Strongart数学笔记:浅谈不变子空间的存在性问题

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不变子空间的交还是不变子空间证明

不变子空间的交还是不变子空间证明

不变子空间的交还是不变子空间证明【原创实用版】目录1.引言2.不变子空间的概念3.不变子空间的交4.不变子空间的证明5.结论正文1.引言在数学领域,不变子空间是一个重要的概念,它在线性代数、微积分等学科中都有着广泛的应用。

不变子空间交和证明是理解不变子空间的关键,本文将从这两个方面进行阐述。

2.不变子空间的概念不变子空间指的是一个向量空间在经过某一线性变换后,仍然保持原有结构和性质的子空间。

设 V 是一个向量空间,T 是 V 上的一个线性变换,如果存在一个子空间 W 使得 T(W)W,那么 W 就是不变子空间。

3.不变子空间的交不变子空间的交指的是多个不变子空间相交后得到的子空间。

假设 V 有两个不变子空间 W1 和 W2,它们的交为 W1∩W2。

根据不变子空间的性质,T(W1∩W2)W1∩W2,所以 W1∩W2 也是 V 的一个不变子空间。

4.不变子空间的证明为了证明不变子空间的存在性和唯一性,我们需要引入一些相关的概念和定理。

设 V 是一个向量空间,T 是 V 上的一个线性变换,W 是 V 的一个子空间。

如果 T(W)W,那么我们可以证明 W 是 V 的一个不变子空间。

证明:假设 U 是 V 的另一个子空间,且 T(U)U。

我们需要证明 W ∩U 也是 V 的一个不变子空间。

根据向量空间的性质,有 T(W∩U)T(W)∩T(U)。

因为 T(W)W 和 T(U)U,所以 T(W)∩T(U)W∩U。

所以 W∩U 也是 V 的一个不变子空间。

5.结论不变子空间在数学领域具有广泛的应用,理解不变子空间的交和证明对于深入研究不变子空间具有重要意义。

§7_不变子空间

§7_不变子空间

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命题
设 W1 ,W2 都是A-子空间,则 W1 I W2 和 W1 + W2 也都是A-子空间.
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定义
设A是线性空间V的线性变换,W是A 的不变子 空间. 由于W 中的向量在A下的像仍在W中,所以 由A自然诱导了W上的一个线性变换:
% A :W → W % A (α ) = A (α ),α ∈ W .
因为A的多项式 f (A)是和A可交换的,所以 f (A) 的值域和核都是A-子空间. 这种A-子空间是经常 碰到的. 例4 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间.
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பைடு நூலகம்
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例5 考虑线性变换一维A -子空间. ξ 设W是A 的一维不变子空间, 是W的任何一个 非零向量,则它构成W的基,即 W = L(ξ ). 由A-子空间的定义, Aξ ∈ W = L(ξ ). 于是存在数 λ0 , 使得 Aξ = λ0ξ . 由此可知, 是W的特征向量. ξ
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反之,设 ξ 是A的属于特征值 λ0的特征向量. 对 ∀α ∈ L(ξ ), 即α = kξ , 则 Aα = kAξ = (k λ0 )ξ ∈ L(ξ ). 由此可知,由特征向量生成的子空间 L(ξ )就是A的 一维不变子空间. 例6 A的属于特征值 λ0 的特征子空间 Vλ0 也是A 的 不变子空间.
A1 = O
A3 . A2
(2)
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并且左上角的k 级矩阵A1就是A|W在W的基 ε1 , ε 2 ,L, ε k 下的矩阵. 这是因为W是A-子空间,所以 Aε1 , Aε 2 ,L, Aε r ∈ W 它们可以通过W的基 ε1 , ε 2 ,L, ε k 线性表示,即 Aε1 = a11ε1 + a21ε 2 L + ak 1ε k , Aε 2 = a12ε1 + a22ε 2 L + ak 2ε k , LLL Aε k = a1k ε1 + a2 k ε 2 L + akk ε k , 从而A在基(1)下的矩阵具有形状(2),A|W在W的基 ε1 , ε 2 ,L, ε k 下的矩阵为A1.

不变子空间的概念

不变子空间的概念

若 在基 W
1,下的2 ,矩L阵,为 k
,则
在基 1 , 2 ,下L的,矩阵n 具有下列形状:
§7.7 不变子空间
A1 0
A2 A3
.
A1 P kk
反之,若
1 , 2 ,L
,n
1 , 2 ,L
,n
A1 0
A2 A3
,
A1 P kk . 则由 1 , 2 ,生L成,的 k子空间必为 的
2)设 W L(1,则2 ,WL是 s-)子, 空间
(1), (2 ),L , (s ) W .
证: " 显然"成立.
" " 任取 设W , k11 k22 L kss ,
则 ( ) k1 (1) k2 (2 ) L ks (s ).
由于 (1), (2 ),L , (s ) W , ( ) W .
设 是线性空间V的线性变换,W是V的一个 的
不变子空间. 把 看作W上的一个线性变换,称作
在不变子空间W上引起的线性变换,或称作 在
不变子空间W上的限制 . 记作
. W
§7.7 不变子空间
注:
① 当 时,W W ( ) ( ).
当 时W,
无意W义(. )
② W W W .
③ 任一线性变换 在它核上引起的线性变换是零
一、不变子空间
1、定义
设 是数域P上线性空间V的线性变换,W是V的
的子空间,若
有 W , ( )W 即 (W ) W
则称W是 的不变子空间,简称为 -子空间.
注:
V的平凡子空间(V及零子空间)对于V的任意一
个变换 来说,都是 -子空间.
§7.7 不变子空间是 -子空间.

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因 ( 1 ), ( 2 ),
, k , k 1 ,
,n
, ( k ) W , 所以可由W 的基
1 , 2 ,
, k 线性表示, 设
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( 1 ) a11 1 a21 2 ak 1 k ( 2 ) a12 1 a22 2 ak 2 k ( k ) a1k 1 a2 k 2 akk k ( ) a a ak 1, k 1 k 1 an, k 1 n k 1 1, k 1 1 k , k 1 k ( n ) a1n 1 akn k ak 1,n k 1 ann n
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对 W L( ), 有 k , 从而
( ) k ( ) k(0 ) (k0 ) W ,
所以W 是 子空间.
结论二 : 由特征向量生成的一维子空间是 子空间.
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三、σ在不变子空间上引起的变换
, k 下的矩阵.
ak 1,n ann
就是 | W2在W2的基 k 1 ,
, n下的矩阵.
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因此, 若W1 , W2 是 子空间, 且 V W1 W2 则可适当选取V 的基, 使得 在这个基下的矩阵为 A1 O A O A2 其中Ai 是 | Wi 在Wi的某个基下的矩阵( i 1, 2).
n , 则 1 ,
, k , k 1
, n 构成V的一组基.

(完整版)不变子空间、若当、最小多项式(简介)

