数字图像处理第三版中文答案冈萨雷斯(供参考)

第二章
（第二版是和*的矩形，第三版是和圆形）
对应点的视网膜图像的直径x 可通过如下图题所示的相似三角形几何关系得到，即
()()017
023
02.x .d =
解得x=。

根据 节内容，我们知道：如果把中央凹处想象为一个有337000 个成像单元的圆形传感器阵列，它转换成一个大小2
5327.⨯π成像单元的阵列。

假设成像单元之间的间距相等，这表明在总长为1.5 mm （直径） 的一条线上有655个成像单元和654个成像单元间隔。

则每个成像单元和成像单元间隔的大小为s=[(1.5 mm)/1309]=×10-6 m 。

如果在中央凹处的成像点的大小是小于一个可分辨的成像单元，在我们可以认为改点对于眼睛来说不可见。

换句话说， 眼睛不能检测到以下直径的点：
m .d .x 61011060-⨯<=，即m .d 610318-⨯<
当我们在白天进入一家黑暗剧场时，在能看清并找到空座时要用一段时间适应。

节描述的视觉过程在这种情况下起什么作用？
亮度适应。

虽然图中未显示，但交流电的却是电磁波谱的一部分。

美国的商用交流电频率是77HZ 。

问这一波谱分量的波长是多少？
光速c=300000km/s ，频率为77Hz 。

因此λ=c/v= * 108(m/s)/77(1/s) = *106m = 3894 Km.
根据图得：设摄像机能看到物体的长度为x (mm)，则有:500/x=35/14; 解得：x=200，所以相机的分辨率为：2048/200=10;所以能解析的线对为：10/2=5线对/mm. 假设中心在（x0,y0）的平坦区域被一个强度分布为：
])0()0[(2
2),(y y x x Ke y x i -+--= 的光源照射。

为简单起见，假设区域的反射是恒定
的，并等于，令K=255。

如果图像用k 比特的强度分辨率进行数字化，并且眼睛可检测相邻像素间8种灰度的突变，那么k 取什么值将导致可见的伪轮廓？ 解：题中的图像是由：
()()()()()[
]()()[]2
02
02
020********y y x x y y x x e .e y ,x r y ,x i y ,x f -+---+--=⨯==
一个截面图像见图（a ）。

如果图像使用k 比特的强度分辨率，然后我们有情况见图（b ），其中()k
G 21255+=∆。

因为眼睛可检测4种灰度突变，因此，k
G 22564==∆，K= 6。

也就是说，k
2小于64的话，会出现可见的伪轮廓。

(a) 传输数据包(包括起始比特和终止比特)为：N=n+m=10bits 。

对于一幅2048×2048 大小的图像，其总的数据量为()N M ⨯=2
2048，故以56K 波特的速率传输所需时间为：
()()min .s .M T 48129874856000282048560002
==+⨯==
(b) 以3000K 波特的速率传输所需时间为
()()s .M T 9813300000028204830000002
=+⨯==
解：图像宽高比为16:9，且水平电视线的条数是1080条，则：竖直电视线为1080×（16/9）=1920 像素/线。

由题意可知每场用1s 的1/60，则：每帧用时2×1/60=1/30 秒。

则该系统每1/30 秒的时间形成一幅1920×1080 分辨率的红、绿、蓝每个像素都有8 比特的图像。

又因为90min 为5400 秒，故储存90min 的电视节目所需的空间是：
s .bits .byte 10001110062854003038192010801212⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯
解：p 和q 如图所示：
(a) 1S 和2S 不是4 邻接，因为q 不在()p N 4集中。

