中考数学最后一题

29．已知二次函数)0(2
1≠++=a c bx ax y 的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，2
3
-
）。

（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；（5分） （2）若反比例函数)0(2
2>=
x x
y 图像与二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 的图像在第一象限内交于点A （x 0,y 0）, x 0落在两个相邻的正整数之间。

请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；（4分）
（3）若反比例函数)0,0(2>>=
x k x
k
y 的图像与二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 的图像在第一象限内的交点为A ，点A 的横坐标为0x 满足2<0x <3，试求实数k 的取值范围。

（5分）
28．（本题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知点A （4，0），点B （0，3）. 点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q 从点B 出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P 、Q 两点同时出发.
(1)连结AQ ，当△ABQ 是直角三角形时，求点Q 的坐标；
(2)当P 、Q 运动到某个位置时，如果沿着直线AQ 翻折，点P 恰好落在线段AB 上，求这时∠AQP 的度数；
(3)过点A 作AC ⊥AB ，AC 交射线．．PQ 于点C ，连结BC ，D 是BC 的中点. 在点P 、Q 的运动过程中，是否存在某时刻，使得以A 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，试求出这时tan ∠ABC 的值；若不存在，试说明理由。

28．（14分）已知：抛物线()2
0y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，
与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．
（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
28. （本题满分10分）等腰直角△ABC 和⊙O 如图放置，已知AB =BC =1，∠ABC =90°，⊙O 的半径为1，圆心O 与直线AB 的距离为5．现△ABC 以每秒2个单位的速度向右移动，同时△ABC 的边长AB 、BC 又以每秒0.5个单位的速度沿BA 、BC 方向增大．
⑴ 当△ABC 的边(BC 边除外)与圆第一次相切时，点B 移动了多少距离？
⑵ 若在△ABC 移动的同时，⊙O 也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ABC 从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？
⑶ 在⑵的条件下，是否存在某一时刻，△ABC 与⊙O 的公共部分等于⊙O 的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由。

（第28题）
29（1）设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3)…………………………1分 （只要设出解析式正确，不管是什么形式给1分）
将（0，—
23）代入，解得a=2
1. ∴抛物线解析式为y=2
1x 2
+x-23 …………………………………3分
（无论解析式是什么形式只要正确都得分）
画图（略）。

（没有列表不扣分）…………………………………5分 （2）正确的画出反比例函数在第一象限内的图像……………7分
由图像可知，交点的横坐标x 0 落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2。

…………………………………………………9分 （3）由函数图像或函数性质可知：当2＜x ＜3时，
对y 1=
2
1x 2
+x-23, y 1随着x 增大而增大，对y 2=x k （k ＞0），
y 2随着X 的增大而减小。

因为A （X 0，Y 0）为二次函数图像与反比例函数图像的交点，所心
当X 0=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y 2＞y 1， 即
2k ＞21×22
+2-23，解得K ＞5。

…………………………………11分 同理，当X 0=3时，由二次函数数图象在反比例上方得y 1＞y 2， 即
21×32
+3—23＞3
k ，解得K ＜18。

…………………………………13 所以K 的取值范围为5 ＜K ＜18………………………………………14分 说明：
（1） 所有解答题都只给出了一种解法，如有其它解法可参照以上标准给分。

（2） 解题过程中，若某一步数据使用错了，但思路正确，且按错误数据计算到“正确”
结果，则给由此向下相应得分的二分之一。

28. 解：（1）根据题意，可得：A （4，0）、B （0，3）、AB =5 ⅰ）当∠BAQ=90°时，BAQ OB ∽△△A
∴
AO AB AB BQ =
解得4
25
=BQ ⅱ) 当∠BQA=90°时,BQ=OA=4
∴Q ⎪⎭
⎫
⎝⎛3,425或 ()3,4 …………（4分）
(2) 令点P 翻折后落在线段AB 上的点E 处
则∠EAQ=∠PAQ ，∠EQA=∠PQA ，AP AE =，QP QE = 又BQ ∥OP
∴∠PAQ =∠BQA ∴∠EAQ =∠BQA
即AB =QB=5
∴2
521==BQ AP ，
∴AB AP AE 2
1
25==
=，即点E 是AB 的中点. 过点E 作EF ⊥BQ ，垂足为点E ，过点Q 作QH ⊥OP ，垂足为点H ， 则23=
EF ，2
3
=PH ∴PH EF =
又PQ EQ =，︒=∠=∠90PHQ EFQ ∴PHQ EQF ∆≅∆，
∴PQH EQF ∠=∠，从而︒=∠90PQE
∴︒=∠=∠45AQE AQP …………………………（8分） (3) 当点C 在线段PQ 上时，延长BQ 与AC 的延长线交于点F ，
∵ AC ⊥AB
∴HA OB F A ∽△△
∴
FH AO FA AB = 即3
4
5=FA
∴4
15
=FA
∵ DQ ∥AC ，DQ =AC ，且D 为BC 中点 ∴ FC=2DQ=2AC ∴4
5=
AC 在Rt △BAC 中， tan ∠ABC=
4
1 当点C 在PQ 的延长线上时，记BQ 与AC 的交点为∵ CQ ∥AD ，CQ =AD 且D 为BC 中点 ∴ AD=CQ=2DG ∴ CQ=2AG=2PQ ∴ FC=2AF ∴4
45
=
AC 在Rt △BAC 中，tan ∠ABC ＝
4
9
…………………（12分） 28.解：（1）因为过点()02C -，．
所以c ＝－2 ……1分 由题意得⎪⎩
⎪⎨⎧=--=02391
2b a a b
解得a ＝32，b ＝34，c ＝－2 …… 3分
∴此抛物线的解析式为224
233
y x x =
+- …… 4分 （2）连结AC 、BC .因为BC 的长度一定，
所以PBC △周长最小，就是使PC PB +最小
.B
点关于对称轴的对称点是A 点，AC 与对称轴1x =-的交点即为所求的点P . 设直线AC 的表达式为y ＝kx ＋b
则302k b b -+=⎧⎨=-⎩， 解得232
k b ⎧=-⎪
⎨⎪=-⎩ ∴此直线的表达式为2
23
y x =-
-． …… 8分 把1x =-代入得4
3y =-
∴P 点的坐标为413⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭， …………9分 （3）S 存在最大值 ………………10分
理由：∵DE PC ∥，即DE AC ∥． ∴OED OAC △∽△． ∴
OD OE OC OA =，即223m OE -=． ∴OE ＝3－2
3
m ，连结OP
OED POE POD OED PDOE S S S S S S =-=+-△△△△四边形
＝
()()13411332132223222m m m m ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝23342m m -+
233
(1)44m =--+，∵304-< ，
∴当1m =时，333424S =-+=最大………………14分
O A
C x
y B E P
D。