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§7 不变子空间◎ 本节重点:不变子空间的定义与“限制”.已知可对角化对应于对角矩阵,但是并不是每个都能对角化的.退一步,对应于准对角形也好;虽然比对角形复杂,但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念. 一、定义与例子1.定义:)(n V L ∈σ,W 是σ的不变子空间W ⇔是V 的子空间,且,W ∈∀ξ有W ∈)(ξσ.简称σ-子空间. (注意:与线性变换有关)2.例子:设)(n V L ∈σ,则下列子空间W 都是σ的不变子空间:1){}0=W 2)V W = 3))0(1-=σW 4))(V W σ= 5){}ξλξσξλ0)(|0=∈==V V W 例1若线性变换A 与B 是可交换的,则B 的核与值域都是A -子空间. 二、线性变换在不变子空间上的“限制”1.定义:设W 是)(n V L ∈σ的不变子空间,可只在W 中考虑σ,记为W |σ.【意义】缩小了线性变换的范围,从而简化线性变换.因此,如果V 可分解为若干-σ子空间i W 的直和,那么对V 的线性变换σ的研究就归结为对各个子空间i W 的直和研究.2.区别:W |σ与σ的作用结果一样,但作用范围不同.即σξξσξ=⇒∈)|(W W ;ξσξ)|(W W ⇒∉无意义.三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系(意义)设V 可分解为若干个σ-子空间的直和:s W W W V ⊕⊕⊕= 21,在每个不变子空间i W 中取基k i i i εεε,,,21 ,s i ,2,1=,并把他们合并为V 的一组基,则在这组基下,σ的矩阵具有准对角形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s A A 1,其中i A ,s i ,2,1=是i W A |在对应基下的矩阵. 进一步的,我们有: *四、不变子空间的直和分解定理12:设线性变换)(n V L ∈σ的特征多项式)(λf 可分解成一次因式:S r S r r f )()()()(2121λλλλλλλ---= ,则V 可以分解成不变子空间的直和:s V V V V ⊕⊕⊕= 21,其中}0)(|{=-∈=ξλσξi r i i E V V .§8 若当(Jordan )标准形介绍若当(Jordan )标准形是一类特殊的准对角矩阵. 一、基本定义 1. 若当块⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλλ1000010000010000),(t J (λ是复数;注意对角元相同)2. 若当形矩阵=由若干个若当块(阶数未必相同、λ未必相同)组成(不计顺序)的准对角矩阵. (若当形矩阵中包括对角矩阵) 【问题】若当形矩阵的特征值=?例1求所有的三阶若当形矩阵.(若当块不计排列顺序) 二、主要结论定理13: ))((C V L n ∈∀σ,在V 中必定存在一组基,使σ在这组基下的矩阵式若当形矩阵. (这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外,是被σ唯一决定的,它称为σ的若当标准形)若用矩阵来描述,即定理14:复数域上,每个方阵都相似于某个若当形矩阵.(好用的结论) 三、若当标准形的求法(第八章介绍)【特例】若A 可对角化,则若当标准形就是相似的对角矩阵.【第二届中国大学生数学竞赛预赛2010】设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00020100030100B ,证明B X =2无解,这里X 为三阶复数矩阵.[证法]对复数矩阵,优先考虑它相似于某个Jordan 矩阵这个性质,并联系特征值.§9 最小多项式介绍最小多项式有着良好的理论意义,特别是适用于对角化问题.已知Cayley Hamilton -定理:方阵A 的特征多项式是A 的零化多项式.要寻找其中次数最低的,这就是最小多项式的研究思路. 一、基本定义定义:)(x ϕ是方阵A 的最小多项式0)(=⇔A f 且)(x ϕ次数最低、首项系数为1. 例 数量矩阵kE 的最小多项式是 二、基本性质引理1矩阵A 的最小多项式必唯一. 证法 带余除法引理2)(x f 是A 的零化多项式)(x f ⇔是A 的最小多项式)(x ϕ的倍式,即)(|)(x f x ϕ. 【特例】最小多项式是特征多项式的因式. 证法 带余除法例 求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111A 的最小多项式. 2)1(-x【问题】相似矩阵有相同的最小多项式?例 k 阶若当块kk a a a J ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11的最小多项式是 (直接计算,k a x )(-) 三、主要结论定理 数域P 上矩阵A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积. 推论 复数域上A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式无重根.例 设A 是n 阶幂等矩阵,且秩为r .试求A 的相似标准形,并说明理由;求A E -2. 解法:由A A =2知A 有最小多项式)1()(2-=-=λλλλλg 且无重根,所以A 相似于对角矩阵,且特征值只能是1或0.又r A r =)(,故存在可逆矩阵P 使⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0001rE AP P .从而 rn r n rA E E E AP P E P A E P ----=-⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-222002)2(11. 矩阵相似对角化的应用1.利用矩阵相似对角化计算矩阵多项式若矩阵A 与B 相似,则存在可逆矩阵P 使得1-=PBP A ,于是1-=P PB A k k . 进一步有:当)(x ϕ是多项式时,1)()(-=P B P A ϕϕ.特例:当A 相似于对角矩阵时,由1-=P PB A k k 容易计算方幂kA .2.求Fibonacci 数列通项:)1,0(1012==+=++a a a a a n n n解法 用矩阵形式表示递推关系式⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+011101110111a a a a a a nn n n n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111A 的特征值为2512,1±=λ,对应的特征向量为'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±1,251,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-211λλAP P 由此可求nA ,即得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=nn n a 25125151. 3.利用矩阵相似对角化线性方程组【例】(人口流动问题)设某国人口流动状态的统计规律是每年有十分之一的城市人口流向农村,十分之二的农村人口流入城市.假定人口总数不变,则经过许多年以后,全国人口将会集中在城市吗? 解 设最初城市、农村人口分别为00,y x ,第k 年末人口分别为k k y x ,,则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛00118.01.02.09.0y x y x ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--118.01.02.09.0k k k k y x y x 记⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8.01.02.09.0A ,可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00y x A y x k k k . 为计算kA ,可考虑把A 相似对角化.特征多项式)7.0)(1(--=-λλλA E .1=λ对应的特征向量为)1,2(1'=α;7.0=λ对应的特征向量为)1,1(2'-=α取⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==1112),(21ααP ,得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2111311P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21117.00011112317.00011k kk P P A令∞→k ,有07.0→k ,得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→12223121110001111231k A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3132)(1222310000y x y x y x k k 可见当∞→k 时,城市与农村人口比例稳定在1:2.定理7:设A 为实对称矩阵,则必存在正交矩阵T ,使得1T AT T AT -'=为对角阵.(注意:对角元恰好是A 的全体特征值) (常用于证明题)[证明思路]:利用对称变换的理论,等价于对称变换有n 个特征向量作成标准正交基(见教材).也可用数学归纳法,将实对称矩阵A 用两次正交相似变换化为对角阵.证明:设σ在n 维欧氏空间V 的标准正交基下的矩阵是A ,则σ是对称变换. 1=n 时,)(αL V =,取V e ∈=αα/1,则V e ∈)(1σ,有11)(ke e =σ,1e 即为所求. 设1-n 时命题成立(含义?),考虑n 的情形.设法把n V 分解成11-+n V V ,才能使用归纳假设:1)σ对称σ−−→−引理有实数特征值1λ(才能保证特征向量)(1R V ∈α,正交矩阵要求实数矩阵);2)取111/αα=e ,则是实.特征向量.设1V 是)(1e L 的正交补,则1V 是σ-子空间,维数为1-n ,且1|V σ是1V 的对称变换.于是利用归纳假设,1V 有1-n 个特征向量n e e ,,2 标准正交,联合n e e e ,,,21 即为V 的特征向量、标准正交基.另证:直接从矩阵角度证明,数学归纳法:1=n 显然. 设1-n 时命题成立,A 必有实数特征值1λ(特征向量n R ∈1α),取111/αα=e ,则也是实.特征向量.扩充成n R 的标准正交基n e e e ,,,21 ,以它们为列作n 级矩阵1T ,则1T 正交,且),,,(),,,(),,,(1121111112111211111n n n Ae T Ae T e T Ae Ae Ae T e e e A T AT T -----===' λ注意到),,,(),,,(112111112111111n n e T e T e T e e e T T T E -----=== ,故111e T -是E 的第一列,于是11AT T '形如⎪⎭⎫⎝⎛B C 01λ,而A 对称,11AT T '也对称,得0=C ,且B 是1-n 级对称矩阵. 由归纳假设,存在1-n 级正交矩阵Q ,使得),,(2n diag BQ Q λλ =',取212,001T T T Q T =⎪⎭⎫ ⎝⎛=可得T 是正交矩阵,并且),,(1111n diag Q B Q AT T λλλ ==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=' 又AT T AT T 1-='与A 相似,有相同的特征值,于是n λλ,,1 是A 的全部特征值.《欧氏空间》复习一、主要概念 1)内积 2)长度 3)夹角 4)正交 5)度量矩阵 6)标准正交基7)正交矩阵 8)正交变换 9)正交补 10)对称变换 11)最小二乘法二、重要方法1.验证欧氏空间.[内积4条公理]2.利用内积计算长度、夹角;证明向量相等、长度关系式.3.求标准正交基.[可验证!先正交化再单位化,反之…错.]4.正交补的构造与求法.5.正交矩阵、正交变换、对称变换的应用与证明.[注意变换与矩阵的转化]6.求正交矩阵T ,使得1T AT T AT -'=为对角阵.(可验证!注意区别第五、七章的方法)7.利用正交线性替换化实二次型为标准形. *8.求最小二乘解. 三、思考题1.什么是内积?欧氏空间的哪些概念与内积有关?(长度、夹角、正交、度量矩阵、标准正交基、同构、正交变换、对称变换、正交补) 2.内积与标准正交基有何联系? 3.标准正交基有何作用? 4.如何构造子空间的正交补?5.正交矩阵、实对称矩阵各有哪些特点?6.正交变换、对称变换各有哪些特点和区别? 四、例题选讲 ◎ A 正定1>+⇒E A证1:A 正定⇒特征值E A i +⇒>0λ的特征值11>+i λ 于是1111)1()1)(1(21=⋅>+++=+ n E A λλλ 证2:A 正定⇒0),,,(11>=-i n diag AT T λλλ1111)1()1)(1()1,,1(),,(1211111=⋅>+++=++=+=+--- TT T Tdiag E T Tdiag E A n n n λλλλλλλ《期末总复习》一、考试题型填空、计算、证明、讨论或判断 二、复习依据作业(习题集)、例题、课外提高 三、各章主线 1.线性空间线性空间……定义、线性运算、基、维数、坐标子空间……两个封闭性、基、维数、生成子空间、扩充基、维数公式、和、直和 同构……构造、判定、意义 2.线性变换线性变换……验证(定义)、运算、关于基的矩阵及变换问题的转化、不变子空间 特征值与特征向量……证明、求法(可验证)、结论、对角化判定及求可逆矩阵C 值域与核……基、维数、两者维数关系 3.Jordan 标准形不变因子 初等因子 Jordan 标准形4.欧氏空间(注意:涉及的概念都与内积有关)内积……验证(四条公理)、长度、夹角、标准正交基(求法,可验证) 正交变换……判定、不变性、正交矩阵(可验证)对称变换……判定、特征值、对角化(求正交矩阵[可验证].区别第5章方法)四、注意事项1.几类矩阵的特点、区别与联系:……可逆矩阵、对称矩阵、合同矩阵、相似矩阵、正定矩阵、正交矩阵.2.线性变换问题与矩阵问题的转化……线性空间(通过基)、欧氏空间(通过标准正交基)3.可验证的几种计算类型特征值(迹)、特征向量(代入方程组)、标准正交基(两两正交、长度为1)、')正交矩阵(行[或列]向量组标准正交,或EAA=3、大、中、小队长标志要求各队长必须每天佩戴,以身作则,不得违纪,如有违纪现。

不变子空间、若当、最小多项式(简介)

