最新条件概率与独立事件
条件概率与独立事件例题和知识点总结
条件概率与独立事件例题和知识点总结在概率论中，条件概率和独立事件是两个非常重要的概念。
理解和掌握它们对于解决各种概率问题至关重要。
下面我们通过一些具体的例题来深入探讨这两个概念，并对相关知识点进行总结。
一、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，记作P(A|B)。
其计算公式为：P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B) （其中 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率）。
例 1：一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出 2 个球。
已知第一个球是红球，求第二个球也是红球的概率。
解：设“第一个球是红球”为事件 A，“第二个球是红球”为事件 B。
第一次取出红球后，盒子里还剩下4 个红球和3 个白球，总共7 个球。
P(A) ＝ 5 ／ 8 （第一次取出红球的概率）P(AB) ＝ 5 ／ 8 × 4 ／ 7 ＝ 5 ／ 14 （第一个和第二个球都是红球的概率）P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ＝（5 ／ 14) ／（5 ／ 8) ＝ 4 ／ 7知识点总结：1、条件概率的定义和计算公式要牢记。
2、计算条件概率时，要注意事件发生后的样本空间的变化。
二、独立事件如果事件 A 的发生不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生也不影响事件 A 发生的概率，那么称事件 A 和事件 B 相互独立。
即 P(A|B) ＝ P(A)，P(B|A) ＝ P(B) 。
如果事件 A 和事件 B 相互独立，则 P(AB) ＝ P(A) × P(B) 。
例 2：甲、乙两人分别独立地射击一次，甲击中目标的概率为 08，乙击中目标的概率为 06，求两人都击中目标的概率。
解：设“甲击中目标”为事件 A，“乙击中目标”为事件 B。
因为甲、乙射击是相互独立的，所以 P(AB) ＝ P(A) × P(B) ＝ 08 ×06 ＝ 048知识点总结：1、独立事件的定义和判断方法要清楚。
概率与统计中的条件概率与独立事件
概率与统计中的条件概率与独立事件概率与统计是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，例如生物学、物理学、经济学等。
其中条件概率与独立事件是概率与统计中的两个重要概念。
本文将就条件概率与独立事件进行深入探讨。
一、条件概率条件概率是指在某个条件下事件发生的概率。
假设有两个事件A和B，那么在事件B发生的前提下，事件A发生的概率即为条件概率。
条件概率用P(A|B)表示，读作“A在B条件下发生的概率”。
在计算条件概率时，我们可以使用以下公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
举个例子来说明条件概率的计算方法。
假设有一批产品，其中有10个产品属于A型，90个产品属于B型。
现从中随机抽取一个产品，请问该产品是A型的概率是多少？首先，我们可以计算出产品是A型的概率，即 P(A) = 10 / (10 + 90) = 1/10 = 0.1。
接着，假设我们已知该产品是B型的条件下，它也是A型的概率记作 P(A|B)。
根据上述的条件概率公式，我们可以计算出P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
由于在已知产品是B型的前提下，它也是A型的概率为0，所以P(A∩B) = 0。
因此，P(A|B) = 0 / P(B) = 0。
可见，在已知产品是B型的情况下，该产品是A型的概率为0。
二、独立事件独立事件是指两个事件之间的发生没有相互影响，即一个事件的发生不会改变另一个事件的发生概率。
如果事件A和事件B是独立事件，那么它们的联合概率等于两个事件发生概率的乘积。
数学上，我们用P(A∩B) = P(A) * P(B)来表达事件A和事件B是独立事件。
在日常生活中，我们可以通过一个例子来理解独立事件的概念。
假设有一批骰子，我们分别投掷两次，A表示第一次投掷结果为1的事件，B表示第二次投掷结果为2的事件。
如果A和B是独立事件，那么它们的发生概率应为P(A∩B) = P(A) * P(B)。
2025届高中数学一轮复习课件《事件的相互独立性与条件概率》ppt
第1页
第十章 统计、排列组合与概率
第8讲 事件的相互独立性与条件概率
高考一轮总复习•数学
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复习要点 1.在具体情境中，结合古典概型，了解条件概率和两个事件相互独立的概 率.2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系，会用乘法公式计算概率.3.结合古典概 型，会利用全概率公式计算概率．
它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，A 正确； 对于 B，三次传输，发送 1，相当于依次发送 1,1,1，
利用相互独立事件的概率公式判断 A，B．
则依次收到 1,0,1 的事件，是发送 1 接收 1、发送 1 接收 0、发送 1 接收 1 的 3 个事件的 积，
门科目考试成绩的结果互不影响，那么这位同学恰好得 2 个 A＋的概率是____3_0___．
高考一轮总复习•数学
解析：(1)P(A)＝AA22A66 55＝13，P(B)＝AA33A66 34＝15， A66
P(C)＝2AA3366A33＝110，P(D)＝AA6336＝A133＝16. 对于 A，P(AB)＝A22AA3366A23＝110≠P(A)·P(B)，故 A 错误； 对于 B，P(AC)＝2C15AA6622A22＝74200＝118≠P(A)P(C)，故 B 错误； 对于 C，P(AD)＝C12AC1466C15＝118＝P(A)·P(D)，故 C 正确； 对于 D，P(BC)＝P(C)≠P(B)P(C)，故 D 错误．
解析 答案
高考一轮总复习•数学
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3 ． (2024·四 川 成 都 七 中 月 考 ) 某 保 险 公 司 将 其 公 司 的 被 保 险 人 分 为 三 类 ： “ 谨 慎
高二数学概率与统计中的独立事件与条件概率
高二数学概率与统计中的独立事件与条件概率概率与统计是高中数学中的重要部分，也是我们日常生活中经常会用到的知识。
其中，独立事件与条件概率是概率与统计中的两个重要概念。
