湍流直接数值模拟

第6章 湍流直接数值模拟
6.3 湍流直接数值模拟的谱方法
6.3.1 谱方法的基本原理
混淆误差产生原因： 当用伪谱方法计算时，谱空分量用，它等于：
利用三角级数公式
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6.3 湍流直接数值模拟的谱方法
6.3.1 谱方法的基本原理
在上式中，p、q、k的取值范围都是{一N/2，N/2-1}，所 以取值不等于零的波数组合情况只有两种：p+q-k＝0，或 p+q-k＝ N，于是有
Kolmogorov耗散尺度
动速度均方根值)，将以上关系代入式，可得：

1/4 3


，而 ~ u '3 / l （ u ' 是脉
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6.2 湍流直接数值模拟的基本原理
6.2.1 湍流直接数值模拟的空间分辨率
那么三维总网格数N：
＝10４
这是一个天文数字的估计 ，假设 Rel ＝104，就要求网格数为109， 考虑到计算的流动变量数，需要约1010字长的计算机内存。直接数值 模拟实际工程湍流运动时，对网格分辨率的要求更高。 应当指出选定最小的网格长度还和数值方法有关。谱方法的数 值精度最高，差分法的精度和差分格式有关。
边界条件的提法： (3)渐近条件 对于湍流边界层或其他薄湍流切变层，在远离薄层和物面的渐近区 域，速度场趋近于无旋的均匀场，因此对于不可压缩流体可以采用如下：
刚盖假定：数值方法只能计算有限域内的流动，渐近条件只能采用 近似形式，一种方法是在离开薄层或物体横向一定距离的平面上设 置“虚拟边界”，在虚拟边界y＝H满足以下条件，称为刚盖假定：
式中，第一项是乘积w＝uv在谱空间中的投影，第二项是 在伪谱运算中产生的误差，故称混淆误差。
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6.3 湍流直接数值模拟的谱方法
6.3.1 谱方法的基本原理
混淆误差的消除--3/2规则 将函数在傅里叶空间中展开的系数进行延拓到原来的3/2倍， 延拓后函数的傅里叶系数有M＝3N/2项。延拓按以下的规则赋 值：
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6.2 湍流直接数值模拟的基本原理
6.2.3 初始条件和边界条件
边界条件的提法： (3)渐近条件 另一种更好的方法是先做一个指数变换，将无限域变到有限域， 例如，令：
然后，在有限域里数值求解Navier－Stokes方程。如果y=0是 固壁，则在指数变换时，在y＝0附近自动加密网格，而在 方向 则是均匀网格。在(x，y，z)坐标系里，原渐近边界条件可写作：
(1)加权余量法
L u f (u)
L表示微分算子，f (u) 是已知函数。将未知函数 u 用一组完备的 线性独立函数族 展开： k
k 0,1
当展开式只取有限项时，上式是原函数 u 的近似。把uN代入原 来的微分方程，将产生误差，并称之为残差或余量，用RN表示：
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6.2 湍流直接数值模拟的基本原理
6.2.1 湍流直接数值模拟的空间分辨率
以均匀各向同性湍流为例，假定各向同性湍流的含能尺度或积分 尺度为 l ，Kolmogorov耗散尺度等于 。为了足够准确地计算湍 流的大尺度运动，立方体的长度L必须大于含能尺度 l ，另一方 面，为了保证准确模拟湍流小尺度运动，网格长度 必须小于耗 散尺度 。因此，一维网格数至少应满足以下不等式：
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6.3 湍流直接数值模拟的谱方法
6.3.3 平面槽道湍流的直接数值模拟
平面槽道湍流是典型的有固壁的简单湍流运动，如图6-8所示。流体 在平行平板之间流动，假定平板在流向和展向都是无限长。平均定常的 槽道湍流的流向平均压强梯度是常数，展向的平均压强梯度等于零。计 算过程中保持平均流量不变，因此以平均速度为特征长度的流动雷诺数 也保持常数。槽道宽度等于2H，计算域的长度和宽度根据流动雷诺数确 定，原则是计算域应当包含足够多的近壁结构。
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6.3 湍流直接数值模拟的谱方法
6.3.1 谱方法的基本原理