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§7 不变子空间◎ 本节重点:不变子空间的定义与“限制”.已知可对角化对应于对角矩阵,但是并不是每个都能对角化的.退一步,对应于准对角形也好;虽然比对角形复杂,但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念. 一、定义与例子1.定义:)(n V L ∈σ,W 是σ的不变子空间W ⇔是V 的子空间,且,W ∈∀ξ有W ∈)(ξσ.简称σ-子空间. (注意:与线性变换有关)2.例子:设)(n V L ∈σ,则下列子空间W 都是σ的不变子空间: 1){}0=W 2)V W = 3))0(1-=σW 4))(V W σ= 5){}ξλξσξλ0)(|0=∈==V V W例1若线性变换A 与B 是可交换的,则B 的核与值域都是A -子空间. 二、线性变换在不变子空间上的“限制”1.定义:设W 是)(n V L ∈σ的不变子空间,可只在W 中考虑σ,记为W |σ.【意义】缩小了线性变换的范围,从而简化线性变换.因此,如果V 可分解为若干-σ子空间i W 的直和,那么对V的线性变换σ的研究就归结为对各个子空间i W 的直和研究.2.区别:W |σ与σ的作用结果一样,但作用范围不同.即σξξσξ=⇒∈)|(W W ;ξσξ)|(W W ⇒∉无意义.三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系(意义)设V 可分解为若干个σ-子空间的直和:s W W W V ⊕⊕⊕= 21,在每个不变子空间i W 中取基ki i i εεε,,,21,s i ,2,1=,并把他们合并为V 的一组基,则在这组基下,σ的矩阵具有准对角形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛s A A1,其中i A ,s i ,2,1=是i W A |在对应基下的矩阵. 进一步的,我们有: *四、不变子空间的直和分解定理12:设线性变换)(n V L ∈σ的特征多项式)(λf 可分解成一次因式:Sr S r r f )()()()(2121λλλλλλλ---= ,则V 可以分解成不变子空间的直和:s V V V V ⊕⊕⊕= 21,其中}0)(|{=-∈=ξλσξi ri i E V V .§8 若当(Jordan )标准形介绍若当(Jordan )标准形是一类特殊的准对角矩阵. 一、基本定义 1. 若当块⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλ1010000010000),(t J (λ是复数;注意对角元相同) 2. 若当形矩阵=由若干个若当块(阶数未必相同、λ未必相同)组成(不计顺序)的准对角矩阵. (若当形矩阵中包括对角矩阵) 【问题】若当形矩阵的特征值=?例1求所有的三阶若当形矩阵.(若当块不计排列顺序) 二、主要结论定理13: ))((C V L n ∈∀σ,在V 中必定存在一组基,使σ在这组基下的矩阵式若当形矩阵. (这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外,是被σ唯一决定的,它称为σ的若当标准形)若用矩阵来描述,即定理14:复数域上,每个方阵都相似于某个若当形矩阵.(好用的结论) 三、若当标准形的求法(第八章介绍)【特例】若A 可对角化,则若当标准形就是相似的对角矩阵.【第二届中国大学生数学竞赛预赛2010】设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00020100030100B , 证明B X =2无解,这里X 为三阶复数矩阵.[证法]对复数矩阵,优先考虑它相似于某个Jordan 矩阵这个性质,并联系特征值.§9 最小多项式介绍最小多项式有着良好的理论意义,特别是适用于对角化问题.已知Cayley Hamilton -定理:方阵A 的特征多项式是A 的零化多项式.要寻找其中次数最低的,这就是最小多项式的研究思路. 一、基本定义定义:)(x ϕ是方阵A 的最小多项式0)(=⇔A f 且)(x ϕ次数最低、首项系数为1. 例 数量矩阵kE 的最小多项式是 二、基本性质引理1矩阵A 的最小多项式必唯一. 证法 带余除法引理2)(x f 是A 的零化多项式)(x f ⇔是A 的最小多项式)(x ϕ的倍式,即)(|)(x f x ϕ. 【特例】最小多项式是特征多项式的因式. 证法 带余除法例 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111A 的最小多项式. 2)1(-x 【问题】相似矩阵有相同的最小多项式?例 k 阶若当块kk a a a J ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11的最小多项式是 (直接计算,k a x )(-) 三、主要结论定理 数域P 上矩阵A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积. 推论 复数域上A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式无重根.例 设A 是n 阶幂等矩阵,且秩为r .试求A 的相似标准形,并说明理由;求A E -2. 解法:由A A =2知A 有最小多项式)1()(2-=-=λλλλλg 且无重根,所以A 相似于对角矩阵,且特征值只能是1或0.又r A r =)(,故存在可逆矩阵P 使⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0001rE AP P. 从而 rn rn rA E E E AP PE P A E P----=-⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-222002)2(11.矩阵相似对角化的应用1.利用矩阵相似对角化计算矩阵多项式若矩阵A 与B 相似,则存在可逆矩阵P 使得1-=PBP A ,于是1-=P PB A k k .进一步有:当)(x ϕ是多项式时,1)()(-=P B P A ϕϕ.特例:当A 相似于对角矩阵时,由1-=P PB A k k 容易计算方幂k A . 2.求Fibonacci 数列通项:)1,0(1012==+=++a a a a a n n n解法 用矩阵形式表示递推关系式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+011101110111a a a a a a nn n n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111A 的特征值为2512,1±=λ,对应的特征向量为'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±1,251,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-211λλAP P 由此可求nA ,即得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=nn n a 25125151. 3.利用矩阵相似对角化线性方程组【例】(人口流动问题)设某国人口流动状态的统计规律是每年有十分之一的城市人口流向农村,十分之二的农村人口流入城市.假定人口总数不变,则经过许多年以后,全国人口将会集中在城市吗?解 设最初城市、农村人口分别为00,y x ,第k 年末人口分别为k k y x ,,则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00118.01.02.09.0y x y x ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--118.01.02.09.0k k k k y x y x 记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8.01.02.09.0A ,可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00y x A y x k k k . 为计算k A ,可考虑把A 相似对角化.特征多项式)7.0)(1(--=-λλλA E . 1=λ对应的特征向量为)1,2(1'=α;7.0=λ对应的特征向量为)1,1(2'-=α取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==1112),(21ααP ,得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2111311P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21117.00011112317.00011k kkP P A令∞→k ,有07.0→k,得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→12223121110001111231kA⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3132)(1222310000y x y x y x k k 可见当∞→k 时,城市与农村人口比例稳定在1:2.定理7:设A 为实对称矩阵,则必存在正交矩阵T ,使得1T ATTAT -'=为对角阵.(注意:对角元恰好是A 的全体特征值) (常用于证明题)[证明思路]:利用对称变换的理论,等价于对称变换有n 个特征向量作成标准正交基(见教材).也可用数学归纳法,将实对称矩阵A 用两次正交相似变换化为对角阵.证明:设σ在n 维欧氏空间V 的标准正交基下的矩阵是A ,则σ是对称变换. 1=n 时,)(αL V =,取V e ∈=αα/1,则V e ∈)(1σ,有11)(ke e =σ,1e 即为所求. 设1-n 时命题成立(含义?),考虑n 的情形.设法把n V 分解成11-+n V V ,才能使用归纳假设:1)σ对称σ−−→−引理有实数特征值1λ(才能保证特征向量)(1R V ∈α,正交矩阵要求实数矩阵);2)取111/αα=e ,则是实.特征向量.设1V 是)(1e L 的正交补,则1V 是σ-子空间,维数为1-n ,且1|V σ是1V 的对称变换.于是利用归纳假设,1V 有1-n 个特征向量n e e ,,2 标准正交,联合n e e e ,,,21 即为V的特征向量、标准正交基.另证:直接从矩阵角度证明,数学归纳法:1=n 显然. 设1-n 时命题成立,A 必有实数特征值1λ(特征向量n R ∈1α),取111/αα=e ,则也是实.特征向量.扩充成nR 的标准正交基n e e e ,,,21 ,以它们为列作n 级矩阵1T ,则1T 正交,且),,,(),,,(),,,(1121111112111211111n n n Ae T Ae T e T Ae Ae Ae T e e e A T AT T -----===' λ注意到),,,(),,,(112111112111111n n e T e T e T e e e T T T E-----=== ,故111e T -是E 的第一列,于是11AT T '形如⎪⎭⎫⎝⎛B C 01λ,而A 对称,11AT T '也对称,得0=C ,且B 是1-n 级对称矩阵.由归纳假设,存在1-n 级正交矩阵Q ,使得),,(2n d i a gBQ Q λλ =',取212,001T T T Q T =⎪⎭⎫⎝⎛=可得T 是正交矩阵,并且),,(1111n diag Q B Q AT T λλλ ==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛'='又AT T AT T 1-='与A 相似,有相同的特征值,于是n λλ,,1 是A 的全部特征值.《欧氏空间》复习一、主要概念1)内积 2)长度 3)夹角 4)正交 5)度量矩阵 6)标准正交基 7)正交矩阵 8)正交变换 9)正交补 10)对称变换 11)最小二乘法 二、重要方法1.验证欧氏空间.[内积4条公理]2.利用内积计算长度、夹角;证明向量相等、长度关系式.3.求标准正交基.[可验证!先正交化再单位化,反之…错.]4.正交补的构造与求法.5.正交矩阵、正交变换、对称变换的应用与证明.[注意变换与矩阵的转化]6.求正交矩阵T ,使得1T AT T AT -'=为对角阵.(可验证!注意区别第五、七章的方法)7.利用正交线性替换化实二次型为标准形. *8.求最小二乘解. 三、思考题1.什么是内积?欧氏空间的哪些概念与内积有关?(长度、夹角、正交、度量矩阵、标准正交基、同构、正交变换、对称变换、正交补) 2.内积与标准正交基有何联系? 3.标准正交基有何作用? 4.如何构造子空间的正交补?5.正交矩阵、实对称矩阵各有哪些特点?6.正交变换、对称变换各有哪些特点和区别? 四、例题选讲◎ A 正定1>+⇒E A证1:A 正定⇒特征值E A i +⇒>0λ的特征值11>+i λ 于是1111)1()1)(1(21=⋅>+++=+ n E A λλλ 证2:A 正定⇒0),,,(11>=-i n diag AT T λλλ 1111)1()1)(1()1,,1(),,(1211111=⋅>+++=++=+=+--- TT TTdiag E TTdiag E A n n n λλλλλλλ《期末总复习》一、考试题型填空、计算、证明、讨论或判断二、复习依据作业(习题集)、例题、课外提高三、各章主线1.线性空间线性空间……定义、线性运算、基、维数、坐标子空间……两个封闭性、基、维数、生成子空间、扩充基、维数公式、和、直和同构……构造、判定、意义2.线性变换线性变换……验证(定义)、运算、关于基的矩阵及变换问题的转化、不变子空间特征值与特征向量……证明、求法(可验证)、结论、对角化判定及求可逆矩阵C 值域与核……基、维数、两者维数关系3.Jordan标准形不变因子初等因子Jordan标准形4.欧氏空间(注意:涉及的概念都与内积有关)内积……验证(四条公理)、长度、夹角、标准正交基(求法,可验证)正交变换……判定、不变性、正交矩阵(可验证)对称变换……判定、特征值、对角化(求正交矩阵[可验证].区别第5章方法)四、注意事项1.几类矩阵的特点、区别与联系:……可逆矩阵、对称矩阵、合同矩阵、相似矩阵、正定矩阵、正交矩阵.2.线性变换问题与矩阵问题的转化……线性空间(通过基)、欧氏空间(通过标准正交基)3.可验证的几种计算类型特征值(迹)、特征向量(代入方程组)、标准正交基(两两正交、长度为1)、正交矩阵(行[或列]向量组标准正交,或E')AA=。

不变子空间

不变子空间
于是有, 于是有,
σ (ξ ) = σ (τ (α ) ) = στ (α ) = τσ (α ) = τ (σ (α ) ) ∈ τ (V )
∴τ (V ) 为 σ 的不变子空间 的不变子空间.
1 其次, 其次,由 τ − ( 0 ) = α α ∈ V ,τ ( α ) = 0 ,
{
}
∴ 对 ∀ξ ∈ τ −1 ( 0 ) , 有 τ ( ξ ) = 0.