本文将详细介绍高二数学概率与统计中的独立事件与条件概率，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
1. 独立事件独立事件指的是两个或多个事件之间的发生与否互不影响。
换句话说，如果两个事件是独立的，那么第一个事件的发生概率不会对第二个事件的发生概率产生任何影响。
举个例子来说明独立事件。
假设我们有一副标准的52张扑克牌，从中抽取一张牌，再把它放回去，再抽取一张牌。
这里，第一次抽到红心A的概率是1/52，而第二次抽到红心A的概率也是1/52。
由于两次抽牌是相互独立的，第一次抽到红心A并不会影响第二次抽到红心A的概率。
2. 条件概率条件概率指的是在给定某个条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率可以表示为P(A|B)，读作“在B发生的条件下，A发生的概率”。
设A、B为两个事件且P(B)≠0，那么A在B发生的条件下的概率P(A|B)可以用下面的公式计算：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)这个公式告诉我们，条件概率可以通过将事件A与事件B同时发生的概率除以事件B发生的概率来计算。
再举个例子来说明条件概率的应用。
假设有一个有人口统计数据的城市，其中男性占总人口的一半，女性占总人口的一半。
而且，在所有男性中，有10%是左撇子。
现在，如果我们随机挑选一个人，问他是男性的情况下他也是左撇子的概率是多少？根据题意，我们可以设事件A为“这个人是男性”，事件B为“这个人是左撇子”。
所以我们需要计算的是在A发生的条件下，B发生的概率。
根据已知数据，P(A) = 1/2，P(B|A) = 1/10。
那么根据条件概率公式，我们可以计算出P(B|A) = P(A∩B) / P(A) = (1/10) / (1/2) = 1/5。
所以，在这个城市中，选择的人是男性的情况下他也是左撇子的概率是1/5。
概率与统计中的独立事件与条件概率
概率与统计中的独立事件与条件概率概率与统计是一门研究事物发生概率和规律的学科，独立事件和条件概率是其中的两个重要概念。
独立事件指的是两个或多个事件之间互不影响，而条件概率则是在已知某个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率。
以下将对概率与统计中的独立事件和条件概率进行详细阐述。
一、独立事件独立事件是指两个或多个事件之间没有相互影响的情况。
在概率与统计中，我们用P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
如果两个事件A和B相互独立，那么事件A和B同时发生的概率就等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
例如，假设有一枚公平的硬币，掷硬币的结果有两个可能性，正面和反面，分别记为事件A和事件B。
如果事件A表示掷硬币结果为正面的概率，事件B表示掷硬币结果为反面的概率，那么根据独立事件的定义，我们可以得到P(A∩B) = P(A) × P(B) = 1/2 × 1/2 = 1/4，即事件A和事件B同时发生的概率为1/4。
二、条件概率条件概率是在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率用P(A|B)表示，读作“在事件B发生的条件下，事件A发生的概率”。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。
举例来说，假设有一批产品，其中10%的产品有缺陷，现在随机抽取一件产品，事件A表示这件产品有缺陷，事件B表示这件产品是某个特定品牌的产品。
如果已知这件产品是该品牌的产品，我们想要知道它有缺陷的概率，即求解P(A|B)。
根据条件概率的定义，我们可以通过计算P(A∩B)/P(B)来得到答案。
假设该品牌的产品有总体占比为20%，即P(B) = 0.2。
又已知有缺陷的产品占总体的10%，即P(A∩B) = 0.1，将这些数据代入条件概率的计算公式，我们可以得到P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 0.1/0.2 = 0.5。
概率计算中的事件独立与条件概率
概率计算中的事件独立与条件概率概率计算是数学中的一个重要分支，其应用广泛而深远。
在概率计算中，我们经常会遇到事件的独立性和条件概率的概念。
本文将对事件独立性和条件概率进行详细讨论，并探讨其在实际问题中的应用。
一、事件独立性在概率计算中，事件独立性是指两个或多个事件之间的发生与否互不影响的性质。
简单来说，如果事件A的发生与否并不会改变事件B的概率，那么称事件A与事件B是相互独立的。
对于两个事件A和B的独立性，可以用以下公式来表示：P(A∩B) = P(A) × P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
如果P(A∩B) = P(A) × P(B)成立，那么我们可以判断事件A与事件B是相互独立的。
反之，如果P(A∩B) ≠ P(A) × P(B)，则可以判断事件A与事件B是相互依赖的。
在实际问题中，判断事件的独立性对于概率计算非常重要。
只有当事件独立性满足时，我们才可以简化计算过程，得到更加准确的结果。
二、条件概率在概率计算中，条件概率是指在给定某个条件下，某一事件发生的概率。
条件概率可以用下面的公式来表示：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
通过条件概率的计算，我们可以更准确地评估事件的发生概率。
在实际问题中，常常会给定某个条件，然后计算在该条件下其他事件的概率，以便做出准确的预测和决策。
三、事件独立与条件概率的应用事件独立性和条件概率在实际问题中有广泛的应用。
下面举几个例子来说明：1. 抽样问题：在统计学中，我们经常需要从一个大群体中抽取样本进行统计分析。
如果每次抽样的结果对于下一次抽样没有任何影响，那么我们可以认为每次抽样是相互独立的。
通过计算每个样本的概率，我们可以得出关于整个大群体的统计结论。
概率的条件与独立事件
概率的条件与独立事件概率是数学中一个重要的概念，用于衡量事件发生的可能性。
在概率理论中，条件概率和独立事件是两个关键概念。
本文将介绍条件概率和独立事件的概念和计算方法，并探讨它们在实际生活和统计学中的应用。
一、条件概率条件概率是指在某些已知条件下，另一个事件发生的概率。
在数学中，条件概率可以用以下公式表示：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的情况下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的计算可以通过具体问题进行实例化。