(b) 1S 和2S 是8 连接，因为q 在()p N 8集。

(c) 1S 和2S 是m 连接，因为q 在集合()p N D 中，且()()q N p N 44 没有V 值的像素。

提出将一个像素宽度的8通路转换为4通路的一种算法。

解：找出一个像素点的所有邻接情况，将对角元素转化成相应的四邻接元素。

如下图所示：
提出将一个像素宽度的m 通路转换为4通路的一种算法。

解：把m 通道转换成4 通道仅仅只需要将对角线通道转换成4 通道，由于m 通道是8 通道与4 通道的混合通道，4 通道的转换不变，将8 通道转换成4 通道即可。

如图所示：
(1) 4 邻域关系不变
(2) 8 领域关系变换如下图所示
（没答案，自己做的，看对不对）
(1) 在V ＝｛0,1,2｝时，p 和q 之间通路的D 4距离为8（两种情况均为8），D 8距离为4，D m 距离为6。

(2) 在V ＝｛2,3,4｝时，p 和q 之间通路的D 4距离为∞，D 8距离为4，D m 距离为5。

p 和q 之间不存在4 邻接路径，因为不同时存在从p 到q 像素的4 毗邻像素和具备V 的值，情况如图(a)所示。

p 不能到达q 。

解：
(a) 点p(x ，y ）和点q(s ，t)两点之间最短4 通路如下图所示，其中假设所有点沿路径V 。

路径段长度分别为t y s x --和，由D4距离的定义可知，通路总长度| X-S|+| Y-T|，（这个距离是独立于任何点之间可能存在的任何路径），显然4D 距离是等于这两点间的最短4通路。

所以当路径的长度是t y s x -+-，满足这种情况。

(b) 路径可能未必惟一的，取决于V 和沿途的点值。

由公式H [f(x,y)]=g(x,y),
让H 表示相邻的和操作,让1S 和2S 表示两个不同子图像区的小值,并让1S + 2S 表示相应的总数1S 和2S 像素,如在2.5.4节里的解释. 注意到附近的大小(即像素数字)并没有随着这总和的改变而改变。

H 计算像素值是一个给定的区域。

然后,
()21bS aS H +
意味着:
(1)在每个子区域里乘像素,
(2)从1aS 到2bS 每个像素值相加(首先产生一个单独的子区域)
(3)在单独的子图像区域里计算所有像素值的和。

让1ap 和2ap 表示两个任意(但相应的)像素21bS aS +。

然后我们可以依据Eq. - 1),表明H 是一个线性算子。

（两个版本答案，一个意思）
（1）中值ζ表示，数集的一半数值比它大，另一半比它小。

一个简单的例子能够表明,Eq. - 1)的平均算子操作。

让 S1 = {1,-2，3}, S2 = {4，5， 6}, a = b = 1. 在这种情况下,H 是平均算子。

然后有H(S1 + S2)=中值{ 5,3,9 } = 5，S1 + S2是S1和S2的和。

接下来,计算H(S1)=中值{ 1、-2、3 } =1和H(S2)=中值{ 4、5、6 } = 5。

然后,从H(aS1 + bS2)≠aH(S1)+ bH(S2),因此,子图像区域S 中值的算子是非线性的。

（2）
因为()()()y ,x y ,x f y ,x g η+= ()==
∑1
1
,(,)K
i i
g x y g x y K ()=⎡⎤
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
∑11
,(,)K
i i E g x y E g x y K ()()()η=⎡⎤=+⎢⎥
⎣
⎦
∑1
1
,,K
i
i
i E f x y x y K
()()()η==⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑111
1,,,K K i i i i E f x y E x y f x y K K
()σσ=⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦
⎝⎭∑2
211,(,)K
i i g x y g x y K
()()()ση=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
∑22
11,,K i i i f x y x y K
()()ησσησ==⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑2
22
22111
11,,K K i i i i f x y x y K K K
（没答案 看看做的对不对）
(a) 为A 的补集
(b) C B A
()()()C B A C A C B B A 2- ()()C B B A B C A -- （看看翻的对不对）
答：使用三角区即三个约束点，所以我们可以解决以下的系数为6的线性方程组：
6
543
21c y c x c y c y c x c x ++='++='
实施空间变换。

