安徽省黄山市2020届高三数学第一次质量检测(一模)试题理
2020届安徽省黄山市高三毕业班第一次质量检测(一模)数学(文)试题 PDF版
黄山市2020届高中毕业班第一次质量检测数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 4．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 1. 已知复数z 满足i -3z i 1=⋅+）（,则=|z | A.5 B.3 C.5 D.32. 设U ＝R ，A ＝}|{042<-x x x ，B ＝}|{1≤x x ，则()U A C B I ＝A ．{}40≤<x xB ．{}41<≤x xC ．{}40<<x xD ．{}41<<x x3.三个数3log 2，32.0，2.0log 3的大小关系是A. 2.0log 3＜32.0＜3log 2 B. 2.0log 3＜3log 2＜32.0 C. 3log 2＜32.0＜2.0log 3 D. 32.0＜2.0log 3＜3log 24. 斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13…作为正方形的边长拼成长方形后画出来的螺旋曲线(由圆弧拼接而成)。
2020届安徽省黄山市高三毕业班第一次质量检测(一模)数学(文)试题 PDF版
黄山市2020 届高中毕业班第一次质量检测数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超．出．答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效．，．在．试．题．卷．、．草．稿．纸．上．答．题．无．效．.2 2 n adbc4．参考公式：，其中n a b c d .Ka b c d a c b dP(k>k o) 0.100 0.050 0.025 0.010k o 2.706 3.841 5.024 6.635第Ⅰ卷（选择题满分60 分）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请．在．答．题．卷．的．相．应．区．域．答．题．.）1. 已知复数z 满足（1 i） z 3-i,则| z |A.5B.3C. 5D. 32. 设U＝R，A＝{x | x2 4x 0} ，B＝{x | x 1}，则A I (C B)＝UA．x0 x 4B．x1x 4C．x0 x 4D．x1x 4 3.三个数log 3 0.2 ，log 0.232 ，3 的大小关系是A. log 0.23 ＜0. ＜log2 3 B. log3 0.2＜log2 3＜0.223 3C. log 3 0.23 ＜log 0.22 ＜3 D. 0.2 ＜log3 0.2＜log2 334. 斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13…作为正方形的边长拼成长方形后画出来的螺旋曲线(由圆弧拼接而成)。
安徽省黄山市普通高中2022届高三毕业班上学期第一次质量检测(一模)数学(理)试题(解析版)
4
，
RB x
x 1或 x 3
所以 A RB x 3 x 4 或 x 1
故选：C
4. 连续函数 f x 是定义在 1,1 上的偶函数，当 x 0 时， xf x 0 .若
f a 1 f 2a 0 ，则 a 的取值范围是（ ）
A.
1 3
,1
B.
1 2
,
0
C.
1 2
,1
D.
3.
设集合
A
x
x x
1 4
0
，
B x 1 x 3 ，则 A
RB （
）
A. x 3 x 4或 x 1
B. x 3 x 4
C. x 3 x 4或 x 1
D. x 3 x 4
【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交补集定义运算即可．
【详解】由 A x
x x
1 4
0 x1来自x学科网（ 北京） 股份有 限公司
1
命题， 当 a 0 时， 2 0 成立，
当 a 0 时， a 0 ，故方程 ax2 ax 2 0 的 a2 8a 0 解得： 8 a 0 ，
故 a 的取值范围是：8,0 ，要满足题意，则选项是集合8,0 真子集，故选项 B
满足题意. 故选：B
，且
f
0
f
6
6
，则函数
f
x
在下列区间单调递增的是（
）
A.
3
,
2
B.
,
5 6
C.
,
4 3
D.
3 2
, 2
【答案】B
【解析】
【分析】由函数 f x 的最小正周期可求得 的值，再由已知条件可求得实数 a 的
2020届安徽省黄山市上学期高中毕业班第一次质量检测文科数学(解析版)
黄山市2020届高中毕业班第一次质量检测数学(文科)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题60分)和第Ⅱ卷(非选择题90分)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．上答题无效．．．．．. 4．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.第Ⅰ卷(选择题 满分60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.) 1.已知复数z 满足(1)3i z i +⋅=-,则z =( )A. 5B. 3C.D.【答案】C【解析】 【分析】 由题意可知，3121iz i i-==-+，再求解||z 即可. 【详解】Q (1)3i z i +⋅=-∴223(3)(1)3324121(1)(1)12i i i i i i i z i i i i i -----+-=====-++--，则||z ==故选：C【点睛】本题考查复数的运算，属于容易题.2.设U ＝R ，A ＝2{|40}x x x -<，B ＝{|1}x x ≤，则()U A C B ⋂＝( ) A. {}04x x <≤ B. {}14x x ≤< C. {}04x x << D. {}14x x <<【答案】D 【解析】 【分析】分别求出集合A ，U B ð，直接进行交集运算即可. 【详解】A ＝2{|40}{04}x x x x x -<=<<，U {1}B x x =>ð， U (){14}A B x x ⋂=<<ð.故选:D【点睛】本题考查集合的交集，补集运算，属于基础题. 3.三个数2log 3，30.2，3log 0.2的大小关系是( ) A. 3log 0.2＜30.2＜2log 3 B. 3log 0.2＜2log 3＜30.2 C. 2log 3＜30.2＜3log 0.2 D. 30.2＜3log 0.2＜2log 3【答案】A 【解析】 【分析】判断这三个数与0，1的大小关系，即可得解.【详解】因为22log 3log 21>=，300.21<<，3log 0.20<， 所以3log 0.2＜30.2＜2log 3 故选:A【点睛】本题考查利用指数函数，对数函数的单调性比较数的大小，属于基础题.4.斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13…作为正方形的边长拼成长方形后画出来的螺旋曲线(由圆弧拼接而成).斐波那契螺旋线在自然界中很常见，比如海螺的外壳、花瓣、向日葵、台风、水中的漩涡、星系等所呈现的都是斐波那契螺旋.图中所示“黄金螺旋”的长度为( )A. 6πB.332π C. 10π D. 27π【答案】B 【解析】 【分析】根据弧长公式计算这7段弧的长度之和即可.【详解】若正方形边长为a ，则此正方形内的弧长124l a π=⨯， 图中所示“黄金螺旋”的长度为:11111112121222325282134444444l πππππππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯332π= 故选:B【点睛】本题考查扇形的弧长公式，属于基础题.5.函数sin cosx xyx+=在区间的图象大致是( )A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先判断()f x 的奇偶性，利用奇偶性及()f x 的特殊函数值排除选项，即可得出答案. 【详解】 因为sin()cos()sin cos ()x x x xf x x x -+--+-==-，所以()f x 既不是奇函数也不是偶函数，排除A ，B ，又因为sin()co 0)s()10(f πππππ-+--==-<-，故选:C【点睛】本题考查函数图像的判断，一般从奇偶性，单调性，零点和函数值等方面判断，属于基础题. 6.下图为2014-2018年国内生产总值及其增长速度柱形图(柱形图中间数据为年增长率)，则以下结论不正确的是( )A. 2014年以来，我国国内生产总值逐步在增长B. 2014年以来，我国国内生产总值年增长率总体平稳C. 2014-2018年，国内生产总值相比上一年年增长额最大在2018年D. 2014-2018年，我国国内生产总值年增长率的平均值为6.86% 【答案】C 【解析】 【分析】逐项判断正误，C 选项求出各年的国内生产总值相比上一年年增长额即可判断.【详解】2014-2018年，2017年国内生产总值相比上一年年增长了80693元，2018年国内生产总值相比上一年年增长了79555元，故C 错误. 故选:C【点睛】本题考查从柱形图与折线图，考查学生观察分析能力，属于基础题.7.已知1cos()63πθ-=，则sin(2)6πθ+的值是( ) A.79 B. 79-C.9D. 9-【答案】B 【解析】 【分析】先利用诱导公式将正弦函数转化为余弦函数，已知数值代入二倍角的余弦公式即可得解. 【详解】27sin(2)sin(2)cos(2)2cos ()1632369πππππθθθθ+=-+=-=--=- 故选:B【点睛】本题考查三角函数诱导公式六，考查二倍角的余弦公式，属于基础题.8.已知非零向量a r ,b r 满足a b =r r ,(2)0a b a +⋅=r r r ,则向量a r ,b r的夹角为( )A.6π B.3π C.56π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】由(2)0a b a +⋅=r r r 化简得22a ab ⋅=-r r r ，代入夹角的余弦公式化简得1cos ,2a b <>=-r r ，从而求得a r ，b r 的夹角.【详解】由(2)0a b a +⋅=r r r 可得22a ab ⋅=-r r r，因为2212cos ,2aa b a b a b a-⋅<>===-r r r r r r r r ，所以2,=3a b π<>r r . 故选:D【点睛】本题考查平面向量的数量积的含义，属于基础题.9.已知直线:10l x ay +-=是圆C ：226210x y x y +--+=的对称轴，过点A ()1a -，作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |=( )A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C 【解析】 【分析】首先将圆心坐标代入直线方程求出参数a ，求得点A 的坐标，由切线与圆的位置关系构造直角三角形从而求得AB .【详解】圆C ：226210x y x y +--+=即22(3)(1)9x y -+-=，圆心为(3,1)，半径为r =3， 由题意可知:10l x ay +-=过圆的圆心(3,1)， 则310a +-=，解得2a =-，点A 的坐标为(1,2)--，22435,3AC BC r =+===，切点为B 则AB BC ⊥， 224AB AC BC =-=.故选:C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.10.执行如图所示的程序框图，若输出的值为0，则判断框中可以填入的条件是( )A. 99?n ≥B. 99?n ≤C. 99?n <D. 99?n >【答案】C 【解析】该程序框图的功能是计算()12S 2lglg lg 2lg 1231n n n =++++=-++L 的值. 要使输出的S 的值为0，则()2lg 10n -+=，即n 99= 故①中应填99?n < 故选C点睛：：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.11.已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边为,,a b c ，△ABC 32cos 2b A c a =-，4a c +=，则△ABC 的周长为( ) 3 B. 6C. 4+23D. 8【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理化简2cos 2b A c a =-解得3B π=，由1sin 32S ac B ==结合4a c +=即可求得边a ，c ，从而求得△ABC 的周长.【详解】因为2cos 2b A c a =-，所以222222b c a b c a bc+-=-，化简得222a c b ac +-=，2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，所以3B π=又因为1sin 2S ac B ==4ac =① 4a c +=②，联立①②得2a c ==，则△ABC 为等边三角形，所以△ABC 的周长为：6. 故选:B【点睛】本题考查余弦定理，三角形面积公式及其应用，属于中档题.12.已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的焦点12,F F ，点P 是椭圆1C 和双曲线2C 的一个交点，12PF PF ⊥且椭圆1C的离心率为3，则双曲线2C 的离心率是( )A.B. 2C.D.【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线的定义列出方程组，求得21a =，又因为11c e a ==代入即可求得22c e a ==【详解】不妨设椭圆1C 和双曲线2C 的焦点在x 轴上，设椭圆1C 长半轴长为1a ，焦距为2c ，离心率为1e ，双曲线2C 实半轴长为2a ，焦距为2c ，离心率为2e ， 根据已知条件可得：12112221221213242c e PF PF a PF PF c PF PF a a ⎧+=⎪⎪+=⎪⎨⎪⎪⎪-===⎩①②③④①式同时平方可得：2221212124PF PF PF PF a ++=⑤，将②式代入⑤式可得2212124()PF PF a c =-⑥， 将⑥式代入④式同时平方后的式子可得：213a a =代入113c e a ==，可得22c e a ==.