例如，假设有一个盒子，里面有20个红球和30个蓝球。
从中随机选取一个球，如果我们已经知道选中的球是红球，那么选中下一个红球的概率是多少？解答：已知选中的球是红球，表示在已经选中红球的前提下，再次选中红球的概率。
因此，事件A表示第一次选中红球，事件B表示第二次选中红球。
根据条件概率的定义，我们可以计算如下：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)P(A|B) = (20/50) / (20/50)P(A|B) = 20/50P(A|B) = 0.4从上述计算可以看出，在已知选中的球是红球的情况下，再次选中红球的概率为0.4。
二、独立事件独立事件是指两个或多个事件之间不会相互影响的事件。
当两个事件A和B是独立事件时，它们的概率计算可以简化为乘法原理：P(A∩B) = P(A) * P(B)例如，假设有一副标准扑克牌，从中随机抽取两张牌，第一张是A，第二张是K。
如果我们已经知道第一张是A，那么第二张是K的概率是多少？解答：已知第一张牌是A，表示在已经知道第一张牌是A的前提下，第二张牌是K的概率。
根据独立事件的定义，我们可以计算如下：P(A∩B) = P(A) * P(B)P(A∩B) = (4/52) * (4/51)P(A∩B) = 1/663从上述计算可以看出，在已知第一张牌是A的情况下，第二张牌是K的概率为1/663。
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结在概率论中，条件概率和事件的独立性是两个非常重要的概念。
理解和掌握它们对于解决各种概率问题至关重要。
下面，我们将通过一些具体的例题来深入探讨这两个概念，并对相关知识点进行总结。
一、条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
用符号表示为：＄P(B|A)＄，表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。
条件概率的计算公式为：＄P(B|A) ＝＼frac{P(AB)｝｛P(A)｝＄，其中$P(AB)＄表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
例题 1一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，已知取出的是红球，求它是第 2 个红球的概率。
解析首先，取出一个红球的概率为$P(A) ＝＼frac{5}｛8}＄。
然后，取出第 2 个红球的概率，即在已经取出一个红球的情况下，再取出一个红球的概率。
此时盒子里还剩下 7 个球，其中 4 个红球，所以$P(AB) ＝＼frac{4}｛7}＄。
根据条件概率公式，＄P(B|A) ＝＼frac{P(AB)｝｛P(A)｝＝＼frac{4 ／ 7}｛5 ／ 8} ＝＼frac{32}｛35}＄。
知识点总结1、条件概率的本质是在缩小的样本空间中计算概率。
2、条件概率的计算要注意确定已知条件和所求事件，并准确计算相关的概率。
二、事件的独立性如果事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生与否也不影响事件 A 发生的概率，那么称事件 A 和事件 B 相互独立。
即：若$P(B|A) ＝ P(B)＄且$P(A|B) ＝ P(A)＄，则事件 A 和事件 B 相互独立。
当事件 A 和事件 B 相互独立时，＄P(AB) ＝ P(A)P(B)＄。
例题 2设事件 A 表示“明天晴天”，事件 B 表示“明天去公园”，已知$P(A) ＝ 06$，＄P(B) ＝ 04$，＄P(B|A) ＝ 04$，判断事件 A 和事件 B 是否独立。
概率与统计中的独立事件和条件概率
概率与统计中的独立事件和条件概率概率与统计是现代数学的一个重要分支，主要研究事件发生的可能性和规律性。
其中，独立事件和条件概率是概率与统计中的两个基本概念，它们在实际应用中具有重要的意义。
本文将对独立事件和条件概率进行详细介绍和解释。
一、独立事件独立事件指的是两个或多个事件之间相互不影响的情况。
具体来说，若事件A和事件B的发生与对方无关，即事件A的发生概率不受事件B的发生与否的影响，事件B的发生概率也不受事件A的发生与否的影响，那么事件A和事件B就是独立事件。
独立事件的特性有两个重要的方面：互不影响和乘法法则。
互不影响指的是独立事件之间的发生与否不会相互影响。
比如，用点数来表示掷骰子的结果，事件A表示掷得点数为偶数，事件B表示掷得点数为奇数。
显然，事件A的发生与否与事件B的发生与否是互不影响的。
乘法法则是独立事件的核心原则。
根据乘法法则，如果事件A 和事件B是独立事件，那么事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
数学上可以表示为P(A∩B) = P(A) × P(B)。
二、条件概率条件概率是指在某个条件下的事件发生的概率。
具体来说，对于事件A和事件B，当已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率即为条件概率。
条件概率的计算需要用到贝叶斯定理。
根据贝叶斯定理，对于事件A和事件B，P(A|B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
具体计算方式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的应用广泛，例如在医学诊断中，根据某些症状判断患者是否患有某种疾病；在信息检索中，根据用户的查询条件给出相关的搜索结果等。
条件概率可以帮助我们更准确地做出判断和预测。
三、独立事件和条件概率的关系独立事件和条件概率之间存在一定的关系。
当事件A和事件B是独立事件时，条件概率P(A|B)等于事件A的概率P(A)。
2025高考数学一轮复习-第51讲-事件的相互独立性、条件概率与全概率公式【课件】
＝0.4，P(B|A1)＝0.05，P(A2)＝0.6，P(B|A2)＝0.04，所以 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)
＝ 0.4×0.05 ＋ 0.6×0.04 ＝ 0.044 ， 所 求 概 率 为
P(A1|B)
＝
P(BA1) P(B)
＝
P(A1)P(B|A1) P(B)
1．相互独立事件
聚焦知识
(1) 概念：对任意两个事件 A 与 B，如果 P(AB)＝___P_(_A_)_P_(_B_)__成立，则称事件 A 与 事件 B 相互独立，简称为独立． (2) 性质：如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ，A 与__B__，A 与 B 也都相互独立.