插值强度可使用2.4.4节的方法。

（看看翻的对不对）
傅里叶变换核是可分的，因为：
()()()()()()v ,y r u ,x r e e e v ,u ,y ,x r N /vy j M /ux j N /vy M /ux j 21222===--+-πππ
傅里叶变换核是对称的，因为：
()()()()()v ,y r u ,x r e e e N /vy j M /ux j N /vy M /ux j 11222==--+-πππ
（看看翻的对不对）
由可分离变换核的定义知其中：
当x值固定时，可看作f(x,y)某一行的一维变换，当x从0变换到M-1时计算出整个数组T （x,v），然后，通过替换这个数组的最后一行以前的方程我们可以得到T（x,v）按列的一维变换。

也就是说，当一个图像是内核可分的，我们可以计算图像沿行的一维变换，然后我们计算中间的一列得到最终的二维变换T(u,v).这和先计算列的一维变换再计算中间行得到二维变换最终结果是相同的。

从式（），二维傅里叶变换是由：
它很容易验证，傅立叶变换核是可分离的（参见题），所以我们可以写这个方程：
是沿着f(x,y)行的一维傅里叶变换，X= 0，1，……，M-1。

第三章
（a ）由2
)(Kr Ae
r T s -==，3/2
0A Ae KL =-得：)3/1ln(20=-KL ，2
0/0986.1L K =
2
20
0986
.1)(r L Ae
r T s -==
（b ）、由
， 4/)1(20
B e
KL =--B 得：
)4/3ln(20=-KL ,2
0/2877.0L K =
)1()(2
20
2877.0r L e
B r T s -
-==
（c ）、
逐次查找像素值，如（x ，y ）=（0，0）点的f （x ，y ）值。

若该灰度值的4比特的第0
位是1，则该位置的灰度值全部置1，变为15；否则全部置0，变为0。

因此第7位平面[0,7]置0，[7,15]置1，第6位平面[0,3]，[4,7]置0，[8,11]，[12,15]置15。

依次对图像的全部像素进行操作得到第0位平面，若是第i 位平面，则该位置的第i 位值是0还是1，若是1，则全置1，变为15，若是0，则全置0
设像素的总数为n ，是输入图像的强度值，由，rk
对应sk ，所以，由 和得
由此得知，第二次直方图均衡化处理的结果与第一次直
方图均衡化处理的结果相同，这里我们假设忽略不计四舍五入的误差。

dw w p z G v z
z )()(0⎰
==,⎩⎨
⎧=<<-5.0041
5.044)( w w
w w
z w p
{
5.0021
5.02210
22)()(<<<<+-=
==⎰z z z z z z
z dw w p z G v
令v s =得
所以⎪⎩⎪⎨
⎧=⎪⎩
⎪⎨
⎧==-<<+-±<<--+-±
±-±-5.0102
215.0121
)2(25.022
1
25.01
22)(r r r r r r v v v G z
第k 个点邻域内的局部增强直方图的值为：
P r (r k )=n k /n (k=0,1,2,……K-1)。

这里n k 是灰度级为r k 的像素个数，n 是邻域内像素的总个数，k 是图像中可能的灰度级总数。

假设此邻域从左以一个像素为步长向右移动。

这样最左面的列将被删除的同时在后面又产生一个新的列。

变化后的直方图则变成：
(k=0,1,2,……K-1)
这里n lk 是灰度级r k 在左面的列出现的次数，n rk 则为在右面出现的次数。

上式也可以改写成：
(k=0,1,2,……K-1)
同样的方法也适用于其他邻域的移动：
这里a k 是灰度级r k 在邻域内在移动中被删除的像素数，b k 则是在移动中引入的像素数：
(k=0,1,2,……K-1)
上式等号右边的第一项为0（因为f 中的元素均为常数）。