故选:A【点睛】本题考查椭圆、双曲线的定义，圆锥曲线的离心率，考查考生的分析归纳与计算能力，属于中档题.第II 卷(非选择题 满分90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.) 13.曲线ln y x x =⋅在点(1,0)处的切线的方程为__________． 【答案】10x y --= 【解析】 【分析】对()f x 求导，带入1x =得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案. 【详解】ln y x x =⋅Q1ln ln +1y x x x x∴=+⋅=' 带入1x =得切线的斜率1k =，∴切线方程()011y x -=⨯-，整理得10x y --=【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方程.难度不大，属于简单题.14.在数列{}n a 中，111,2n n a a a +==+，n S 为{}n a 前n 项和，若n S =36，则n =____. 【答案】6 【解析】 【分析】首先判断出数列{}n a 为等差数列，求出首项与公差，代入前n 项和即可得解.【详解】因为111,2n n a a a +=-=，所以{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， 则1(1)(1)23622n n n n S n d a n n --=+=+⨯=，解得6n =. 故答案为:6【点睛】本题考查等差数列的概念与已知等差数列的前n 项和求n ，属于基础题.15.已知函数()sin())(0)2f x x x πφφφ=+++<<，的图象关于直线12x π=对称，则φ的值是_________. 【答案】12π【解析】 【分析】先把函数()f x 化简为正弦型函数，由正弦型函数的对称性即可求出φ.【详解】()sin())=2sin(+)3f x x x x πφφφ=+++因为()f x 的图象关于直线12x π=对称，所以+=1232k πππφπ++，解得12k k πφπ=+∈，Z ，因为02πφ<<，所以12πφ=.故答案为:12π【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式及正弦型函数的图像与性质，属于基础题.16.已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，点M 在线段BC 上(异于C 点)，点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截该正方体所得截面为四边形，则三棱锥1A AMN -体积的取值范围是________. 【答案】24[,]33【解析】 【分析】首先确定当12BM BC ≤,平面AMN 截该正方体所得截面为四边形，从而得知当点M 为BC 中点时三棱锥1A AMN -的体积取得最小值，当点M 与点B 重合时，三棱锥1A AMN -的体积取得最大值，进而求得三棱锥1A AMN -体积的范围.【详解】当12BM BC ≤,平面AMN 截该正方体所得截面为四边形, 如图(1)，图(2)所示，当12BM BC >,平面AMN 截该正方体所得截面为五边形，如图(3)所示：、图(1) 图(2) 图(3) 当1=2BM BC 时，11114=(22)2323A AMN N A AB V V --=⨯⨯⨯⨯=； 当点B 与点M 重合时，11112=(25)3235A AMN A AMN V V --=⨯⨯=. 故答案: 24[,]33【点睛】本题考查正方体截面问题的求解，关键是能够确定截面为四边形和五边形的临界点，从而得到所求的范围，属于中档题.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请在答题．．．．卷的相应区域答题．．．．．．．．.) 17.某市在争创文明城市过程中，为调查市民对文明出行机动车礼让行人的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：支持 不支持 合计 年龄不大于45岁 80 年龄大于45岁 10 合计70100(1)根据已有数据，把表格数据填写完整；(2)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄段与是否支持文明出行机动车礼让行人有关？(3)已知在被调查的年龄小于25岁的支持者有5人，其中2人是教师，现从这5人中随机抽取3人，求至多抽到1位教师的概率.【答案】(1)见解析 (2) 能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与是否支持文明出行有关(3) 710【解析】 【分析】(1)根据条件中所给的数据，列出列联表，填上对应的数据即可；(2)假设没有关系，根据列联表把求得的数据代入观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论；(3)列举法确定基本事件即可求出概率.【详解】解：(1)(2)22100(20106010)1004.762 3.8418020307021K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与是否支持文明出行有关. (3)记5人为a ，b ，c ，d ，e ，a ，b 表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是： abc ，abd ，abe ，acd ，ace ，ade ，bcd ，bce ，bde ，cde 共10个，其中“至多1位教 师”含有7个基本事件，所以所求概率710【点睛】本题考查列联表，独立性检验的基本思想及应用，古典概型，属于基础题. 18.已知等比数列{}n a 中，0n a >，12a =，且12112n n n a a a ++-=，*n N ∈. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设4log n n n b a a =，若{}n b 前的前n 项和2020n S ≤，求n 的最大值.【答案】(1) 2nn a = (2) 最大值为8.【解析】 【分析】(1)由{}n a 是等比数列，令1n =可列出方程求出2q =，代入等比数列通项公式即可；(2)表示出{}n b 的通项公式，由错位相减法可求得n S ，代入已知不等式即可得解.【详解】解：(1)由{}n a 是等比数列，令1n =可得2123112112222a a a q q -=⇒-= 2202q q q ⇒--=⇒=或1q =-(舍去)，故2n n a =.(2)由题14log 2n n n n b a a n -==⋅，所以01211222322n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯又12321222322nn S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ 两式相减得1(1)2nn S n =+-⨯易知n S 单调递增，且891793,=40972020S S =>，故n的最大值为8.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求前n 项和，属于中档题.19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，且AD BC ⊥，四边形11ABB A 为正方形.(Ⅰ)求证：1//AC 平面1AB D ； (Ⅱ)若60BAC ∠=o ， 4BC =，求点1A 到平面1AB D 的距离.【答案】(Ⅰ)见证明(Ⅱ【解析】 【分析】(Ⅰ)根据三角形中位线性质得线线平行，再根据线面平行判定定理得结果，(Ⅱ)根据等体积法求高，即得结果.【详解】(Ⅰ)连接1BA ，交1AB 于点E ，再连接DE ， 由已知得，四边形11ABB A 为正方形，E 为1AB 的中点，∵D 是BC 的中点，∴1//DE A C ，又DE ⊂平面1AB D ，1AC ⊄平面1AB D ， ∴1//AC 平面1AB D . (Ⅱ)∵在直三棱柱111ABC A B C -中，平面11BCC B ⊥平面ABC ,且BC 为它们的交线， 又AD BC ⊥，∴AD ⊥平面11BCC B ,又∵1B D ⊂平面11BCC B ,∴1AD B D ⊥，且1AD B D ==.同理可得，过D 作DG AB ⊥，则DG ⊥面11ABB A ，且DG =设1A 到平面1AB D 的距离为h ,由等体积法可得：1111A AB D D AA B V V --=，即111111113232AD DB h AA A B DG ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，即44h h =⋅∴=即点1A 到平面1AB D . 【点睛】本题考查线面平行判定定理以及等体积法，考查基本分析求解能力，属中档题. 20.已知ABC ∆的三个顶点都在抛物线22(0)y px p =>上，且抛物线的焦点F 为ABC ∆的重心. (1)记OFA OFB OFC ∆∆∆、、的面积分别为123S S S 、、，求证：222123S S S ++为定值； (2)若点A 的坐标为(1,2)-，求BC 所在的直线方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 210x y --=【解析】 【分析】(1)确定抛物线的焦点F 的坐标，由重心知0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r从而求得A ，B ，C 三点的坐标关系，进而求得222123S S S ++；(2)首先求出抛物线的标准方程，与直线方程联立，通过韦达定理求出参数m 的值，进而求出直线方程.【详解】解：(1)记112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ， 由重心知0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r12332p x x x ⇒++=，又22(1,2,3)i i y px i == 于是222123S S S ++22222412312313()()2()421616p p y y y p x x x p =++=⋅++=.(2)将(1,2)A -代入得2(1,0)p F =⇒，1233x x x ⇒++=，1230y y y ++=23232,2x x y y ⇒+=+=，设BC 所在的直线方程为x my n =+，代入抛物线24y x =得2440y my n --=，由23232,2x x y y +=+=代入2323321142,()2222y y m m x x m y y n n +==⇒=+=++=⇒=，所以BC 所在的直线方程为1121022x y x y =+⇒--=.【点睛】本题考查抛物线的定义，三角形重心的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题. 21.已知曲线()xmx mf x e -=在点()()11f ，处的切线斜率为1e-. (1)求m 的值，并求函数()f x 的极小值；(2)当()0,x π∈时，求证：2sin 1cos x x x e x x e e x x --++>. 【答案】(1) 1m =-,极小值为21e- (2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)由导数的几何意义求出参数m ，得到函数具体解析式，再通过导数判断函数单调性从而求得极小值；(2)化简不等式得()21cos sin f x x x x e +>-，由(1)求得()21f x e +的最小值，再利用导数求出()()cos sin ,0,g x x x x x π=-∈的范围，即可证明不等式.【详解】解：(1)由题意，()f x 的定义域为R .()()2xm x f x e =-'-Q ，()11m f e e∴==-'，1m ∴=- ∴()1x x f x e -=，∴()2xx f x e-'= 当2x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当2x <时，()0f x ¢<，()f x 单调递减，2x =是()f x 的极小值点，()f x \的极小值为()212f e=-(2)要证2sin 1cos x x x e x x e e x x --++>，两边同除以x e ，只需证211cos sin x x x x x e e -+>-即可.即证()21cos sin f x x x x e +>-. 由(1)可知，()21f x e+在2x =处取得最小值0；设()()cos sin ,0,g x x x x x π=-∈，则()cos sin cos sin g x x x x x x x -=-'=-，()()0,0x g x π∴'∈<Q ，，()g x ∴在区间()0π，上单调递减，从而()()00g x g <=()21cos sin f x x x x e∴+>-即2sin 1cos x x x e x x e e x x --++>. 【点睛】本题考查函数单调性、极值与最值得综合应用，考查利用导数证明不等式，属于中档题.考生注意：请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.在直角坐标系xOy 中，l 是过定点(1,1)P 且倾斜角为α的直线，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. (1)求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于M ,N 两点，求PM PN +的取值范围.