2-5 向量范数与矩阵范数解析
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向量范数
计算方法
2
常用向量范数
设向量 x = ( x1 , x2 ,..., xn ) || x ||1 = ∑ | xi |
n i =1 n
T
|| x ||2 = ( ∑ | xi | ) = ( x , x ) = ( x T x )
i =1
1 2 2
1 2
1 2
|| x ||∞ = max{| xi |}
定义
设λi(i = 1,2 ,...,n)为矩阵 A的特征值 , 则称
1≤ i ≤ n
ρ ( A) = max{| λi |}
的谱半径。 为矩阵 A的谱半径。 矩阵A的谱半径 ρ ( A)不是A的一种范数 , 但易证
ρ ( A) ≤ A
定义2 定义2
若
Ax ≤|| A || ⋅ || x || ∀x ∈ R n , ∀A ∈ R n× n
称矩阵范数与向量范数是相容的. 称矩阵范数与向量范数是相容的. 相容的
2 − 1 例4 ： 设矩阵 A = − 2 4 , 求 || A ||1 , || A ||2, || A ||∞ 。 解： || A || = max{ 2+ | −2 |, | −1 | +4} = 5 1
1≤ i ≤ n
计算方法
T || || 例3：已知 x = (1, 2, − 3 ) , 求 || x ||1 ， x ||2 ， x ||∞
解： x
1
= x1 + x2 + x3 = 1+2+3= 6
2 2 x12 + x2 + x 3 = 1 + 4 + 9 = 14
x2=
x
∞
数值分析8(向量范数与矩阵范数)
20:22
16/16
20:22
11/16
A 2 ( A A), 其中 ( B ) max{| i ( B ) |}
T i
2 T T 证: 2 这表明矩阵ATA是对称半正定的, 是非负。设矩阵ATA的特征值为
|| Ax || x A Ax 0
1 2
所以它的特征值 都
n 0
并设对应的特征向量为
v1 , 由于ATA是对称,故 v1 ,
vi
20:22
2
1, i 1,
, vn , v n 是Rn的标准正交基: T , n vi v j 0, i j
12/16
对于向量 x 可被特征向量系所表示 x ck v k
n n k 1
n n
n
T T T || Ax ||2 x A Ax ( c v k k )( ck k vk ) 2
Matlab内部函数: norm(A,p)。
20:22
9/16
矩阵算子范数
设 ||x||是Rn上的向量范数,A∈Rn×n,则A的非 负函数 || Ax ||
|| A || max
x 0
|| x ||
称为矩阵A的算子范数(或诱导范数)。 注1 矩阵算子范数由向量范数诱导出, 如
|| Ax ||2 || A ||2 max x 0 || x || 2
1 i n
, xn
Matlab内部函数: norm(x,p)。特别的, norm(x) 等价于norm(x,2)。 范数概念是我们熟悉的距离概念的一种自然的 推广。 k *
lim || x x || 0
k
则称序列{xk}在范数||.||下收敛于x*。
数值分析与计算方法 第六章 向量范数和矩阵范数
特征方程为
0 2 0 1 1 0 9 1 1 1 2 1
2 T det(I A A) 0 1
0 1 0 9 1 1 2
可得AT A的特征值为
1 9.1428, 2 2.9211, 3 0.9361
为矩阵A的谱半径。
定理6.5
设A R nn，对任一算子范数 有
矩阵范数与 ( A) A . 谱半径的关 系 设是A的特征值，则有非零向 量使 Ax x. 证明：
由相容性条件得 x x Ax A x , x 0 A 即
( A) A .
n
2
1
2
- - - - - 2 - 范数
max {xi } - - - - - - 范数
例6.7 计算向量 x=(1,2,-3)T的向量范数 x 1， x 2 ，x 。 解：
x 1 1 2 3 6， x x
2
12 2 2 33 14， 3。
范数的两个常用性质：
1 j n i 1
1 j n
2n
5
2
aij max { 3,4,2} 4 A max 1 i n
j 1
1 i n
n
由于
A2
( AT A )
因此先求AT A的特征值 1 1 0 1 2 T A A 2 2 1 1 2 0 1 1 0 1
用于误差估
常用矩阵范数有下面三种情形：
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A a a a nn n1 n1 1 - 范数： A 1 max akj
0 2 0 1 1 0 9 1 1 1 2 1
2 T det(I A A) 0 1
0 1 0 9 1 1 2
可得AT A的特征值为
1 9.1428, 2 2.9211, 3 0.9361
为矩阵A的谱半径。
定理6.5
设A R nn，对任一算子范数 有
矩阵范数与 ( A) A . 谱半径的关 系 设是A的特征值，则有非零向 量使 Ax x. 证明：
由相容性条件得 x x Ax A x , x 0 A 即
( A) A .
n
2
1
2
- - - - - 2 - 范数
max {xi } - - - - - - 范数
例6.7 计算向量 x=(1,2,-3)T的向量范数 x 1， x 2 ，x 。 解：
x 1 1 2 3 6， x x
2
12 2 2 33 14， 3。
范数的两个常用性质：
1 j n i 1
1 j n
2n
5
2
aij max { 3,4,2} 4 A max 1 i n
j 1
1 i n
n
由于
A2
( AT A )
因此先求AT A的特征值 1 1 0 1 2 T A A 2 2 1 1 2 0 1 1 0 1
用于误差估
常用矩阵范数有下面三种情形：
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A a a a nn n1 n1 1 - 范数： A 1 max akj
向量范数与矩阵范数
(2) 对任意的数 k∈R，有
kA max kAx k max Ax k A .
x 1
x 1
(3) 对任意的n×n矩阵 A 和 B, 有
A B max (A B)x max Ax Bx
x 1
x 1
max Ax Bx x 1
max Ax max Bx A B
正定性三角不等式积的范数小于等于范数的积矩阵范数与向量范数的相容性定义给定向量范数和矩阵范数如果对任和任意的nn矩阵a它们总满足则称所给的矩阵范数与向量范数是相容的
§1.3 向量范数与矩阵范数
为了研究线性方程组近似解的误差估 计和迭代法的收敛性，我们需要对 Rn 中 向量或 Rn×n 中矩阵的“大小”引进某种 度量----向量或矩阵的范数。向量范数是 三维欧氏空间中向量长度概念的推广，在 数值分析中起着重要作用。
1.3.1 向量范数
向量的范数是刻画向量大小的量, 又叫向量的模.