变量
是噪声的简单抽样，它
的方差是。

因此
并且我们可以得到。

上述过
程证明了式2
),(2
)
,(1y x y x g K
ησσ=
-
的有效性。

（A ）中值是]2/)1[(2
+=n ζ的最大值
（B ）一旦中值被找出，我们简单的删除邻域边缘的值，在合适的位置插入合适的值
旋转前坐标的拉普拉斯定义为2
2222
y f
x f f ∂∂+∂∂=∇，旋转后坐标的拉普拉斯定义为2'22'22
y
f
x f f ∂∂+∂∂=∇，现在给出θθθθcos sin sin cos ,,,,y x y y x x +=-=和，其中θ指轴
旋转的角度，若想证明拉普拉斯变换是各向同性的，只需证明2
'22'22222y f
x f y f x f ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂，
首先，
θθsin cos ,,'y
f
x f x y y f x x x f x f ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 两边对'
x 求导得，
θθθθθθ22
22222,2sin sin cos )(cos sin )(cos y
f x f y y f x x f x f ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂ （1） 同理可得，
θθcos sin ,,'y
f
x f y y y f y x x f y f ∂∂+∂∂-=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 两边对,
y 求导得，
θθθθθθ2
2
22222,2sin sin cos )(cos sin )(cos y f x f y y f x x f y f ∂∂+∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂=∂∂ （2） （1）和（2）式相加得，2
'22'22222y f
x f y f x f ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂，所以拉普拉斯变换是各向同性的。

使用式（）给出的拉普拉斯定义，证明从一幅图像中减去相应的拉普拉斯图像等同于对图
像进行非锐化模板处理。

),(4)]1,()1,(),1(),1([2y x f y x f y x f y x f y x f f --+++-++=∇ （3.6.6）
考虑到下列公式
其中),(_
y x f 是),(y x f 预先确定的临域的平均数，更确切的说就是以),(y x 为中心并且包括中心像素以及四个相邻像素。

把上面的等式的最后一行的常量视为均衡因子（或比例因子），我们可以写出
),(),(),(),(_
2
y x f y x f y x f y x f -≈∇-
等式的右端就是等式),(),(),(_
y x f y x f y x f s -=给出的非锐化掩膜处理的定义。

因此验证了从一幅图像中间取相应的拉普拉斯图像等同于对图像做非锐化掩膜处理。

题
2
/1222
/122])()[(
][)f (y
f x f G G ma
g f y x ∂∂+∂∂=+=∇=∇ （3.6.11） ||||y x G G f +≈∇ （3.6.12）
（a ）由
θθsin cos 'y f x f x f ∂∂+∂∂=∂∂和θθcos sin 'y
f
x f y f ∂∂+∂∂-=∂∂
2'22'22222y f x f y f x f ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂或2/12'22'22/12222)()(y
f x f y f x f ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ 因此,我们看到的梯度向量的模值是一种各向同性梯度算子 （b ）从上面的结果得||
||x
f
G x ∂∂=，||||y f G y ∂∂=
|sin cos |||
||''θθy f x f x f G x ∂∂+∂∂=∂∂=，|cos sin |||||''θθy
f
x f y f G y ∂∂+∂∂-=∂∂= 显然得到||||||||'
'y x y x G G G G +≠+
重复例，但是用函数()2(/4/4)
f t=，对于其他所有的t
=-≤和()0
f t A W W
值。

对你的结果和例子中的结果之间的任何不同，解释原因。

解：
()()()()2244
424
22
22
2sin 22sin 2sin 22
j t W j t W W j t
W j W j W
j W j W
j j F f t e dt Ae dt A e j A e e j A e e j e e j
A
W F W AW
W πμπμπμπμ
πμπμ
πμθ
θμπμ
πμπμθπμμπμπμπμ∞
--∞-------===-
⎡⎤=--⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
-=⎛⎫
∴=
⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪
⎝⎭=⎰
⎰
傅立叶变换的幅值是不变的；由于周期不同，
证明式（）
()()()()()()~
~
2222j t j t n j t n j n Tt
n n F f t e dt
f t t n T e dt
f t t n T e dt f e πμπμπμπμμδδ∞--∞∞
∞
--∞=-∞∞
∞
--∞
=-∞
∞
-∆=-∞
==-∆=-∆=
⎰
∑
⎰
∑⎰∑
中的()~
F μ在
两个方向上是无限周期的，周期为1/T ∆
证明：
(1) 要证明两个方向上是无限周期1/T ∆，只需证明
根据如下式子：
可得：
其中上式第三行，由于k, n 是整数，且和的极限是关于原点对称。