【答案】(1)1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，22(2)4x y -+=；(2)4].【解析】 【分析】(1)根据直线的参数方程直接写出即可，将4cos ρθ=两边同时乘以ρ，变形为24cos ρρθ=，再根据222cos x y x ρρθ⎧=+⎨=⎩转化为直角坐标方程即可. (2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得，2(2sin 2cos )20t t αα+--= 确定12t t +与12t t ，代入||||PM PN +==.【详解】(1)l的参数方程：1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，曲线C 的直角坐标方程：22(2)4x y -+= ； (2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得,2(2sin 2cos )20t t αα+--=，①由于2(2sin 2cos )80αα∆=-+>恒成立，所以方程①有两个不等实根12,t t ， 由于1220t t =-<，所以12,t t 异号， 则1212||||4]PM PN t t t t +=+=-==.【点睛】本题考查直线的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程t 的几何意义，属于中档题.23.已知函数()212f x x x =++-. (1)解不等式()5f x <； (2)若23()32f x a a ≥--恒成立,求a 的取值范围. 【答案】(1)4{|2}3x x -<<；(2)[1,4]-. 【解析】 【分析】(1)分类讨论，21x <-，122x -≤≤，2x >，分别求解即可.(2)求分段函数131()213(2)231(2)x x y x x x x ⎧-+<-⎪⎪=⎨+-≤≤⎪⎪->⎩的最小值，再解不等式235322a a --≤，即可.【详解】(1)当21x <-，则2125x x ---+< ⇒4132x -<<-， 当122x -≤≤时，则2125x x +-+< ⇒ 122x -≤<，当2x >时，则2125x x ++-<，此时无解， 故解集为4{|2}3x x -<<； (2)由(1)知131()213(2)231(2)x x y x x x x ⎧-+<-⎪⎪=⎨+-≤≤⎪⎪->⎩，所以当12x =-时，y 的最小值为52，则235322a a --≤，2340a a --≤所以[1,4]a ∈- .【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及恒成立问题求参数的取值范围.属于中档题.。
【质检试卷】安徽省黄山市2020届高三1月质量检查(数学文)及答案
黄山市2020届高中毕业班第一次质量检测数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，．．．．．．．．．．．．．．在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．.4．参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请在答题卷的相应．．．．．．．．区域答题．．．．.） 1. 已知复数z 满足i -3z i 1=⋅+）（,则=|z | A.5 B.3 C.5D.32. 设U ＝R ，A ＝}|{042<-x x x ，B ＝}|{1≤x x ，则()U A C B I ＝ A ．{}40≤<x x B ．{}41<≤x x C ．{}40<<x xD ．{}41<<x x3.三个数3log 2，32.0，2.0log 3的大小关系是A. 2.0log 3＜32.0＜3log 2B. 2.0log 3＜3log 2＜32.0C. 3log 2＜32.0＜2.0log 3D. 32.0＜2.0log 3＜3log 24. 斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13…作为正方形的边长拼成长方形后画出来的螺旋曲线(由圆弧拼接而成)。
(全国卷)高三数学第一次大联考试题理
（全国卷）2020届高三数学第一次大联考试题 理考生注意：1.本试卷共150分，考试时间120分钟。
2.请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上。
3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
{}{}223,,1A x x x N B x x =-<<∈=> ，则集合A∩B＝A.{2}B.{－1，0，1)C.{－2，2}D.{－1，0，1，2}2.命题“∀x>0，x(x ＋1)>(x －1)2”的否定为；A.20,(1)(1)x x x x ∀>+≤-B.20,(1)(1)x x x x ∀≤+≤-C.20,(1)(1)x x x x ∃>+≤-D.20,(1)(1)x x x x ∃≤+≤- 3.21232x dx x -+=+⎰ A.2＋ln2 B.3－ln2 C.6－ln2 D.6－ln44.设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“U AB φ= ”的2,0()0x x f x x -⎧≤⎪=> ，若f(x 0)<2，则x 0的取值范围是A.(－∞，－1)B.(－1，0]C.(－1，＋∞)D.(－∞，0)01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是 A.p∨q 是假命题 B.p∧q 是真命题 C.p∨(⌝q)是真命题 D.p∧(⌝q)是假命题 {}{}12,15A x x B x x =-<≤=≤-≤， 定义集合{},,A B z z x y x A y B *==+∈∈，则()B A B **等于 A.{}61x x -<≤ B.{}112x x <≤ C.{}110x x -<≤ D.{}56x x -<≤8.已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x － a －x ＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a ，则函数f(x 2＋2x)的单调递增区间为A(－1.1) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)9.如图是二次函数f(x)＝x 2－bx ＋a 的部分图象，则函数g(x)＝alnx ＋ f’(x)的零点所在的区间是 A.(14，12) B.(12，1) C.(1，2) D.(2，3) ∈R ，函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当x≧1时，函数f(x)＝1x -。
2020黄山一检理科数学答案
高三数学（理科）答案·第 1 页 （共 6 页）黄山市2020届高中毕业班第一次质量检测高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.C2.D3.D4.A5.A6.C7.A8.B9.C 10.C 11.C 12.B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13. 2 14. 5.0 15. ]1,34(--16. )2,530[ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分） 解: （1）由c a b A B A C +=--sin sin sin sin 则ca ba b a c +=-- ⇒ab c b a =-+222…………………………………………………………3分 所以2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 而),0(π∈C 故3π=C ………………6分 （2）由ab c b a =-+222 且3=c⇒ab ab b a =--+92)(2⇒22)2(339)(b a ab b a +≤=-+ ⇒36)(2≤+b a 所以6≤+b a ……………………………………………10分 又3=>+c b a所以b a +的取值范围是]6,3( …………………………………………………12分18. （本小题满分12分）解： （1）记事件A ：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜， 对于事件A ，三场比赛中，由于有一场比赛田忌必输，另两场都胜，故72.09.08.0)(=⨯=A P ……………………………………………………………………4分 （2）设田忌在每次比赛中所得的奖金为随机变量ξ（金），则ξ的取值为1000-和1000。
若在某月的比赛中田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜，负胜胜，胜负胜，胜胜负………………………………………………………………………………6分设在该月的比赛中田忌获胜的概率为P ，则45.04.05.05.04.05.05.06.05.05.04.05.05.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=P …………8分 100100011000--=+-=p p E ）（）（ξ ……………………………………………10分高三数学（理科）答案·第 2 页 （共 6 页）因此田忌一年赛马获利的数学期望为120012100-=⨯-（金） …………………12分19.（本小题满分12分）（1）证明：因为AB 为圆的直径，所以BC AC ⊥，又⊥PA 平面ABC ，而⊂BC 平面ABC ，所以BC PA ⊥， 又A PA AC =⋂,所以⊥BC 平面PAC ，而⊂BC 平面PBC ，所以平面⊥PBC 平面PAC……………………5分（2）解法1：建系如图所示，令t AB 2=，而3π=∠ABC ，则6π=∠BAC ,t AC 3=，则)0,0,0(A ，），（0,20t B ,）（0,23,23tt C ，令),0,0(h P (>h 所以),2,0(h t -=，)0,23,23(tt =， 因为异面直线PB 与AC 所成的角为3π， 故213433cos222=+==th t tπ，解得t h 22= 令平面PBC 的一个法向量为),,1(z y =，而)0,2,23(tt -=，）（t t BP 22,2,0-= 由0=⋅BC n ,0223=-y tt ,所以3=y 由0=⋅BP n ，02232-=+tz t 所以26=z ，即)26,3,1(=n 而平面PAB 的一个法向量为)0,0,1(= 所以1122112233111cos ==++⋅==θ 解法2：过B 作AC 的平行线BM 交圆于M ，连接PM ，AM ，所以直线PB 与AC 所成的角即为PB 与BM 所成的角，因为AB 为圆的直径，所以BM AM ⊥，又⊥PA 平面ABC ，而⊂BM 平面ABC ，所以BM PA ⊥ 又A PA AM =⋂,所以⊥BM 平面PAM而⊂PM 平面PAM ，所以PM BM ⊥，则3π=∠PBM高三数学（理科）答案·第 3 页 （共 6 页）令t AB 2=，且3π=∠ABC 所以t BM AC 3==，t BC AM ==t t PM 33tan3=⋅=π，t t t PA 22322=-=）（，t t t PB 32)2()22(22=+=,t t t PC 11)3()22(22=+=过A 作PC AN ⊥交PC 于N ，过A 作PB AQ ⊥交PB 于Q ,连接QN ，由三垂线定理知PB QN ⊥，所以AQN ∠即为二面角A PB C --的平面角 ……………………………………8分36232222=⋅=⋅=t t t PB AB PA AQ ，1166211322=⋅=⋅=tt t PC AC PA ANsin 11AN AQN AQ ∠===， 1122cos =∠AQN 即为二面角A PB C --的余弦值为1122……………………………………12分20. （本小题满分12分）解： （1）由题知⎪⎩⎪⎨⎧=+=1211122b a c 解得22=a ，12=b ， 所以椭圆C 的方程为1222=+y x …………………………………………………………4分 （2）设),(11y x A ，),(22y x B 因为直线l 的斜率不为零，令l 的方程为：1+=my x 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122y x my x 得012)2(22=-++my y m 则22221+-=+m m y y ，21221+-=⋅m y y ， …………………………………………6分因为以AP 为直径的圆与直线2=x 的另一个交点为Q ,所以PQ AQ ⊥，则),2(1y Q则2212--=x y y k BQ ，故BQ 的方程为：)2(22121---=-x x y y y y ……………………8分由椭圆的对称性，则定点必在x 轴上，所以令0=y ，则22)1(2)2(1212112211221+-+-=+---=+---=y y y y my y y my y y y x y x而22221+-=+m m y y ，21221+-=⋅m y y ，22121y y y my +-=-高三数学（理科）答案·第 4 页 （共 6 页）所以232212212121=+-=+-++-=y y y y y x故直线BQ 恒过定点，且定点为)0,23( ………………………………………12分21.