数学思想方法的渗透与培养

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数学思想方法的特点
1、概括性。数学思想方法是不断地从数学 概念、数学命题、数学理论以及问题解决 中提炼和概括的产物。数学思想方法一旦 形成，便舍弃了具体的数学内容，只以形 式存在，从而可以运用到一切合适的场合 之中。 2、隶属性。数学知识内部蕴含着丰富的数 学思想方法，数学思想方法依托于数学知 识。
归纳猜想思想方法的渗透
归纳猜想思想方法的孕育点 二元一次方程和它的解、二元一次方程的图形、 等腰三角形、三角形全等的判断等。
归纳猜想方法的初步形成
在教学中教师要充分发挥学生的主体性，创 造条件让学生动手、动脑、发现规律、大胆 猜想。 比如：一元二次方程根与系数的关系 教师要结合教学实际，安排适当的练习有意 识的进行归纳猜想方法的培养。 归纳猜想方法训练题
深刻化阶段：学生已能正确运用某种数学思想 方法进行探索和思考，以求得问题的解决。 同时，在问题解决的实践过程中，又加深了 学生对思想方法的理解，经过多次运用，能 逐步达到一种对思想方法运用自如的境界。 针对学生理解掌握数学思想方法的过程的三个 阶段，将数学思想方法教学设计成多次孕育、 初步形成、应用发展三个阶段。
3、标准化原则： 将原问题在形式上向该类问题的标准形式转化， 借助标准形式特有的性质及解法，求出原问 题的解。这里所说的标准形式，是指已经建 立起来的数学模型。例1 4、低层次原则： 将原问题从高维问题向低维问题转化。即将原 问题由高次向低次转化，由多元向低元转化， 由立体向平面转化。 如： x 4 2 x 2 3 0 5、和谐统一性原则：将原问题在表现形式及量 形关系上进行转化，使其变得更和谐统一。
归纳猜想思想方法的应用
在教学中要深入挖掘教材，创设问题情境， 让学生们学会归纳、大胆猜想、合情推理， 并能判断猜想的正确性，培养学生探索精神 和科学的思维品质。 例如：矩形、菱形的判定；相似三角形的性 质等。
数学思想方法教学
一、数学思想方法形成期设计 学生理解掌握数学思想方法的过程有三个阶段： 潜意识阶段：学生只注意数学知识的学习，而 对隐藏在知识背后的思想方法处于朦胧状态。 明朗化阶段：当经验和领悟积累到一定程度， 这种事实上已被运用多次的思想方法就凸现 出来，明朗起来，达到呼之欲出的境界。
二、几种重要数学思想方法的教 学
（一）化归思想方法 所谓划归思想方法就是：通过数学内部的联 系和矛盾运动，在转化中实现问题的规范 化，即将待解问题转化为规范问题，从而 使原问题得到解决的一种方法。
问题A
转化
问题B
目
标
问题A的解答
解答
问题B的解答
化归方法的三个要素： 1、化归对象； 2、化归目标； 3、化归途径。 举例： x 3 解方程： 2 x3 x3
数学思想方法的渗透与培养
中山市教师进修学校 2005.10 赵欲升
一、数学思想方法概述
由两个数学例子谈起 x x 8 10 （1）解方程 （2）已知一次函数的图像经过两点A（2， -3），B（0，2）求这个函数的解析式， 并画出它的图像。
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数学思想方法的含义
所谓数学思想方法是指：从某些 具体的数学内容和对数学的认识 过程中提炼上升的数学观点，他 在认识过程中被反复运用，带有 普遍的指导意义。
抽象概括方法的应用
经过前期的孕育和渗透，抽象概括方法已 在学生头脑中初步形成，在教学中教师要 结合教学内容，挖掘教材，使学生在方法 的应用层面得以提升。 如一次函数概念的形成、分式方程的解法等， 都应创造条件，让学生们自主概括抽象， 来形成概念和一般解法。
数形结合思想方法
数形结合就是使抽象思维和形象思维相互作 用，实现数量关系与图形性质的相互转化， 将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研 究数学问题。 数无形时少直觉， 形少数时难入微； 数形结合百般好， 隔离分家万事休。 ———华罗庚