❖定义 Rn 上的实值函数‖·‖称为向量范数，如果 对任意的 x, y∈Rn, 它均满足下列3条性质:
(1)正定性: || x ||,且 0 x 0;|| x || 0
(2)齐次性:对 k ,有R
|| kx |;|| k | || x ||
以及
A. F
解 x | 3| | 5| |1| 9, 1
x 32 (5)2 12 35 2
x max{| 3|,| 5|,|1|} 5,
|1| | 2 | | 3 |,
A
1
max
|
5
|
|1|
|
8
|,
kA max kAx k max Ax k A .
x 1
x 1
(3) 对任意的n×n矩阵 A 和 B, 有
A B max (A B)x max Ax Bx
x 1
x 1
max Ax Bx x 1
max Ax max Bx A B
正定性三角不等式积的范数小于等于范数的积矩阵范数与向量范数的相容性定义给定向量范数和矩阵范数如果对任和任意的nn矩阵a它们总满足则称所给的矩阵范数与向量范数是相容的
§1.3 向量范数与矩阵范数
为了研究线性方程组近似解的误差估 计和迭代法的收敛性，我们需要对 Rn 中 向量或 Rn×n 中矩阵的“大小”引进某种 度量----向量或矩阵的范数。向量范数是 三维欧氏空间中向量长度概念的推广，在 数值分析中起着重要作用。
1.3.1 向量范数
向量的范数是刻画向量大小的量, 又叫向量的模.
❖定义 Rn 上的实值函数‖·‖称为向量范数，如果 对任意的 x, y∈Rn, 它均满足下列3条性质:
(1)正定性: || x ||,且 0 x 0;|| x || 0
(2)齐次性:对 k ,有R
|| kx |;|| k | || x ||
以及
A. F
解 x | 3| | 5| |1| 9, 1
x 32 (5)2 12 35 2
x max{| 3|,| 5|,|1|} 5,
|1| | 2 | | 3 |,
A
1
max
|
5
|
|1|
|
8
|,
《向量和矩阵的范数》PPT课件
h
1
三种常用范数 给定 x (x1, x2 , , xn )T
n
1-范数：
x 1
x1
x2
xn xi
i 1
2-范数： x 2
x12 x22
1
xn2
n
i 1
xi2
2
? 范数： x max{ x1 , x2 ,
,
xn
}
max{
1in
xi
}
h
2
一般范数 给定 x (x1, x2 , , xn )T
1
(n max 1in
xi
p)p
故有 x x n p x
p
令
p
1
, n p
1limxFra bibliotekxp
p
h
4
范数的等价性 对于任意向量 x R n ，如果存在正数
c1, c2 ，均有
x
p c1
x, q
x q c2
x
，则称范数
p
x
与
p
x 等价。 q
范数的等价关系具有传递性。如果范数 x 与 x 等价，
（5） I 1，其中 I 为单位阵。
h
14
矩阵范数的另一个等价定义
设 A R nn , x Rn ，矩阵 A 的范数 A max Ax
x 1
h
15
常用的矩阵范数
设 A[aij]nn常用的矩阵范数有行（无穷）范数和列（一）范数。
例如
A
3 0
2
4
n
A
maxaij
1in j1
n
A 1
maxaij
Rnn 上的矩阵序列 A(k) 是收敛于A 的充要条件为
向量与矩阵的范数-PPT
|| A ||2
A'
A
10 14
15
14 20
221 5.46
|λE-A’A|=0 λ2-30λ+4=0
注：
A F
nn
a 2 ——弗罗贝尼乌斯
ij
(Frobenius)范数
j1 i1
简称F范数
|| A ||F 30 5.477
几种常用的矩阵范数：
n
max a11
a12
a1n
A1 1jn
则称该实数||X||为向量X的范数
几种常用的向量范数：设X=(x1,x2,...,xn)T
（1）向量的1—范数：
n
|| X ||1 | xi | | x1 | | x2 | ... | xn | i 1
（2）向量的2—范数：
n
|| X ||2
xi2 x12 x22 ... xn2
i 1
例：方程组
22.x0101xx21
x2 1
1
此方程组的准确解为x1=0, x2=-1。现将其右 端加以微小的扰动使之变为：
绝对误差
22.x0101xx12
x2 1
1.0002
b
0.00002
经计算可得它的解为x1=2, x2=-3.