（本小题满分12分）解： （1）由题知定义域为），（∞+0， x x ax x x a ax x a ax x f )1)(1(1)1(11)(2'-+=--+=--+= ………………1分①当1-<a 时，110<-<a，令0)('>x f ，解得)1,1(a x -∈，0)('<x f ，解得),1()1,0(+∞⋃-∈ax即函数)(x f 在)1,1(a -上单调递增，在 )1,0(a-及),1(+∞上单调递减；②当1-=a 时，11=-a，在),0(+∞上0)1()1)(1()(2'≤--=-+-=x x x x x x f ， 即函数)(x f 在),0(+∞上单调递减；③当01<<-a 时，11>-a令0)('>x f ，解得)1,1(a x -∈，0)('<x f ，解得),1()1,0(+∞-⋃∈ax即函数)(x f 在)1,1(a -上单调递增，在 )1,0(及),1(+∞-a上单调递减；④当0≥a 时，令0)('>x f ，解得),1(+∞∈x ，0)('<x f ，解得)1,0(∈x即函数)(x f 在),1(+∞上单调递增，在 )1,0(上单调递减； …………………………5分综上所述：当1-<a 时，增区间为)1,1(a -，减区间为)1,0(a-及),1(+∞； 当1-=a 时，减区间为),0(+∞；当01<<-a 时，增区间为)1,1(a -，减区间为)1,0(及),1(+∞-a；当0≥a 时，减区间为)1,0(，增区间为),1(+∞； ……………………………………6分（2）假设存在，即满足)(0'x f k AB =因为已知),(11y x A ，),(22y x B 不妨令210x x <<高三数学（理科）答案·第 5 页 （共 6 页）则121212121212121212ln ln )())(1())((21x x x x x x x x a x x x x x x a x x y y k AB ------+--+=--=121212ln ln 12)(x x x x a a x x ----++=而2121000'212)(11)(x x a a x x x a ax x f +--++=--+=由)(0'x f k AB = 得2112122ln ln x x x x x x +=--存在，也就是证0)(2ln ln 211212=+---x x x x x x 存在 …………9分 只要证01)1(2ln 121212=+--x x x x x x 存在，令112>=t x x ，故转化为)1(01)1(2ln >=+--t t t t 存在 即需要证明)1(214ln >=++t t t 令)1(14ln )(>++=t t t t g则有0)1()1()1(41)(222'>+-=+-=t t t t t t g 故)(t g 在1>t 上单调递增，所以2)1()(=>g t g ，故不存在。
安徽省黄山市2020届高三毕业班第一次质量检测数学（文）试题
黄山市2020届高中毕业班第一次质量检测数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在．．．．．．．．．．．．．．．试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．. 4．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.P(k>k o )0.100 0.050 0.025 0.010 k o2.7063.8415.0246.635第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 1. 已知复数z 满足i -3z i 1=⋅+）（,则=|z | A.5 B.3 C.5 D.32. 设U ＝R ，A ＝}|{042<-x x x ，B ＝}|{1≤x x ，则()U A C B ＝A ．{}40≤<x xB ．{}41<≤x xC ．{}40<<x xD ．{}41<<x x3.三个数3log 2，32.0，2.0log 3的大小关系是A. 2.0log 3＜32.0＜3log 2 B. 2.0log 3＜3log 2＜32.0 C. 3log 2＜32.0＜2.0log 3 D. 32.0＜2.0log 3＜3log 24. 斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13…作为正方形的边长拼成长方形后画出来的螺旋曲线(由圆弧拼接而成)。
2022年安徽省黄山市高考数学第一次质检试卷(理科)+答案解析(附后)
2022年安徽省黄山市高考数学第一次质检试卷（理科）1. 设复数，则复数z的虚部是( )A. B. C. D.2. 命题：，为假命题的一个充分不必要条件是.( )A. B.C. D.3. 设集合，，则( )A. 或B.C. 或D.4. 连续函数是定义在上的偶函数，当时，若，则a的取值范围是( )A. B. C. D.5. 在长方体中，和与底面所成的角分别为和，异面直线和所成角的余弦值为( )A. B. C. D.6. 现将5人安排到3个不同的小区从事防控防疫志愿者服务，要求每人只能在一个小区服务，每个小区至少有一名志愿者，则不同的安排方案有( )A. 60种B. 90种C. 150种D. 180种7. 已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且，则函数在下列区间单调递增的是( )A. B. C. D.8. 一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”，如图是由三个半圆构成的图形最大半圆的直径为6，若在最大的半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为，则阴影部分图形的“周积率”为( )A. 2B. 3C. 4D. 59. “斐波那契数列”又称“兔子”数列，是由意大利数学家里昂那多斐波那契发现的，该数列满足：，，，若，则其前2022项和为( )A. GB.C.D.10. 已知，曲线在不同的三点，，处的切线均平行于x 轴，则m 的取值范围是( )A.B.C. D.11. 已知椭圆C ：的焦点为，，第一象限点P 在C 上，且，则的内切圆半径为( )A. B. C. 1D.12. 已知，，，则它们的大小关系正确的是( )A.B.C. D.13. 已知向量，，，则实数k 的值为__________.14. 已知双曲线E ：的一个焦点与抛物线C ：的焦点相同，则双曲线E 的渐近线方程为______.15. 已知数列满足，，则__________.16. 如图，在四棱锥的平面展开图中，正方形ABCD的边长为4，是以AD 为斜边的等腰直角三角形，，则该四棱锥外接球被平面PBC 所截的圆面的面积为______.17.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知求；若，的面积为2，求18. 如图1在梯形ABCD 中，，，，，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将沿BE 折起到的位置，如图求证：平面；若平面平面BCDE，求二面角的余弦值．19. 在创建“全国文明城市”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查一位市民只能参加一次通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：组别频数14202526132由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表①求的值；②利用该正态分布，求或；在的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额单位：元3050概率现有市民甲参加此次问卷调查，记单位：元为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望．参考数据与公式：若²，则，，20. 设椭圆C：的左、右焦点分别为、，抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，又椭圆的离心率与抛物线的离心率之比为求椭圆C的方程；设斜率为正数的直线l与椭圆C交于M，N两点，作轴于点G，O为坐标原点，若，求面积的取值范围．21. 已知函数，求函数的最小值；设函数的两个不同极值点分别为，求实数a的取值范围；若不等式恒成立，求正数的取值范围这里…为自然对数的底数22. 已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为为参数当直线l的倾斜角为时，求出该直线的参数方程并写出曲线C普通方程；直线l交曲线C于A、B两点，若，求直线l的斜率．23. 已知函数当时，求不等式的解集；设不等式的解集为M，若，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数，则复数z的虚部是，故选：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用命题真假之间的关系是解决本题的关键，属于基础题.根据存在量词命题的否定为全称量词命题，从而得到a的范围，再由充分必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：由，为假命题，为真命题，易知不成立，①当时，则符合题意，②当时，，的取值范围为，又，，为假命题的一个充分不必要条件是故选3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．解分式不等式可求集合A，然后结合集合的补集及交集运算可求．【解答】解：因为，，所以或，则或故选4.【答案】D【解析】解：连续函数是定义在上的偶函数，当时，所以或，所以在上单调递减，在上单调递增，所以等价于，所以，解得，所以a的取值范围是故选：利用导数分析函数的单调性，可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数a的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的性质求解不等式，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：连接，BD，则，所以为异面直线和所成角，因为在长方体中，和与底面所成的角分别为和，所以，，设，则，所以，在中，由余弦定理得，，所以异面直线和所成角的余弦值为，故选：由题意可得，，若设，则可表示出AD，CD的长，连接，BD，则为异面直线和所成角，然后利用余弦定理可求得结果．本题考查异面直线所成的角，考查学生的运算能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：现将5人安排到3个不同的小区从事防控防疫志愿者服务，要求每人只能在一个小区服务，每个小区至少有一名志愿者，①这3个小区分别有1人，1人，3人的情况，则有种不同的安排方法，②这3个小区分别有1人，2人，2人的情况，则有种不同的安排方法，故不同的安排方案共有种．故选：根据已知条件，分这3个小区有1人，1人，3人，有1人，2人，2人两种情况，分别求解，并求和，即可求解．本题主要考查组合、排列数的求解，考查分类讨论的思想，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由题意可知，函数的最小正周期为，所以，，则，所以，故，可得，所以，，对于A选项，当时，，故函数在区间上不单调；对于B选项，当时，，故函数在区间上单调递增；对于C选项，当时，，故函数在区间上不单调；对于D选项，当时，，故函数在区间上不单调．故选：由函数的最小正周期可求得的值，再由已知条件可求得实数a的值，再利用正弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项．本题考查正弦函数的性质，考查学生的运算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：依题意，设较小的白色半圆的半径为r，则较大的白色半圆的半径为，所以，解得或舍，所以阴影部分图形的“周积率”为：故选：设较小的白色半圆的半径为r，则较大的白色半圆的半径为，根据题意，阴影面积与最大半圆的面积比为，求出r，计算“周积率”即可．本题考查了新定义，考查了圆的周长，面积的计算，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：由可得，，①，②①+②得，，化简得故选：根据写出两个等式后再联合即可求解．本题考查了斐波那契数列的求和问题，属于中档题．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查导数的运用，求切线的斜率和单调性、极值，属于中档题．求得的导数，由题意可得有3个不同的解，由参数分离和构造函数，求得导数和单调性、极值，可得所求范围．【解答】解：函数，定义域为R，则，由题意可得有3个不同的解，即有3个不同的解．设，定义域为R，则，当或时，，当时，，所以在，上单调递减，在上单调递增，则的极小值为，极大值为，作出的大致图象如图所示，由图象可得m的取值范围是故选：11.【答案】A【解析】解：由已知条件得，，，则，，设点的坐标为，则，，即①，第一象限点P在C上，则，即②，联立解得，由椭圆的定义得，设的内切圆半径为r，则，又，，即故选：根据椭圆的定义可知，由椭圆方程可知，进而利用向量数量积的坐标运算和第一象限点P在C上可求出点P的纵坐标，最后利用内切圆的性质和三角形面积公式即可求出答案．本题考查椭圆的性质，考查学生的运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：设，则，在上单调递增，在上单调递减，且，，，，，，，，，，，故选：先构造函数，再判断单调性得到，再利用，得到，即，求解即可．本题考查三个数大小的比较，利用构造函数和对数函数性质是关键，属于中档题．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，以及向量垂直关系的坐标表示，属于基础题．由已知结合向量数量积性质的坐标表示即可求解．【解答】解：因为，，所以，因为，所以解得故答案为14.【答案】【解析】解：抛物线C：的焦点，所以双曲线E：的一个焦点坐标，所以，解得，所以双曲线E的渐近线方程为，故答案为：求出抛物线的焦点坐标，利用已知条件列出方程，求解b，然后求解双曲线的渐近线方程．本题考查抛物线的简单性质，双曲线的简单性质的应用，是基础题．15.【答案】【解析】【分析】本题考查了数列的递推式以及错位相减法求和的问题，属于中档题．依题意可得，即数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，从而得到，再用错位相减法求和，即可得解．