(2) 同样的需要证明
根据如下式子：
()()()()()()~
~
2222j t j t n j t n j n Tt
n n F f t e dt
f t t n T e dt f t t n T e dt f e πμπμπμπμμδδ∞--∞∞
∞
--∞=-∞∞
∞
--∞
=-∞
∞
-∆=-∞
==-∆=-∆=
⎰
∑
⎰∑⎰∑
可得：
其中第三行由于k, n 都为整数，所以
21j kn
e
π-=。

可以证明（Brancewell[2000]）1()1()t t δδ⇔⇔和。

使用前一个性质和表中的平移性质，证明连续函数()cos(2)f t nt π=的傅立叶变换是()()()()1/2F n n μδμδμ=++-⎡⎤⎣⎦，其中是一个实数。

证明：
根据一维傅里叶变换公式：
可得：
⎰
⎰
⎰⎰
⎰∞
∞
---∞
∞
--∞∞----∞
∞
--∞
∞
-+=
+=
=
=dt
e
e
dt e
e dt
e e e dt
e nt dt
e t
f ut
j nt
j ut
j nt j ut j nt j nt j ut j ut j ππππππππππ2222222222
1
2
1 ][21
)2cos( )(F(u)
根据傅里叶变换性质可得：
根据一个常数f(t)=1的傅里叶变换是一个脉冲响应可得：
所以可得如下两个等式：
2-2(1)()(1)(+)
j nt j nt
e n e
n ππδμδμ=-=
所以：
[])()(2
1F(u)n u n u -++=
δδ
考虑连续函数()cos(2)f t nt π=
(a) ()f t 的周期是多少？(b)()f t 的频率是多少?
(a) 根据22nt ππ=，所以周期为1/t n =
(b) 频率为n ，给定的正弦波的连续傅立叶变换如在图。

（a ）（见习题），采样数据（示出了几个期间）的变换所示的一般形式的如图（b ）（虚线框是一个理想的过滤器，将允许重建如果该正弦函数进行采样，采样定理满意）。

解：
(a) 根据正交性，将式直接代入式得
最后一步是根据问题的陈述中给出的正交条件，将式代入式应用同样的过程生成n f 的相似特性。

(b) 如上小题，根据正交性，将式直接代入式得
最后一步是根据问题的陈述中给出的正交条件，将式代入式应用同样的过程生成()f x 的相似特性。

证明式 ()()F u kM F u +=和式 ()()f x kM f x +=的正确性。

证明：
(1) 证明等式()()k 0,1, 2...F u kM F u +==±±
将u u kM =+代入式()12/0
(),0,1,2,,1M j ux M
n F u f x e
u M π--==
=-∑ ：
()1
2()/0
12/20() () F(u)
M j u kM x M
n M j ux M j kx
n F u kM f x e f x e e
πππ--+=---=+=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
=∑∑
最后一步因为k 和x 都是整数，21j kx
e
π-=。

(2) 同理可以对式周期性的证明，将u u kM =+代入式
()12/0
1
(),0,1,2,,1M j ux M
n f x F u e
u M M
π-==
=-∑
()()()()
12()/0
12/201
1 =M j u kM x M
n M j ux M j kx
n f x kM F u e M
F u e e M f x πππ-+=-=+=
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑
∑
证明一个变量的离散卷积定理的正确性[见式、式 和式 ]。