σ (ξ ) = k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + L + k sσ (α s ).
由于 σ (α1 ),σ (α 2 ),L ,σ (α s ) ∈ W , ∴ σ (ξ ) ∈ W . 故W为σ 的不变子空间 为 的不变子空间.
§7.7 不变子空间
3、一些重要不变子空间 、
σ 的值域 σ (V ) 与核 σ −1 ( 0 )都是σ 的 1)线性变换 )
不变子空间. 不变子空间 证: Q σ (V ) = {σ (α ) α ∈ V } ⊆ V ,
∴∀ξ ∈ σ (V ) , 有 σ (ξ ) ∈ σ (V ).
故 σ (V ) 为 σ 的不变子空间. 的不变子空间
ξ ∈ σ −1 ( 0 ) , 有 σ (ξ ) = 0 ∈ σ −1 (0). 又任取
A1 ∈ P k×k . 则由ε 1 , ε 2 ,L , ε k 生成的子空间必为σ 的
不变子空间. 不变子空间 事实上,因为W是V的不变子空间 的不变子空间. 事实上,因为 是 的不变子空间
∴ σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε k ) ∈ W .
即, σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε k ) 均可被 ε 1 , ε 2 ,L , ε k 线性表出. 线性表出

《不变子空间的概念》课件

《不变子空间的概念》课件

一个办公室可以通过将空间分解 为灯光空间、家具空间和植物空 间来表示。
性质
直和分解保持了向量空间的维数 和基的线性无关性质,便于进一 步的分析和研究。
特征子空间和对应的特征值
1
特征值
矩阵的特征多项式的根,每个特征值对应一个特征子空间。
2
特征子空间
矩阵每个特征值的特征向量形成的子空间,特征向量在进行特征变换后仍然位于 特征子空间中。
3
性质
特征子空间是线性无关的,且对应不同特征值的特征子空间正交。
不变子空间的直和分解
定义
示例
一个向量空间可以通过将其拆分 为多个不变子空间的直和来表示。
3 基变换
不变子空间的基可以通过 线性变换得到新的基,新 的基可以更好地描述该子 空间的性质。
矩阵可对角化的条件
特征向量
对于一个可对角化的矩阵,每 个特征向量都是不变子空间的 一组基。
线性无关
这些特征向量应该线性无关, 以便构成整个向量空间的一组 基。
重复特征值
可对角化的矩阵可能存在重复 的特征值,每个特征值对应一 个不变子空间。
不变子空间的概念
我们将探讨什么是不变子空间以及它们的定义、性质和应用。同时还将探讨 与不变子空间相关的概念,如特征值、投影变换和正交变换。
什么是不变子空间?
定义
不变子空间在线性代数中是指一个向量空间的子集,在进行特定线性变换时,该子空间中的 向量在变换后仍然保持不变。
示例
例如,在二维平面上,直线上的所有向量构成一个不变子空间,因为它们在平移或旋转变换 后仍然位于同一直线上。
重要性
不变子空间是线性代数中常用的概念,它们在研究矩阵可对角化的条件、压缩算子和线性映 射等方面具有重要作用。

不变子空间和特征子空间的关系

不变子空间和特征子空间的关系

不变子空间和特征子空间的关系引言在线性代数和线性代数应用中,不变子空间和特征子空间是两个重要的概念。

它们是研究线性变换的性质和特征的基础,对于理解线性变换和矩阵的本质具有重要意义。

本文将探讨不变子空间和特征子空间的关系以及它们在线性代数中的应用。

什么是不变子空间?不变子空间是指在线性变换下保持不变的向量子空间。

具体来说,对于线性变换T 和向量空间V,如果对于V中的每个向量v,T(v)仍然是V中的向量,那么T是V 的一个不变变换,V的子空间U称为T的一个不变子空间。

简而言之,不变子空间是线性变换将向量空间中的向量变换后,仍然保持在原来的子空间中。

不变子空间的简单推论是,对于线性变换T和其不变子空间U,若向量v属于U,则T(v)也属于U。

不变子空间可以是向量空间的一部分,也可以是整个向量空间本身。

什么是特征子空间?特征子空间是指与特征值相关联的特定向量空间。

特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念,它们提供了描述矩阵和线性变换性质的有效方法。

在研究线性变换的特性时,特征值和特征向量常常是我们关注的重点。

对于线性变换T和向量空间V,如果存在一个非零向量v和标量λ,使得T(v) = λv,那么v就是T的一个特征向量,λ就是v对应的特征值。

特征值和特征向量通常是成对出现的,一个特征向量可能对应多个特征值,同样一个特征值也可能对应多个特征向量。

特征子空间是指与特征值对应的特征向量所构成的子空间。

特征子空间可以看作是特征值为零的特征向量组成的子空间。

特征子空间在矩阵和线性变换的研究中有着重要的作用。

不变子空间和特征子空间的关系不变子空间和特征子空间之间存在着紧密的关系。

具体来说,特征子空间是不变子空间的一种特殊情况。

设T是向量空间V上的线性变换,λ是T的一个特征值,v是λ对应的特征向量。

由特征向量的定义可知,T(v) = λv。

我们要证明v所张成的子空间是T的一个不变子空间。

对于v所张成的子空间U,任取u属于U,则u为v的线性组合,表示为u = a1v+ a2v + … + anv(其中a1, a2, …, an为标量),而T(u)则为T(a1v + a2v+ … + anv)。

不变子空间2

不变子空间2

1 , 2 ,, s 的特征向量. 任取 L(1 , 2 ,, s ),
设 k11 k2 2 ks s , 则
( ) k111 k22 2 kss s L(1 , 2 ,, s )
L(1 , 2 ,, s ) 为 的不变子空间.
( )
1
0 .
1 0 为 的不变子空间. 故

f ( ) f ( )
的多项式 f ( ) 的值域与核都是 的不变子空间.
这里 f ( x ) P[ x]中任一多项式. 为
3)任何子空间都是数乘变换 的不变子空间. W , k W 4)线性变换 的特征子空间 V0 是 的不变子空间. Vo , 有 o Vo . 5)由 的特征向量生成的子空间是 的不变子空间. 证:设 1 , 2 , , s 是 的分别属于特征值
u1 ( ) f1 ( ) u2 ( ) f 2 ( ) us ( ) f s ( ) ( )
u1 ( ) f1 ( )( ) u2 ( ) f 2 ( )( ) us ( ) f s ( )( )
f1 ( ) u1 ( )( ) f 2 ( ) u2 ( )( )
V的一组基: 1 , 2 ,, k , k 1 , n .
W 在基 1 , 2 ,, k 下的矩阵为 A1 P kk,则 若
在基 1 , 2 ,, n下的矩阵具有下列形状:
A1 A2 . 0 A 3
A1 A2 , 反之,若 1 , 2 , , n 1 , 2 ,, n 0 A 3
rj

不变子空间

不变子空间

§7 不变子空间问题:在前面内容中,我们讲到矩阵等价,每一个等价类都有一个矩阵的等价标准型,例如:对于n阶矩阵来讲,有1n+类对于矩阵的合同,我们也有过类似的内容那么对于矩阵的相似,我们同样讨论这种问题:在一切彼此相似的n阶矩阵中, 如何选出一个形式尽可能简单的矩阵.由于一个线性变换关于不同基的矩阵是相似的. 换句话讲,就是对于给定的n维线性空间V, A∈)(VL, 如何才能选到V的一个基, 使A关于这个基的矩阵具有尽可能简单的形式.这一节介绍不变子空间的概念,来说明线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联系.一、不变子空间1.定义7设A是数域P上线性空间V的线性变换, W是V的一个子空间. 如果Wξ,中的向量在A下的像仍在W中,换句话说, 对于W中任一向量ξ,有A W∈就称W是A 的不变子空间,简称A -子空间.2.例题例1整个空间V和零子空间{}0,对于每个线性变换A 都是A-子空间.例2 A的值域与核都是A-子空间.例3若线性变换A与β是可交换的,则β的核与值都是A-子空间.因为A的多项式f(A)是和A交换的,所以f(A)的值域与核都是A-子空间.例4任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间.例 5 特征子空间与一维不变子空间之间有着紧密的联系.设W 是一维A -子空间,ξ是W 中任何一个非零向量,它构成W 的一个基. 按A -子空间的定义, A W ∈ξ, 它必是ξ的一个倍数: A ξλξ0=.这说明ξ是A 的特征向量,而W 即是由ξ生成的一维A -子空间.反过来,设ξ是A 属于特征值0λ的一个特征向量,则ξ以及它任一倍数在A 下 的像是原像的0λ倍,仍旧是ξ的一个倍数.这说明ξ的倍数构成一个一维A -子空间.例 6,A 的属于特征值0λ的一个特征子空间0λV 也是A 的一不变子空间. 例 7 A —子空间的和与交还是A -子空间.二、矩阵化简与不变子空间1.A |W设A 是线性空间V 的线性变换, W 是A 的不变子空间. 由于W 中向量在A 下的像 仍在W 中,这就使得有可能不必在整个空间V 中来考虑A ,而只在不变子空间W 中 考虑A ,即把A 看成是W 的一个线性变换,称为A 在不变子空间W 上引起的变换. 为了区别起见,用符号A |W 来表示它;但是在很多情况下,仍然用A 来表示而 不致引起混淆.必须在概念上弄清楚A 与A |W 的异同:A 是V 的线性变换, V 中每个向量在A 下 都有确定的像;A |W 是不变子空间W 上的线性变换,对于W 中任一向量ξ,有(A |W )ξ=A ξ.但是对于V 中不属于W 的向量η来说,(A |W )η 是没有意义的.例如,任一线性变换在它的核上引起的变换就是零变换,而在特征子空间0λV 上 引起的变换是数乘变换0λ.2.结论:如果线性空间V 的子空间W 是由向量组s ααα,,,21 生成的,即),,,(21s L W ααα =,则W 是A -子空间的充要条件为A 1α,A 2α,…, A s α全属于W .3.下面讨论不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系.1)设A 是维线性空间V 的线性变换,W 是V 的A -子空间.在W 中取一组基k εεε,,,21 ,并且把它扩充成V 的一组基n k k εεεεε,,,,,,121 +. (1)那么,A 在这组基下的矩阵就具有下列形状⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++2311,,11,11,111,11110000A O A A a a a a a a a a a a a a nnk n n k k k knk k kk k n k k. (2) 并且左上角的k 级矩阵1A 就是A |W 在的基k εεε,,,21 下的矩阵.2) 设V 分解成若干个A -子空间的直和:s W W W V ⊕⊕⊕= 21.在每一个A -子空间i W 中取基),,2,1(,,,21s i iin i i =εεε (3)并把它们合并起来成为V 的一组基 I .则在这组基下,A 的矩阵具有准对角形状⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛s A A A 21 (4) 其中),,2,1(s i A i = 就是A |W 在基(3)下的矩阵.反之,如果线性变换A 在基 I 下的矩阵是准对角形(4),则由(3)生成的 子空间 i W 是A -子空间.由此可知,矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和是相当的.三、 按特征值分解线性空间下面应用哈密尔顿-凯莱定理将空间V 按特征值分解成不变子空间的直和. 定理12 设线性变换A 的特征多项式为)(λf ,它可分解成一次因式的乘积s r s r r f )()()()(2121λλλλλλλ---=则V 可分解成不变子空间的直和s V V V V ⊕⊕⊕= 21其中 {}V A V i r i i ∈=-=ξξελξ,0)(|. 证明:(1)设 ()()()ii r i f f λλλλ=-, ()i i V f A V =,即是 ()i f A 的值域,利用 12,,,s f f f 互素来证明 12s V V V V =+++(2) 再证明 12s V V V V =+++ 是直和首先设 120s βββ+++=,(*) 这里()0i r i i A λεβ-=另一方面, ()(),j rj i f i j λλλ-≠ , 所以 ()i f A 中含有因式 ()j rj A λε-, 用 ()i f A 作用于 (*), 我们得到 ()0i i f A β=最后因为 ()i f λ 与 ()i r i λλ- 互素, 我们推出 0i β=其次注意到 如果 i i V β∈,即存在 i V α∈, 使 ()i i i f A βα=, 我们得到()()()()0i i r r i i i i i i A A f A f A λεβλεαα-=-==, 显然可以推出 0i β=,从而 12s V V V V =+++ 是直和(3) 证明 {}V A V i r i i ∈=-=ξξελξ,0)(|, 即 i V 是 ()i r i A λε- 的核显然 {}|()0,ir i iV A V ξλεξξ⊆-=∈, 对于 {}|()0,ir iA V αξλεξξ∈-=∈,我们知道 1i s αααα=++++, 从而 1()0i s αααα++-++=,重复 (2) 的证明, 我们得到 i αα=, 命题成立.。

