2015年上海中学自主招生数学卷

=++=+b a a b b a b a 则,111轴交于与x m m mx x y )0(4

322>-+=3211=-OA OB 19102111<+

1. 已知 .

2. 有 个实数x ，可以使得x -120为正整数.

3. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，CD ＝BF ，BD ＝CE. 用含∠A 的式子表示∠

EDF ，应为∠EDF ＝ .

4. 在直角坐标系中，抛物线

A 、

B 两点，若A 、B 两点到原点的距离分别为OA 、OB ，且满足 ，则m = .

5. 定圆A 的半径为72，动圆B 的半径为r ，r ＜72，且r 是一个整数，动圆B 保持内切于 圆A 且沿着圆A 的圆周滚动一圈，若动圆B 开始滚动时的切点与结束时的切点是同一 点，则r 共有 个可能的值.

6. 学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人；如果每船坐8人，那么就 有一船不空也不满，则学生共有 人.

7. 对于各数互不相等的正数数组（a 1，a 2，…，a n ）（n 是不小于2的正整数），如果在 i ＜j 时有a i ＞a j ，则称a i 与a j 是该数组的一个“逆序”，例如数组（2，4，3，1）中有逆

序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正数数组 （a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6）的逆序数为2，则（a 6，a 5，a 4，a 3，a 2，a 1）的逆序数是 .

8. 若n 为正整数，则使得关于x 的不等式 有唯一的整数解的n 的最大值 为 .

二、选择题

9. 已知x 2＋ax －12能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数a 的个数为 ……………………………………………………………………………………………（ ）

A. 3

B. 4

C. 6

D. 8

10. 如图，D 、E 分别为△ABC 的底边所在直线上的两点，DB ＝EC ，

过A 作直线l ，作DM ∥BA 交l 于M ，作EN ∥CA 交l 于N ，设 △ABM 面积为S 1，△ACN 面积为S 2，则………………（ ）

,2015

1007735231,201310075332112

2222222++++=++++= b a A. S 1＞S 2 B. S 1＝S 2 C. S 1＜S 2 D. 无法解定

11. 设p 1，p 2，q 1，q 2为实数，则p 1p 2＝2(q 1＋q 2)，若方程甲：x 2＋p 1x ＋q 1＝0，

乙：x 2＋p 2x ＋q 2＝0，则…………………………………………………………………（ ）

A. 甲必有实根，乙也必有实根

B. 甲没有实根，乙也没有实根

C. 甲、乙至少有一个有实根

D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定

12. 设 则以下四个选项中最接近 a －b 的整数为…………………………………………………………………………（ ）

A. 252

B. 504

C. 1007

D. 2013

三、解答题

13. 直角三角形ABC 和直角三角形ADC 有公共斜边AC （B 、D 位于AC 的两侧），M 、N 分别是AC 、BD 中点，且M 、N 不重合.

⑴ 线段MN 与BD 是否垂直？证明你的结论；

⑵ 若∠BAC ＝30°，∠CAD ＝45°，AC ＝4，求MN 的长.

14. 是否存在m 个不全相等的正数a 1，a 2，…，a m (m ＞7)，使得它们能全部被摆放在一个圆 周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m 值；若不存在， 请说明理由.

2015年上海中学自主招生数学考试参考答案：

1. －1 解析：等式的两边都乘以a ＋b 即可得到答案.

2. 10 解析：120－ 中共有10个完全平方数.

3. 解析：由题意可得，

4. 2 解析：由条件可得点A （x 1，0），B （x 2，0）中，x 1＜0，故由条件列式为： 然后利用根与系数的关系构建关于m 的方程即可求解.

5. 11 解析：∵⊙B 滚动一圈后，切点不变，且r 为整数，∴⊙A 的周长是⊙B 的整数倍.

6. 44 解析：设有x 艘船，依题意有0<4x ＋20－8（x —1）x ＜8，解得x ＝6.

7. 13 解：取（a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6）为（1，2，3，6，4，5），满足题意.

8. 220

9. C 解析：－12可以分解为6组整因数的积.

10. B 解析：∵DM ∥AB ， ，又∵EN ∥CA ，∴ ，∵BD ＝CE ∴ ， ∴ . . 11. C 解析：假设两个方程都没有实数根，则 且 即 即,)(22121p p q q >+与题设矛盾，故假设不成立. 12. B 解析：错位相减，得 13. 解：⑴线段MN 与BD 垂直，联结MB 与MD ，由直角三角形斜边上的中线等于斜边长 的一半，可以知道 所以MB ＝MD .

三角形MBD 中，N 是底边上的中点，等腰三角形的性质可以说明：MN 垂直BD . ⑵ 如图：联结BM ，MD ，延长DM ，过B 作延长线的垂线段BE ，则可知在Rt △BEM 中，∠EMB ＝30°.

⑶ ∵ AC ＝4，∴ BM ＝2，

∴ BE ＝1， ∴ 由Rt △BMN 可得：

14. 解：设前两个数为a 1，a 2，则有 每六个数为一个循环，故当 时，存在. A ∠-︒2

190,3

2

1121=+x x ABD ABM S S ∆∆=ACE

ACN S S ∆∆=ACE ABD S S ∆∆=ACN ABM

S S ∆∆=04121<-q p ,

)(4,04222121222p p q q q p +>+∴<-2)(2222121p p q q +>+.2015100720131006100752331212

22222--++-+-+=- b a ,2,2AC MD AC MB ==.

CED BDF ∆≅∆.

2,3==MD EM 3

22)32(12+=++=BD .

32+=BN 32)32(222-=+-=MN 8172162514321,,,1,1,a a a a a a a a a a a a a =====,,,2192 a a a a ==),2(6为正整数且n n n m ≥=