中考数学 第6章 圆 第1讲圆的有关性质
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【点拨】(1)考查圆周角、圆心角关系定理．(2)考查垂径定理．
【解答】(1)D 在⊙O 中，∠BAC＝12∠BOC＝12×90°＝45°，其余结论依据条件证不出 来．
(2)连结 OC、BC，则 OC＝OB. ∵弦 CD 垂直平分 OB，∴OC＝BC，∴OC＝OB＝BC. ∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC＝60°. 由垂径定理，得 CP＝21CD＝3. 在 Rt△POC 中，tan∠COP＝OCPP＝ 3，
2．⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝10 cm，CD＝24 cm，求 AB 与 CD 之间的 距离．
【解析】两条平行弦与圆心有两种位置关系：圆心夹在两平行弦之间(如图①)；圆心在 两平行弦同侧(如图②)．
如图①，过点 O 作 ON⊥AB，垂足为 N，延长 NO 交 CD 于 M. ∵AB∥CD，∴OM⊥CD. ∴AN＝BN＝5 cm，CM＝DM＝12 cm. ∴在 Rt△OMD 和 Rt△ONB 中， 根据勾股定理得 ON＝12 cm，OM＝5 cm， ∴MN＝12＋5＝17(cm)． 同理，如图②所示，MN＝ON－OM＝12－5＝7(cm)． ∴AB 与 CD 间的距离为 17 cm 或 7 cm.
9．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16 cm2，则该半圆的 半径为( )
(1)如图，点 A、B、C 在⊙O 上，若∠BAC＝24°，则∠BOC＝________.
第(1)题
第(2)题 (2)如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为 5，OC⊥AB 于点 D，交⊙O 于点 C，且 CD＝ 1，则弦 AB 的长是________．
(3)如图是一条直径为 2 米的通水管道横截面，其水面宽 1.6 米，则这条管道中此时最深 处为________米．
A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：∠APB＝12∠AOB＝12×90°＝45°. 答案：B
7．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径．若⊙O 的半径为23，AC＝2，则 sinB 的值是( )
233 4 A.3 B.2 C.4 D.3 解析：常见辅助线：构造直径所对的 90°圆周角，连结 CD，则∠ACD＝90°，在 Rt△ACD 中，sinD＝AADC＝32×2 2＝23，又∠B＝∠D，∴sinB＝23. 答案：A
答案：B
5．(2010·绍兴)已知⊙O 的半径为 5，弦 AB 的弦心距为 3，则 AB 的长是( )
A．3
B．4
C．6
D．8
解析：数形结合法，考查垂径定理．
答案：D
6．(2010·金华)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BD 的中点，CE⊥AB 于 E，BD 交 CE 于 点 F.
(1)求证：CF＝BF； (2)若 CD＝6，AC＝8，则⊙O 的半径为________，CE 的长是________．
A．70° C．50°
答案：D
B．60° D．40°
5．如图，以点 P 为圆心的圆弧与 x 轴交于 A、B 两点，点 P 的坐标为(4,2)，点 A 的坐 标为(2,0)，则点 B 的坐标为________．
答案：(6,0)
6．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，点 P 在⊙O 上，∠1＝∠C.
一、选择题 1．如图，A、B、C 是⊙O 上的三点，已知∠O ＝60°，则∠C＝( )
A．20° B．25° C．30° D．45° 解析：由同弧所对圆周角等于圆心角的一半得，∠C＝12∠O＝12×60°＝30°. 答案：C
2．如图，△ABC 内接于⊙O，∠A＝40°，则∠BOC 的度数为( )
【易错警示】圆是轴对称图形，当题目中没有明确弦的位置时应注意分情况讨论．
1．如图，已知 CD 为⊙O 的直径，过点 D 的弦 DE 平行于半径 OA，若∠D 的度数为 50°，则∠C 的度数是( )
A．25° B．40° C．30° D．50° 答案：A
2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB 的大小为( )
【解答】(1)48°在⊙O 中，∠BOC＝2∠BAC＝2×24°＝48°. (2)6 连结 OA，在 Rt△OAD 中，AD＝ OA2－OD2＝ 52－5－12＝3，∴AB＝2AD＝ 6. (3)0.4 关键构造包含半径、弦心距、弦长一半的直角三角形． (4)D 注意仔细审题，选的是“不成立”的．
类型二 垂径定理、圆周角定理的应用
(1)如图，A、B、C 是⊙O 上的三点，且 A 是优弧 BAC 上与点 B、点 C 不同的一 点，若△BOC 是直角三角形，则△BAC 必是( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．有一个角是 30°的三角形 D．有一个角是 45°的三角形
(2)如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足 P 是 OB 的中点，CD＝6 cm.求直径 AB 的 长．
知识点二 垂径定理及其推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2．推论 1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂 直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧．
知识点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
∴OP＝ 3，∴AB＝2OB＝4OP＝4 3(cm)．
1．AB 是⊙O 的弦，∠AOB＝88°，则弦 AB 所对的圆周角是________．
【解析】在⊙O 中，弦 AB 所对的圆周角分优弧所对的角和劣弧所对的角两种情况，所 以弦 AB 所对的圆周角是 44°或 136°.
