(完整版)第一章解三角形章末测试题

第一章 解三角形

一、选择题

1．已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为( )．

A ．10 km

B ．103km

C ．105km

D ．107km

2．在△ABC 中，若2

cos

A

a ＝

2

cos

B b ＝2

cos

C c ，则△ABC 是( )．

A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．直角三角形

D ．等腰直角三角形

3．三角形三边长为a ，b ，c ，且满足关系式(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，则c 边的对角等于( )．

A ．15°

B ．45°

C ．60°

D ．120°

4．在△ABC 中，三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝( )．

A ．3∶2∶1

B ．2∶3∶1

C ．1∶2∶3

D ．1∶3∶2

5．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )．

A ．△A 1

B 1

C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形

C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形

D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形

6．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22，∠B ＝45°，则∠A 为( )． A ．30°或150°

B ．60°

C ．60°或120°

D ．30°

7．在△ABC 中，关于x 的方程(1＋x 2)sin A ＋2x sin B ＋(1－x 2)sin C ＝0有两个不等的实根，则A 为( )．

A ．锐角

B ．直角

C ．钝角

D ．不存在

8．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( )．

A ．

22

3

B ．

2

3

3

C ．

2

3

D ．33 9．在△ABC 中，c b a c b a －＋－＋333＝c 2，sin A ·sin B ＝43

，则△ABC 一定是( )．

A ．等边三角形

B ．等腰三角形

C ．直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

10．根据下列条件解三角形：①∠B ＝30°，a ＝14，b ＝7；②∠B ＝60°，a ＝10，b ＝9．那么，下面判断正确的是( )．

A ．①只有一解，②也只有一解．

B ．①有两解，②也有两解．

C ．①有两解，②只有一解．

D ．①只有一解，②有两解．

二、填空题

11．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是 ．

12．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 2

2

A

，则此三角形是__________三角形． 13．已知a ，b ，c 是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4， b ＝5，S ＝53，求c 的长度 ．

14．△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值 ．

15．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶5∶6．若△ABC 的面积为

4

39

3，则△ABC 的周长为________________． 16．在△ABC 中，∠A 最大，∠C 最小，且∠A ＝2∠C ，a ＋c ＝2b ，求此三角形三边之比为 ．

三、解答题

17．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ，b 分别为∠A ，∠B 的对边，且a ＝4＝3

3

b ，解此三角形．

18．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B ，又从点B 测得斜度为45°，建筑物的高CD 为50米．求此山对于地平面的倾斜角 ．

(第18题)

19．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ， (Ⅰ)求∠B 的大小；

(Ⅱ)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．

20．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：2

2

2c b a -＝C B A sin sin )(-．

参考答案

一、选择题 1．D

解析：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC

＝102＋202－2×10×20cos 120° ＝700．

AC ＝107． 2．B

解析：由

2cos A a

＝

2cos B b

＝

2cos C c

及正弦定理，得2cos sin A A ＝2cos sin B B ＝2cos sin C C ，由2倍角的正弦公式得2sin A ＝2sin B ＝2

sin C

，∠A ＝∠B ＝∠C ．

3．C

解析：由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 得 a 2＋b 2－c 2＝ab ．

∴ cos C ＝ab c b a 2222-+＝21

．

故C ＝60°． 4．D

解析：由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2． 5．D

解析：△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形． 若△A 2B 2C 2不是钝角三角形，由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧)－(＝＝)－(＝＝)－(＝＝1121121122πsin cos sin 2πsin cos sin 2πsin cos sin C C C B B B A A A ，得⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

1212122π2π2πC C B B A A －＝－＝－＝，

那么，A 2＋B 2＋C 2＝

23π

－(A 1＋B 1＋C 1)＝2

π，与A 2＋B 2＋C 2＝π矛盾． 所以△A 2B 2C 2是钝角三角形． 6．C