【解答】解：由，，所以，得，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以，所以设的前n项和为，则，则，两个式子相减得，，所以，则，故答案为：16.【答案】【解析】解：该几何体的直观图如下图所示，分别取AD，BC的中点O，M，连接OM，PM，，，，又，所以由线面垂直的判定定理得出平面ABCD，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，，，，，，设四棱锥外接球的球心，，，解得，设平面PBC的法向量为，，则，取，则，四棱锥外接球的球心到面PBC的距离为：，又，所以平面PBC所截的圆的半径，所以平面PBC所截的圆面的面积为故答案为：先由线面垂直判定定理证明平面ABCD，进而建立空间直角坐标系，根据球心的性质列出方程得出球心坐标，再求出平面PBC的法向量，最后由向量法得出四棱锥外接球的球心到面PBC的距离，再计算出半径即可求解．本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．17.【答案】解：，，，，，，，；由可知，，，，【解析】本题考查了三角形的内角和定理，降幂公式，三角形的面积公式，余弦定理，属于中档题.利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出由可得，利用三角形面积公式求出ac的值，再利用余弦定理变形即可求出18.【答案】证明：在图①中，因为，，E是AD的中点，，故四边形ABCE为正方形，所以，即在图②中，，，又，所以平面又，，所以四边形BCDE是平行四边形，所以，所以平面解：由已知，平面平面BCDE，又由知，，，所以为二面角的平面角，所以，如图所示，以O为原点，分别以OB，OC，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设平面的一个法向量为，，，令，，，故平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，，令，，，平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，从而，由图得二面角为钝角，故二面角的余弦值为【解析】根据线面垂直的判定定理，先证明平面，再根据，即可证明结论；根据题意建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标，然后求出平面和平面的法向量，根据向量的夹角公式求得答案．本题主要考查线面垂直的证明，空间向量及其应用，二面角的计算等知识，属于中等题．19.【答案】解：①；②，，，或，，，50，60，80，100，，，，，X30506080100P【解析】①根据题意以及平均数的计算规则即可解出；②根据正态分布的性质即可直接计算；根据题意分析可知随机变量的可能取值为30，50，60，80，100，分别解出对应的概率即可解出．本题考查了统计与概率，分布列，数学期望，学生的数学运算能力，属于基础题．20.【答案】解：由已知得抛物线的方程为，则其焦点为，焦点就是椭圆短轴的一个端点，椭圆的离心率与抛物线的离心率之比为，椭圆的离心率，即，解得，，则椭圆C的方程为设，，，直线l的方程为，代入椭圆方程并化简得：，依题意得，化简得①，且，由得，即，即，即，化简得②，由①②可得，，又原点O到直线l的距离，令则即，则当，即时，，又面积的取值范围是【解析】求出抛物线的焦点即可得，由椭圆的离心率为可得，即可求出，故即可求得椭圆的方程；设出直线l的方程及其直线与椭圆C交点M，N的坐标，将椭圆方程与直线方程联立消去y 即可得到关于x的一元二次方程，由可得，利用韦达定理求出两根之和、两根之积、的表达式，利用向量垂直的坐标式可得，代入化简即可得到，即可求出，利用三角形的面积公式，用表示出的面积，即可求得的取值范围．本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的范围与最值问题等知识，属于中等题．21.【答案】分解：由题可知：，由，，在为减函数，在增函数，的最小值为…………………………………………………………………………分由题，定义域为则，由题可得有两个不等实数根．于是有两个不同的实数根，等价于函数图象在有两个不同的交点，，由，由，所以在递增，在递减，又，有极大值为，当时，，所以可得函数的草图如图所示所以，要使函数图象在有两个不同的交点，当且仅当………分由可知：，是方程的两个实数根，且则…………………………………………………………分由于，两边取自然对数得，即，令，则在恒成立．所以在恒成立．………………………………………………………分令，则①当即时，，在递增，所以恒成立，满足题意．②当时，在递增，在递减，所以，当时，，因此，在不能恒成立，不满足题意．综上所述，，即…………………………………………………………………………………分【解析】求得由在为减函数，在增函数，可求得的最小值；可求得，令，分离参数a ，有两个不同的实数根，等价于函数图象在有两个不同的交点，作图分析，可求得实数a 的取值范围；对，两边取自然对数，化简整理得，令，则在恒成立．令，求导分析，可求得正数的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值及极值，考查转化化归思想与分类讨论思想，考查逻辑推理能力与综合运算能力，属于难题．22.【答案】解：直线l 的倾斜角为，直线l 的参数方程为为参数，又由得，所以，化简得曲线C 的普通方程为将直线l 的参数方程为为参数，代入，得，所以，，设A ，B 对应的参数分别为，，则整理得：，故【解析】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，考查运算能力和数学思维能力，属于中档题．直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用三角函数的关系式的变换和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.【答案】解：时，，若，时，，解得：，故，时，，解得：，故，时，，解得：，故，综上，不等式的解集是；若，则问题转化为在恒成立，即，故，故在恒成立，即在恒成立，故，即a的范围是【解析】代入a的值，通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取并集即可；问题转化为即在恒成立，求出a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题．。
安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测理科数学答案
安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题参考答案1．C 【详解】解不等式(3)(7)0x x --≤得37x ≤≤，所以根据题意得：{}3,4,5,6,7A =. 故集合A 共有5个元素.故选：C. 2．D【详解】因为||2i，所以22||2222i i i i +-=+-=，故选：D ．3．B 【详解】因为欧拉公式cos sin (ix e x i x i =+为虚数单位），所以3cos3sin3i e i =+，因为3(2π∈，)π，cos30<，sin30>，所以3i e 表示的复数在复平面中位于第二象限．故选：B ．4．A 【详解】根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点F 的距离等于其到准线的距离， 从而得到点P 到焦点F 的距离等于其到顶点O 的距离， 所以点P 在线段OF 的垂直平分线上， 因为抛物线的方程为2yx ，所以其焦点的坐标为10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭，从而得到点P 的纵坐标为101428+=，将18y =代入抛物线的方程，得到4x =±，所以点P 的坐标为148⎛⎫±⎪⎝⎭. 故选：A.5．B 【详解】从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a ，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b ， 可以组成向量(,)m a b =的个数是339⨯=（个)；其中与向量(2,1)n =-垂直的向量是(1,2)m =和(2,4)m =，共2个；故所求的概率为29P =．故选：B ．6．C 【详解】因为3()42f x x ax '=+，所以(1)42k f a '=-=--，(1)2f a -=+，所以切点为()1,(2)a -+，切线方程为()()()2421y a a x -+=--+，令0x =，则2y a =--，所以24a --=，解得6a =-，所以切点的纵坐标为4-.故选：C.7．B 【详解】试题分析：由图像可知A=2，3113,241264T T ππππω=-=∴==，代入点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭得sin 2166ππϕϕ⎛⎫⨯+=∴= ⎪⎝⎭()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭8．B 【详解】611x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的通项为6161(1)rr rr T C x x -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．61rx x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为6621661ssr ss r ss rr T C xC xx ----+--⎛⎫== ⎪⎝⎭．由625r s --=，得21r s +=，r ，s ∈N ，1r ∴=，0s =．∴在611x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，含5x 项的系数为10656C C -=-．故选：B ． 9．C 【详解】由2tan 4tan 10θθ-+=可得1tan 4tan θθ+=，所以sin cos 4cos sin θθθθ+=，即22sin cos 4cos sin θθθθ+=⋅，即1cos sin 4θθ⋅=，211cos 2121sin 212sin cos 124cos 422224πθπθθθθ⎛⎫++-⨯⎪--⎛⎫⎝⎭+===== ⎪⎝⎭，故选：C 10．B 【详解】因为直线的方程:30l mxy m ++-=化为()30m x y ++=，所以直线l 恒过点(3-，而点(3-满足2212x y +=，所以点(3-在圆2212x y +=上，不妨设点(3A -，又||3CD =，所以点(B 0， 所以||AB ==又圆2212x y +=的半径为所以AOB 是等边三角形，所以AOB ∠=3π．故选：B ． 11．B 【详解】如下图所示，延长PH 交BC 于点D ，连接AD ，H 为PBC 的垂心，则BC PD ⊥，AH ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，BC AH ∴⊥， AHPD H =，BC ∴⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，BC AD ∴⊥，连接BH 并延长交PC 于点E ，连接AE ，AH ⊥平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，AH PC ∴⊥，BE PC ⊥，AHBE H =，PC ∴⊥平面ABE ，AB ⊂平面ABE ，AB PC ∴⊥，设点P 在平面ABC 内的射影为点O ，延长CO 交AB 于点F ，连接PF ，PO ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，PO AB ∴⊥， PO PC P =，AB ∴⊥平面PCF ，PF 、CF ⊂平面PCF ，则PF AB ⊥，CF AB ⊥，AD CF O =，O ∴为正ABC 的中心，且F 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，OA 、OB 、OC ⊂平面ABC ， PO OA ⊥，PO OB ⊥，PO OC ⊥，且OA OB OC ==，所以，POA POB POC ≅≅，PA PB PC a ∴===， 当PB PC ⊥时，PBC 的面积取最大值，当PA ⊥平面PBC 时，三棱锥P ABC -的体积取得最大值， 将三棱锥A PBC -补成正方体AEMN PBDC -，所以，三棱锥A PBC -的外接球的直径即为正方体AEMN PBDC -的体对角线长， 设三棱锥A PBC -的外接球直径为2R ，则22223R PA PB PC a =++=，因此，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为()222423R R a πππ=⨯=. 故选：B.12．C 【详解】()'21f x x lnx =--，1()2f x x ''=-，∴当12x 时，()0f x ''，()f x ∴'在1[2，)+∞上单调递增，11()()2022f x f ln ∴''=->，()f x ∴在1[2，)+∞上单调递增，[a ，1][2b ⊆，)+∞，()f x ∴在[a ，]b 上单调递增，()f x 在[a ，]b 上的值域为[(2)k a +，(2)]k b +，∴()(2)()(2)f a k a f b k b =+⎧⎨=+⎩，∴方程()(2)f x k x =+在1[2，)+∞上有两解a ，b ．作出()y f x =与直线(2)y k x =+的函数图象，则两图象有两交点．若直线(2)y k x =+过点1(2，912)42ln +，则92210ln k +=，若直线(2)y k x =+与()y f x =的图象相切，设切点为0(x ，0)y ，则002000000(2)221y k x y x x lnx x lnx k=+⎧⎪=-+⎨⎪-+=⎩，解得1k =．922110ln k +∴<，故选：C ．13．