【易错警示】此题易错在只写出一个解，错因是忽略了一条弦对着两条弧，全面考虑是 做题的关键．
A．40° B．30° C．45° D．50° 答案：A
3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，∠CDB＝30°，⊙O 的半径为 3 cm， 则弦 CD 的长为( )
wk.baidu.com3 A.2 cm C．2 3 cm
答案：B
B．3 cm D．9 cm
4．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD ＝________.( )
证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°. 又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°. ∴∠2＝90°－∠CBA＝∠A. 又∵C 是弧 BD 的中点， ∴∠1＝∠D＝∠A. ∴∠1＝∠2，∴CF＝BF. (2)⊙O 的半径为 5，CE 的长是254.
知识点一 圆的定义及其性质
1．圆的定义有两种方式 (1)在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转 所形成的图形叫做圆．固定的端点叫圆心，线段 OA 叫做半径； (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； (2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； (3)圆是旋转对称图形．圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋． 转．不．变．性．．．
解析：连结 OA，根据垂径定理 AC＝12AB＝4，∴OC＝ OA2－AC2＝ 52－42＝3. 答案：3
3．(2008·台州)下列命题中，正确的是( ) ①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角 所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等( ) A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
4．如图，点 B、C 在⊙O 上，且 BO＝BC，则∠BAC 等于( )
A．60° B．50° C．40° D．30° 解析：∵BO＝BC，OB＝OC，∴OB＝OC＝BC，∴∠BOC＝60°，∴∠BAC＝12∠BOC ＝12×60°＝30°. 答案：D
5．如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OA＝2，∠AOB＝120°，则弦 AB 的长是( )
第 1 讲 圆的有关性质
①圆的定义及性质；②垂径定理及其推论；③圆心角、弧、弦、弦心距之间的关 系；④圆心角与圆周角．
1．(2009·丽水)如图⊙O 中，∠ABC＝40°，则∠AOC＝________度．
解析：考查同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍． 答案：80
2．(2008·温州)如图⊙O 的半径为 5，弦 AB＝8，OC⊥AB 于 C，则 OC 的长等于________．
知识点五 圆的性质的应用
1．垂径定理的应用 用垂径定理进行计算或证明，常需作出圆心到弦的垂线段(即弦心距)，则垂足为弦的中 点，再利用解半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的． 2．圆心角、圆周角性质的应用 3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的应用．
类型一 圆的定义及其性质、定理
第(3)题
第(4)题
(4)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD⊥AB 于 E，则下列结论中不成立的是________． A．∠A＝∠D B．CE＝DE C．∠ACB＝90° D．CE＝BD
【点拨】本组题主要考查垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦、弦心距关系定理在 选择题、填空题中的应用，本组题在中考题中属常见题．
A．2 2 C. 5
B．2 3 D．3 5
解析：过 O 作 OE⊥AB 于点 E，则∠AOE＝21∠AOB＝60°，AB＝2AE.在 Rt△AOE 中， AE＝OAsin60°＝ 3，∴AB＝2 3.
答案：B
6．如图，四个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O 是小正方形的顶点， ⊙O 的半径为 1，P 是⊙O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB 等于( )
(1)求证：CB∥PD； (2)若 BC＝3，sinP＝35，求⊙O 的直径．
解：(1)证明：∵BD＝BD，∴∠C＝∠P. 又∵∠1＝∠C，∴∠1＝∠P， 即 CB∥PD.