2．条件概率
4．甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.6，
乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概 率为___0_.7_5___．
【解析】由题意可得，目标至少被命中 1 次的概率为 1－(1－0.6)(1－0.5)＝0.8.因为甲 命中目标的概率为 0.6，所以目标至少被命中 1 次，甲命中目标的概率为 P＝00..68＝0.75.
【答案】BC
条件概率 2 (多选)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%
，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已
知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现
任取一个零件，记事件Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，事
件B＝“任取一零件为次品”，则 ( )
3．全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件， A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对
事件的相互独立性条件概率与全概率公式(七大题型)(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)
款适合你
02
网络构建
03
知识梳理
题型归纳
1.相互独立事件
P(A)P(B)
(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝_________成立，则称事件
A与事件B相互独立，简称为独立.
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与___，
B A 与 B ， A 与 B 也都相互独立.
4
3
检验（OQC） 三个环节．已知某产品IQC的单独通过率为5，IPQC的单独通过率为4，规定上一类检验不通过则不进
入下一类检验，未通过可修复后再检验一次（修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次），且各类检验
间相互独立，则一件该产品能进入OQC环节的概率为
9
【答案】10
【解析】设 表示第i次通过进货检验， 表示第i次通过
所以当 =
2 2
3
2
0,
3
2
时，
3
单调递增，
2
3
1
3
②求出每个事件的概率，再求积．
15
闯过第二关的概率为1 = 4 + 4 × 4 = 16，
所以该选手能进入第三关的概率为 =
5
故答案为：6．
8
9
15
× 16
①首先确定各事件之间是相互独立的．
=
5
．
6
（2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，
要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的．
9
故答案为：10．
．
题型三：相互独立事件概率的计算
【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确
条件概率与独立事件
条件概率与独立事件条件概率和独立事件是概率论中的重要概念，它们在许多实际问题的建模和分析中发挥着重要的作用。
本文将详细介绍条件概率和独立事件，探讨它们的定义、性质和应用。
一、条件概率的定义和性质条件概率是指在一个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
设A、B为两个事件，且P(B)>0，则事件A在事件B发生的条件下发生的概率记作P(A|B)，其定义为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
针对条件概率，有以下两个重要性质：1. 乘法公式：对于两个事件A、B，有P(A∩B)=P(B)×P(A|B)。
这个公式可以从条件概率的定义中推导出来，对于事件A同时发生且B发生的概率，等于B先发生的概率乘以在B发生的条件下A发生的概率。
2. 全概率公式：对于一组互斥事件B1、B2、...、Bn，它们构成了一个样本空间的划分，即B1∪B2∪...∪Bn=Ω（Ω表示样本空间）。
则对于事件A，有P(A)=P(A|B1)×P(B1)+P(A|B2)×P(B2)+...+P(A|Bn)×P(Bn)。
全概率公式的作用在于利用条件概率进行事件概率的计算。
二、独立事件的定义和性质独立事件是指两个事件发生与否互不影响的事件。
设A、B为两个事件，如果P(A|B)=P(A)，则称事件A与事件B相互独立。
同理，如果P(B|A)=P(B)，也可以认为事件A与事件B相互独立。
独立事件有以下重要性质：1. 事件的独立性是一个对称的概念，即A与B独立等价于B与A独立。
2. 如果事件A与事件B相互独立，那么事件A与事件B的补集A'与B的补集B'也相互独立。
3. 如果事件A与事件B相互独立，那么事件A与B的并集A∪B的概率等于事件A的概率与事件B的概率之和减去事件A与B的交集的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
三、条件概率和独立事件的应用条件概率和独立事件在实际问题中有着广泛的应用，例如医学诊断、网络安全、金融风险评估等领域。
事件的独立性、条件概率和全概率公式(精讲)【2024一轮复习讲义】(新高考通用)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第53讲事件的独立性、条件概率和全概率公式（精讲）题型目录一览①事件的相互独立性②条件概率③全概率公式④贝叶斯公式一、条件概率1.定义：一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称()()()|P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．注：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行．2.性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即1|0()P B A ≤≤．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．（3）如果B 与C 互斥，则(||()(|))P B C A P B A P C A =+ ．注：已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求|()P B A ，相当于把A 看作新的基本事件空间计算AB 发生的概率，即()()()()()()()()|()n AB n AB n P AB P B A n A n A P A n Ω===Ω．二、相互独立与条件概率的关系1.相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件A ，B ，如果)(|)(P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设()0P A >，一、知识点梳理根据条件概率的计算公式，()()()()|P AB P B P B A P A ==，从而()()()P AB P A P B =．由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()|)()(P AB P A P B A =．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到(2)n n n >∈*N ，个事件的相互独立性，即若事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率1212()()()()n n P A A A P A A P A = ．2.事件的独立性（1）事件A 与B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =⋅．（2）当()0P B >时，A 与B 独立的充要条件是()()|P A B P A =．（3）如果()0P A >，A 与B 独立，则()()()()()()()|P AB P A P B P B A P B P A P A ⋅===成立．三、全概率公式1.全概率公式（1）|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+；（2）定理1若样本空间Ω中的事件1A ，2A ，…，n A 满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()0i P A >，12i n = ，，，．则对Ω中的任意事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且11()()()()|nni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑．2.