13-【详解】x 、y 满足约束条件202030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩的可行域如图：目标函数2z x y =+，即2y x z =-+，观察图像可得目标函数经过点A 时取得最小值，又点()53A --，，()min 25313z =⨯--=- 故答案为：13-．14．2e 1-【详解】由()x f x e '=，过点(1,0)作曲线()y f x =的切线l ，设切点为()00,x x e则0x k e =，所以切线l 的方程为()000-=-x x y e e x x由切线过点(1,0)，则()0001xx e ex -=-，解得：02x =所以切线l 的方程为22y e x e =-直线l 与曲线()y f x =及y 轴围成的图形的面积为()()2222222021102x x e e x e dx e e x e x e ⎛⎫⎛⎫--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰15．37+【详解】因为||1,||2AB BC ==，1AB BC ⋅=，且cos ,AB BC AB BC AB BC ⋅=⋅<>，所以1cos ,2AB BC AB BC AB BC⋅<>==⋅， 因为,[0,]AB BC π<>∈，所以AB 与BC 的夹角为3π，即23ABC π∠=，因为0AD DC ⋅=，所以AD DC ⊥，即点D 是以AC 为直径的圆上的点， 以B 为原点，BC 为x 轴正方向建系，如图所示：所以13(0,0),((2,0)2B A C -，设以AC 为直径的圆的圆心为P ，所以33(4P ，且22337=(2)(0)442r CP =-+-=，所以D 的轨迹的方程为22337()(444x y -+-=，BD 的最大值为223373737+(0)(0)44BP r +=-+-==，16．2213y x -= [43【详解】设(0,),(0,),(,)A b B b P x y -，由题意知||2||PB PA =，可得2PB PA =2222()2()x y b x y b ++=+- 整理得22254()()33b b x y +-=，可得圆心为5(0,)3b ，半径43b r =， 所以PAB △的最大面积为142423b b ⨯⨯=，解得23b =，即22213x y a +=，设11(,),(,)Q x y M x y ，则11(,)N x y --，则2211213x y a +=，可得2221123()a x y a -=，同理22223()a x y a -= 则1212,QM QN y y y x k y x x x k -+==-+，则22221222212222113()3()3QM QN a x a x y y a a x x x x k k ----===--⋅， 整理得21a =，所以双曲线的方程为2213y x -=.如图所示，设边1212,,CF CF F F 上的切点分别为,,R S T ，则,M T 横坐标相等，则1122,,CR CS FM FT F S F T ===，由122CF AF -=，即12()2CR RF CS SF +-+=，即122RF SF -=，即122FT F T -=，即点M 的横坐标为0x ，则0(,0)T x ， 于是00()2x c c x +--=，可得01x =， 同样内心N 的横坐标也为1，则MN x ⊥轴， 设直线CD 的倾斜角为θ，则22,9022OF N MF O θθ∠=∠=-，在2MF N 中，sincos22()[tantan(90)]()()22cos sin 22MN c a c a θθθθθθ=-+-=-+ 22sin cos 222()()sin sin cos 22c a c a θθθθθ+=-⋅=-⋅，由双曲线的方程，可得1,a b ==2c ==，可得2sin MN θ=， 又由直线CD为双曲线右支上的点，且渐近线的斜率为ba=60， 可得6090θ<≤，即sin 12θ<≤， 可得MN 的取值范围是[.故答案为：2213yx-=；[432,).17．【详解】解：（1）设数列{}n a的公差为d，且11a=，又41412S S-=，则()12341412312a a a a a d+++-=++=，所以2d=，则1(1)221na n n=+-⋅=-；由121n nb T+=+可得121(2)n nb T n-=+≥，两式相减得12n n nb b b+-=，13(2)n nb b n+=≥，又21213b T=+=，所以213b b=，故{}n b是首项为1，公比为3的等比数列，所以13nnb-=.（2）设1213nn nna ncb--==，记{}n c的前n项和为n T.则0121135213333n nnT--=++++，12311352133333n n nT -=++++， 两式相减得：121222221133333n n nn T --=++++-， 11112212233122133313n n n n n n T -⎛⎫⨯- ⎪-+⎝⎭=+⨯-=--，所以1133n n n T -+=-. 18．【详解】（1）证明：取AC 中点O ，连,,OT OB BT因为ABCD 为正方形，所以,AC OT AC OB ⊥⊥， 又OT OB O ⋂=所以AC ⊥平面OBT ，而TB ⊂平面OBT ， 所以AC TB ⊥.又,E F 分别为,AD CD 中点，所以//EF AC 所以EFTB ⊥（2）因为60TAB ︒∠=，所以TAB △为等边三角形，TB a =，又2OT OB ==， ∴222TB OB OT =+，即OT OB ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则22222,0,0,0,,,0,24444a a a a B a E F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22220,,0,a a EF a EB a ⎛⎫⎛== ⎪ ⎝⎭⎝⎭平面ABC 法向量(0,0,1)m = 设平面BEF 法向量(,,1)x n y =，由00n EF n EB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，02220244y aay =⎧+-=⎩，012y x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 125,0,1,cos ,2||||1114m n n m n m n ⋅⎛⎫=<>===⎪⋅⎝⎭⋅+， 记平面ABC 与平面BEF 所成二面角为θ，则θ为锐角，所以25cos θ=即平面ABC 与平面BEF 25. 19．【详解】（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间,97e e ⎛⎫⎪⎝⎭内，即(0.302,0.388)y x∈则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品. 现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数0,1,2,3ξ=0333361(0)20C C P C ξ===，1233369(1)20ξ===C C P C ， 2133369(2)20C C P C ξ===，3033361(3)20ξ===C C P Cξ的分布列为∴()0123202020202ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=E （2）对(,0)b y c x b c =⋅>两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+，令ln ,ln i i i i v x u y ==，得u b v a =⋅+，且ln a c =，①根据所给统计量及最小二乘估计公式有：1222175.324.618.360.271ˆ101.424.660.542ni ii n i i v u nv u b vnv ==-⋅-⨯÷====-÷-∑∑ 1ˆˆ18.324.6612⎛⎫=-=-⨯÷= ⎪⎝⎭a u bv ，得ˆˆln 1==a c ，故ˆc e = 所求y 关于x 的回归方程为12y e x =⋅② 由① 可知，12ˆy e x =⋅，则ˆ20.32z x = 由优等品质量与尺寸的比12ˆ,(7,9)97y ex e e x x ⎛⎫==⇒ ⎪⎝⎭，即(49,81)x ∈. 令(7,9)t =，222ˆ()0.3220.320.320.32e e z t t et t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭ 当8.5(7,9)0.32e t ==≈∈时，ˆz 取最大值， 即优等品的尺寸()72.3x mm ≈，收益ˆz 的预报值最大.20．【详解】（1）由22a c =得a =，把点代入椭圆方程得22421a b +=， 又222a b c =+，所以228,4a b ==，椭圆的标准方程为22184x y +=. （2）设过点P 作椭圆的两条切线分别为12,l l .①当12,l l 中有一条斜率不存在时，不妨设1l 斜率不存在，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =x =-，当1l方程为x =1l 与圆O交于点和2)-，此时经过点，2)-且与椭圆只有一个公共点的直线是2y =或2y =-，即2l 为2y =或122,y l l =-⊥由题目知，圆O 的方程为：2212x y +=，∴线段EF 应为圆O 的直径，∴||EF =.②当12,l l 斜率都存在时，设点()00,P x y ，其中220012x y +=，且22008,4x y ≠≠， 设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，则()0022184y t x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到()()()2220000124280t x t y tx x y tx ++-+--=， ∴()2220000648163280x t x y t y ∆=-++-=，()2200122200328123281648648x y t t x x ---===---， 所以121t t =-，满足条件的两直线12,l l 垂直.∴线段EF 应为圆O 的直径，∴||EF =，综合①②知：因为12,l l 经过点()00,P x y ，又分别交圆于点E ，F ，且12,l l 垂直，所以线段EF 为圆220012x y +=的直径，∴||EF =.故EF的取值范围.21．【详解】（1）1()1x f x ae -'=-，①当0a ≤时，()0f x '<恒成立，即函数()f x 在(,)-∞+∞递减；②当0a >时，令()0f x '>，解得1ln x a >-，令()0f x '<，解得1ln x a <-，即函数()f x 在(1ln ,)a -+∞上单调递增，在(,1ln )a -∞-上单调递减. 综上，当0a ≤时，函数()f x 在(,)-∞+∞递减；当0a >时，函数()f x 在(1ln ,)a -+∞上单调递增，在(),1ln a -∞-上单调递减. （2）由题意，即当0a >时()()0f x g x -≥在0x >时恒成立，即1ln ln 10x ae x a --+-≥在0x >时恒成立.记1()ln ln 1x h x ae x a -=-+-，则(1)ln 10h a a =+-≥，记()ln 1a a a ϕ=+-，1()10,()a a aϕϕ>'=+在(0,)a ∈+∞递增， 又(1)0ϕ=，当(1)ln 10h a a =+-≥时，得1a ≥.下面证明：当1a ≥时，1()ln ln 10x h x aex a -=-+-≥在0x >时恒成立. 因为11()ln ln 1ln 1x x h x ae x a e x --=-+-≥--.所以只需证1ln 10x e x ---≥在0x >时恒成立.记1()ln 1x T x e x -=--， 所以11(1)0,()x T T x ex -='=-， 又121()0x T x e x-=+'>'， 所以()T x '在(0,)+∞单调递增，又(1)0T '=，所以(0,1),()0x T x '∈<，()T x 单调递减；(1,),()0x T x +'∈∞>，()T x 单调递增，所以min ()(1)0T x T ==，∴ ()0T x ≥在(0,)+∞恒成立.即1()ln ln 10x h x ae x a -=-+-≥在0x >时恒成立.综上可知，当()()f x g x ≥在0x >时恒成立时，实数a 的取值范围为1a ≥.22．【详解】（1）曲线1C 的普通方程是221x y +=，当03πθ=时，点Q的坐标为12⎛ ⎝⎭，直线MQ的普通方程为20x +-=，所以直线MQ的极坐标方程为cos sin 20ρθθ+-=；（2）当023πθ=时，点Q的坐标为12⎛- ⎝⎭， 所以MQ的斜率为k =， 所以直线MQ的参数方程为2,,14x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)， 代入221x y +=并化简得230t -+=，设它的两根为12,t t ，则12||||3MP MQ t t ⋅==.23．【详解】（1）当12x <-时，3131()21322222f x x x x =-+--=-+>+=； 当1322x -≤≤时，3515()2122222f x x x x =-+++=+≥-+=；当32x >时，31()213422f x x x x =-++=->. 所以()f x 最小值为k 2=.（2）由题得2224a b c ++=.a b c a b c==++++≥=。
安徽省黄山市2020届高三数学一模检测试题 文(含解析)