(2)如图，连结 AC. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. 又∵CD⊥AB，∴BC＝BD. ∴∠A＝∠P，∴sinA＝sinP. 在 Rt△ABC 中，sinA＝ABCB.∵sinP＝35∴ABBC＝35 又∵BC＝3，∴AB＝5，即⊙O 的直径为 5.
8．如图，在⊙O 中，AB、AC 是弦，O 在∠BAC 的内部，∠ABO＝α，∠ACO＝β，∠BOC ＝θ.则下列关系中，正确的是( )
A．θ＝α＋β B．θ＝2α＋2β C．α＋β＋θ＝180° D．α＋β＋θ＝360° 解析：连结 AO 并延长交⊙O 于点 E，∠BOE＝∠B＋∠BAE＝2α，∠COE＝∠C＋∠CAE ＝2β，∴∠BOC＝θ＝2α＋2β. 答案：B
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心 距相等．
2．推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等；(4)两条 弦的弦心距相等．四项中有一项成立，则其余对应的三项都成立．
知识点四 圆心角与圆周角
1．定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角． 2．性质 (1)圆心角的度数等于它所对弧的度数； (2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的一半； (3)同弧或等弧所对的圆周角相等．同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等； (4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
解析：根据圆周角定理及其推论可判断③④⑤是正确的．
答案：B
4．(2010·湖州)如图，已知⊙O 的直径 AB⊥弦 CD 于点 E，下列结论中一定正确的是( )
A．AE＝OE C．OE＝12CE
B．CE＝DE D．∠AOC＝60°
解析：根据垂径定理当 AB⊥CD 时，AB 平分弦 CD，即 CE＝DE.
A．20° B．40° C．60° D．80° 解析：∠BOC＝2∠A＝2×40°＝80°. 答案：D
3．如图，⊙O 的直径 CD⊥AB，∠AOC＝50°，则∠CDB 大小为( )
A．25° B．30° C．40° D．50° 解析：∵CD⊥AB，∴AC＝BC，∴∠CDB＝12∠AOC＝12×50°＝25°. 答案：A
【解答】(1)D 在⊙O 中，∠BAC＝12∠BOC＝12×90°＝45°，其余结论依据条件证不出 来．
(2)连结 OC、BC，则 OC＝OB. ∵弦 CD 垂直平分 OB，∴OC＝BC，∴OC＝OB＝BC. ∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC＝60°. 由垂径定理，得 CP＝21CD＝3. 在 Rt△POC 中，tan∠COP＝OCPP＝ 3，
2．⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝10 cm，CD＝24 cm，求 AB 与 CD 之间的 距离．
【解析】两条平行弦与圆心有两种位置关系：圆心夹在两平行弦之间(如图①)；圆心在 两平行弦同侧(如图②)．
如图①，过点 O 作 ON⊥AB，垂足为 N，延长 NO 交 CD 于 M. ∵AB∥CD，∴OM⊥CD. ∴AN＝BN＝5 cm，CM＝DM＝12 cm. ∴在 Rt△OMD 和 Rt△ONB 中， 根据勾股定理得 ON＝12 cm，OM＝5 cm， ∴MN＝12＋5＝17(cm)． 同理，如图②所示，MN＝ON－OM＝12－5＝7(cm)． ∴AB 与 CD 间的距离为 17 cm 或 7 cm.
9．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16 cm2，则该半圆的 半径为( )
(1)如图，点 A、B、C 在⊙O 上，若∠BAC＝24°，则∠BOC＝________.
第(1)题
第(2)题 (2)如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为 5，OC⊥AB 于点 D，交⊙O 于点 C，且 CD＝ 1，则弦 AB 的长是________．
(3)如图是一条直径为 2 米的通水管道横截面，其水面宽 1.6 米，则这条管道中此时最深 处为________米．
A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：∠APB＝12∠AOB＝12×90°＝45°. 答案：B
7．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径．若⊙O 的半径为23，AC＝2，则 sinB 的值是( )
233 4 A.3 B.2 C.4 D.3 解析：常见辅助线：构造直径所对的 90°圆周角，连结 CD，则∠ACD＝90°，在 Rt△ACD 中，sinD＝AADC＝32×2 2＝23，又∠B＝∠D，∴sinB＝23. 答案：A
答案：B
5．(2010·绍兴)已知⊙O 的半径为 5，弦 AB 的弦心距为 3，则 AB 的长是( )
A．3
B．4
C．6
D．8
解析：数形结合法，考查垂径定理．
答案：D
6．(2010·金华)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BD 的中点，CE⊥AB 于 E，BD 交 CE 于 点 F.