某些加权复合算子之不变子空间的存在性

某些加权复合算子之不变子空间的存在性

某些加权复合算子之不变子空间的存在性
加权复合算子是一种常用的数学工具,它可以用来描述复杂的系统,并且可以用来求解复杂的问题。

加权复合算子的一个重要性质是它的不变子空间。

不变子空间是指在加权复合算子的作用下,某些特定的向量不会发生变化。

不变子空间的存在可以帮助我们更好地理解加权复合算子的作用,并且可以帮助我们更好地求解复杂的问题。

例如,在求解某些复杂的系统的动力学方程时,可以利用不变子空间来简化计算。

此外,不变子空间也可以用来检测系统的稳定性,从而帮助我们更好地控制系统。

总之,不变子空间是加权复合算子的一个重要性质,它可以帮助我们更好地理解加权复合算子的作用,并且可以帮助我们更好地求解复杂的问题。

因此,不变子空间的存在是非常重要的。

关于线性变换的不变子空间研究

关于线性变换的不变子空间研究

目录1.线性变换的不变子空间1.1代数学的发展历程简介1.2线性变换的不变子空间的概念及性质1.3线性变换的不变子空间性质的多种证明2.研究线性变换的不变子空间的必要性与可行性 2.1研究该问题的必要性2.2研究该问题的可行性3. 线性变换的不变子空间的国内外研究现状3.1国内研究现状3.2国外研究现状4.线性变换的不变子空间的应用4.1理论上的应用4.2生活中的应用5.心得体会摘要线性变换的不变子空间理论是高等代数的重要理论之一,但是对于一个线性变换的不变子空间,在高等代数教材中也是简单的讲解一下,于是本文对它做了更进一步的讨论。

空间中的任何元素经过映射后,新的元素仍然在这个空间里,这个空间叫做这个映射下的不变子空间,不变子空间是原空间的一个子集,对于原空间运算也构成空间且封闭,其作用是可以在子空间去考虑原空间的代数性质,而不必回到原空间,从而将问题简化,本文的研究内容也是建立在这个基础之上的。

关键词:线性变换不变子空间的性质地位应用1.线性变换的不变子空间1.1代数学的发展历程简介数学发展到现在,已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。

大体说来,数学中研究数的部分属于代数学的范畴;研究形的部分,属于几何学的范筹;沟通形与数且涉及极限运算的部分,属于分析学的范围。

这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。

在这一核心的周围,由于数学通过数与形这两个概念,与其它科学互相渗透,而出现了许多边缘学科和交叉学科。

在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。

“代数”(algebra)一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米(al-Khowārizmī,约780-850)一本著作的名称,书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wa’l muqabalah,直译应为《还原与对消的科学》.al-jabr 意为“还原”,这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项;muqabalah 意即“对消”或“化简”,指方程两端可以消去相同的项或合并同类项.在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”,拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用,英文译作“algebra”。

不变子空间的概念

不变子空间的概念
§7.7 不变子空间
3、一些重要不变子空间
1)线性变换 的值域 (V )与核 1 0都是 的
不变子空间.
证: (V ) ( ) V V ,
V , 有 ( ) (V ).
故 (V ) 为 的不变子空间.
又任取 1 0 , 有 ( ) 0 1(0).
设 是线性空间V的线性变换,W是V的一个 的 不变子空间. 把 看作W上的一个线性变换,称作 在不变子空间W上引起的线性变换,或称作 在
不变子空间W上的限制 . 记作 W .
§7.7 不变子空间
注:
① 当 W时, W ( ) ( ). 当 W时, W ( ) 无意义.
1(0)也为 的不变子空间.
§7.7 不变子空间
2)若 , 则 (V ) 与 1(0) 都是 -子空间.
证: (V ) ( ) V.
对 (V ), 存在 V , 使 ( ),
于是有,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (V )

ann
2、设 是n 维线性空间V的线性变换,Wi 都是
的不变子空间,而 i1, i2 , , ini是 Wi 的一组基,且 Wi 在这组基下的矩阵为 Ai , Ai P nini , i 1, 2, , s.
若 V W1 W2 Ws,则
11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns
又 fi ( ),( i )ri 1.
§7.7 不变子空间
∴ 有多项式 u( ),v( ) ,使
u( ) fi ( ) v( )( i )ri 1

数学分析74 不变子空间详解

数学分析74 不变子空间详解








A ar1

0
ar 2 arr1

ar
1,n





0
00
an,r1 ann


A11 O
A12 A22

由此可见,如果线性变换 有一个非
平凡子空间,那么适当选取V 的基,可 以使与 对应的矩阵中有一些元素是
例3、令 F[x] 是数域 F 上的一切一元 多项式所成的向量空间, : f (x) f (x) 是求导数运算。令 Fn[x] 表示一切次数不 超过 n 的多项式连同零多项式所成的 子空间。证明:Fn[x] 在 之下不变。
现在看一看,不变子空间和简化线 性变换的矩阵有什么关系。
设 V 是数域 F 上的一个 n 维向量空 间, 是 V 的一个线性变换。假设 有一个非平凡的子空间W ,那么取 W 的一个基 {1,2,,r} ,再补充成为 V 的 一个基 。 {1, 2 ,, r , r1,, n}

( n ) a1n1 a2n 2 arn r ar1,n r1 ann n
关于基{1,2 ,,n}的矩阵为:
a11 a12 a1r a21 a22 a2r
a1,r1 a1n a2,r1 a2n
零。特别地,若 V 可以表成两个非平 凡子空间 W1 与W2 的 直和:W W1 W2 , 那么选取 W1 的一个基 {1,2,,r} 和 W2 的 一个基 {r1,,n},凑成 V 的一个基 。当 {1,2 ,,n} W1与 W2 在 之下不变时,
关于这样选取的基的矩阵是
W 在 之下不变