黄山市 2020 届高中毕业班第一次质量检测 数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题 满分 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 请．在．答．题．卷．的．相．应．区．域．答．题．.）1. 设集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】求解一元二次不等式可得：，结合交集的定义可得：.本题选择 B 选项.2. 已知是虚数单位，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意结合复数的运算法则可得：.本题选择 A 选项. 3. 在吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验的计算中,下列说法正确的是（ ）A. 若 的观测值为,在犯错误的概率不超过 的前提下认为吸烟与患肺癌有关系,那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺癌. B. 由独立性检验可知,在犯错误的概率不超过 的前提下认为吸烟与患肺癌有关系时,我们 说某人吸烟,那么他有 的可能患有肺癌. C. 若从统计量中求出在犯错误的概率不超过 的前提下认为吸烟与患肺癌有关系,是指有的可能性使得判断出现错误. D. 以上三种说法都不正确. 【答案】C 【解析】独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能 完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．结合所给选项可得：若从统计量中求出在犯错误的概率不超过 的前提下认为吸烟与患肺癌有关系,是指有 的可能性使得判断出现错误.本题选择 C 选项.4. 在区间内的所有实数中随机取一个实数，则这个实数满足的概率是（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】由题意可得，该问题为长度型几何概型，则所求问题的概率值为：.本题选择 C 选项. 点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为 点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算， 即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是 所对的弧长(曲线长)之比．5. 将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的 侧视图为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】试题分析：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后 面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形， 在右侧的射影是正方形的对角线， 在右侧 的射影也是对角线是虚线．如图 B． 故选 B．考点：简单空间图形的三视图． 视频6. 在平面直角坐标系 中， 为不等式组线 斜率的最小值为（ ）A. 2 B. 1 C.D.【答案】C 【解析】试题分析：画出可行域如图：所表示的区域上一动点，则直分析可知当点 与点重合时直线 的斜率最小为.故 C 正确.考点：线性规划. 视频7. 若抛物线上一点 到其焦点的距离为 10，则点 的坐标为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】由抛物线的标准方程可得其准线方程为，设点 P 的坐标为，由抛物线的定义有：据此可得点 的坐标为.本题选择 C 选项.8. 已知图①中的图象对应的函数为，结合抛物线方程可得：，，则图②中的图象对应的函数为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】观察函数图象可得，②的图象是由①的图象保留左侧图象，然后将左侧图象翻折到右侧所得，结合函数图象的平移变换可得函数的解析式为.本题选择 B 选项.9. 已知函数，若关于 的方程有两个相异实根，则实数 的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】方程根的个数即函数 与函数的交点的个数，很明显函数 是偶函数，当 时，，则，则函数在区间上单调递增，且，绘制函数图象如图所示，观察可得实数 的取值范围是.本题选择 B 选项.10. 数列 中，已知对任意正整数 ，有，则A.B.C.【答案】D【解析】由递推关系可得：D. ，两式作差可得：，则，故数列 是首项为，公比为 的等比数列，结合等比数列前 n 项和公式有：.本题选择 D 选项. 11. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则（ ）等于（ ） ，A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意结合所给的流程图可知：该流程图的功能是计算的值，裂项求和可得：，据此可得：，求解关于实数的方程可得： .本题选择 A 选项. 点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路 (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．12. 已知椭圆和双曲线有共同焦点, 是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ，则 的最大值为（ ）A.B.C. 2 D. 3【答案】A【解析】考查一般性结论，当时：设，椭圆的长半轴长为 ，双曲线的长半轴长为 ，两曲线的焦距为，结合题意有：，两式平方相加可得：，两式平方作差可得：，由余弦定理有：，则：，，即，结合二倍角公式有：.本题中， ，则有：，即，则，当且仅当时等号成立，据此可得 的最大值为 .本题选择 A 选项. 点睛：圆锥曲线的离心率是圆锥曲线最重要的几何性质，求圆锥曲线的离心率(或离心率的取 值范围)，常见有两种方法：①求出 a，c，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2＝c2－a2 转化为 a，c 的齐次式， 然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可 得 e(e 的取值范围)．第Ⅱ卷（非选择题 满分 90 分） 二、填空题（本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请．在．答．题．卷．的．相．应．区．域．答．题．.）13. 已知平面上三点，，，则的坐标是_______．【答案】(－3,6) 【解析】由题意可得：，，则：.14. 已知,则 ＝_________.【答案】1【解析】由题意可得 ：，令 可得：，则：.15. 已知,则_____________.【答案】3 或 【解析】由题意结合同角三角函数基本关系有：，解方程可得：或：，则：或.16. 已知数列 满足 ，且，则 __________.【答案】【解析】由递推关系可得：，即，，则：据此可得，数列是首项为，公比为 的等比数列，故，则，据此可得，数列的通项公式为.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出 这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列， 或用累加法、累乘法、迭代法求通项．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请． 在．答．题．卷．的．相．应．区．域．答．题．.）17. 已知函数.(1)求 的单调递增区间；(2)设的内角 的对边分别为 ，且，若，求 的值．【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式有.结合正弦函数的性质可得函数 的单调递增区间为.(2)由，可得组，求解方程组可得 试题解析：(1)，则 ..结合正弦定理、余弦定理得到关于 a,b 的方程.由，得∴函数 的单调递增区间为.(2)由，得，，.又,由正弦定理得 ①;由余弦定理得，即，②由①②解得.18. 如图，在三棱锥中，、 分别为 、 的中点．,平面平面 ，(1)求证： 平面 ；(2)求证：；(3)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) .【解析】试题分析： (1)由三角形中位线的性质可得 DE∥BC，结合线面平行的判断定理可得 DE∥平面 PBC. (2)连接 PD，由等腰三角形三线合一可知 PD⊥AB.且 DE⊥AB.利用线面垂直的判断定理有 AB⊥ 平面 PDE，故 AB⊥PE.(3)转换顶点，将三棱锥看作以点 P 为顶点的三棱锥，计算可得，且 PD 是三棱锥 P－BEC 的高，计算可得由三棱锥体积公式可得其体积.试题解析： (1)证明：∵在△ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 的中点，∴DE∥BC. ∵DE⊄平面 PBC 且 BC⊂ 平面 PBC，∴DE∥平面 PBC. (2)证明：连接 PD.∵PA＝PB，D 为 AB 的中点，∴PD⊥AB. ∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB.又∵PD、DE 是平面 PDE 内的相交直线， ∴AB⊥平面 PDE. ∵PE⊂ 平面 PDE，∴AB⊥PE.(3)解：∵PD⊥AB，平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PAB∩平面 ABC＝AB，∴PD⊥平面 ABC，可得 PD 是三棱锥 P－BEC 的高．又∵，.19. 编号分别为的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号得分1535212825361834运动员编号得分1726253322123138(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：区 间[10,20）[20,30)人 数[30,40](2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取 2 人. (ⅰ)用运动员编号列出所有可能的抽取结果； (ⅱ)求这 2 人得分之和大于 50 的概率．【答案】(1)答案见解析；(2)(i)答案见解析；(ii) .【解析】第一问中，利用表格中的数据得到了人数第二问中，得分在区间【20,30）内的运动员编号为从中随机抽取 2 人，所有可能的抽取结果有 15 种， “从得分在区间【20,30）内的运动员中随机抽取 2 人，这 2 人得分之和大于 50”（记为事件B）的所有可能结果有：，共 5 种。
安徽省黄山市2020届高三毕业班第一次质量检测(一模)数学(文)试题Word版含答案
波那契螺旋。
右图所示“黄金螺旋” 的长度为 A.6B. 332C. 10D. 27黄山市2020届高中毕业班第一次质量检测数学（文科）试题本试卷分第I 卷（选择题 60分）和第H 卷（非选择题 90分）两部分，满分150分，考 试时间120分钟. 注意事项:1 •答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、 座位号与本人姓名、 座位号是否一致•务必在答题卡背面规 定的地方填写姓名和座位号后两位 2 •答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 3•答第H 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出， 签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答， 试题卷、草稿纸上答题无效.P （k>k 。
）0.100 0.050 0.025 0.010 k o2.7063.8415.0246.635第I 卷（选择题满分60 分）、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.请在答题卷的相应区域答题 .）1.已知复数z 满足（1 i ） z 3-i ,则|z| A.5B.3C. . 5，是根据斐波那契数列 1,1,2,3,5,8,13 …作为正方形的边长拼成长方形后画出来的螺旋曲线（由圆弧拼接而成）。
斐波那契螺旋线在自然界中很常见，比如海螺的外壳、花瓣、向日葵、台风、水中的漩涡、星系等所呈现的都是斐要求字体工整、笔 确认后再用0.5毫米的黑色墨水 超出答题区域书写的答案无效，在2n ad be4.参考公式：K 2,abed a e b d其中n abed .2.设 U= R,{x| x 24x 0} , B = {x| x1｝，则 AI （C u B ）=A . x03.三个数 log 2 3, 0.23 ,A. log 3 0.2 v 0.23 v 3B. x1 x 4log 3 0.2的大小关系是 B. D.log 2 3C. log 23 v 0.2 v log 3 0.2 C. x0 x 4D. x1 x 4log 3 0.2 v log 2 3 v 0.23 30.2 v log 3 0.2 v log 234.斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋”217.已知 cos( ) ，则 sin(263A. 7B.7 99—Ff8.已知非零向量a,b 满足a¥ 3|b ，a-）的值是62 - 2 C.- 92b a 0,则向量a,b 的夹角为D.A.—6C. 5D.6.下图为2014-2018年国内生产总值及其增长速度柱形图（柱形图中间数据为年增长率） 则以下结论不正确的是B. 2014年以来，我国国内生产总值年增长率总体平稳。
安徽省黄山市2024届高三下学期第一次质量检测(一模) 数学含答案
