高一数学(人教A版)必修1课件：1-2-2-1 函数的表示方法

式的步骤为： ①设出所求函数的解析式； ②根据已知条件，列出方程组； ③解方程组，求出待定系数； ④得出结论．
2．求二次函数解析式时， (1)若已知对称轴或顶点坐标；常设配方式f(x)＝a(x－m)2 ＋n(a≠0)； (2)若已知f(x)过三点，常设一般式f(x)＝ax2＋bx＋ c(a≠0)； (3)若已知f(x)与x轴两交点横坐标为x1、x2，常设分解 式，f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
{x|x≠0}
，值域是
4．与 y＝|x|相等的函数是( )
A．y＝( x)2
B．y＝ x2
C．y＝x－xxx><00
D．y＝3 x3
[答案] B
5．y＝2x＋1，x∈N*，且 2≤x≤4，则函数的值域是( )
A．(5,9)
B．[5,9]
C．{5,7,9}
D．{5,6,7,8,9}
[答案] C
新课引入 某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5 千米以内，票价 2 元； (2)5 千米以上，每增加 5 千米，票价增加 1 元(不足 5 千 米的按 5 千米计算)．
(2)是函数，因为对于集合{1,2，…，12}中任一个值，由
表可知y都有唯一确定的值与它对应，所以由它可确定为y是t
的函数．
(3)①不能确定为y是x的函数．因为当x＝0时，由上图① 可知，y有两个值±1与它对应．
②能确定y是x的函数．因为当x在{x|x＜－1或x＞1}中任 取一个值时，由上图②可确定唯一的y值与它对应．
[解析] (1)f(2x＋1)＝(2x＋1)2＝4x2＋4x＋1. (2)解法1：(换元法)： 设t＝ x＋1，∵只有x≥0，t才有意义，∴t≥1， 此时t－1＝ x，∴x＝(t－1)2， 于是f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)． 将t用x代换，有f(x)＝x2－1(x≥1)．
思路方法技巧
1 函数的三种表示方法
学法指导：列表法、图象法和解析法是从三个不同的 角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不 同的方法表示．在应用三种方法表示函数时要注意：
(1)解析法：必须注明函数的定义域； (2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义 域的特征； (3)图象法：是否连线．
值域为[1,5]．
(2)列表
x2 3 4 5 …
y1
2 3
1 2
2… 5
当x∈[2，＋∞)，图象是反比例函数y＝
2 x
的一部分，观察
图象可知其值域为(0,1]．
(3)列表 x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部 分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
2 与函数图象有关的问题
学法指导：(1)常见函数图象的特征：
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)是一条直线；
②y＝xk(k≠0)是与坐标轴无限接近的双曲线；
③y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是顶点为(－
b 2a
，
4ac－b2 4a
)，对称
轴为x＝－2ba的抛物线．
(2)作函数图象时应注意以下几点： ①在定义域内作图； ②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来 衬托整个图象； ③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴 的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
月份t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 零售量y 81 84 45 45 9 5 6 15 94 161 144 123
则零售量是否为月份的函数？为什么？ (3)下列图形能否确定y是x的函数？
[解析] (1)据三角形的周长公式得
f(x)＝x4＋＋
16＋x2＋4，0≤x＜4 x2－8x＋32＋ x2－16x＋80，4≤x≤8
已知二次函数f(x)的图象过点A(0，－5)，B(5,0)，其对称 轴为x＝2，求其解析式．
[解析] 因为抛物线的对称轴为x＝2， 所以设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋k(a≠0)．
把(0，－5)、(5,0)分别代入上式得
－5＝4a＋k 0＝9a＋k
，解得ak＝＝－1 9
，
所以解析式为y＝(x－2)2－9.
[规律总结] 1.函数图象既可以是连续的曲线，也可以是 直线、折线、离散的点等．
2．画函数的图象时需注意函数的定义域． 3．一般用描点法画函数的图象，作图时要先找出关键 “点”，再连线．
4．常见函数图象的画法：(1)对于一次函数的图象，描 出与坐标轴的交点，连线即得；(2)对于二次函数的图象，描 出与坐标轴的交点、顶点，连续即得；(3)对于分段函数的图 象，应在同一坐标系中将各段函数图象分别作出.