证明：
证明卷积定理等价于证明
()()F(u)H(u)f x h x *⇔
和
()()F(u)H(u)f x h x ⇔*
从式1
()()()()M m f x h x f m h x m -=*=
-∑和式()1
2/0
(),0,1,2,,1
M j ux M
n F u f x e
u M π--===-∑离散傅里叶变换的定义，得到：
[]11
2/00112/0
01
2/0
12/0
()()()() () () () H(u) H(u)() H(u)M M j ux M
x m M M j ux M m x M j um M
m M j um M m f x h x f m h x m e f m h x m e f m e f m e ππππ---==---==--=--=⎡⎤
ℑ*=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
===∑∑∑
∑∑∑F(u)
同理可以证明()()F(u)H(u)f x h x ⇔*
()()()()
11
12/001
12/0012/012/0
()() () () ()() ()() M M j ux M
x m M M j ux M m x M j um M
m M j um M m F u H u F m H t m e
F m H t m e F m h x e h x f m e h x f x ππππ---==--==-=-=⎡⎤ℑ*=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥
⎣⎦===∑∑∑∑∑∑
写出二维连续卷积的表达式
对式进行卷积运算得到：
f(t,z)h(t,z)(,)(,)f h t z d d αβαβαβ∞∞
-∞-∞
*=
--⎰⎰
证明一维连续和离散傅里叶变换都是线性操作
解：
若连续傅里叶变换
是线性的，只需证明：
代入傅立叶变换定义
其中第二步由于积分的分配率。

同样的，离散傅里叶变换：
证明连续和离散傅里叶变换都是平移和旋转不变的。

证明：
平移不变：根据二维离散傅立叶变换
可得
旋转不变：根据二维离散傅立叶反变换
证明离散函数()()00,cos 22f x y u x v y ππ=+的DFT 是
()()()00001
,,,2
F u v u Mu v Nv u Mu v Nv δδ=
+++--⎡⎤⎣⎦ 证明：
根据欧拉公式
()()()
()()()()()
()()0000000011
2//0000
11222//00112//2//00
12//2//00
,cos 22121212M N j ux M vy N x y M N j u x v y j u x v y j ux M vy N x y M N j Mu x M Nv y N j ux M vy N x y M N j Mu x M Nv y N j ux M vy N x y F u v u x v y e
e e e
e e e e ππππππππππ---+==--+-+-+==--+-+==--+-+===+⎡⎤=+⎣⎦=+∑∑∑∑∑∑∑()()()()()()000012//2//00001111221,,2
j Mu x M Nv y N j Mu x M Nv y N e e u Mu v Nv u Mu v Nv ππδδ-+-+⎡⎤⎡⎤=ℑ+ℑ⎣⎦⎣⎦=--+++⎡⎤⎣⎦∑
其中最后一步由于[]()1,u v δℑ=，根据DFT 平移性
()()
()002//001,j u x M v y N e u u v v πδ+⎡⎤ℑ=--⎣
⎦。

找出一个等价的滤波器(),H u v ，在他的频率域实现使用图(a)中拉普拉斯模版执行的空间操作。

解：
滤波后的函数为
()()()()()(),1,1,,1,14,g x y f x y f x y f x y f x y f x y =++-+++--⎡⎤⎣⎦
又因为()()(),,,G u v H u v F u v =，其中
将滤波器变换为频率中心对称
当()[],2/2,/2u v M N =(变换后滤波器中心)时，(),0H u v =。