这两个方程组的解相差很大，说明方程组的 解对常数项b的扰动很敏感。
3.5 向量与矩阵的范数
一、. 向量范数： 对n维实空间Rn中任一向量X ，按一定规则有一确
定的实数与其相对应，该实数记为||X||，若||X||满足下 面三个性质： (1)(非负性)||X||0，||X||=0当且仅当X=0。 (2)(齐次性)对任意实数 ，|| X||=| | ||X||。 (3)(三角不等式)对任意向量YRn，||X+Y||||X||+||Y||
向量与矩阵的范数
那么
n
X X H *
xi
X 1
i 1
矩阵旳谱半径及其性质
定义：设 A C mn ，A 旳 n 个特征值为 1, 2, , n ，我们称
( A) max{ 1 , 2 , , n }
为矩阵 A 旳谱半径。 例 1 ：设 A C mn ，那么
( A) A
这里 A 是矩阵 A 旳任何一种范数。
F
F
于是有
AB A B
F
F
F
例 4 ：对于任意 A C nn ，定义
A
[Tr
(
AH
A)]
1 2
证明如此定义旳 A 是矩阵 A 旳范数。
证明： 首先注意到这么一种基本事实，
即
[Tr( AH
1
A)] 2
(
m
n
aij
2
)
1 2
i1 j1
由一种例题可知此定义满足范数旳性质。
Frobenious范数旳性质：
(1)' n
1
(2)' n
2
1
2
(3)' n
2
引理（Hoider不等式）：设
a1, a2, , an T , b1, b2, , bn T Cn
则
n
n
aibi (
ai p ) 1 p ( n
bi
q)
1 q
i 1
i 1
i 1
其中 p 1,
q1 且
1p
是矩阵范数。
证明：非负性，齐次性和三角不等式轻易 证得。目前我们考虑乘法旳相容性。设
A C nn , B C nn ，那么
n
n
AB
课件：2-5 矩阵范数
i1 j1
i1 j1
A B
m1
m1
➢ 满足相容性
nn n
nn n
AB m1
aik bkj
i1 j1 k1
( | aik | | bkj |)
i1 j1 k1
nn n
n
(| aik | | bkj |)
i1 j1 k1
k 1
nn
nn
( | aik | ) ( | bkj |)
aij
m1-范数与m2-范数可以视为向量的1-范数与2-范数的直接推 广，而矩阵的m∞-范数与向量的∞-范数却并不相同，这是为 什么呢？先看一个例子
若定义
A
max i, j
|
aij
|,
对
A
1 0
1 1
,, B
1 1
0 1
有 A 1, B 1, AB 2, 从而 AB A B
因此这样定义是为了满足相容性而设的。
A UA AV UAV
F
F
F
F
2.5.3 矩阵范数的性质
定理3 设 A, B C nn (或 Rnn )，则
(1) Onn 0 (2) A B A B
(3) ||A||是关于矩阵A各元素aij的连续函数。 证明 与向量范数类似，略。
定义2 设|| A || ,|| A || 是C nn 中定义的任意两种矩 阵范数，若存在两个与A无关的正常数m、M，使得
定义1 设F nn 是数域 F (R或C)上所有n n矩阵全体构成 的线性空间。实值函数 : F nn R 称为矩阵范数，是 指对于任意矩阵 A, B F nn 满足下列性质
(1) 正定性: || A || 0 当且仅当: A 0 , A 0
向量与矩阵范数
向量与矩阵范数在欧氏空间与酉空间中，我们通过向量的内积定义了下列的长度，对于一般的线性空间，能否引入一个类似于长度而又比其更广泛的概念呢？这就是范数的概念。
向量范数与矩阵范数是应用非常广泛的重要概念，从范数可导出向量与向量，矩阵与矩阵之间的距离，进而引进向量序列和矩阵序列收敛性问题.它是矩阵分析与计算的基础.§1 向量范数定义1．1 设V 是数域()或C R 上的线性空间，如果对于任意V ∈x 按照某种法则对应于一个实数x，且满足：1） 非负性0≥x .当且仅当=x 0时，0=x ； 2） 齐次性k k =x x；3） 三角不等式 对任意,V ∈x y 总有，+≤+x y x y；则称实数x为线性空间V 上向量x 的范数.简称向量范数.定义了范数的线性空间V 称为赋范线性空间.由定义1.1可以看出，向量范数是定义在线性空间上的非负实值函数，它具有下列性质：（1） 当≠x 0时，11||||=x x ；（2） 对任意向量V ∈x ，有||||||||-=x x ；（3）||||||||||||||y -≤-x y x ； （4）||||||||||||||y -≤+x y x .性质（1）与（2）是显然成立的，下面证明性质（3） 因为||||||||||||||||=-+≤-+x x y y x y y ， 所以||||||||||||-≤-x y x y .同理可证||||||||||||||()||||||-≤-=--=-y x y x x y x y ， 即||||||||||||-≥--x y x y .综上有||||||||||||||y -≤-x y x .若用y -代替性质（3）中的y ，便得到性质（4）.n C 上最著名的范数是p 范数，也称赫尔德（hölder ）范数11()nppi pk x ==∑x，T 12(,,,)n n x x x =∈x C .这里1p ≤<∞，其中最常用的是1,2p =时的p 范数，即11nik x ==∑x ；12221()ni k x ==∑x 。
矩阵范数和向量范数的关系
矩阵范数和向量范数的关系矩阵范数和向量范数是线性代数中常用的概念，它们之间存在一定的关系。
本文将从矩阵范数和向量范数的定义、性质以及它们之间的联系等方面进行阐述。
我们来介绍矩阵范数和向量范数的定义。
矩阵范数是定义在矩阵上的一种范数，它可以将一个矩阵映射为一个非负的实数。
常见的矩阵范数有Frobenius范数、1-范数、2-范数和∞-范数等。
以Frobenius范数为例，对于一个矩阵A，它的Frobenius范数定义为矩阵元素平方和的平方根，即∥A∥F = √(∑∑|aij|^2)。
向量范数是定义在向量空间中的一种范数，它可以将一个向量映射为一个非负的实数。
常见的向量范数有1-范数、2-范数和∞-范数等。
以2-范数为例，对于一个向量x，它的2-范数定义为向量元素平方和的平方根，即∥x∥2 = √(∑|xi|^2)。
矩阵范数和向量范数之间存在一定的联系。
首先，对于一个n维向量x，可以将其看作是一个n×1的矩阵。
此时，向量范数就可以看作是矩阵范数的一种特殊情况。
例如，向量的2-范数就是矩阵的2-范数。
因此，矩阵范数可以看作是向量范数的推广。
矩阵范数和向量范数之间满足一些性质。
例如，对于一个矩阵A和一个向量x，满足以下性质：1. 三角不等式：对于任意的矩阵A和向量x，有∥A∥ + ∥x∥ ≤∥A + x∥。
2. 齐次性：对于任意的矩阵A和实数α，有∥αA∥ = |α|∥A∥。
3. 子多重性：对于任意的矩阵A和B，有∥AB∥ ≤ ∥A∥∥B∥。
我们来讨论矩阵范数和向量范数的联系。
通过定义可以看出，矩阵范数和向量范数都是对于矩阵或向量的度量。
