函数的单调性与二次函数

函数的单调性与二次函数

重难点知识归纳

（一）函数的单调性

1、单调增函数的定义：在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1

2、单调减函数的定义：在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1f(x2)，那么，就称函数y=f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y=f(x)在区间A上是递减的．

3、单调性：如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数.那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f（x）的单调区间．

说明：（1）增（减）函数等价形式：x

1，x

2

∈[a，b]，那么f(x)

在[a，b]上是增函数；f(x)在[a，b]上是减函数．

（2）函数增减性（单调性）的几何意义，反映在图像上，若f(x)是区间D上的增（减）函数，则图像在D上的部分从左到右是上升（下降）的．

4、函数单调性的证明

证明函数的单调性主要是利用定义来证明，其步骤为：

（1）取值：设x

1，x

2

为该区间内任意的两个值，且x

1

（2）做差变形：作差f(x

1

)－f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；

（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论；

（4）判断：根据定义得出结论．

（二）二次函数性质的再研究

1、二次函数在R上的最值问题

求二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)在R上的最值常用方法有：一是配方法，即化为

，从而求出它的最值；二是公式法，即利用性质中的结论来确定最值．

2、二次函数在闭区间的最值问题

二次函数在闭区间上的最值问题，由它的单调性来确定，而它的单调性又由二次函数的开口方向和对称轴位置（在区间上还是在区间左边，还是在区间右边）来决定．当开口方向和对称轴位置不确定时，则需要进行分类讨论．

三、典型例题剖析

例1、证明函数f(x)=x3＋x在R上单调递增．

解析：任取x1、x2∈R，且x1

∴f(x1)－f(x2)=x13＋x1－x23－x2=(x1－x2)(x12＋x1x2＋x22＋1)=

．

即f(x1)

故f(x)=x3＋x在R上单调递增．

例2、如果二次函数f（x）=x2－（a－1）x＋5在区间上是增函数，求f（2）的取值范围.

解析：二次函数f（x）在区间上是增函数，

由于其图象（抛物线）开口向上，故其对称轴或与直线重合或位于直线

的左侧，于是，解之得a≤2，故f（2）≥－2×2＋11=7，即f（2）≥7．

例3、讨论函数解析：设－1＜x1＜x2＜1，则f（x1）－f（x2）=.

.

∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x1x2＋1＞0，（x12－1）（x22－1）＞0.又a＞0，∴f（x1）－f（x2）＞0，函数f（x）在（－1，1）上为减函数.

f（x）=（a＞0）在x∈（－1，1）上的单调性.

例4、已知二次函数f(x)，当x=2时有最大值16，它的图像截x轴所得的线段长为8，求解析式．

分析：由于二次函数f(x)的最值给出，即顶点坐标给出，可设顶点式，再由待定系数法求出所要定的系数，也可由对称轴方程及图像截x轴所得的线段的长，利用f(x)=0的两根来表示．

解：设f(x)=a(x－2)2＋16，即f(x)=ax2－4ax＋16＋4a，

方程ax2－4ax＋16＋4a=0的两根x1，x2，满足|x1－x2|=8，

而|x1－x2|2=(x1＋x2)2－4x1x2=，∴a=－1．

故f(x)=－x2＋4x＋12．

例5、定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f（a＋b）=f（a）·f（b）.

（1）求证：f（0）=1；

（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；

（3）求证：f（x）是R上的增函数；

（4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.

解析：（1）证明：令a=b=0，则f （0）=f 2

（0）.又f （0）≠0，∴f （0）=1．

（2）证明：当x ＜0时，－x ＞0，∴f （0）=f （x ）·f （－x ）=1.

∴f （－x ）=＞0.又x ≥0时f （x ）≥1＞0，∴x ∈R 时，恒有f （x ）＞0.

（3）证明：设x 1

＜x 2

，则x 2

－x 1

＞0，

∴f （x 2

）=f （x 2

－x 1

＋x 1

）=f （x 2

－x 1

）·f （x 1

）.

∵x 2

－x 1

＞0，∴f （x 2

－x 1

）＞1.

又f （x 1

）＞0，∴f （x 2

－x 1

）·f （x 1

）＞f （x 1

）.

∴f （x 2

）＞f （x 1

）.∴f （x ）是R 上的增函数.

（4）解：由f （x ）·f （2x －x 2

）＞1，f （0）=1得f （3x －x 2

）＞f （0）.

又f （x ）是R 上的增函数，∴3x －x 2

＞0.∴0＜x ＜3.

例6、设x

x

e

a a

e

x f a +

=

>)(,0是R 上的偶函数．

（Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）证明f （x ）在（0，+∞）上是增函数．

（I ）解析：依题意，对一切R x ∈有)()(x f x f -=，即,1x x

x x

ae ae

e a a e +=+

所以0)1)(1(=--x

x e

e a

a 对一切R x ∈成立.

由此得到,01=-

a

a 即a 2=1. 又因为a ＞0，所以a=1.

（II ）证明一：设0＜x 1＜x 2， )11)(

(11)()(2

11

2

2

1

2121--=-

+

---+x x x x x x x x e

e

e

e

e

e e x

f x f

,1)1(1

21

21

21

x x x x x x x e

e e

e

++--⋅

-=