对于远离中心的值，(),H u v 降低。

重要的一点这是一个高通滤波器的特性，消除了直流分量，留下了高频分量。

解：
共轭复数只是从j 变成了-j 在逆变换中，所以右边的图像可以通过下述过程求出：
()()()
()()()
()()()()()()()
()()()()()()
()()
()
112//00
112//00
1111
2//2//1
00001,,1,,1,1,1,1,x y
M N x y
j ux M vy N x y M N x y
j ux M vy N x y M N M N x y j ux M vy N j ux M vy N u v x y x y
a f x y
b F u v f x y e
c F u v f x y e
d F F u v f x y
e e
MN
f x y e ππππ+--+-+==--++*
==----+++-*====+-=-=-⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦---∑∑∑∑∑∑∑∑实部为结果为()()
()()
11,=,x y
x y
f x y f x y ++------ 可以知道整个过程只是将(),f x y 上下左右颠倒，从而产生了右边的图像
解：
(a) 以卷积的形式给出滤波表达式，来减少空间域的处理过程。

然后滤波后的图像由下式给
出：
其中h 是空间滤波函数，f 是输入图像。

直方图处理结果为：
T 表示直方图均衡化。

如果先进行直方图均衡化，再
与
总体来说，T 是由图像像素的属性决定的非线性的函数。

因此，
，并且先后顺序是有影响的。

(b) 正如在第节，高通滤波严重削弱了图像的对比度。

虽然高频率的改进一些，但并不显著（见图）。

因此，如果对一个图像先直方图均衡化，均衡化中对对比度的改进会在滤波过程中严重损失。

因此，该过程一般是先滤波再直方图均衡化。

证明： 因为
，我们可以写出等式和，分别为
与
用归纳法证明开始显示两个方程对于n = 1成立；
()()()1
12112
m =
=与()()()1212a == 我们从进行讨论的
部分中知道这些结果是正确的，然后我们假定方程对于n 成立，那么可以得出方程对于n+1也成立。

从等式中，
将m(n)从上式替换得到,
因此，等式对所有的n 都成立。

从等式中，
将a(n)从上式替换得到,
则证明了等式成立。

第五章
给出与表中带阻滤波器对应的高斯和巴特沃斯带通滤波器的公式。

一个带通滤波通过从相应的带阻滤波而获得：
然后：
（a
）理想带通滤波：
（b
）巴特带通滤波：
（c ）高斯带通滤波：
以式（）的形式给出高斯、巴特沃斯和理想陷波带阻滤波器的公式。

带阻滤波器公式可以通过带通滤波器的公式得到。

两者的和为1.
),(1),(v u H v u H bp br -=
(a) 理想陷波带阻滤波：{
01),(=
v u H
其他
02,01u ),(D v D D v u D ≤≤）
，（或
（b）巴特沃斯带阻滤波：
1-巴特沃斯带通
巴特带通滤波：
（c）高斯带阻滤波：
1-高斯带通滤波
高斯带通滤波：
二维连续余弦函数的傅里叶变换
dxdy
e
y
v
x
u
A
dxdy
e
y
x
f
v
u
F
vy
ux
j
vy
ux
j
)
(
2
)
(
2
)
cos(
)
,
(
)
,
(
+
-
+
-
⎰⎰
⎰⎰
+
=
=
π
π
余弦的变换
)
(
2
1
cosθ
θ
θj
i e
e-
+
=
带入得到
]
[
2
]
[
2
]
[
2
)
,
(
)
(
2
)
2/
2/
(
2
)
(
2
)
2/
2/
(
2
)
(
2
)
(
)
(
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
+
-
+
-
+
-
+
+
-
+
-
+
-
-
=
+
-
=
dxdy
e
e
A
dxdy
e
e
A
dxdy
e
e
e
A
v
u
F
vy
ux
j
y
v
x
u
j
vy
ux
j
y
v
x
u
j
vy
ux
j
y
v
x
u
j
y
v
x
u
j
π
π
π
π
π
π
π
π
π
这些都是傅里叶变换的功能
并且
结果变换成
)]
2
,
2
(
)
2
,
2
(
[
2
)
,
(0
π
π
δ
π
π
δ
v
v
u
u
v
v
u
u
A
v
u
F+
+
-
-
-
-
=即可
从例子（）
即因此
得出
当
这是一个持续的形式,一个高斯密度方差
或者
减去的整体从无限数量的加上括号里面是1，因此。