贝叶斯公式（1）一般地，当0()1P A <<且()0P B >时，有()()()()()()()()()()||||P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A ==+（2）定理2若样本空间Ω中的事件12n A A A ，，，满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()01i P A <<，12i n = ，，，．则对Ω中的任意概率非零的事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且1()()()()()()()()|||j j j j j niii P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑注：贝叶斯公式体现了|()P A B ，()P A ，()P B ，|()P B A ，|()P B A ，()P AB 之间的关系，即()()()|P AB P A B P B =，()()()()()||P AB P A B P B P B A P A ==，|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+.题型一事件的相互独立性1.判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：事件（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．二、题型分类精讲A．332B．【答案】D【题型训练】一、单选题，从乙口袋内摸出一个白球的概率是6【分析】根据题意，求得事件甲、乙、丙、丁的概率，结合相互独立事件的概念及判定方法，逐项判定，不相互独立，所以本序号说法不正确；二、多选题不能同时发生，但能同时不发生，所以不是对立事件，所以三、填空题四、解答题．一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，题型二条件概率1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用条件概率的关键是求出【题型训练】一、单选题1．核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为d二、多选题、表示事件错误；三、填空题个红球，从中任意取出一球，已知它不是白题型三全概率公式全概率公式复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．【题型训练】一、单选题小时的学生中任意调查一名学生，则（二、多选题，所以表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，，对；三、填空题记任选一人去桂林旅游的事件为B ，则123()0.4,()()0.3P A P A P A ===，123(|)0.1,(|)0.2,(|)0.15P B A P B A P B A ===,由全概率公式得112233()(|)()(|)()(5|)30.15014P P A P B A P A P B A P A P B B A =⨯⨯++==++⨯.故答案为：0.145四、解答题附：()2P K k≥0.150.100.05k 2.072 2.706 3.841 (2)将甲乙生产的产品各自进行包装，每来自甲生产的概率为3，来自乙生产的概率为(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为①A获得季军的概率；②D成为亚军的概率；，其余三人实力旗鼓相当，求题型四贝叶斯公式1.利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算【题型训练】一、单选题。
概率的条件与独立事件
概率的条件与独立事件概率是数学中的一个分支，用于研究随机事件发生的可能性。
在概率理论中，条件和独立事件是两个重要的概念。
本文将详细探讨概率的条件和独立事件，以及它们在实际生活中的应用。
1. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
设A、B为两个事件，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A 发生的概率。
条件概率的计算公式如下：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的应用十分广泛。
例如，在医学诊断中，医生根据病人的症状判断某种疾病的概率就是条件概率；在市场调查中，根据消费者的不同特征，预测其购买某种产品的概率也是条件概率的应用之一。
2. 独立事件独立事件是指两个或多个事件之间相互不影响的事件。
设A、B为两个事件，如果P(A|B) = P(A)，则称事件A和事件B是独立事件。
换句话说，如果事件B的发生与事件A的发生无关，那么这两个事件就是独立事件。
独立事件在现实生活中也有很多应用。
例如，投掷一个标准的骰子，每个面出现的概率都是相等的，因此连续投掷两次，第一次投掷结果不会对第二次投掷结果产生影响，这就是独立事件的应用之一。
3. 条件独立事件条件独立事件是指在已知某个事件发生的条件下，另外两个事件是相互独立的事件。
设A、B、C为三个事件，如果P(A∩B|C) = P(A|C) × P(B|C)，则称事件A和事件B在事件C的条件下是独立的。
对于条件独立事件来说，假设C事件发生的情况下，事件A和事件B之间的独立性保持不变。
条件独立事件在统计学和机器学习中有广泛的应用，例如朴素贝叶斯分类器是基于条件独立事件假设的。
4. 应用案例为了更好地理解条件和独立事件的概念以及其应用，我们举一个实际的例子。
假设某公司的销售记录表明，在晴天的情况下，销售手机的概率为0.8；而在雨天的情况下，销售手机的概率为0.3。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第10章 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
§10.5 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）考试要求1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.相互独立事件(1)概念：对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝__________成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立.P (A )·P (B)B2.条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝______为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.(2)两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝_______；P(A)P(B|A)②概率的乘法公式：P(AB)＝___________.3.全概率公式一般地，设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝______________.常用结论1.如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n).2.贝叶斯公式：设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立.( )(2)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B ).( )(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A ，“第2枚正面朝上”为事件B ，则A ，B 相互独立.( )(4)若事件A 1与A 2是对立事件，则对任意的事件B ⊆Ω，都有P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2).( )√×√√1.甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为则谜题没被破解出的概率为√设“甲独立地破解出谜题”为事件A，“乙独立地破解出谜题”为事件B，2.在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是√当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，由题意得，居民甲第二天去A 食堂用餐的概率P ＝0.5×0.6＋0.5×0.5＝0.55.3.智能化的社区食堂悄然出现，某社区有智能食堂A ，人工食堂B，居民甲第一天随机地选择一食堂用餐，如果第一天去A 食堂，那么第二天去A 食堂的概率为0.6；如果第一天去B 食堂，那么第二天去A 食堂的概率为0.5，则居民甲第二天去A 食堂用餐的概率为_____.0.55第二部分例1 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则√A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.