复件 不变子空间的性质与构造

复件 不变子空间的性质与构造

1 绪论1.1引言空间中的任何元素经过映射映射后,新的元素仍在这个空间里,这个空间叫做这个映射下的不变空间.不变自空间是原空间的一个子集,对于原空间运算也构成空间且封闭.其作用是可以在子空间去考虑原空间的代数性质,而不必回到原空间,从而将问题简化.这也是本文的主要目的.全文总共分为三部分.第一部分为绪论部分为全文作介绍,方便读者了解本文的中心思想. 第二部分主要介绍基本概念,为下面主体部分作铺垫. 第三部分为全文的主体部分,篇幅较长,突出介绍文章的结论及应用.主要内容包括:1.不变子空间基本概念-定义与性质;2.不变子空间的结论-定理及推论;3.不变子空间的一些探讨-不变子空间的矩阵计算和不变子空间的应用等. 2基本概念 2.1定义定义1[1] 线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对于V 中任意的元素,αβ和数域F 中任意数k ,都有()()()σαβσασβ+=+ ()()k k σασα=定义2[1] 设σ是数域F 上线性空间V 的线性变换,W 是V 的子空间.如果W 中的向量在σ下的像仍然在W 中,换句话说,对于W 中任意一个向量ξ,有(),W σξ∈我们就称W 是σ的不变子空间,简称σ-子空间. 2.2下面介绍几种性质:性质1[2] 设()L V σ∈,1V ,2V 都是σ的不变子空间,则1212,V V V V +都是σ 的不变子空间.证明 设12V V ξ∈+,则存在12,V V αβ∈∈,使得ξαβ=+.所以12()V V σξσαβσασβ=+=+∈+,故而 12V V +为σ的不变子空间. 同理可证12V V 为σ的不变子空间.性质2[2] 设()L V σ∈,若1V 为σ的不变子空间,则1V 也是()f σ的不变子空间,其中()f x 是数域P 上x 的多项式.证明 由于f (x )是数域P 上x 的多项式,不妨设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++,所以 ()()f L V σ∈ .1V α∀∈ 则有 1V σα∈, 故依次可知 231,,,n V σασασα∈,所以1V 为()f σ的不变子空间.性质3[3] 设()L V σ∈,若σ可逆且1V 为σ的不变子空间,则1V 也为1σ-的不变子空间.证明 由于1V 为σ的不变子空间,∀1V α∈ , 有1V σα∈.又因为σ可逆,故1V β∀∈,有 1σβ-,所以 11(())V σσββ-=∈,于是,1V 也是1σ-的不变子空间.性质4[3] 设W 是线性变换σ,τ的不变子空间,则W 在στ+,στ下也不变.证明 ,(),()W W W ασατα∀∈∈∈,从而()()()(),(())()(W W στασατασταστα+=+∈=∈, 故W 在στ+,στ下均不变.性质5[4] 设σ是线性空间V 的线性变换,W 是σ的不变子空间.由于W 中向量在σ下的像仍在W 中,这就使得有可能不必在整个空间V 中来考虑σ,而只在不变子空间W 中 考虑σ,即把σ看成是W 的一个线性变换,称为σ在不变子空间W 上引起的变换. 为了区别起见,用符号W σ来表示.必须在概念上弄清楚σ和W σ的异同:σ是V 的线性变换,V 中每个向量在σ下都有确定的像;W σ是不变子空间W 上的线性变换,对于W 中任一向量ξ有()W σξσξ=.但是对于V 中不属于W 的向量η来说,()W ση是没有意义的.性质6 W 是一维σ-子空间等价于W=L (ξ),其中ξ是σ的特征向量. 性质7[4] σ的属于特征值0λ的特征子空间0λV 也是σ的不变子空间.3结论及应用3.1本节部分主要介绍关于不变子空间的若干定理以及与实际应用之间的联系,如不变子空间与线性变换矩阵化简之间的联系.定理1[5] 1)设σ是n 维线性空间V 的线性变换,W 是V 的σ-子空间.在W 中取一组基k εεε,,21⋅⋅⋅,并且把它扩充成V 的一组基n k k εεεεε,,,,,,121⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ . (1) 那么,σ在这组基下的矩阵就具有下列形状1111,111,11,11,,1000k k n k kkk k kn k k k n n k nn a a a a a a a a a a a a ++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦= 1320A A A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2) 其中左上角的K 级矩阵1A 就是W σ在W 的基k εεε,,,21⋅⋅⋅下的矩阵.2)设V 分解成若干个σ-子空间的直和:s W W W V ⊕⋅⋅⋅⊕⊕=21. 在每一个σ-子空间i W 中取基i in i i εεε,,,21⋅⋅⋅ (i=1,2,…,s ), (3)并把它们合并起来成为V 的一组基I ,则在这组基下,σ的矩阵具有准对角形状12s A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(4) 其中i A (i=1,2,…,s )就是W σ在基(3)下的矩阵.反之,如果线性变换σ在基I 下的矩阵是准对角形(4),则由(3)生成的子空间i W 是σ-子空间.由此可知,矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和是等价的.定理2 设σ是n 维线性空间V 的线性变换,证明V 可以分解成σ的n 个一维不变子空间的直和的充分必要条件是,V 有一个由σ的特征向量组成的基.证明 设n V V V V V ⊕⊕⊕⊕= 321,其中每个i V 都是σ的一维不变子空间.取i V 的基i α,则i i V ∈)(ασ,且i i i αλασ=)(,即i α是σ的特征向量,1,2,,,i n =而且12,,,n ααα构成V 的一组基.反之,设σ的n 个特征向量12,,,n ααα构成V 的一组基,则()(1,2,,i i V L i n α==)是σ的不变子空间,且n V V V V ⊕⊕⊕= 21.定理3[1] 设线性变换σ的特征多项式为()f λ,它可以分解成一次因式的乘积,1212()()()()s r r r s f λλλλλλλ=---则V 可分解成不变子空间的直和 12S V V V V =⊕⊕⊕ 其中 {()0,}ir i iV V ξσλεξξ=∣-=∈定理4[6] 设V 是n 维线性空间,线性变换σ在某个基11,,,,,r r n αααα+下矩阵为A ,则(1) 若120A B A A ⎛⎫=⎪⎝⎭,其中1A 为r 阶方阵(0)r n <<, 当且仅当112(,,,)r W L ααα=是σ的不变子空间;(2) 若120A A CA ⎛⎫=⎪⎝⎭, 其中1A 为r 阶方阵 (0)r n <<, 当且仅当212(,,,)r r n W L ααα++=是σ的不变子空间;(3) 若1200A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭,其中1A 为r 阶方阵(0)r n <<,其中1A 为r 阶方阵(0)r n <<,当且仅当112(,,,)r W L ααα=,及 212(,,,)r r n W L ααα++=都是σ不变子空间.定理5[2] 设V 是复数域上n 维线性空间,σ是V 的线性变换,在基1α,2α,,n α 下的矩阵是一若当标准形11A λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭证明:σ有且仅有{}0和以下非零不变子空间1(,,,)i i i n W L ααα+=,(1,2,,)i n =证明 由不变子空间性质可知,{}0是σ的不变子空间.又由于A 中一阶主子式所在列的其他元素全部是零的只有第n 列,因此一维不变子空间仅有()n L α;A 中二阶主子式所在列其余元素全部是零的子式只有第1n -,n 列的主子式,故二维不变子空间只有1(,)n n L αα-,以此类推可得,A 中所在列的其他元素均为零的1n -阶主子式为第2,,n 列的主子式为111n λλλ-.因此σ的1n -维不变子空间仅有2(,,)n L αα,而n 维不变子空间只有12(,,,)n V L ααα=综上,于是得到σ的非零不变子空间有且仅有n 个1(,,,)i i i n W L ααα+=,(1,2,,)i n =.注:由此证明了以下推论:推论1 V 中包含1α的σ的不变子空间只有V 自身; 推论2 V 中σ的任一非零不变子空间都包含n α; 推论3 V 不能分解成σ的两个非平凡不变子空间的直和;推论4设V 是复数域上n 维线性空间,σ是V 的线性变换,在基1α,2α,,n α 下的矩阵是一若当块组成的准对角形矩阵12s n n n J J A J ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中11i ii i n nn n J λλλ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,(1,2,,)i s =.则σ有且仅有{}0和以下非零不变子空间1111(,,,)i i i i i n n j n j n n W L ααα---++++=,(1,2,,)i j n = ,(1,2,,)i s =.定理6[1] 在复数域上 (1)如果线性变换σ是一个对称变换,那么σ的不变子空间的正交补也是σ的不变子空间.(2) 如果线性变换σ是一个反对称变换,那么σ的不变子空间的正交补也是σ的不变子空间.(3) 如果线性变换σ是一个酉变换,那么σ的不变子空间的正交补也是σ的不变子空间.3.2不变子空间的一些探讨3.2.1特殊情况下两个相似矩阵的过渡矩阵的求法 我们发现,循环子空间下,在形式上和有理数域上方阵的有理标准型有着非常相似的地方.一般情形下,已知有理数域k 上的方阵A ,要求出使得Ap p 1-为有理标准型的可逆矩阵p 是非常困难的,而对于任意两个相似的矩阵,要求他们之间的过渡矩阵也是比较困难的.在此,我们先给出一种新的标准型,利用这种标准型,在一定意义上,可以求出两个相似矩阵之间的过渡矩阵.由于本课题讨论的求过渡矩阵的方法是在特殊条件-最小多项式等于特征多项式的情形下进行的,所以,现在仅给出这种情形下的新标准型.一般情形可以类似推广.设数域F 上的方阵为A ,已知它的最小多项式等于特征多项式,则我们易知,A E -λ与⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)(...11λm 等价. 设)()()()()(2121λλλλλs rs rrp p p f m ⋅⋅⋅==,则A 与如下标准型相似:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s A A A ...21, 其中i A 为)(λi r p 伴侣阵.为方便讨论,这里不妨将上述标准型叫做标准型(*). 证明 A ,B 相似⇔B E A E --λλ,等价,故上面结论容易证明.所以,为得到最小多项式等于特征多项式的两个相似矩阵之间的过渡矩阵,我们只需得到它们分别和标准型(*)之间的过渡矩阵,就容易得到它们之间的过渡矩阵.接下来,我们来对此进行讨论.已知:).(ker ...)(ker )(ker 2121A p A p A p F s rs rrn ⊕⊕⊕= 以下,我们先给出两个引理.引理1 对于每个i ,)(ker ),(ker ,1A p A p i i r i ri -∉∈∃ααα.证明 (反证法)若不然,容易证明)(ker )(ker 1A p A p i i r i ri -=.所以,有).(ker ...ker )(ker ...)(ker )(ker 1112121A p p A p A p A p F s i i rs r i r i r r n ⊕⊕⊕⊕⊕⊕=++-所以,有0)()...()...()(12121=-A p A p A p A p s i rs r i rr与)(λm 为最小多项式矛盾,所以,原结论成立.引理2 以上方法得到的α,有0≠α,且ααα1,...,,-i r A A 线性无关. 证明:显然0≠α.下证ααα1,...,,-i r A A 线性无关. 假设线性相关,则存在不全为0的数121,...,,-i r k k k 使得0...1121=+++--αααi i r r A k A k k . 即1121...)(,0)(--+++==i i r r A k A k E k A g A g α. 由于假设0)(≠x g ,并且最小多项式为)(λm ,所以0)(≠A g ,10),()()(-≤≤=i k i r k A h A p A g .我们可以得到)(ker )(ker )(ker A h A p A g k i ⊕=.因为)(ker A g ∈α,所以有)(ker ),(ker ,2121A h A p k i ∈∈+=ααααα. 又因为)(ker )(ker 1A p A p i r i k i ⊆∈α,故)(ker 21A p i r i ∈=-ααα.则易有02=α,所以)(ker 1A p k i ∈=αα与α的取法矛盾,故假设不成立. 即ααα1,...,,-i r A A 线性无关.证毕!由以上讨论,我们来研究复数域上的满足最小多项式等于特征多项式的两个相似方阵之间的过渡矩阵是如何求得的.若数域F 上A 的最小多项式和特征多项式相同,在这种情况下,我们来讨论如何求得所要求的可逆矩阵P.定理6 对复数域k 上的方阵A ,当它的最小多项式和特征多项式相同时,可以求出过渡矩阵P ,使得AP P 1-为标准型(*).证明:我们知道,在复数域上,每个多项式都可以分解成一次因式的乘积,所以,对于每个i ,)(λi p 是一次因式. 在)(ker A p i r i 中,选取i α,使得)(ker 1A i r i i -∉α 这样,就得121111112.2,,...,;,,...,;;,,...,.i s r r r s s s A A A A A A ααααααααα---⋅⋅⋅ 是一组无关向量组,并且有n r r r s =+++...21个向量, 所以,以上向量是线性空间V 的一组基.并且,显然有i r i i in i in i r i i i i A a A a a A αααα111---⋅⋅⋅--=. 其中i i i in n i n i a a p +⋅⋅⋅++=-11)(λλλ.则容易证明,在这组基下,矩阵为标准型(*). 证毕!根据以上的讨论,我们来看以下例题.例1 已知,A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1000110000100011,B=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-01020100001100证明:A ,B 相似,并求A ,B 之间的过渡矩阵.解:A ,B 相似容易证明.下面来求它们之间的过渡矩阵. 容易知道,因为它们的最小多项式和特征多项式相同,即22)1()1()()(+-==λλλλf m所以,我们可以借助之前讨论的方法,来求出复数域上的过渡矩阵. 先将A 标准化,化成标准型(*).○1在⎩⎨⎧≠-=-0)(0)(2X A E X A E 中取一个向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00101α,所以,11100A α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦○2在⎩⎨⎧≠+=+0)(0)(2X A E X A E 中取一个向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10002α,所以, 20011A α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦所以,取⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1101000001100101p ,有;210010*********0111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-AP P 再将B 标准化,化成标准型(*)○1在⎩⎨⎧≠-=-0)(0)(2X B E X B E 中取一个向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∴⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1210,012111ββB○2在⎩⎨⎧≠+=+0)(0)(2X B E X B E 中取一个向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=∴⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1111,012122ββB所以,取⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=10101121121211012P ,有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-210010*********0212BP P . 综上,所以121112--=P AP P P B .所以,所要求的过渡矩阵为121-=P P P .解得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=43214108108141412141085218541p .3.2.2一般数域P 上的线性变换的不变子空间例1 对任意的()L V σ∈,V 本身及零子空间都是σ的不变子空间,称为平凡不变子空间.例2 对任意的()L V σ∈,分别称(){V V σα=∈︱,}V βασβ∃∈= 1(0){V σα-=∈︱0}σα=为σ的像与核.容易证得()v σ与1(0)σ-都是σ的不变子空间.例3 设()L V σ∈,λ是σ的一个特征值,α为σ的属于λ的特征向量, 由α生成的子空间()L α是σ的不变子空间,即{}|,V V λασαλαα==∈.例4[7] 设()L V σ∈,λ是σ的一个特征值,()L V ε∈为V 的恒等变换,则称{V V α*=∈︱存在正整数k ,()0}k λεσα-=为σ的对应于λ的根子空间,V α*∈称为σ的属于λ的高为k 的根向量,V λ*为σ的不变子空间.证明 若∀,V λαβ*∈,其高分别为12,k k ,令12max{,}k k k =,则,a b P ∈,()()[()()][()Kkk a b a b λεσαβλεσαλεσβ-+=-+- 1122[()()()][()()()]k k k k k k a b λεσλεσαλεσλεσβ--=--+--12[()(0)][()(0)]k k k k a b λεσλεσ--=-+-= 0故V λ*为V 的子空间.又设V α*∈且高为k ,则()()[()]k k λεσσαλεσσα-=- = [()]k σλεσα-= (0)σ= 0故V λ*为σ的不变子空间.例5 若存在非零向量V α∈,0α≠,()L V σ∈,则1{()i V σα=︱0,1,2,,}i r =显然是σ的不变子空间,称为σ的由α生成的循环子空间.证明 在1V 为非零子空间时,存在正整数r n ≤且()0r σα=,且()()0,1,2,,1i i r σα≠=-,使得21,,,,r ασασασα-为1V 基.事实上,容易证明:若r σα能够被21,,,,r ασασασα-线性表出,则1V 中的任何向量都能被21,,,,r ασασασα-线性表出并且容易证得21,,,,r ασασασα-线性无关,所以1dim V r =,则21,,,,r ασασασα-即为1V 的一组基. 例6 设()L V σ∈,则σ必有1n -维的不变子空间.解 在V 中定义内积使V 成为酉空间.令α为σ的共轭变换σ*的一个特征向量,σαλα*=,则 σ的正交补空间[()]L α⊥的维数dim(())1L n α=-对任何[()]L βα⊥∈有(,)(,)(,)(,)0σβαβσαβλαλβα*==== 故()[()]L σβα⊥∈,所以[()]L α⊥就是σ的一个1n -维不变子空间.例7[8] 设[]1n V P x -=为数域P 上不超过1n -的多项式全体连同零多项式作成的线性空间.()f x V ∀∈,定义'(())()f x f x σ=,其中'()f x 为()f x 的一阶导数.则求出σ的全部不变子空间.解 由不变子空间的性质知[]1k P x -,1,2,,k n =及{}0均为σ的不变子空间.假设W 是σ的任一非零不变子空间,则W 中必有次数最高的多项式,设为()f x ,令 01()m m f x a a x a x =+++,0m a ≠,0m n ≤<则 1211(())(1)m m m m f x ma x m a x a W σ---=+-++∈223122(())(1)(1)(2)2m m m m f x m m a x m m a x a W σ----=-+--++∈11(())!(1)!m m m f x m a x m a W σ--=+-∈(())!m m f x m a W σ=∈ 所以,1W ∈倒推上去依次可得1,,,m x x W ∈.故由()f x 为W 中次数最高的多项式知[]m W P x =,从而σ的全部不变子空间为{}0,P ,[]1P x ,[]2,n P x -,[]1n P x -.例8[8] 设V 是数域P 上的n 维线性空间,σ是可逆的线性变换,W 是σ的不变子空间,则W 也是1σ-的不变子空间.举例说明dim V 有限的条件不能省略.证明 若{}0W =或W V =时结论显然成立.设dim 0W r =>,任意取W 的一组基12,,,r ααα,则由W 是σ的不变子空间知,12((),(),,()r W σασασα∈,且线性无关.从而作成W 的一组基.11,()()r ri i i i i i W k k αασασα==∀∈==∑∑由此 1111()()r ri i i i i i k k W σασσαα--====∈∑∑ 所以W 也是1σ-的不变子空间.对无限维线性空间此结论不成立,例如:令23246(1,,,,),(,,,)V L x x x W L x x x ==作线性变换22222121:11,,,n n n n x x x x x x σ++-→→→→,n 为自然数(这种线性变换是存在的),σ既是满射,又是单射,从而σ可逆,且()W W σ⊆,但1()W W σ-⊄,因为12()x x W σ-=∉.3.2.3应用举例例9[9] 设σ是2R 的线性变换,σ在基12,εε下矩阵2512A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭,求σ的所有不变子空间解 在V 中至少有以下四个σ的不变子空间:2R ,{0},2()R σ,1(0)σ-,又0A ≠,知σ为可逆的线性变换. 故,2()R σ=2R ,1(0)σ-={0},此外若还有其它不变子空间必是一维的,因而应为特征向量所生成,但是由于σ的特征多项式2()1f λλ=+无实根,故σ在R 中无特征值,从而没有实特征向量,这表明σ仅有两个平凡的不变子空间.结论 (1)在求σ的所有不变子空间时,既不能漏掉也不能重复.(2)给定σ后,线性空间V 中至少有V ,{0},()V σ,1(0)σ-四个不变子空间, 然后再设法去找其他的不变子空间.(3)对有限维线性空间来讲,可以按照维数去找,能保证既不会漏掉也不会重复.例10[9] 设V 是复数域C 上的n 维线性空间,,στ是V 的两个线性变换,且满足σττσ=.(1)证明:σ的每个特征子空间都在τ下不变;(2),στ在V 中有一公共的特征向量;(3)设{}i σ是V 上一组(有限个或无限个)两两可换的线性变换.证明:这组线性变换在V 中有一公共的特征向量.证明(1)设λ是σ的任一特征值,V λ是σ属于λ的特征子空间,V λα∀∈,则()σαλα=所以 (())()()(())()(())στατσατσατλαλτα==== 故()V λτα∈,所以V λ在τ下不变.(2)设1V λττ=∣,则1τ是复数域上线性空间V λ的线性变换.在V λ中取1τ必有特征值μ,与μ对应的特征向量α,则1()()ταματα==,即α是τ的特征向量,又V λα∈,所以()σαλα=,这表明,στ在V 中有一公共的特征向量.(3)对n 用归纳法.当1n = 时,V 的任意非零向量都可以构成V 的基.设,0V αα∈≠,则有()i iσαλα=(这是因为()i V σα∈),即α是i σ的公共的特征向量. 假设结论对维数1n ≤-的线性空间成立,下证结论对n 维空间V 也成立.若V 中每个非零向量都是{}i σ中的线性变换的特征向量,结论已证.否则,V 中至少有一非零向量α,它不是{}i σ中某个σ的特征向量.设0λ是σ一个特征值,则σ属于0λ的特征子空间0V λ是V 的一个真子空间,故0dim 1V n λ≤-,由于{}i σ中的线性变换两两可换,故0V λ是{}i σ中所有线性变换的不变子空间,于是{}i σ中每一个线性变换在0V λ中有导出变换.由归纳假设,这些导出变换在0V λ中有公共的特征向量β.而{}i σ的线性变换与它们的导出变换对0V λ的作用相同,故{}i σ中每个线性变换在0V λ中有公共的特征向量β.例11[9] 设σ是n 维线性空间V 的线性变换,σ有n 个互异特征值,证明σ有2n 个不变子空间.证明 设12,,,n λλλ是σ的n 个互异特征值,12,,,n ααα是σ分别属于12,,,n λλλ的特征向量,则12,,,n ααα线性无关,从而作成V 的一组基.由于()(1,2,,)i i i i n σαλα==,故()i L α是σ的一维不变子空间, 1,2,3,,i n = 又(,)()i j L i j αα≠是σ的二维不变子空间,事实上,(,)i j L ααα∀∈,设12i j k k ααα=+,故 12()(,)i i j j i j k k L σαλαλααα=+∈从而(,)i j L αα在σ下不变,于是σ的二维不变子空间共有2n C 个.对任意的1212,1,(,,,),1k k i i i k k k n W L i i i n ααα≤≤=≤<<<≤k W 是σ的不变子空间,这样的子空间共有k nC 个,故σ至少共有 012n n n n n C C C +++=个不变子空间.其中{}0是0n C 个零维不变子空间.设W 是V 的任一k 维在σ下的不变子空间,则它必由V 中基12,,,n ααα中k 个向量生成.不妨设12(,,,)k i i i W L ααα=12,1k i i i n ≤<<<≤,则W 必在上述k n C 个不变子空间中,故σ只有上述2n 个不变子空间.。