的图象经过怎样的
变换得到？
[解析]
在同一坐标系中分别画出y＝
1 x－2
与y＝
1 x
的图象
可见，只要将y＝
1 x
的图象上各点向右平移2个单位，即可得
到y＝x－1 2的图象．
[点评] 一般地，y＝f(x－a)的图象可由y＝f(x)的图象向 右(a>0)或向左(a<0)平移|a|个单位得到．
函数y＝x2＋2x的图象上各点向________平移________个 单位可以得到y＝x2－1的图象．
(1)代入法：如已知f(x)＝x2－1，求f(x＋x2)； (2)待定系数法：已知f(x)的函数类型，要求f(x)的解析式 时，可根据函数类型设其解析式，从而确定其系数即可． [例4] 已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)．
[解析] 可设f(x)＝ax＋b，(a≠0)， 则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3， ∴aa2b＝＋4b，＝3， 解得ab＝＝21，， 或ab＝＝－－23.， 故所求的函数为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.
[答案] 右 1
[解析] y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∴将y＝(x＋1)2－1向右 平移1个单位即得y＝x2－1.
探索延拓创新
4 求函数的解析式
学法指导：求解析式这类问题抽象性较强，解题关键 在于抓住函数对应法则f的本质．由函数f(x)的含义可知，在 函数的定义域和对应法则f不变的条件下，自变量换字母， 对函数本身并无影响，利用这一特征便可解决此类相关问 题，常用的方法有
作出下列函数的图象，并求值域： (1)y＝1＋x(x∈Z)x∈{－2，－1,0,1,2,3}； (2)y＝x2－2x(x∈[0,3))； (3)y＝2x－1，0≤x≤2 .
2x－4，2<x≤3
[分析] (1)函数的定义域是整数集，因此函数的图象是 一些点；(2)只需画出二次函数在区间[0,3)上的图象即可；(3) 根据函数解析式，分别作出各段的图象．
[例5] (1)已知f(x)＝x2，求f(2x＋1)； (2)已知f( x＋1)＝x＋2 x，求f(x)． (3)设函数f(x)满足f(x)＋2f(1x)＝x (x≠0)，求f(x)． [分析] 我们前面指出，对应法则“f”实际上是对“x”计算 的一种“程序”或“方法”．因此要把“2x＋1”及“ x ＋ 1”看成一个整体来求解．
3 函数图象的变换
学法指导：函数图象的平移一般分为左右平移和上、 下平移，由y＝f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单 位可得到y＝f(x＋a)的图象，而向上(a＞0)或向下(a＜0)平移 |a|个单位可得y＝f(x)＋a的图象．
[例3]
函数y＝
1 x－2
的图象可由y＝
1 x
②下表是我国 1990～2000 年的国内生产总值表.
年份
1990
1991
1992 1993
生产总值 18 598.4 21 662.5 26 651.9 34 560.5
年份
1994
1995
1996 1997
生产总值 46 670.0 57 494.9 66 850.5 73 142.7
年份
1998
[易错警示] 本题中函数的定义域是不连续的，作图时 应注意函数图象是一些点，而不是直线．另外，函数的解析 式应标明定义域．
(1)如图所示，在边长为4的正方形ABCD边上有一动点 M，沿折线BCD由点B向点D移动，设点M移动的路程为x， △ABM的周长为y，求函数y＝f(x)的表达式．
(2)某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位：百公 斤)如表所示.
[解析] (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在 直线y＝1＋x上，如图1所示．值域为{－1,0,1,2,3,4}．
(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x 介于0≤x<3之间的一部分，如图2所示．值域为[－1,3)．
(3)分别画出0≤x≤2时和2<x≤3时的图象，如图3所 示．值域为[－1,2]．
已知两个相邻的公共汽车站间相距约为 10 千米，如果沿 途(包括起点站和终点站)有 11 个汽车站，请根据题意，写出 票价与里程之间的函数解析式．
[答案] y＝23，，05<≤x<x≤5，10.
自主预习 1．阅读教材回答下列问题： (1)表示函数的方法，常用的有解析法、列表法 、图象法三 种． (2)把两个变量的函数关系，用一个 等式 来表示，这个 等式叫做函数的解析表达式，简称 解析式．
第一章 集合与函数概念
第一章
1．2 函数及其表示
第一章
1．2.2 函数的表示法
第一章
第1课时 函数的表示方法
课前自主预习
温故知新 1．设A，B是非空的 数集 ，如果 按照某种确定的 对应 关系 f，使对于集合A的 任意 一个数x，在集合B中都有 唯一 确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数． 2．函数的三要素是 定义域 、对应关系、 值域．