’ $! - &’ $" ） " "
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引言与引理
文 ［!］ 给出了几何凸函数的概念， 对几何函数进行了初步研究， 并用实例指出了几何凸函数的作用。 本文主要揭示几何凸函数与凸函数之间的相互关系， 指出 ［!］ 中的定理 > 与控制不等式是等价的。 ［!］ 设区间 ［ !， ］ ［ ， ） ， 函数 ［ ： ， ］ ［%，# X ） 满足条件： ［ !， ， 都 定义 !=! " # % # X $ ! " $ %$ & "］ % %!， 有 （ （ （ （!=!） $ ’% ! % $ ） $ % !） $ % $） (’ ［ !， 上的几何凸函数； 若不等式 （!=!） 反向， 则称 $ 为 ［ !， 上的几何凹函数。 则称 $ 为 "］ "］ ［ &， ］ （ ， ） ， 函数 ［ ： ， ］ （ ， 满足条件： ［ &， ， 定义 !=$ 设区间 ’ # (X #X ) & ’ $ ( X # X） %$ & ’］ % %!， 都有 （ % !）# ) （ % $） % # %$ ) （ ! ） （!=$） ) ( $ $ ［ &， 上的凸函数； 若不等式 （!， 反向， 则称 ) 为 ［ !， 上的凹函数。 则称 ) 为 ’］ $） "］ 引理 !=! 若 $ 为单调递增的几何凸 （凹） 函数， 且反函数 $ ( ! 存在， 则 $ ( ! 为几何凹 （凸） 函数。 若$为 ! ! ( ( 单调递减的几何凸 （凹） 函数， 且反函数 $ 存在， 则 $ 为几何凸 （凹） 函数 * ! ( 证明 仅讨论 $ 为单调递增的几何凸函数的情形。 对 $ 的定义域中的任意两点 + ! ， 取 %! , +$，
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主要结果的应用
函数 ! 的几何凸性有以下经济意义 & 定理 (#! 设 ［ (， ［$，- % ） ， 函数 ! ： ［ (， ［$，- % ）二阶可导， 则 ! 为几何凸 （凹） 函数的充 )］ )］ % & 分必要条件为 ! 的弹性函数为单调增加 （减少） 的&
第#期
张小明
吴善和： 几何凸函数的一个特征性质及其应用