7.4不变子空间

7.4不变子空间

a11 a1r A1 是 | 关于W的基的矩阵. w a a rr r1
由此可见,如果线性变换σ有一个非平凡不变子 空间,那么适当选取V的基,可以使线性变换σ 对应的矩阵中有一些元素是零. 结论1 设V是数域F上一个n维向量空间,σ是V的 一个线性变换.假设V 有一个在σ之下不变的非平 凡子空间W.那么关于V的一个适当选取的基(由W 的基扩充成V的基), σ的矩阵为
L 1 , 2 , 3 是包含 1的最小子空间.
例9 判定下列子空间在给定的σ 下是否为不变 子空间
3 3 : F F , ( x1, x2 , x3 ) ( x1 x2 , x1 x2 x3 ,0), ( 1) W {( x1 , x2 ,0) | x1, x2 F}
3 3 : F F , ( x1 , x2 , x3 ) (0, x1 x2 , x2 x3 ), ( 2) W {( x1 , x2 ,0) | x1 , x2 F}
例11
设σ是V上的线性变换,α是V上的非零向
量,且 , ( ), , k 1 ( ) 线性无关,但 , ( ), , k 1 ( ), k ( ) 线性相关. 那么 L( , ( ), , k 1 ( )) 是包含α的最 小不变子空间. 证 (1) k ( )可由 , ( ), , k 1 ( ) 线性表出,因此 L( , ( ), , k 1 ( )) k ( ) L( , ( ), , k 1 ( )) 这样,
1 , ( 1 ), 2 ( 1 ), 3 ( 1 ) 的坐标排成的行列式为:
1 0 0 0 1 1 10 0 0 0 0 2 3 9 1 4 1

不变子空间

不变子空间

在基 1 , 2 , , n 下的矩阵具有下列形状: A1 A2 0 A . 3
§7.7 不变子空间
反之,若 1 , 2 , , n
A1 P
kk
A1 A2 1 , 2 , , n , 0 A3
11 , , 1 n1 , 21 , , 2 n2 , , s 1 , , sn s
为V的一组基,且在这组基下 的矩阵为准对角阵
A1 A2 . As
(1)
§7.7 不变子空间
反之,若 在基 11 , , 1 n , 21 , , 2 n , , s 1 , , sn
a 12 a 11 ak 2 0 0 a 1 k a 1, k 1 a 2 k a 2 ,k 1 a kk a k , k 1 0 a k 1, k 1 0 a n ,k 1
§7.7 不变子空间
A1 A2 ( 1 , 2 , , n ) . 0 A3
0
o E .
§7.7 不变子空间
三、不变子空间与线性变换的矩阵化简
1、设 是 n 维线性空间V的线性变换,W是V 的
-子空间, 1 , 2 , , k为W的一组基,把它扩充为
V的一组基: 1 , 2 , , k , k 1 , n .