(1)求证：CF＝BF； (2)若 CD＝6，AC＝8，则⊙O 的半径为________，CE 的长是________．
A．70° C．50°
答案：D
B．60° D．40°
5．如图，以点 P 为圆心的圆弧与 x 轴交于 A、B 两点，点 P 的坐标为(4,2)，点 A 的坐 标为(2,0)，则点 B 的坐标为________．
答案：(6,0)
6．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，点 P 在⊙O 上，∠1＝∠C.
一、选择题 1．如图，A、B、C 是⊙O 上的三点，已知∠O ＝60°，则∠C＝( )
A．20° B．25° C．30° D．45° 解析：由同弧所对圆周角等于圆心角的一半得，∠C＝12∠O＝12×60°＝30°. 答案：C
2．如图，△ABC 内接于⊙O，∠A＝40°，则∠BOC 的度数为( )
【易错警示】圆是轴对称图形，当题目中没有明确弦的位置时应注意分情况讨论．
1．如图，已知 CD 为⊙O 的直径，过点 D 的弦 DE 平行于半径 OA，若∠D 的度数为 50°，则∠C 的度数是( )
A．25° B．40° C．30° D．50° 答案：A
2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB 的大小为( )
【解答】(1)48°在⊙O 中，∠BOC＝2∠BAC＝2×24°＝48°. (2)6 连结 OA，在 Rt△OAD 中，AD＝ OA2－OD2＝ 52－5－12＝3，∴AB＝2AD＝ 6. (3)0.4 关键构造包含半径、弦心距、弦长一半的直角三角形． (4)D 注意仔细审题，选的是“不成立”的．
类型二 垂径定理、圆周角定理的应用
(1)如图，A、B、C 是⊙O 上的三点，且 A 是优弧 BAC 上与点 B、点 C 不同的一 点，若△BOC 是直角三角形，则△BAC 必是( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．有一个角是 30°的三角形 D．有一个角是 45°的三角形
(2)如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足 P 是 OB 的中点，CD＝6 cm.求直径 AB 的 长．
知识点二 垂径定理及其推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2．推论 1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂 直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧．
知识点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
∴OP＝ 3，∴AB＝2OB＝4OP＝4 3(cm)．
1．AB 是⊙O 的弦，∠AOB＝88°，则弦 AB 所对的圆周角是________．
【解析】在⊙O 中，弦 AB 所对的圆周角分优弧所对的角和劣弧所对的角两种情况，所 以弦 AB 所对的圆周角是 44°或 136°.
【易错警示】此题易错在只写出一个解，错因是忽略了一条弦对着两条弧，全面考虑是 做题的关键．
A．40° B．30° C．45° D．50° 答案：A
3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，∠CDB＝30°，⊙O 的半径为 3 cm， 则弦 CD 的长为( )
wk.baidu.com3 A.2 cm C．2 3 cm
答案：B
B．3 cm D．9 cm
4．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD ＝________.( )
证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°. 又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°. ∴∠2＝90°－∠CBA＝∠A. 又∵C 是弧 BD 的中点， ∴∠1＝∠D＝∠A. ∴∠1＝∠2，∴CF＝BF. (2)⊙O 的半径为 5，CE 的长是254.