(2)(2023·临沂模拟)“11分制”乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后，若甲先发球，两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为______；若乙先发球，两人又打了4个球后该局比赛结束，则甲获胜的概率为 _____.0.50.1记两人又打了X个球后结束比赛，设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件A k(k＝1,2,3…)，＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积.(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.跟踪训练1 小王某天乘火车从重庆到上海，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：(1)这三列火车恰好有两列火车正点到达的概率；由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)这三列火车恰好有一列火车正点到达的概率；恰好有一列火车正点到达的概率为＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.(3)这三列火车至少有一列火车正点到达的概率.三列火车至少有一列火车正点到达的概率为＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.例2 (1)(2022·哈尔滨模拟)七巧板是中国民间流传的智力玩具.据清代陆以湉《冷庐杂识》记载，七巧板是由宋代黄伯思设计的宴几图演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间逐步演变为拼图版玩具.到明代，七巧板已基本定型为由如图所示的七块板组成：五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形，可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等1 600种以上图案.现从七巧板中取出两块，已知取出的是三角形，则两块板恰好是全等三角形的概率为√设事件A为“从七巧板中取出两块，取出的是三角形”，事件B为“两块板恰好是全等三角形”，(2)逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究.据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为√记事件A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，事件B：这人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病，则事件B|A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，继续饮酒2.4两不诱发这种疾病，则B⊆A，AB＝A∩B＝B，P(A)＝1－0.04＝0.96，P(B)＝1－0.16＝0.84，思维升华求条件概率的常用方法(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解.跟踪训练2 (1)(2023·六盘山模拟)已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回.在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为√设事件A＝“第1次抽到代数题”，事件B＝“第2次抽到几何题”，由题意知，第一次击中与否对第二次没有影响，②在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是_____.例3 (1)一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是0.9，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为√设事件A表示“小胡答对”，事件B表示“小胡选到有思路的题”.则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率(2)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为√A.0.48B.0.49C.0.52D.0.51设事件A＝“发送的信号为0”，事件B＝“接收的信号为1”，思维升华利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A i(i＝1,2，…，n).(2)求P(A i)和所求事件B在各个互斥事件A i发生条件下的概率P(A i)P(B|A i).(3)代入全概率公式计算.跟踪训练3 (1)设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9，则甲正点到达目的地的概率为√A.0.78B.0.8C.0.82D.0.84设事件A表示“甲正点到达目的地”，事件B表示“甲乘动车到达目的地”，事件C表示“甲乘汽车到达目的地”，由题意知P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A|B)＝0.9，P(A|C)＝0.7.由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.6×0.9＋0.4×0.7＝0.54＋0.28＝0.82.(2)(2022·郑州模拟)第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”等.小王有3张“冬梦”、2张“冰墩墩”和2张“雪容融”邮票；小李有“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”邮票各1张.小王现随机取出一张邮票送给小李，分别以A1，A2，A3表示小王取出的是“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再随机取出一张邮票，以B表示他取出的邮票是“冰墩墩”的事件，则P(B|A2)＝_____，P(B)＝_____.第三部分A.事件A与B互斥B.事件A与B对立√C.事件A与B相互独立D.事件A与B既互斥又相互独立∴P(AB)＝P(A)P(B)≠0，∴事件A与B相互独立，事件A与B不互斥也不对立.4个都不能正常照明的概率为(1－0.8)4＝0.001 6，只有1个能正常照明的概率为4×0.8×(1－0.8)3＝0.025 6，所以至少有两个能正常照明的概率是1－0.001 6－0.025 6＝0.972 8.2.(2023·开封模拟)某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是A.0.819 2B.0.972 8C.0.974 4D.0.998 4√3.根据历年的气象数据可知，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为√A.0.8B.0.625C.0.5D.0.1设“发生中度雾霾”为事件A，“刮四级以上大风”为事件B，所以P(A)＝0.25，P(B)＝0.4，P(AB)＝0.2，4.(2022·青岛模拟)甲、乙两名选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为√A.0.36B.0.352C.0.288D.0.648由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，概率为0.6×0.6＝0.36，二是前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为×0.6×0.4×0.6＝0.288，这两种情况互斥，∴甲最终获胜的概率P＝0.36＋0.288＝0.648.记事件A 为“该考生答对题目”，事件B 1为“该考生知道正确答案”，事件B 2为“该考生不知道正确答案”，则P (A )＝P (A |B 1)·P (B 1)＋P (A |B 2)·P (B 2)＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625.5.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为25%，那么他答对题目的概率为A.0.625B.0.75C.0.5D.0.25√6.将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”； B表示事件“医生乙派往①村庄”； C表示事件“医生乙派往②村庄”，则A.事件A与B相互独立B.事件A与C相互独立√。
事件的相互独立性与条件概率、全概率公式课件-2025届高三数学一轮复习
3.全概率公式
一般地，设 ， ，⋯ ， 是一组两两互斥的事件，
∪ ∪ ⋯ ∪ = ,且 > , = ,2,⋯ ,,则对任意的事件 ⊆ ，
∑ ∣
有 =⑧_________________.