再根据-M/2≤p≤M/2-1和-M/2≤q≤M/2-1(M＝3N/2)的取值限制,满足 上式的p和q只有以下四种可能取值范围：
在以上p，q取值范围里，按照延拓公式有 U p Vq 0 ，因此按3/2延 拓规则,式(6．19)的第二项等于零，就是说，式(6．19)的最后结果 是：


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6.1 湍流数值模拟的方法
三者对比与联系： （1）直接数值模拟要求模拟所有尺度的湍流脉动；雷 诺平均方法网格尺度应当大于脉动的积分尺度；大涡数 值模拟的网格分辨率介于DNS和RANS之间。
（2）三种湍流数值模拟方法给出的信息量有很大差别。
（3）必须根据需要来选择数值模拟的方法。
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6.3 湍流直接数值模拟的谱方法
6.3.3 平面槽道湍流的直接数值模拟
控制方程：
边界条件：槽道的上下壁面应是无滑移条件
结合实际可将速度和脉动压强展开如下：
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6.3 湍流直接数值模拟的谱方法
6.3.3 平面槽道湍流的直接数值模拟
网格坐标为：
理论上，直接数值模拟要求网格最小长度达到Kolmogorov尺 度的量级，因此在给定算例的雷诺数后，应当估计需要的网格数， 以满足分辨率的要求。 首先，确定槽道湍流的雷诺数，Um是槽道截面的平均流速，H是 槽道的半宽度。然后估算Kolmogorov的耗散尺度和时间尺度
6.3 湍流直接数值模拟的谱方法
6.3.1 谱方法的基本原理
再选择另一组完备的线性独立函数族 k 作为权函数．要求余量 的加权积分等于零：
如果微分算子L是线性的，则最后求解的是线性代数方程组； 如果微分算子L是非线性的，则最后求解的是非线性代数方程组。 求出代数方程的解，就得到微分方程的近似解。 ①伽辽金方法(Galerkin法) 加权余量法三种形式 ②Tau方法 ③配置点法
以延拓的谱系数做伪谱运算，得到类似的乘积公式
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6.3 湍流直接数值模拟的谱方法
6.3.1 谱方法的基本原理
上面式中p,q,k的取值范围都是{-M/2,M/2-1}，所以，当时，由 延拓公式(6．18a)~(6．18d)可得式(6.19)的第一项,该项恰好是准确的 卷积，即：
由于M＝3N/2，式(6.18)中的第二项中p+q＝k 3N/2，当 N / 2 k N / 2 1 时，p+q的取值范围是：
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6.2 湍流直接数值模拟的基本原理
6.2.1 湍流直接数值模拟的空间分辨率 6.2.2 湍流直接数值模拟的时间分辨率 6.2.3 初始条件和边界条件
第6章 湍流直接数值模拟
6.2 湍流直接数值模拟的基本原理
湍流是多尺度的不规则运动，湍流直接数值模拟和层 流运动的数值计算有很大区别：
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6.3 湍流直接数值模拟的谱方法
6.3.1 谱方法的基本原理 谱方法的优点是精度高，计算速度快 。但是适应复杂边界的 试探函数十分难找，所以对于复杂边界的湍流问题，特别是对于 流场中存在间断的情况，只能采用差分离散方法。
(2)伪谱法和混淆误差 混淆误差概念： 对于非线性方程，有限项谱展开的非线性项会产生附加的 误差，这种误差在谱方法中称做混淆误差(aliasingerror)。
a. 近似非定常出口条件：
(5)出口条 件 b. 嵌边区(或强粘性区)方法
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6.3 湍流直接数值模拟的谱方法
6.3.1 谱方法的基本原理 6.3.2 格栅湍流的直接数值模拟 6.3.3 平面槽道湍流的直接数值模拟
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6.3 湍流直接数值模拟的谱方法
6.3.1 谱方法的基本原理 谱方法是一种加权余量的数值计算方法，它把微分方程离散化 为代数方程组，其基本原理如下。设有微分方程：
数值模拟结果：各向同性湍流中 的涡结构算例