矩阵范数可以看作是对矩阵的度量，而向量范数可以看作是对向量的度量。
矩阵范数和向量范数都满足范数的定义，即满足非负性、齐次性和三角不等式。
在应用中，矩阵范数和向量范数有着广泛的应用。
矩阵范数可以用于矩阵的相似性度量、矩阵的特征值估计等问题。
而向量范数可以用于向量的相似性度量、向量的正则化等问题。
向量和矩阵的范数
向量和矩阵的范数一、引言向量和矩阵是线性代数中最基本的概念之一，而范数则是线性代数中一个非常重要的概念。
范数可以用来度量向量或矩阵的大小，也可以用来衡量它们之间的距离。
在本文中，我们将讨论向量和矩阵的范数。
二、向量范数1. 定义向量范数是一个函数，它将一个向量映射到一个非负实数。
它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的向量x，有||x||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和向量x，有||αx||=|α|·||x||；（3）三角不等式：对于任意的向量x和y，有||x+y||≤||x||+||y||。
2. 常见范数（1）L1范数：也称为曼哈顿距离或城市街区距离。
它定义为所有元素绝对值之和：||x||1=∑i=1n|xi| 。
（2）L2范数：也称为欧几里得距离。
它定义为所有元素平方和再开平方根：||x||2=(∑i=1nxi^2)1/2 。
（3）p范数：它定义为所有元素p次方和的p次方根：||x||p=(∑i=1n|xi|^p)1/p 。
（4）无穷范数：它定义为所有元素绝对值中的最大值：||x||∞=ma xi|xi| 。
三、矩阵范数1. 定义矩阵范数是一个函数，它将一个矩阵映射到一个非负实数。
它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的矩阵A，有||A||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和矩阵A，有||αA||=|α|·||A||；（3）三角不等式：对于任意的矩阵A和B，有||A+B||≤||A||+||B||。
2. 常见范数（1）Frobenius范数：也称为欧几里得范数。
它定义为所有元素平方和再开平方根：||A||F=(∑i=1m∑j=1naij^2)1/2 。
（2）一范数：它定义为每列元素绝对值之和的最大值：||A||1=maxj(∑i=1m|aij|) 。
（3）二范数：它定义为矩阵A的最大奇异值：||A||2=σmax(A) 。
（4）∞范数：它定义为每行元素绝对值之和的最大值：||A||∞=maxi(∑j=1n|aij|) 。
研究生数值分析(2)向量范数与矩阵范数
我们用其度量向量 X (x1, x2, x3)T 的“大小”。
实质上向量范数 X 是一个实值函数， 它满足如下3个条件： (1非负性). 对任意 X R3 ，都有 X 0
当且仅当 X 0 X 0
(2齐次性). 对任意 a R 和向量 X R3 ,
aX a X
(3三角不等式). 对任意 X ,Y R3 , 都有
n
X 2 2
xi
2
n max{
x1 2 ,
x2 2 ,, xn 2} n
X
2
i 1
即有 X n X ，故有 X X n X
2
2
例5 设
X (1, 2, 3)
，求
X ,X ,X
1
2
解：由向量 X 的1，2， 范数定义
X 1 2 3 6 1
X r X 0
rr
r
证毕。
常用的3种算子范数的定义与算式为：p10-11
AX
n
1―范数（列模）
A max
1
X 0
X
1 1
max 1 jn
i 1
aij
2―范数（谱模）
AX
A max 2
X 2
X 0
max ( AT A)
2
∞―范数（行模）
AX
n
A max
X 0
X (1)2 22 (3)2 14 2
X max{ 1 , 2 , 3} 3
(2) 矩阵的范数
定义2 设 N(A) A 是定义在 Rnn 上的实值函数， 如果它满足4个条件：
向量范数和矩阵范数
向量范数和矩阵范数在数值计算、线性代数和机器学习等领域中具有广泛的应用，它们可 以用于衡量向量和矩阵的大小、距离和相似度等概念。
2. L1范数：对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的L1范数定义为 ||x||1 = |x1| + |x2| + ... + |xn|。它表示向量各个元素的绝对值之和。
向量范数和矩阵范数
3. 无穷范数（L∞范数）：对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的无穷范数定义为 ||x||∞ = max(|x1|, |x2|, ..., |xn|)。它表示向量各个元素的绝对值的最大值。
矩阵范数是对矩阵进行度量或衡量的方式，它是一个将矩阵映射到非负实数的函数。常见 的矩阵范数有谱范数、F范数和1-范数。
1. 谱范数：对于n×n矩阵A，它的谱范数定义为 ||A||2 = max(σ)，其中σ是A的特征值的 模的最大值。谱范数衡量了矩阵的最大特征值的大小，表示矩阵的最大奇异值。
向量范数和矩阵范数
2. F范数：对于m×n矩阵A，它的F范数定义为 ||A||F = √(∑∑|aij|^2)，其中aij表示A的第i 行第j列的元素。F范数衡量了矩阵所有元素的平方和的平方根。
3. 1-范数：对于m×n矩阵A，它的1-范数定义为 ||A||1 = max(∑|aij|)，其中∑表示对所有 列求和。1-范数衡量了矩阵列向量绝对值之和的最大值。
向量范数和矩阵范数
向量范数是对向量进行度量或衡量的方式，它是一个将向量映射到非负实数的函数。常见 的向量范数有欧几里得范数（L2范数）、L1范数和无穷范数（L∞范 ..., xn)，它的欧几里得范数定义为 ||x||2 = √(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)。它表示向量的长度或大小，也可以理解为向量的2范数。
2. L1范数：对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的L1范数定义为 ||x||1 = |x1| + |x2| + ... + |xn|。它表示向量各个元素的绝对值之和。
向量范数和矩阵范数
3. 无穷范数（L∞范数）：对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的无穷范数定义为 ||x||∞ = max(|x1|, |x2|, ..., |xn|)。它表示向量各个元素的绝对值的最大值。
矩阵范数是对矩阵进行度量或衡量的方式，它是一个将矩阵映射到非负实数的函数。常见 的矩阵范数有谱范数、F范数和1-范数。
1. 谱范数：对于n×n矩阵A，它的谱范数定义为 ||A||2 = max(σ)，其中σ是A的特征值的 模的最大值。谱范数衡量了矩阵的最大特征值的大小，表示矩阵的最大奇异值。
向量范数和矩阵范数