=
我们称上面的公式为全概率公式.
−
+ −
= −
+ − ,故C不正确;对于D，
发送0，采用三次传输方案译码为0，相当于发0，0，0，收到0，0，1或
0,1,0或1,0,0或0,0,0，则此方案的概率
= −
+ −
= −
相互独立事件不一定互斥.
2.条件概率
（1）概念：一般地，设，为两个随机事件，且 > ,我们称②
| =
_______________为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称
条件概率.
（2）两个公式
①利用古典概型： |
=③______.
|
=
=
,
=
=
，由条件概率
.
方法二（样本点数法）：不放回地依次随机抽取2道题作答，样本空间有
× = 个样本点， = × = ， = × = ，
所以 | =
=
=
.
注意 | 和 | 的区别.
1.事件的关系与运算
（1），都发生的事件为；，都不发生的事件为.
概率计算中的条件概率与独立事件的判定
概率计算中的条件概率与独立事件的判定在概率计算中，条件概率与独立事件是两个非常重要的概念。
它们在判定事件之间的关联性以及计算复杂概率问题时扮演着关键角色。
本文将对条件概率和独立事件进行详细讨论，并介绍它们在实际问题中的应用。
一、条件概率条件概率是在已知某一事件发生的前提下，另一事件发生的概率。
用P(A|B)表示事件B发生的条件下事件A发生的概率。
其中，A和B是两个事件，且P(B)>0。
条件概率的计算可以通过使用贝叶斯定理得到。
贝叶斯定理表达了事件A和B的关系，即：P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)在实际问题中，条件概率经常被用于解决诸如疾病诊断、市场分析等需要根据已知条件推断结果的情况。
例如，假设某种疾病的患病率为1%，检测该疾病的准确率为95%。
那么，在一个人得到阳性检测结果的情况下，他真正患病的概率是多少？可以通过条件概率计算得到：P(患病|阳性检测结果) = (P(阳性检测结果|患病) * P(患病)) / P(阳性检测结果)其中，P(阳性检测结果|患病)为检测结果为阳性的患病人数占所有患病人数的比例，P(患病)为患病人数占总人口的比例，P(阳性检测结果)为阳性检测结果的概率。
二、独立事件独立事件指的是两个或多个事件之间没有相互影响的情况。
具体地说，如果事件A的发生与事件B的发生不相关，则称事件A和事件B是独立的。
用P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，如果P(A∩B) = P(A) * P(B)，则事件A和事件B是独立事件。
在概率计算中，独立事件的判定非常重要。
如果两个事件是独立的，我们可以直接使用乘法原理计算它们同时发生的概率，简化问题的复杂度。
独立事件在很多实际问题中都有应用。
比如，在扑克牌游戏中，抽取两张牌，第一张为红桃的概率是1/4，第二张为黑桃的概率是1/4，这两个事件是相互独立的。
因此，抽取两张牌，第一张为红桃且第二张为黑桃的概率为(1/4) * (1/4) = 1/16。
概率计算中的事件独立与条件概率
概率计算中的事件独立与条件概率概率计算是数学中重要的分支之一，它研究的是随机事件发生的可能性。
在概率计算中，有两个重要的概念，即事件独立和条件概率。
本文将介绍这两个概念及其在概率计算中的应用。
一、事件独立在概率计算中，事件独立是指两个或多个事件之间的发生并不相互影响的性质。
具体地说，如果事件A和事件B是独立的，那么事件A的发生与否并不会影响事件B的发生概率，反之亦然。
数学上，事件A和事件B的独立性可以通过以下公式表示：P(A∩B) = P(A) × P(B)其中，P(A)表示事件A的发生概率，P(B)表示事件B的发生概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
事件独立的概念在实际应用中有很大的意义。
例如，在投掷一枚硬币的情境中，事件A表示硬币正面朝上，事件B表示硬币反面朝上。
由于硬币的正反面朝上是相互独立的，所以投掷硬币正反面的概率都是1/2。
二、条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
数学上，事件A在事件B发生的条件下的概率可以表示为P(A|B)，读作“B发生的条件下A的概率”。
条件概率的计算可以通过以下公式求解：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B的发生概率。
条件概率的概念在许多实际问题中具有重要意义。
例如，在一副扑克牌中，事件A表示从中抽出一张红色的牌，事件B表示从中抽出一张大王。
已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率可以通过计算红色牌中大王的比例得出。
三、事件独立与条件概率的关系事件独立和条件概率之间存在一定的联系。
如果事件A和事件B是独立的，那么条件概率P(A|B)等于事件A的发生概率P(A)，反之亦然。
数学上，可以通过以下公式表示独立事件的条件概率：P(A|B) = P(A)这一关系表明，当事件A和事件B相互独立时，事件B的发生并不会对事件A发生的概率产生影响。
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事实上，对于多个独立事件，公式也是成立的。
对于n个相互独立的事件 A 1,A 2, ,A n，
则有 P ( A 1 A 2 A n ) P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A n )
思考讨论：
将一枚均匀硬币掷4次，有人认为：“第一次出现 正面，第二次出现反面，第三次出现正面，第四次出 现反面” 发生的概率比 “第四次出现正面” 的概率大， 你认为这种说法正确么？？
互不影响。
说明：若 A 、B相互独立，则A 与 B， A与 B ， A 与B 是否也相互独立呢？？
你能举出生活中的一些独立生活的例子么？？
判断：下列哪些事件相互独立。
① 篮球比赛的“罚球两次”中， 事件A：第一次罚球，球进了； 事件B：第二次罚球，球进了。
② 在三月份的月考较量中， 事件A：同学甲获得第一名； 事件B：同学乙获得第一名。
用A表示"取出牌“Q”"，用B表示"取出的是红桃"，是 否可以利用P(B),P(AB)来计算 P( A B) ？？ 分析：剩余的52张牌中，有13张红桃，则 P(B) 13 1
52 4
52张牌中红桃Q只有1张，则 P(AB) 1
52
由条件概率公式知，当取出牌是红桃时为Q的概率为：
P(AB)P(AB) 1 P(B) 13
③ 袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球， 事件A：第一次从中任取一个球是白球；
事件球，2个黄球，乙坛子里也有3 个红球，2个黄球，从这两个坛子里分别摸出1个球，
事件A：从甲坛子里摸出1个球，得到黄球； 事件B：从乙坛子里摸出1个球，得到黄球。
对立事件:其中必有一个发生的互斥事件称为”对立事件”.