强迫各向同性湍流直接数值模 拟的结果表明，在各向同性湍流中 强涡是以细长涡管形式出现，如图 6-5所示。涡管的直径是Kolmogorov 尺度，涡管的平均长度是积分尺度， 涡管的强度(环绕涡管的环量)随雷诺 数的增加而增大。图中管状结构是 涡量的等值面，虽然它们并非真正 的涡管，但由于强涡量集中在很细 的管状结构中，可以推断它们接近 于当地的涡管。
第六章 湍流直接数值模拟
第6章 湍流直接数值模拟
6.1 湍流数值模拟的方法 6.2 湍流数值模拟的基本原理 6.3 湍流直接数值模拟的谱方法 6.4 湍流直接数值模拟的差分法
第6章 湍流直接数值模拟
6.1 湍流数值模拟的方法
直接数值模拟（DNS）： 从完全精确的流动控制方程出发，对所有尺度的湍流运动进行 数值模拟，这种最精细的数值模拟称为直接数值模拟。 雷诺平均数值模拟（RANS）： 从雷诺平均方程出发，在这一层次上的数值模拟称为雷诺平均 数值模拟。 大涡数值模拟（LES）： 介于DNS和RANS之间的数值模拟方法称为大涡数值模拟。思想 是：大尺度脉动(或大尺度湍涡)用数值模拟方法计算，只将小尺度 脉动对大尺度运动的作用做模型假设。LES的理论依据是小尺度脉 动有局部平衡的性质，很可能存在某种局部普适的统计规律，如局 部各向同性或局部相似性等。
第一，由于湍流脉动具有宽带的波数谱和频谱，因此湍流直接 数值模拟要求有很高的时间和空间分辨率。
第二，为了求得湍流统计特性，需要足够多的样本流动；如果 湍流是时间平稳态，就要有足够长的时间序列，通常在充分发展的 湍流中，需要105以上的时间积分步。 由于这些特殊要求，需要有内存大、速度快的计算机才能实现 湍流直接数值模 拟。
第6章 湍流直接数值模拟
6.2 湍流直接数值模拟的基本原理
6.2.3 初始条件和边界条件
初始条件的提法： (1)均匀湍流 均匀湍流的初始场也是统计均匀的，这时可以用计算机发 送随机数的方法构造初始脉动场，同时要求它既满足连续方程， 又具有给定的能谱。 (2)切变湍流 混合层或其他自由切变流动的情况有所不同，由于它们具 有线性不稳定性。扰动始终能够增长。对于这种流动，以层流 状态加不稳定扰动模态作为初始场，比较容易用直接数值计算 方法模拟湍流发生和发展的全过程。
第6章 湍流直接数值模拟
6.2 湍流直接数值模拟的基本原理
6.2.2 湍流直接数值模拟的时间分辨率
为了保证计算的稳定性，数值计算的时间步长必须满足 CFL条件，即：
上式是显式计算数值稳定性要求，为了减少计算量，可以考 虑采用部分隐式推进来增大时间步长。例如，粘性项采用隐式， 而对流项仍采用显式。和常规流动数值计算一样，时间步长的选 择要通过试算来确定，但须满足上述基本要求。
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6.3 湍流直接数值模拟的谱方法
6.3.2 格栅湍流的直接数值模拟
控制方程——Navier-Stokes方程 ：
将速度、压强和随机质量力做谱展开
第6章 湍流直
6.3.2 格栅湍流的直接数值模拟
将N-S基本方程投影到谱空间，得：
由式(6．2la)得到谱空间中压强的公式
给定初始场后，可以用式(6．21a)和式(6．21c)进行时间推进，得 到均匀湍流场中速度和压强脉动。结合如下公式：
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6.3 湍流直接数值模拟的谱方法
6.3.2 格栅湍流的直接数值模拟
可求得如下结果：
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6.3 湍流直接数值模拟的谱方法
6.3.2 格栅湍流的直接数值模拟
第6章 湍流直接数值模拟
6.2 湍流直接数值模拟的基本原理
6.2.3 初始条件和边界条件
边界条件的提法： (1) 固壁采用无滑移条件
(2)周期条件
(3)渐近条件→续 (4)进口条件→续
(5)出口条件→续
(6)可压缩湍流的附加边界条件
第6章 湍流直接数值模拟
6.2 湍流直接数值模拟的基本原理
6.2.3 初始条件和边界条件
第6章 湍流直接数值模拟
6.2 湍流直接数值模拟的基本原理
6.2.3 初始条件和边界条件
边界条件的提法：
a. 将进口截面向上游移动，为了更好地近似“真 实”湍流，进口截面给定时间上随机的速度分布。
(4)进口条 件 b. 进口以前用流向均匀条件(即流向采用周期性条 件)计算一个湍流场，以该算例的出口速度场作为 实际问题的进口条件。