第十四章光学(光的衍射)

时，该方向应出现的那一级明纹主极大发生缺级。
由上述条件得：
sin k k'
ab a
得满足下式的 k 将缺级：
k a b k' (k' 1, 2, 3, ) (13-59) a
例： a b 3 , k 3k' (k' 1, 2, 3, ) a
则 k 3, 6, 9, 缺级
100
第 1 缝和第 51 缝光线的光程差为λ/ 2 ，产生相消干涉； 第 2 缝和第 52 缝光线的光程差为λ/ 2 ，产生相消干涉； …… 结果：屏上会聚处形成第1个暗纹。
⑵ m 2,
(a b)sin ,
相邻缝光线的光程差为 。
50
50
第 1 缝和第 26 缝光线的光程差为λ/ 2 ，产生相消干涉；
0.86 I0
I0
··
能分辨
··
恰能分辨
··
不能分辨
2).最小分辨角 — 恰能分辨两物象时两物点对透镜光心的张角0
0
1
·· S1
S2
··
爱里斑
第一级暗环衍射角为 1 0 1
最小分辨角为：
0
1.22
D
其中： — 入射光波长， D — 透镜直径。
3). 光学仪器分辨率 e = 最小分辨角的倒数 e 1 D
距离为有限远。
2. 夫琅和费衍射
光源
障碍物 接收屏
距离为无限远。
光源 障碍物
光源
障碍物
接收屏 接收屏
§13-5 单缝和圆孔的夫琅禾费衍射
一 单缝的夫琅禾费衍射
1.单缝衍射实验装置
K
L1
S
*
L2
E
用 菲涅耳半波带法 解释单缝衍射现象。
2. 菲涅耳半波带法
a — 单缝宽
AC
— 衍射角 a
B
AB 间各子波到达P 点
解：
（1）
f
x1暗 a
x0
2 x1暗
2 0.5 510-7 0.1 10-3
5mm
（2）
第一级明纹的宽度 x1 ，等于第一级暗纹和第二级暗纹
之间的距离
f
x1暗 a
2 f
x2暗 a
x1
x2暗
x1暗
f
a
2.5mm
二、圆孔的夫琅禾费衍射
1. 实验装置
障碍物
爱里斑
光源
D
2. 爱里斑 — 第一级暗环包围的中央亮斑
N= 1 N= 2 N= 5 N = 20
4. 缺级现象及其条件 由于单缝衍射的影响在应该出现明纹主极大的
地方不再出现明纹的现象称为缺级现象。
缺
缺
级
级
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
当衍射角 φ 同时满足
(a b)sin k ( k 0, 1, 2, ) 光栅衍射明纹
a sin k' ( k' 1, 2, 3, ) 单缝衍射暗纹
a sin 0 1.43 2.46
角增加时，半波带数增加，未被抵消的半波带面积
面积减少，所以光强变小。
★ 结论： 中央明纹是各级明纹宽度的两倍，集中了绝大部分 光强，其余各级明纹亮度随级数增大而减小。
四、说明
由公式
k
a sin (2k 1)
2
1. 入射波波长 一定时
暗纹 明纹
知：
sin 1 , 1
第 2 缝和第 27 缝光线的光程差为λ/ 2 ，产生相消干涉；
…… 结果：屏上会聚处形成第 2 个暗纹。
以此类推…… ，屏上会聚处形成第 99 个暗纹。
⑶ m 100, a bsin , 恰为第1级明纹主极大。
★ 结论： 各级明纹主极大之间有 N 1个暗纹极小和 N 2 个
光强很弱的次极大。当 N 很大时在各级明纹主极大之间形成 一片暗区，因此光栅衍射只需确定明纹主极大的位置即可。
极大仍位于屏上 O 点。
O
2. 衍射光栅条纹的成因
I
单缝衍射 多缝干涉
总效果
（ⅰ）每个缝的入射光产生单缝衍射； （ⅱ）各个缝的衍射光之间相互叠加产生干涉。
光栅衍射是单缝衍射和缝间光线干涉两种效应的叠加、 多缝干涉光强分布受单缝衍射光强分布调制、明纹位置决定 于缝间光线干涉的结果。
明纹主极大
多缝干涉明纹也称为明纹主极大，狭缝数愈多，光强愈 集中，因此明纹也愈又细又亮。
第十三章
光的衍射
§13-4 光的衍射现象 惠更斯-菲涅耳原理
一、 光的衍射现象
屏幕
阴 影
屏幕
缝较大时光直线传播
缝很小时衍射现象明显
二、惠更斯 — 菲涅耳原理
惠更斯 — 菲涅耳原理： 从同一波阵面上各点所发出的子波 经传播而在空间某点相遇时，也可 相互叠加产生干涉现象。
设 t = 0 时波阵面上各点发出的子波初相为零，
f
接收屏