（1）事件 A 的对立事件记为: 事件 A ；（2） P( A) 1 P( A)
4.和事件 A B 表示: 事件 A, B 中至少有一个发生. ①和事件 A B 也可以写成 A B ； ②事件 A B 包括: A 发生但 B 不发生; A 不发生但 B 发生; A 发生且 B 发生;
（1）在 P( A B) 中，事件A ，B发生有时间上的差异， B 先 A 后；而在 P(AB) 中，事件 A ，B 同时发生。
（2）样本空间不同，在 P( A B) 中，事件 B 成为样本 空间；在 P(AB)中，样本空间为所有事件的总和。
因而有 P(AB)P(AB)
问题2：从一副扑克牌（去掉大小王）中随机抽取1张，
知识回顾
1.古典概型的概念 1)试验的所有可能结果(即基本事件)只有有限个,每次试验只出现 中的一个结果;2)每一个结果出现的可能性相同。 2.古典概型的概率公式 P(A)事试件A验 包的 含所 的有 可可 能能 结结 果mn果 数
3.互斥事件：不能同时发生的两个事件称为”互斥事件”.
事件 A, B 互斥,则 A B
小结
＊ 条件概率： 当事件B发生时，事件A发生的概率：
＊ 独立当事P件(的B)概率0时：，P(AB)P(PA( B)B)。
若A的发生与B的发生互不影响，称A、B相互 独立。A、B同时发生的概率：P (A B )P (A )P (B )
对于n个相互独立的事件 A 1,A 2, ,A n，
0.56 0.7
关于条件概率的计算， 往往采
BA
用如下两种方法：(1) 在缩减的
样本空间上直接计算。(2) 利用
公式计算。
____________________________ ______________________
概率 P( A B) 与 P(AB)的区别与联系
联系：事件 A ，B 都发生了。 区别：
③事件 A, B 互斥,则: P(A B) P(A) P(B)
____________________________ ______________________
分析： 在集合中，“都”代表着“交”，则A、
B同时发生为A∩B。
B=｛产品的质量合格｝
A=｛产品的长度合格｝
100个产品中有93个产品的长度合格，90个产 品的质量合格，85个产品的长度、质量都合格。现 在任取一个产品，若已知它的质量合格，那么它的
例题分析
例1 调查发现，某班学生患近视的概率为0.4，现随 机抽取该班级的2名同学进行体检，求他们都近视的概率。
解：记A为甲同学近视，B为乙同学近视，则A、B相 互独立，且 P (A )P (B )0.4，则
P (A B )P (A )P (B ) 0 .4 0 .40 .1 6
推广： 前面讨论了两个相互独立事件的概率公式，
长度合格的概率是多少？ A∩B=｛产品的长度、质量都合格｝
任取一个产品，已知它的质量合格（即B发生）， 则它的长度合格（即A发生）的概率是 8 5 。
90 考虑：
这个概率与事件A、B的概率有什么关系么?
由已知可得：P (A )9 3,P (B )9 0,P (A B )8 5
1 0 0 1 0 0
A发生时B发生的概率
1.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，
活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种
动物活到25岁的概率。
解 设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示
“活到25岁” (即≥25)
则 P (A ) 0 .7 ,P (B ) 0 .5 6
所求概率为P(BA)P(AB)P(B)0.8 P(A) P(A)
我们知道52张牌中有4个Q ，所以： P(A) 4 1 52 13
易看出此时：
P(AB)P(A)
说明事件B的发生 不影响A的发生
而此时有：
P (A B )P (A )P (B )
概括总结 一般地，两个事件 A、B ，若有
P (A B )P (A )P (B )，
或者说A的发 生与B的发生
则称 A、B相互独立。
1 0 0
容易发现：
85
85 100 P( A B) 90 90 P(B)
100
概括 求B发生的条件下，A发生的概率，称为B发
生时A发生的条件概率，记为 P( A B)。
当 P(B)0 时，P(AB)P(AB) ，其中，
P(B)
AB可记为 AB。 类似地 P(A)0时，P(BA) P(AB) 。 P(A)