2. F范数：对于m×n矩阵A，它的F范数定义为 ||A||F = √(∑∑|aij|^2)，其中aij表示A的第i 行第j列的元素。F范数衡量了矩阵所有元素的平方和的平方根。
3. 1-范数：对于m×n矩阵A，它的1-范数定义为 ||A||1 = max(∑|aij|)，其中∑表示对所有 列求和。1-范数衡量了矩阵列向量绝对值之和的最大值。
向量范数和矩阵范数
向量范数是对向量进行度量或衡量的方式，它是一个将向量映射到非负实数的函数。常见 的向量范数有欧几里得范数（L2范数）、L1范数和无穷范数（L∞范 ..., xn)，它的欧几里得范数定义为 ||x||2 = √(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)。它表示向量的长度或大小，也可以理解为向量的2范数。
第3章向量和矩阵范数.ppt
若B满足 B 1, 则
I B非奇异, 且 ( I B)
1
1 1 B
证：假设det(I B) 0, ( I B) x 0有非零解 即存在x0 0，使Bx0 x0 Bx0 x0
x0 Bx0 B x0
B 1
与假设矛盾
定理1. 设 是Rnn上的一种算子范数 A Rnn , ,
1i n
1in
max xi max yi x
1in
y
x
显然
p
( x1
p
x2
p
xn
p
)
1
p
x的p 范数, p 1
x 1和 x
2
是 x p 在p 1和p 2时的特例
例：计算向量x (1, 2,3) 的各种范数。
比较这两个方程组可以看出，他们只是右端项有微小的差 1 别，最大相对误差为 105 , 但它们的解却大不相同，解分量 2 1 的相对误差至少为 。 2
定义： 如果矩阵A或常数项b的微小变化，引 起方程组Ax b解的巨大变化，则称此方程组 为“病态”方程组，矩阵A称为“病态”矩阵 （相对于方程组而言）。
矩阵范数例
与前述三种向量范数相容的三种矩阵范数：
A 2 max Ax 2 1 , 其中 1是 AT A的最大特征值。
x 2 1
又称为谱范数。
x 1 1
设A (aij )为n阶方阵。
n 1 j n
A 1 max Ax 1 max aij
i 1
, 为矩阵的
列向量的1－范数的最大值称为矩阵的列范数。
1 j n i 1
A max aij max{3,4,2} 4 1 i n
矩阵和向量范数详解-数值计算方法
度量。Rn空间的向量范数 || ·|| 对任意x, y R满n足条件：
(1)
|| x|| 0 ;
|| x|| 0
x
0
（正定性)
(2) || x|| | | || x|| 对任意 C (齐次性)
(3) || x y|| || x|| || y|| （三角不等式)
定义：向量X
( x1,
gg
范数是绝对值的概念的推广，绝对值是一维概念，绝对 值的几何意义就是长度，那么很自然就有了：n维向量长度 就是范数。范数可以推广到无穷维空间。
1. 范数
向量范数和向量的模
向量的模表示的是向量的大小，比如向量
X ( x1, x2...x的n )模为
X x12 x22 ...xn2
向量的范数用于衡量一个向量的大小，是更广义
向量和矩阵范数
主要内容
1、什么是范数 2、向量范数 3、矩阵范数
2
1. 范数
范数是什么？
范数具有“长度”的概念，在线下代数、泛函分析 等相关数学领域，范数表征的是矢量空间中所有矢量的 正长度和大小。范数是对向量和矩阵的一种度量,实际 上是二维和三维向量长度概念的一种推广。
简单来说向量范数可以理解为向量的长度，矩阵范 数可以理解为矩阵的变化大小。
意义：矩阵的谱或叫矩阵的谱半径，在特征值估计、广义逆矩阵 等理论的建树中，都占有极其重要的地位；
定理 对任意算子范数 || ·|| 有( A) || A ||
即 A 的谱半径是A的任意一种范数的下界
证明：由算子范数的相容性，得到 || Ax|| || A || || x||
将任意一个特征根 所对应的特征向量 u代入 | | || u|| || u|| || Au|| || A || || u||
矩阵分析第五章
则称||A||β为与||x||α相容的矩阵范数.
例1：矩阵A 的Frobenius范数与向量2-范数相容
(∑ ∑ ) (∑ ) A = F
m i =1
n|
j =1
aij
|2
1/ 2
,
x= 2
n|
j =1
xj
|2
1/ 2
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Ax 2 = 2
m i =1
a x n
j =1 ij j
2
≤
(4) 矩阵乘法相容性: ||AB|| ≤ ||A|| ||B||, ∀A, B: AB可相乘
则称实数||A||为矩阵A的范数.
∑ ∑ 例1：A =(aij)∈Cm×n, 定义 A =
m i =1
n|
j =1
aij
|
是A的范数,
是向量1-范数的推广
证明：(1)(2)(3)自然满足, 只需验证(4).
∑ (1) 若A = (α1, α2, L, αn), 则
A2 = F
α n
2
i=1 i 2 ;
∑ (2) A 2 = trace( AH A) = F
n i =1
λi
(
AH
A)
(3)
∀U
∈
U
m×m m
,
V
∈U
n×n n
,
A = UA = AH = AV = UAV
F
F
F
F
F
( ) ( ) 证明(3)： UA 2 = trace (UA)H (UA) = trace AH (U HU ) A
+
b n
k =1 k
ak
+ bk
例1：矩阵A 的Frobenius范数与向量2-范数相容
(∑ ∑ ) (∑ ) A = F
m i =1
n|
j =1
aij
|2
1/ 2
,
x= 2
n|
j =1
xj
|2
1/ 2
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Ax 2 = 2
m i =1
a x n
j =1 ij j
2
≤
(4) 矩阵乘法相容性: ||AB|| ≤ ||A|| ||B||, ∀A, B: AB可相乘
则称实数||A||为矩阵A的范数.
∑ ∑ 例1：A =(aij)∈Cm×n, 定义 A =
m i =1
n|
j =1
aij
|
是A的范数,
是向量1-范数的推广
证明：(1)(2)(3)自然满足, 只需验证(4).
∑ (1) 若A = (α1, α2, L, αn), 则
A2 = F
α n
2
i=1 i 2 ;
∑ (2) A 2 = trace( AH A) = F
n i =1
λi
(
AH
A)
(3)
∀U
∈
U
m×m m
,
V
∈U
n×n n
,
A = UA = AH = AV = UAV
F
F
F
F
F
( ) ( ) 证明(3)： UA 2 = trace (UA)H (UA) = trace AH (U HU ) A
+
b n
k =1 k
ak
+ bk
向量的范数与矩阵的范数2
H
（ 3 ） A max aij .
i j 1
n
通常称 A 1 , A 2 与 A 依次为列和范数，谱范数及 行和范数.