第一级暗环对应的衍射角 1称为爱里斑的半角宽。
理论计算得：
1
1.22
D
(13-52) D
1
式中 D 为圆孔的直径。
3、光学仪器分辨率 (课本 p 502 )
点光源经过光学仪器的小圆孔透镜后，由于衍射的 影响，所成的象是明暗相间的圆形光斑。
爱里斑
0
0
S1 S2
··
· ··
1）. 瑞利判据一：个物点的衍射图象的爱里斑中心刚好与另一个 物点的衍射图象的爱里斑边缘相重合，这两个物 象恰好能为这一光学仪器所分辨。
暗纹极小
各级明纹主级大之间有许多暗纹极小，其间又充满许多次极大。
★ N个缝的暗纹公式： (a b)sin m
N
其中： m 1, 2 , ,(N 1), (N 1), (m kN )
例：N =100， (a b)sin m
100
⑴ m 1,
(a b)sin ,
100
相邻缝光线的光程差为 。
a
a
a↓， ↑， 条纹分得愈开，但光强 I ↓
∴ 单缝衍射不能同时获得既亮、分得又开的条纹。
2. 缝宽 a 一定时，
白光照射单缝时，屏上中央明纹仍为白色， 两侧对称分布各级紫内红外的彩色条纹称 衍射光谱。
各级彩色条纹的宽度： Δx k f Δ
a
3当 a 时， sin 0
当缝宽比波长大很多时，形成单一的明条纹，显示了
或 467 nm 的第 4 级明纹。
(3) 求半波带个数
对 600 nm 而言，半波带个数为 2k 1 2 3 1 7 个。
对 467 nm 而言，半波带个数为 2k 1 2 4 1 9 个。
例题 在单缝衍射实验中，透镜焦距为0.5m,入射波长为λ=500nm, 单缝宽为a=0.1mm, 求（1）中央明条纹的宽度。（2）第 一级明条纹的宽度。
1
0
0 1.22
其中：D —光学仪器的透光孔径； — 入射光波长。
(1) 入射光波长 一定，
0
1 D
,
eD
★ 例： 天文望远镜
（2）透镜直径 D 一定，
★ 例： 电子显微镜
0
,
e 1
练习： 人眼瞳孔 D = 3 mm ，视觉波长 λ= 550 nm，问：
(1) 人眼最小分辨角；(2) l = 25 cm 刚好分辨两物点的最小间距； （3）黑板上“ = ”号间距 Δx = 2 mm，距离多远的同学能刚好
（透射光栅）
a — 缝宽
a
b — 相邻缝的间距（不透光部分的宽度）
2. 光栅常数 d a b
b
规格：光栅常数（a+b）； 总缝数 N 。
在可见光范围内：
a+b
(a b) 105 ~ 106 m
二、衍射光栅条纹
1. 单缝衍射图样与缝的位置
衍射角相同的光线，
会聚在接收屏的相同位置。
O
换句话说：单缝的夫琅 禾费衍射图样，不随单缝的 上下移动而变化，中央明纹
x
O
f
f
xk (2k 1) 2a
明纹 k 1,2,3,
xk k f a
暗纹
(k 1,2,3, )
6. 各级明纹宽度 = 两相邻暗纹极小的间距： x f
a
7. 中央明纹宽度和半角宽度
ⅰ) 中央明纹宽度 l0 = 两侧第一级暗纹极小的间距
x1 f a
l0 2x1 2 f a
1
f
则面元 dS 在 P 点引起的光振动：
dE dS , 1 , k( )
r
dS
S
r
dE C k( ) cos 2 ( t r ) dS
•P
r
T
dE C k( ) cos 2 ( t r ) dS
r
T
dS
其中： c — 比例常数， k ( θ ) — 倾斜因子。
θ ↓， k (θ )↑； θ = 0，k (θ ）最大； S
3. 光栅方程（重点）
相邻狭缝对应点在衍射角 φ 方向光线的光程差：
(a b)sin
(a b)sin
(a b)sin
a+b
O
x
f
★ 光栅方程 — 光栅衍射形成明纹主极大的公式。
(a b)sin k , k 0, 1, 2, (13-57)
中央明纹极大
次极大
明纹主极大
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(2k 1) f (2k 1) 400
2k 1
k 1,2,3,
k 1 , 1400nm (非可见光 ) k 2 , 840nm (非 )
k 3 , 600nm (黄光 ) k 4 , 467nm (蓝光 )
k 5 , 380 nm (非 ) (2) P点处可能出现 600 nm 的第 3 级明纹；