Strongart数学笔记：浅谈不变子空间的存在性问题

浅谈不变子空间的存在性问题

最近读了Abramovich与Aliprantis的An Invitation to Operator Theory，对其中的不变子空间问题还是很有感觉的，下面就结合书中的内容给大家简单科普一下。

先讲讲为什么要研究不变子空间。一般研究线性算子时。T：X→X 的算子总是要比T：X→Y的线性算子更加值得关注，这一点在有限维的情形下就更为明显了，一般矩阵中方阵总是特别被重视，因为我们可以定义其行列式、可逆性等等。线性算子T：X→Y不变子空间V是指满足T（V）≤V的子空间V，这样我们就可以把T限制在V上得到一个V上的类似方阵的线性算子T：V→V，这也就是不变子空间的妙处了。

假设T：X→X是Banach空间X上的有界线性算子，那么它天然的就带有两个闭不变子空间：Ker T与Im T，而它们还是T的闭超不变子空间。这里子空间V称为T的超不变子空间是指对于任何与T交换的算子S，V都是S的不变子空间。这个结论可以说定义超不变子空间的动机，也是关于超不变子空间存在性的第一个命题，相信很多同学在泛函分析甚至线性代数中都证明过类似命题，只是那时还没有给出超不变子空间这个名称而已。

有了这个基本结论，就可以看一下非平凡闭不变子空间的存在性

问题，这里的非平凡是指子空间不能为{0}或X。假若算子T与一个非一一或值域非稠的算子S：X→X交换，那么T就一定存在非平凡的闭不变子空间，实际上这个子空间就是S的闭超不变子空间。这里通过子空间的超不变性，从一个算子传递到与之交换的另一个算子，是处理不变子空间问题的常用手段。

除了核与值域之外，我们还有另一类常见的超不变子空间，那就是线性算子T：X→X的特征值空间。由此可得，有限维复Banach空间上任何非数值算子都有非平凡的超不变子空间。对于有限维实Banach空间X的情形，结论则稍微复杂一点：假若dim X的奇数，那么T的非平凡超不变子空间一定存在；假若dim X≥4是偶数，那么T的不变子空间一定存在，但未必是超不变的；假若dim X=2，那么T甚至可以没有非平凡不变子空间，对此只要取旋转算子就可以了。

对于无穷维空间的情形，问题就变得非常复杂。最新的研究表明，哪怕就是在最简单的Hilbert空间上的有界线性算子，也可以不存在非平凡的不变子空间。当然啦，即便是对于非紧算子而言，存在非平凡闭不变子空间的情形也是比较广泛的，比如Hilbert空间l^2上的右平移算子R（x_1,x_2,…)=(0,x_1,x_2,…）就有非平凡闭不变子空间{x∈l^2；x_1=0}.

下面我们要讨论的一类重要情形是关于紧算子的，直观的来看紧算子就是把很大的Banach空间映射到一个比有限维空间大不了多少

的地方（有限秩算子的闭包），因此它有很多类似有限维空间的特征。具体来说，这个结论（及其很多推广后的形式）一般被称为Lomonosov 不变子空间定理，说无穷维复（或实）Banach空间上的紧算子都有无穷维的非平凡闭超不变子空间。由此可以推出，只要有算子与那个紧算子交换，那么至少会有非平凡的闭不变子空间。

与紧交换的算子有两个重要特例，首先是所谓的幂紧算子，即存在某个自然数n，使得算子T^n是紧算子。幂零算子显然都是幂紧算子，无穷维Banach空间X上的恒同算子显然非紧，因此T：X+X→X+X；T(x,y)=0+x就是一个非紧是幂紧算子。比幂紧算子更为广泛的是多项式紧算子，即存在一个多项式p，使得p（T）是紧算子。数乘算子都是多项式紧算子，但它们一般都可以不是幂紧算子。有人也许会想，是不是还有指数紧的算子呢？这个意义就不大了，因为紧算子的指数一般未必是紧算子，即便是最简单的零算子，其指数恒同算子在无穷维空间上就是一个典型的紧算子。

多项式紧算子实际上可以看成一类算子，这就启发我们要处理一类算子代数的子空间问题。算子代数族A称为可迁的，若存在非平凡的闭A-不变子空间；否则就称为不可迁的。这样的一类A-不变子空间的例子就是A x={Ax；A∈A}，还要求闭不变子空间的话可以取其闭包，显然，它与算子的超不变子空间有如下关系，T有非平凡闭超不变子空间iff其交换子代数{T}’是不可迁的。

下面我们来分析一下Lomonosov不变子空间定理的证明，这个思

想可以用来处理很多类似的不变子空间问题，大致分为这么几个步骤。

1）化约：首先假设算子T不存在这样非平凡闭不变子空间，同时不妨假定令‖T‖=1.既然特征空间是闭不变子空间，那么就可以转化为幂零算子的情形；取A={T}’，既然A x的闭包是闭不变子空间，那就可以不妨假设其闭包为全空间X.

2）覆盖：先取定a∈X，‖a‖＞1，‖Ta‖＞1，

U={x∈X;‖x-a‖≤1}，然后用形如O_A={y∈X；‖Ay-a‖≤1}的空间去覆盖T（U）的闭包，得到有限个子集O_A_j，其中各A_j属于A.

3）迭代：既然Ta∈T（U），则存在j_1使得Ka∈O_A_j_1，可令x_1=A_j_1Ta∈U，则T（x_1)∈T（U），则存在j_2使得Kx_1∈O_A_j_2，令x_2=A_j_2Tx_1，……，最后得到U内序列{x_n}，由T的幂零性可得它的范数趋近于零，这就与U的设定矛盾！

利用类似的证明方法，我们可以进一步推广为关于Lomonosov算子的不变子空间定理，这可以被视为Banach空间上不变子空间问题反问题的部分答案。Banach空间X上算子T称为Lomonosov算子，假若存在X上的算子T满足如下条件：

1）T不是数值算子

2）S与T交换

3）S与某非零紧算子交换

这样我们就有有一个很强的定理：任何复Banach空间上的Lomonosov

算子均有非平凡闭不变子空间。

对于其中的紧算子，只要有个支配条件就行了，因此可以引入序结构，把结论推广到Banach格上，得到所谓的闭不变理想的存在性定理，此时，我们主要聚焦于正算子，同时还可以进一步强化其他条件。把算子的交换性也可以由半交换性代替，把证明中幂零性提升出来。

这样得到的命题（Abramovich-Aliprantis-Burkinshaw，前两位就是此书作者）如下：设B：E→E是Banach格上的正算子，假若存在正算子S：E→E，使得

1）SB≤BS

2）S在某点a＞0拟幂零（即lim‖S^n(a)‖^(1/n)=0）

3）S支配某非零紧算子（可减弱为所谓的AM-紧算子，即对任何序区间[a,b]，S([a,b])是范数完全有界集）

则算子B存在非平凡的闭不变理想。

假若B与S的Banach格上交换的正算子，我们可以得到更加对称的结论：假若它们一个在某正向量处拟幂零，另一个支配某非零AM-紧算子，则B与S有公共的非平凡闭不变理想。对于像这样的公共的不变理想的存在性问题，我们完全可以推广的更一般的算子半群上，这里我就不再详细阐述细节了。

类似的，在Banach格上也有不变理想问题的反问题的部分解答，