2. P-范数
一些性质：（和向量范数类似） 1. 矩阵A的任意一种矩阵范数都是A中元素 的连续函数。 2. 任意两种矩阵范数是等价的，等价定义 同向量范数。
三. 矩阵的谱半径及其性质
F-范数. 是最常用的矩阵范数。
A F 的特点：矩阵的F-范数是酉不变的.
定理4.5 设 A C ，且 P C 与Q C 都是酉矩阵，则 PA F A F AQ F 证 因为
mn
mm
nn
即
，于是
定理4.6 设 M 是 Cnn上的方阵范数，任取Cn 中的非零列向量y ,则函数 x V xy
A B
n m1
i , j 1 n
a b
n
ij
bij
i , j 1
a
n
ij
bij
i , j 1
a
ij
i , j 1
ij
A m1 B
m1
定义4.4
n
C 上的同类向量范数 V ，如果
mn
对于 Cmn上的矩阵范数 M 和
n
Ax v A M x V , A C , x C 则称矩阵范数 M与向量范数 V 是相容的.
，有
因此， x V是 C n 上的向量范数. 当 A C nn ,
x C n 时，
所以矩阵范数 M 与向量范数 V 相容. 二. 几种常用的矩阵范数
1. 从属于向量范数的矩阵范数
定理4.7 已知 上的向量范数 ,则
（ 3 ） A max aij .
i j 1
n
通常称 A 1 , A 2 与 A 依次为列和范数，谱范数及 行和范数.
2. P-范数
一些性质：（和向量范数类似） 1. 矩阵A的任意一种矩阵范数都是A中元素 的连续函数。 2. 任意两种矩阵范数是等价的，等价定义 同向量范数。
三. 矩阵的谱半径及其性质
F-范数. 是最常用的矩阵范数。
A F 的特点：矩阵的F-范数是酉不变的.
定理4.5 设 A C ，且 P C 与Q C 都是酉矩阵，则 PA F A F AQ F 证 因为
mn
mm
nn
即
，于是
定理4.6 设 M 是 Cnn上的方阵范数，任取Cn 中的非零列向量y ,则函数 x V xy
A B
n m1
i , j 1 n
a b
n
ij
bij
i , j 1
a
n
ij
bij
i , j 1
a
ij
i , j 1
ij
A m1 B
m1
定义4.4
n
C 上的同类向量范数 V ，如果
mn
对于 Cmn上的矩阵范数 M 和
n
Ax v A M x V , A C , x C 则称矩阵范数 M与向量范数 V 是相容的.
，有
因此， x V是 C n 上的向量范数. 当 A C nn ,
x C n 时，
所以矩阵范数 M 与向量范数 V 相容. 二. 几种常用的矩阵范数
1. 从属于向量范数的矩阵范数
定理4.7 已知 上的向量范数 ,则
向量和矩阵的范数课件
平移不变性
对于任意向量x和任意实数a，||x + a|| = ||x||。
三角不等式
对于任意向量x和y，||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||。
向量范数的计算方法
欧几里得范数
对于向量x = [x1, x2, ..., xn]^T，||x|| = sqrt(Σ(xi^2))。
无穷范数
对于向量x = [x1, x2, ..., xn]^T，||x|| = max(abs(xi))。
定义
向量是一个具有n个实数或复数分量 的一维数组，通常表示为 $mathbf{a} = (a_1, a_2, ldots, a_n)$。
表示
向量可以用箭头表示，例如 $mathbf{a}$，并在每个分量旁标出 其数值。
矩阵的定义和表示
要点一
定义
矩阵是一个由m行n列的实数或复数组成的矩形阵列，表示 为$A = begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ldots & a_{1n} a_{21} & a_{22} & ldots & a_{2n} vdots & vdots & ddots & vdots a_{m1} & a_{m2} & ldots & a_{mn} end{bmatrix}$。
在数值分析中的应用
1 2 3
数值稳定性
范数可以用于评估算法的数值稳定性，例如，在 求解线性方程组时，范数可以用于衡量算法的收 敛性和误差。
矩阵近似
范数可以用于衡量矩阵的近似程度，例如，在计 算矩阵的逆或特征值时，范数可以用于评估算法 的精度。
数值逼近
对于任意向量x和任意实数a，||x + a|| = ||x||。
三角不等式
对于任意向量x和y，||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||。
向量范数的计算方法
欧几里得范数
对于向量x = [x1, x2, ..., xn]^T，||x|| = sqrt(Σ(xi^2))。
无穷范数
对于向量x = [x1, x2, ..., xn]^T，||x|| = max(abs(xi))。
定义
向量是一个具有n个实数或复数分量 的一维数组，通常表示为 $mathbf{a} = (a_1, a_2, ldots, a_n)$。
表示
向量可以用箭头表示，例如 $mathbf{a}$，并在每个分量旁标出 其数值。
矩阵的定义和表示
要点一
定义
矩阵是一个由m行n列的实数或复数组成的矩形阵列，表示 为$A = begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ldots & a_{1n} a_{21} & a_{22} & ldots & a_{2n} vdots & vdots & ddots & vdots a_{m1} & a_{m2} & ldots & a_{mn} end{bmatrix}$。
在数值分析中的应用
1 2 3
数值稳定性