W
1 , 2 , , k 下的矩阵为 A1 P k k,则 在基
是 的特征向量.
§7.7 不变子空间
二、 在不变子空间W引起的线性变换
定义: 设 是线性空间V的线性变换,W是V的一个 的
不变子空间. 把 看作W上的一个线性变换,称作

《不变子空间的概念》课件

《不变子空间的概念》课件
《不变子空间的概念》ppt课件
• 引言
• 不变子空间的数学基础
• 不变子空间的定义与性质


• 不变子空间的应用
• 不变子空间的扩展概念
• 结论与展望
01
引言
概念定义
总结词
给出不变子空间的基本定义
详细描述
不变子空间是线性代数中的一个重要概念,它指的是一个线性空间中的子空间,对于给定的线性变换保持不变。
具体来说,设是域上的一个向量空间,的一个非空子集₀如果对于任意中的线性变换₀有₀(₀) ⊆ ₀,
则称₀是的不变子空间。
不变子空间的重要性
总结词
阐述不变子空间在数学和物理中的重要性
详细描述
不变子空间在数学和物理中有广泛的应用。在数学中,不变子空间是研究线性变
换和算子代数的重要工具。在物理中,不变子空间可以用来描述某些系统的对称
01
02
03
封闭性
线性性
有限维性
不变子空间在变换作用下
保持封闭,即
$T(W)
subseteห้องสมุดไป่ตู้ W$。
不变子空间具有线性性质
,对于任意向量 $v in
W$ 和标量 $lambda$,
有 $lambda v in W$。
不变子空间可以是无限维
的,也可以是有限维的,
取决于具体问题和变换。
不变子空间的判定条件
05
不变子空间的扩展概念
约化子空间
约化子空间:在某种变换下保持不变的
子空间。
约化子空间在控制系统理论中有着重要
的应用,例如在状态反馈控制系统中,
系统的状态空间可以被约化为一个较小
的子空间,从而简化控制器的设计。
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浅谈不变子空间的存在性问题
最近读了Abramovich与Aliprantis的An Invitation to Operator Theory,对其中的不变子空间问题还是很有感觉的,下面就结合书中的内容给大家简单科普一下。

先讲讲为什么要研究不变子空间。

一般研究线性算子时。

T:X→X 的算子总是要比T:X→Y的线性算子更加值得关注,这一点在有限维的情形下就更为明显了,一般矩阵中方阵总是特别被重视,因为我们可以定义其行列式、可逆性等等。

线性算子T:X→Y不变子空间V是指满足T(V)≤V的子空间V,这样我们就可以把T限制在V上得到一个V上的类似方阵的线性算子T:V→V,这也就是不变子空间的妙处了。

假设T:X→X是Banach空间X上的有界线性算子,那么它天然的就带有两个闭不变子空间:Ker T与Im T,而它们还是T的闭超不变子空间。

这里子空间V称为T的超不变子空间是指对于任何与T交换的算子S,V都是S的不变子空间。

这个结论可以说定义超不变子空间的动机,也是关于超不变子空间存在性的第一个命题,相信很多同学在泛函分析甚至线性代数中都证明过类似命题,只是那时还没有给出超不变子空间这个名称而已。

有了这个基本结论,就可以看一下非平凡闭不变子空间的存在性
问题,这里的非平凡是指子空间不能为{0}或X。

假若算子T与一个非一一或值域非稠的算子S:X→X交换,那么T就一定存在非平凡的闭不变子空间,实际上这个子空间就是S的闭超不变子空间。

这里通过子空间的超不变性,从一个算子传递到与之交换的另一个算子,是处理不变子空间问题的常用手段。

除了核与值域之外,我们还有另一类常见的超不变子空间,那就是线性算子T:X→X的特征值空间。

由此可得,有限维复Banach空间上任何非数值算子都有非平凡的超不变子空间。

对于有限维实Banach空间X的情形,结论则稍微复杂一点:假若dim X的奇数,那么T的非平凡超不变子空间一定存在;假若dim X≥4是偶数,那么T的不变子空间一定存在,但未必是超不变的;假若dim X=2,那么T甚至可以没有非平凡不变子空间,对此只要取旋转算子就可以了。

对于无穷维空间的情形,问题就变得非常复杂。

最新的研究表明,哪怕就是在最简单的Hilbert空间上的有界线性算子,也可以不存在非平凡的不变子空间。

当然啦,即便是对于非紧算子而言,存在非平凡闭不变子空间的情形也是比较广泛的,比如Hilbert空间l^2上的右平移算子R(x_1,x_2,…)=(0,x_1,x_2,…)就有非平凡闭不变子空间{x∈l^2;x_1=0}.
下面我们要讨论的一类重要情形是关于紧算子的,直观的来看紧算子就是把很大的Banach空间映射到一个比有限维空间大不了多少
的地方(有限秩算子的闭包),因此它有很多类似有限维空间的特征。

具体来说,这个结论(及其很多推广后的形式)一般被称为Lomonosov 不变子空间定理,说无穷维复(或实)Banach空间上的紧算子都有无穷维的非平凡闭超不变子空间。

由此可以推出,只要有算子与那个紧算子交换,那么至少会有非平凡的闭不变子空间。

与紧交换的算子有两个重要特例,首先是所谓的幂紧算子,即存在某个自然数n,使得算子T^n是紧算子。

幂零算子显然都是幂紧算子,无穷维Banach空间X上的恒同算子显然非紧,因此T:X+X→X+X;T(x,y)=0+x就是一个非紧是幂紧算子。

比幂紧算子更为广泛的是多项式紧算子,即存在一个多项式p,使得p(T)是紧算子。

数乘算子都是多项式紧算子,但它们一般都可以不是幂紧算子。

有人也许会想,是不是还有指数紧的算子呢?这个意义就不大了,因为紧算子的指数一般未必是紧算子,即便是最简单的零算子,其指数恒同算子在无穷维空间上就是一个典型的紧算子。

多项式紧算子实际上可以看成一类算子,这就启发我们要处理一类算子代数的子空间问题。

算子代数族A称为可迁的,若存在非平凡的闭A-不变子空间;否则就称为不可迁的。

这样的一类A-不变子空间的例子就是A x={Ax;A∈A},还要求闭不变子空间的话可以取其闭包,显然,它与算子的超不变子空间有如下关系,T有非平凡闭超不变子空间iff其交换子代数{T}’是不可迁的。

下面我们来分析一下Lomonosov不变子空间定理的证明,这个思
想可以用来处理很多类似的不变子空间问题,大致分为这么几个步骤。

1)化约:首先假设算子T不存在这样非平凡闭不变子空间,同时不妨假定令‖T‖=1.既然特征空间是闭不变子空间,那么就可以转化为幂零算子的情形;取A={T}’,既然A x的闭包是闭不变子空间,那就可以不妨假设其闭包为全空间X.
2)覆盖:先取定a∈X,‖a‖>1,‖Ta‖>1,
U={x∈X;‖x-a‖≤1},然后用形如O_A={y∈X;‖Ay-a‖≤1}的空间去覆盖T(U)的闭包,得到有限个子集O_A_j,其中各A_j属于A.
3)迭代:既然Ta∈T(U),则存在j_1使得Ka∈O_A_j_1,可令x_1=A_j_1Ta∈U,则T(x_1)∈T(U),则存在j_2使得Kx_1∈O_A_j_2,令x_2=A_j_2Tx_1,……,最后得到U内序列{x_n},由T的幂零性可得它的范数趋近于零,这就与U的设定矛盾!
利用类似的证明方法,我们可以进一步推广为关于Lomonosov算子的不变子空间定理,这可以被视为Banach空间上不变子空间问题反问题的部分答案。

Banach空间X上算子T称为Lomonosov算子,假若存在X上的算子T满足如下条件:
1)T不是数值算子
2)S与T交换
3)S与某非零紧算子交换
这样我们就有有一个很强的定理:任何复Banach空间上的Lomonosov
算子均有非平凡闭不变子空间。

对于其中的紧算子,只要有个支配条件就行了,因此可以引入序结构,把结论推广到Banach格上,得到所谓的闭不变理想的存在性定理,此时,我们主要聚焦于正算子,同时还可以进一步强化其他条件。

把算子的交换性也可以由半交换性代替,把证明中幂零性提升出来。

这样得到的命题(Abramovich-Aliprantis-Burkinshaw,前两位就是此书作者)如下:设B:E→E是Banach格上的正算子,假若存在正算子S:E→E,使得
1)SB≤BS
2)S在某点a>0拟幂零(即lim‖S^n(a)‖^(1/n)=0)
3)S支配某非零紧算子(可减弱为所谓的AM-紧算子,即对任何序区间[a,b],S([a,b])是范数完全有界集)
则算子B存在非平凡的闭不变理想。

假若B与S的Banach格上交换的正算子,我们可以得到更加对称的结论:假若它们一个在某正向量处拟幂零,另一个支配某非零AM-紧算子,则B与S有公共的非平凡闭不变理想。

对于像这样的公共的不变理想的存在性问题,我们完全可以推广的更一般的算子半群上,这里我就不再详细阐述细节了。

类似的,在Banach格上也有不变理想问题的反问题的部分解答,
这就引入了友紧算子(compact-friendly operator)的概念。

Banach 格上的正算子B:E→E称为友紧的,假若存在某个与B交换的正算子R,使得R支配某个被紧正算子支配的非零算子。

这样我们又可以得到一个简明的定理(Abramovich-Aliprantis-Burkinshaw),假若友紧算子B:E→E在某a>0处是拟幂零的。

那么B就一定存在非平凡闭不变理想。

最后,受到Banach格的启发,我们还可以反过来讨论Banach空间上正算子的不变子空间。

一个简明的结论是:假若T:X→X是带基的Banach空间上的拟幂零正算子,那么T有非平凡的闭不变子空间。

用一句话小结的话,紧算子与拟幂零的正算子都是存在不变子空间(或不变理想)的好算子,这一点对于绝大多数的应用问题应该是足够的了。

本文作者Strongart是一位自学数学的牛人,现在他依然努力坚持自学数学,似乎又有了新的突破,还录了一些数学专业教学视频放在网上。

然而,他却一直没有收到专业人士的邀请,至今只能依靠网络书店购买书籍,无法获取海量的论文资料,也没有机会和
一流的学者们交流,最后只能走上娱乐拯救学术的道路,这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。

这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下!
欢迎大家二次分享此文档,请注明文档作者Strongart,欢迎访问Strongart的新浪博客。

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