知识点一 圆的定义及其性质
1．圆的定义有两种方式 (1)在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转 所形成的图形叫做圆．固定的端点叫圆心，线段 OA 叫做半径； (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； (2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； (3)圆是旋转对称图形．圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋． 转．不．变．性．．．
解析：连结 OA，根据垂径定理 AC＝12AB＝4，∴OC＝ OA2－AC2＝ 52－42＝3. 答案：3
3．(2008·台州)下列命题中，正确的是( ) ①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角 所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等( ) A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
4．如图，点 B、C 在⊙O 上，且 BO＝BC，则∠BAC 等于( )
A．60° B．50° C．40° D．30° 解析：∵BO＝BC，OB＝OC，∴OB＝OC＝BC，∴∠BOC＝60°，∴∠BAC＝12∠BOC ＝12×60°＝30°. 答案：D
5．如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OA＝2，∠AOB＝120°，则弦 AB 的长是( )
第 1 讲 圆的有关性质
①圆的定义及性质；②垂径定理及其推论；③圆心角、弧、弦、弦心距之间的关 系；④圆心角与圆周角．
1．(2009·丽水)如图⊙O 中，∠ABC＝40°，则∠AOC＝________度．
解析：考查同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍． 答案：80
2．(2008·温州)如图⊙O 的半径为 5，弦 AB＝8，OC⊥AB 于 C，则 OC 的长等于________．
知识点五 圆的性质的应用
1．垂径定理的应用 用垂径定理进行计算或证明，常需作出圆心到弦的垂线段(即弦心距)，则垂足为弦的中 点，再利用解半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的． 2．圆心角、圆周角性质的应用 3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的应用．
类型一 圆的定义及其性质、定理
第(3)题
第(4)题
(4)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD⊥AB 于 E，则下列结论中不成立的是________． A．∠A＝∠D B．CE＝DE C．∠ACB＝90° D．CE＝BD
【点拨】本组题主要考查垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦、弦心距关系定理在 选择题、填空题中的应用，本组题在中考题中属常见题．
A．2 2 C. 5
B．2 3 D．3 5
解析：过 O 作 OE⊥AB 于点 E，则∠AOE＝21∠AOB＝60°，AB＝2AE.在 Rt△AOE 中， AE＝OAsin60°＝ 3，∴AB＝2 3.
答案：B
6．如图，四个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O 是小正方形的顶点， ⊙O 的半径为 1，P 是⊙O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB 等于( )
(1)求证：CB∥PD； (2)若 BC＝3，sinP＝35，求⊙O 的直径．
解：(1)证明：∵BD＝BD，∴∠C＝∠P. 又∵∠1＝∠C，∴∠1＝∠P， 即 CB∥PD.
(2)如图，连结 AC. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. 又∵CD⊥AB，∴BC＝BD. ∴∠A＝∠P，∴sinA＝sinP. 在 Rt△ABC 中，sinA＝ABCB.∵sinP＝35∴ABBC＝35 又∵BC＝3，∴AB＝5，即⊙O 的直径为 5.
8．如图，在⊙O 中，AB、AC 是弦，O 在∠BAC 的内部，∠ABO＝α，∠ACO＝β，∠BOC ＝θ.则下列关系中，正确的是( )
A．θ＝α＋β B．θ＝2α＋2β C．α＋β＋θ＝180° D．α＋β＋θ＝360° 解析：连结 AO 并延长交⊙O 于点 E，∠BOE＝∠B＋∠BAE＝2α，∠COE＝∠C＋∠CAE ＝2β，∴∠BOC＝θ＝2α＋2β. 答案：B
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心 距相等．
2．推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等；(4)两条 弦的弦心距相等．四项中有一项成立，则其余对应的三项都成立．
知识点四 圆心角与圆周角
1．定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角． 2．性质 (1)圆心角的度数等于它所对弧的度数； (2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的一半； (3)同弧或等弧所对的圆周角相等．同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等； (4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
解析：根据圆周角定理及其推论可判断③④⑤是正确的．
答案：B
4．(2010·湖州)如图，已知⊙O 的直径 AB⊥弦 CD 于点 E，下列结论中一定正确的是( )
A．AE＝OE C．OE＝12CE
B．CE＝DE D．∠AOC＝60°
解析：根据垂径定理当 AB⊥CD 时，AB 平分弦 CD，即 CE＝DE.
A．20° B．40° C．60° D．80° 解析：∠BOC＝2∠A＝2×40°＝80°. 答案：D
3．如图，⊙O 的直径 CD⊥AB，∠AOC＝50°，则∠CDB 大小为( )
A．25° B．30° C．40° D．50° 解析：∵CD⊥AB，∴AC＝BC，∴∠CDB＝12∠AOC＝12×50°＝25°. 答案：A