范数可以用于评估算法的数值稳定性，例如，在 求解线性方程组时，范数可以用于衡量算法的收 敛性和误差。
矩阵近似
范数可以用于衡量矩阵的近似程度，例如，在计 算矩阵的逆或特征值时，范数可以用于评估算法 的精度。
数值逼近
向量范数和矩阵范数
圆范数。 由于 A 是Hermite正定矩阵，从而有可逆矩阵 P ，
使得 A = P H B ，因此 || x ||A = ( Px ) H ( Px ) = || P x ||2 这从几何上可以看成是求可逆变换 P 后的像的“长
度” || Px ||2 。这说明P 只要是列满秩的矩阵即可。 如果 P = diag ( w1 , L , wn ) ，此时 || x ||A = ( 这就是加权范数或椭圆范数名称的由来。
|| A ||m ¥ º max | ai j |
1＃i m 1＃ j n
定义的 || ||m 是 F mn 上的（广义）矩阵范数，称为
l 范数。
数学系 李继根（jgli@）
例 3 对任意
A (ai j ) F
m n i= 1 j = 1
mn
，由
1/2
骣 琪 || A ||F º 琪 邋 琪 琪 è
骣 p || x || p º 琪 | x | , p ³ 1 琪 å i 琪 琪 桫 i= 1 定义的 || || p 是 F n上的向量范数，称为p -范数或 l p
范数。
数学系 李继根（jgli@）
特别地，p=1时，有
例 5 对任意
x ( x1 , x2 , , xn ) F ，由
|| f ( t ) ||2 º
ò ò
a
b
| f ( tห้องสมุดไป่ตู้) | pdt
b a
| f ( t ) |2dt
|| f ( t ) ||¥ = max | f ( t ) |
a＃t b
数学系 李继根（jgli@）
例 9 若矩阵
AC
n n
为Hermite正定矩阵，则由
使得 A = P H B ，因此 || x ||A = ( Px ) H ( Px ) = || P x ||2 这从几何上可以看成是求可逆变换 P 后的像的“长
度” || Px ||2 。这说明P 只要是列满秩的矩阵即可。 如果 P = diag ( w1 , L , wn ) ，此时 || x ||A = ( 这就是加权范数或椭圆范数名称的由来。
|| A ||m ¥ º max | ai j |
1＃i m 1＃ j n
定义的 || ||m 是 F mn 上的（广义）矩阵范数，称为
l 范数。
数学系 李继根（jgli@）
例 3 对任意
A (ai j ) F
m n i= 1 j = 1
mn
，由
1/2
骣 琪 || A ||F º 琪 邋 琪 琪 è
骣 p || x || p º 琪 | x | , p ³ 1 琪 å i 琪 琪 桫 i= 1 定义的 || || p 是 F n上的向量范数，称为p -范数或 l p
范数。
数学系 李继根（jgli@）
特别地，p=1时，有
例 5 对任意
x ( x1 , x2 , , xn ) F ，由
|| f ( t ) ||2 º
ò ò
a
b
| f ( tห้องสมุดไป่ตู้) | pdt
b a
| f ( t ) |2dt
|| f ( t ) ||¥ = max | f ( t ) |
a＃t b
数学系 李继根（jgli@）
例 9 若矩阵
AC
n n
为Hermite正定矩阵，则由
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x y max{ x y max{ x max{ x x y
, x y
} y
y , x
, x
}
} max{ y
, y
综上有，
x y
x y
两个重要不等式
设 a1 , a2 , 1
n
, an , b1 , b2 ,
n 1 p p n 1 q q
T
, bn C
T
n
（Hőlder不等式）：
ab
i 1
i i
( ai ) ( bi )
i 1 i 1
2
n
其中 p 1, q 1 且 p=2， Cauchy-Schwarz （Minkowski 不等式）： 不等式
2.5.1 向量范数的概念与性质
定义1 设V是数域F(R或C)上的线性空间，实值函 数 :V R 称为向量范数，是指对于任意
x 0 ，且 x 0 x 0 x，y∈V ，满足下列性质： 正定性
齐次性
kx k x
三角形不等式
x y x y
x 是V中向量
空间V称为赋范线性空间，
证明(1)：当 x 时，由 x
0 x
0 ，可知
x max{ x , x } 0
即正定性成立。
对任意的常数k∈C，及任意的x∈V，有
kx max{ kx
, kx
} max{ k
x
, k
x
}
。 (1) x max{ x , x }是 V ( F ) 上的范数. 对任意的y∈V，有
1 1 1 p q
1 p
n n n i ) 2 ( ai bia b) ( a ) ( b i a b
i 1
i 1
1 p p
n
i i
i 1 1 i
1 p p 2 2
1
n
i
i i1 i 1 其中实数
1 p 2
x的范数，简称向量范数。
向量范数是定义在线性空间上的一个非负的实值函数，
它具有如下的性质：
(1)
0
1 x 1, || x || 0 x
(2)
(3)
x x
(4)
x y
x y
证明(4)：
x x y y x y y x y x y
另一方面，
y x ( y x) x y x x x y x y y x
a t b
∞-范数
利用线性空间中已知的范数构造新的范数 例 3 设 x , x 是线性空间 V ( F ) 上的两个向量范
数,则对于任意的 x V ,有:
(1) x max{ x , x }是 V ( F ) 上的范数. (2) x k1 x
k2 x
是V ( F ) 上的范数.