3、学生参与原则： 数学思想方法教学是数学活动过程的教学， 呈动态线形，重在思辨操作，离开数学活动 过程思想方法也就无从谈起，只有组织学生 积极参与教学过程，在老师的启发下才能逐 步领悟、形成、掌握数学思想方法。
数学思想方法教学的注意事项
1、在备课时要把确定合理的教学目标，尤其 要注意过程和方法目标，把数学思想方法的 教学纳入到目标体系中。 2、在每一个重要的数学思想方法形成阶段， 要精心设计好数学思想方法训练课。要求学 生按照一定的程序和步骤进行联系，练好基 本功。 3、对不同类型的数学思想方法应有不同的教 学要求。 课堂教学案例
数形结合思想方法的孕育与渗透
数形结合思想方法的孕育点 有理数的意义、绝对值、有理数的大小比较、 平面内点的位置与坐标、二元一次方程组的 图解法、不等式的解集、正反比例函数图像 等。
数形结合思想方法的初步形成
举例：一次函数 y kx b 的性质 由数知形、由形推数、数形结合、数形统一。 设计一节数形结合方法训练课。 练习举例
3、层次性。数学思想方法是抽象概括的结 果，概括程度的高低决定了数学思想方法 具有不同的层次。 宏观型：包括抽象概括、化归、数形结合、 归纳猜想等。 逻辑型：包括分类、完全归纳法、反证法、 演绎法、特殊化法等。 技巧型：包括换元、配方、待定系数法等。
4、迁移性：数学思想方法是抽象、概括的 结果，具有广泛的迁移性。既可以体现在 数学的内部，又可以迁移到数学以外的其 它学科。
x 2x 3 0
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化归的原则
1、简单化原则： 将原问题从形式及解决问题的方式上进行化 简，然后利用简化了的问题求出原问题的 解。 2 例：设 f (sin x) cos x 2 sin x 1 求 f ( x) 的 最大值 2、具体化原则：将一个抽象的原问题，转 化成一个具体的形象的易解问题，使原问 题中的各种数量关系变得更具体明确，更 容易把握它们内在联系，进而解决原问题。
数形结合思想方法的应用
利用函数图像解决问题： 案例1 用几何方法解决代数问题 案例2 又如：代数ຫໍສະໝຸດ Baidu等式的几何解释。
(a b) a 2ab b
2 2 2
a 2 b 2 ( a b)( a b)
利用代数方法解决几何问题 案例3
归纳猜想思想方法
归纳猜想思想方法：通过对具体 事物的观察分析，发现内在规律， 并对事物发展进程做出预测性判 断的一种思想方法。
一章结束后，可设计一节数学方法训练课， 巩固、强化划归思想方法，使学生明确： 1、划归方法包括化归对象、化归目标和化 归的方法三个要素。明确化归目标——寻 找与目标的差异——消除差异。 2、新问题总可以通过一定方法转化为旧知 识，从而得以解决，并由此生长出新知识。 3、化归目标具有相对性和层次性，应根据 具体问题的要求确定。
（二）抽象概括思想方法
抽象概括思想方法的渗透 孕育点： 有理数的运算、合并同类项、二元一次方程 组的解法、因式分解、最简根式、根式的 加减法；线段、射线、直线、多边形的内 角和、对称、全等、镶嵌等等。
抽象概括方法的初步形成
案例：函数概念 通过对抽象概括方法的多次孕育和渗透，使 学生认识到：所谓抽象是指透过事物的表面 现象，把事物的本质抽取出来的一种过程和 方法；所谓概括是由对若干个别事物的某种 属性的认识，推广到具有同样属性的一类事 物的共同属性的方法。 抽象概括思想方法的训练课
在数学思想方法教学的三个阶段中最关键的 是初步形成阶段的设计，此阶段的教学要注 意以下几个问题： 1、理解该思想方法的含义； 2、初步掌握该思想方法的操作步骤，并会用 于比较简单的情形； 3、了解该思想方法使用的范围和局限性。
数学思想方法教学的原则
1、化隐为显原则：教学时必须以数学知识 为载体，把隐藏在知识背后的思想方法显 示出来，使之明朗化，才能通过知识教学 过程达到思想方法教学的目的。 2、循序渐进原则：思想方法的教学应与知 识教学、学生的认知发展水平相适应，按 照反复孕育、初步形成、应用发展的顺序 逐步完成。采取“小步走”“多层 次”“步步为营”的方法。