p 1
。
向量空间中常用的范数 例 1：设向量 x [ x1 , x2 ,
n
，对任意的数 p 1 , xn ]T
称:
x
p
( x i ) 为向量 x 的 p 范数。
i 1
1 p p
证明:只需验证(1)正定性,(2)齐次性,(3)三角不等式
n n x , y C ( R ), x 设 x1 , x2 ,
xn , y y1 , y2 ,
yn
(1) 正定性显然。 (2) 对任意的常数 k C ( R),由实值函数的定义:
kx
p
( kxi ) ( k
i 1
n
1 p p
p
x
i 1
n
1 p p
i
) k x
p
(3) 由Minkowski不等式知
x y
p
( xi yi )
下三种映射是该空间中常用的三种范数
f (t ) 1 f (t ) dt ,
a b
f (t ) C[a, b]
1 p
1-范数 p-范数
f ( t ) p ( f ( t ) dt ) ,
p a
b
f ( t ) C[a, b]
f (t ) C[a, b]
f (t ) max f (t ) ,
矩阵论教程A
哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队
Department of Mathematics, College of Sciences
课程要求
作业要求
书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取
使用教材
《 矩阵论教程》国防工业出版社 2012
其他辅导类参考书（自选） 矩阵论网站 /
p i 1 n p 1 p
n
1 p
( xi ) ( yi ) x p y
p i 1 i 1
n
1 p
p
x
p
( xi )
i 1
n
1 p p
p≧1，可知在同一个线性空间 中，可以定义不同的向量范数。
例2
设C[a,b]是由 [a,b]上所有连续函数f(x)所构成的
集合,按照通常意义下的加法和数乘构成线性空间，如
造标准正交基；
3, 理解正交子空间及其正交补的概念，掌握正交投影的 概念；理解正交变换的概念，熟练掌握正交矩阵的性质；
教学内容和基本要求
4, 理解向量范数的概念，知道常用向量范数的几何意义
及其性质；理解矩阵范数的概念，掌握算子范数，会求 常用的算子范数，并掌握矩阵范数与向量范数的相容性； 5, 理解谱半径的概念，掌握谱半径的相关性质；
第二章 内积空间与赋范线性空间
1 2
欧氏空间与酉 空 间
标准正交基与向量的正交化
正交子空间 酉(正交)变换与正交投影 向量范数与矩阵范数 向量范数与矩阵范数的相容性
授课预计 (10学时)
3
4 5 6
教学内容和基本要求
1，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质， 理解内积空间的概念； 2, 理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构
重点： 施密特正交化方法；正交子空间及其正交补；
正交投影；酉变换；算子范数；相容性
难点： 正交基及子空间的正交关系，算子范数及其与
向量范数的相容性
范数集中描述了向量空间的中大小和距
离的度量。
从范数可以导出向量与向量、矩阵与矩阵之间
的距离，进而引出向量序列和矩阵序列收敛的
问题。
§2.5
向量范数与矩阵范数
, x y
} y
y , x
, x
}
} max{ y
, y
综上有，
x y
x y
两个重要不等式
设 a1 , a2 , 1
n
, an , b1 , b2 ,
n 1 p p n 1 q q
T
, bn C
T
n
（Hőlder不等式）：
ab
i 1
i i
( ai ) ( bi )
i 1 i 1
2
n
其中 p 1, q 1 且 p=2， Cauchy-Schwarz （Minkowski 不等式）： 不等式
2.5.1 向量范数的概念与性质
定义1 设V是数域F(R或C)上的线性空间，实值函 数 :V R 称为向量范数，是指对于任意
x 0 ，且 x 0 x 0 x，y∈V ，满足下列性质： 正定性
齐次性
kx k x
三角形不等式
x y x y
x 是V中向量
空间V称为赋范线性空间，
证明(1)：当 x 时，由 x
0 x
0 ，可知
x max{ x , x } 0
即正定性成立。
对任意的常数k∈C，及任意的x∈V，有
kx max{ kx
, kx
} max{ k
x
, k
x
}
。 (1) x max{ x , x }是 V ( F ) 上的范数. 对任意的y∈V，有
1 1 1 p q
1 p
n n n i ) 2 ( ai bia b) ( a ) ( b i a b
i 1
i 1
1 p p
n
i i
i 1 1 i
1 p p 2 2
1
n
i
i i1 i 1 其中实数
1 p 2
x的范数，简称向量范数。
向量范数是定义在线性空间上的一个非负的实值函数，
它具有如下的性质：
(1)
0
1 x 1, || x || 0 x
(2)
(3)
x x
(4)
x y
x y
证明(4)：
x x y y x y y x y x y
另一方面，
y x ( y x) x y x x x y x y y x
a t b
∞-范数
利用线性空间中已知的范数构造新的范数 例 3 设 x , x 是线性空间 V ( F ) 上的两个向量范
数,则对于任意的 x V ,有:
(1) x max{ x , x }是 V ( F ) 上的范数. (2) x k1 x
k2 x
是V ( F ) 上的范数.
p 1
。
向量空间中常用的范数 例 1：设向量 x [ x1 , x2 ,
n
，对任意的数 p 1 , xn ]T
称:
x
p
( x i ) 为向量 x 的 p 范数。
i 1
1 p p
证明:只需验证(1)正定性,(2)齐次性,(3)三角不等式
n n x , y C ( R ), x 设 x1 , x2 ,
xn , y y1 , y2 ,
yn
(1) 正定性显然。 (2) 对任意的常数 k C ( R),由实值函数的定义:
kx
p
( kxi ) ( k
i 1
n
1 p p
p
x
i 1
n
1 p p
i
) k x
p
(3) 由Minkowski不等式知
x y
p
( xi yi )
下三种映射是该空间中常用的三种范数
f (t ) 1 f (t ) dt ,
a b
f (t ) C[a, b]
1 p
1-范数 p-范数
f ( t ) p ( f ( t ) dt ) ,
p a
b
f ( t ) C[a, b]
f (t ) C[a, b]
f (t ) max f (t ) ,
矩阵论教程A
哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队
Department of Mathematics, College of Sciences
课程要求
作业要求
书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取
使用教材
《 矩阵论教程》国防工业出版社 2012
其他辅导类参考书（自选） 矩阵论网站 /
p i 1 n p 1 p
n
1 p
( xi ) ( yi ) x p y
p i 1 i 1
n
1 p
p
x
p
( xi )
i 1
n
1 p p
p≧1，可知在同一个线性空间 中，可以定义不同的向量范数。
例2
设C[a,b]是由 [a,b]上所有连续函数f(x)所构成的
集合,按照通常意义下的加法和数乘构成线性空间，如
造标准正交基；
3, 理解正交子空间及其正交补的概念，掌握正交投影的 概念；理解正交变换的概念，熟练掌握正交矩阵的性质；
教学内容和基本要求
4, 理解向量范数的概念，知道常用向量范数的几何意义
及其性质；理解矩阵范数的概念，掌握算子范数，会求 常用的算子范数，并掌握矩阵范数与向量范数的相容性； 5, 理解谱半径的概念，掌握谱半径的相关性质；
第二章 内积空间与赋范线性空间
1 2
欧氏空间与酉 空 间
标准正交基与向量的正交化
正交子空间 酉(正交)变换与正交投影 向量范数与矩阵范数 向量范数与矩阵范数的相容性
授课预计 (10学时)
3
4 5 6
教学内容和基本要求
1，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质， 理解内积空间的概念； 2, 理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构
重点： 施密特正交化方法；正交子空间及其正交补；
正交投影；酉变换；算子范数；相容性
难点： 正交基及子空间的正交关系，算子范数及其与
向量范数的相容性
范数集中描述了向量空间的中大小和距
离的度量。
从范数可以导出向量与向量、矩阵与矩阵之间
的距离，进而引出向量序列和矩阵序列收敛的
问题。
§2.5
向量范数与矩阵范数