黄山市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在试卷上无效.3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区战内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,1,4,1,2,3U A B ===，则()U A B =ð（）A.{}1,2,4 B.{}1,3 C.{}1,4,5 D.{}1,2,4,52.已知抛物线2:2C y px =的焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，则p 的值为（）A.14B.12C.1D.23.已知{}n a 是以q 为公比的等比数列，312a a -=，6416a a -=，则q =（）A .2B.3C.4D.54.已知1sin sin 5αβ=，()3cos 5αβ-=，则()cos αβ+=（）A.15-B.15C.1825 D.2325-5.2024年是安徽省实施“312++”选科方案后的第一年新高考，该方案中的“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学和地理至少有一门被选中的概率是（）A.16B.12C.23D.566.已知向量,a b ，满足21,2a b a b +=== ，则向量,a b的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π67.过点()0,3与圆22230x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A.265B.1C.35D.1058.已知双曲线2222:1x y C a b-=的左，右焦点分别为12,F F ，过点1F 与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 交C 于M ，且21F M F M λ=，当[]2,4λ∈时，双曲线C 离心率的最大值为（）A.B.3C.2D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 、F 、G 分别为棱BC 、1CC 、CD 的中点，下列结论正确的有（）A.AE 与1D F 共面B.平面11//AB D 平面GFEC.AE EF⊥ D.//BF 平面11AB D 10.下列说法正确的有（）A.若线性相关系数r 越接近1，则两个变量的线性相关性越强B.若随机变量()21,X N σ，()50.75P X ≤=，则()30.25P X ≤-=C.若样本数据1x 、2x 、L 、24x 的方差为3，则数据121x +、221x +、L 、2421x +的方差为18D.若事件A 、B 满足()0P A >，()0P B >，()()P B A P B =，则有()()P A B P A =11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=．若()f x 满足()()233f x f x +=-，()2g x -的图象关于直线2x =对称，且()01g =，则（）A.()f x 是奇函数B.()10g =C.()()4f x f x =+ D.2024102k k g =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若复数1i2ia +-为纯虚数，则实数a 的值为_______．13.()921(1)x x +-的展开式中5x 的系数为_______．14.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，其外接圆半径为()cos225cos B A C =-+，则角B 大小为_______，若点D 在边AC 上，2,2DC AD BD ==，则ABC 的面积为_______．四、解答题：本题共5小逐，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()2234ln 2f x x ax a x =-+在1x =处取值得极大值．（1）求a 的值；（2）求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．16.某校高三年级1000名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[)30,50、[)50,70、[)70,90、[)90,110、[)110,130、[]130,150．（1）求图中a 的值，并根据频率分布直方图，估计这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数；（2）从这次数学成绩位于[)50,70、[)70,90的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间[)70,90的人数记为X ，求X 的分布列及数学期望．17.如图，四棱锥π,22,,2A BCDE AB BC AC CD BE BE CD BCD -=====∠=∥，平面ABC ⊥平面,BCDE F 为BC 中点．（1）证明：平面AEC ⊥平面AFD ；（2）求平面AED 与平面AFD 夹角的正弦值．18.设点()1,0F c -、()2,0F c 分别是椭圆222:1x C y a+=的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF ⋅ 的最小值为2-．（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 的外切矩形ABCD 的面积S 的最大值．19.随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列{}n a ，规定{}Δn a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1ΔN n n n a a a n +=-∈，规定{}2Δn a 为数列{}n a 的二阶差分数列，其中()2*1ΔΔΔn n n a a a n +=-∈N ．（1）数列{}n a 的通项公式为()3*n a nn =∈N ，试判断数列{}{}2Δ,Δnna a 是否为等差数列，请说明理由？（2）数列{}log a n b 是以1为公差的等差数列，且2a >，对于任意的*n ∈N ，都存在*m ∈N ，使得2Δn m b b =，求a 的值；（3）各项均为正数的数列{}n c 的前n 项和为n S ，且{}Δn c 为常数列，对满足2m n t +=，m n ≠的任意正整数,,m n t 都有m n c c ≠，且不等式m n t S S S λ+>恒成立，求实数λ的最大值．黄山市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在试卷上无效.3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区战内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,1,4,1,2,3U A B ===，则()U A B =ð（）A.{}1,2,4 B.{}1,3 C.{}1,4,5 D.{}1,2,4,5【答案】C 【解析】【分析】利用集合并集、补集的混合运算进行计算即可得出结果.【详解】根据题意由{}{}1,2,3,4,5,1,2,3U B ==可得{}4,5U B =ð，又{}1,4A =，所以(){}1,4,5U A B ⋃=ð.故选：C2.已知抛物线2:2C y px =的焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，则p 的值为（）A.14B.12C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】由抛物线标准方程可得焦点坐标，可求得p 的值.【详解】根据抛物线2:2C y px =的标准方程可得焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，即122p =，可得1p =.故选：C3.已知{}n a 是以q 为公比的等比数列，312a a -=，6416a a -=，则q =（）A.2 B.3 C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的基本性质可得出关于实数q 的等式，解之即可.【详解】因为数列{}n a 是以q 为公比的等比数列，且312a a -=，6416a a -=，则()3333643131216a a a q a q q a a q -=-=-==，解得2q =.故选：A.4.已知1sin sin 5αβ=，()3cos 5αβ-=，则()cos αβ+=（）A.15-B.15C.1825 D.2325-【答案】B 【解析】【分析】利用两角差的余弦公式可得出cos cos αβ的值，再利用两角和的余弦公式可求得()cos αβ+的值.【详解】因为1sin sin 5αβ=，()13cos cos cos sin sin cos cos 55αβαβαβαβ-=+=+=,解得2cos cos 5αβ=，因此，()211cos cos cos sin sin 555αβαβαβ+=-=-=.故选：B.5.2024年是安徽省实施“312++”选科方案后的第一年新高考，该方案中的“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学和地理至少有一门被选中的概率是（）A.16B.12C.23D.56【答案】D 【解析】【分析】分别计算出任选两门的种类数，再得出化学和地理都没有被选中的情况，即可得出结果.【详解】依题意从从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门共有24C 6=种情况，其中化学和地理都没有被选中共有22C 1=种，因此化学和地理至少有一门被选中的概率是15166P =-=.故选：D6.已知向量,a b ，满足21,2a b a b +=== ，则向量,a b的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】B 【解析】【分析】由平面向量运算律根据模长可得1a b ⋅=，再由数量积定义可得夹角为π3.【详解】根据题意由2a b += 可得22224412a b a b a b +=++⋅= ，又1,2a b == ，可得1a b ⋅= ，设向量,a b的夹角为[],0,πθθ∈，所以cos 12cos 1a b a b θθ⋅==⨯= ，可得1cos 2θ=，即π3θ=.故选：B7.过点()0,3与圆22230x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A.5B.1C.35D.105【答案】A 【解析】【分析】记点()0,3P ，记切点分别为A 、B ，求出圆心C 的坐标，证明出PAC PBC ≌，可得出APC BPC ∠=∠，设APC BPC θ∠=∠=，求出sin θ的值，利用同角三角函数的基本关系结合二倍角的正弦公式可求得sin α的值.【详解】圆22230x y x +--=的标准方程为()2214x y -+=，圆心为()1,0C ，半径为2，记点()0,3P ，记切点分别为A 、B ，如下图所示：由切线长定理可得PA PB =，又因为PC PC =，CA CB =，所以，PAC PBC ≌，所以，APC BPC ∠=∠，设APC BPC θ∠=∠=，由圆的几何性质可得AC PA ⊥，则()()22013010PC =-+-=，所以，10sin 510AC PCθ===，由图可知，θ为锐角，则221015cos 1sin 155θθ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以，101526sin sin 22sin cos 2555APB θθθ∠===⨯⨯=，故26sin 5α=.故选：A.8.已知双曲线2222:1x y C a b-=的左，右焦点分别为12,F F ，过点1F 与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 交C 于M ，且21F M F M λ=，当[]2,4λ∈时，双曲线C 离心率的最大值为（）A.3B.213C.2D.5【答案】D 【解析】【分析】根据渐近线方程求出直线l 的方程为()by x c a =+，可求得223,22a c b M c ac ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，再由双曲线定义利用[]2,4λ∈即可求得双曲线C 5.【详解】如下图所示：不妨取渐近线方程为by x a=，又易知()1,0F c -，则直线l 的方程为()by x c a=+，联立直线l 与双曲线()22221x y a b b y x c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，可得223,22a c b M c ac ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以2222223232462212222222a c b b b a b b b c b F M c c ac c ac ac ac a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+=+=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；且21F M F M λ=，由双曲线定义可得()21112F M F M F M a λ-=-=，当[]2,4λ∈时，可得[]22222244411,31a abc a e λ-===∈--，所以241,43e ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，解得2153e ≤≤因此双曲线C 5故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用双曲线定义结合21F M F M λ=，表示出1F M 的长度再利用[]2,4λ∈建立不等式即可解得离心率的取值范围.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 、F 、G 分别为棱BC 、1CC 、CD 的中点，下列结论正确的有（）A.AE 与1D F 共面B.平面11//AB D 平面GFEC.AE EF ⊥D.//BF 平面11AB D 【答案】AB 【解析】【分析】证明出1//EF AD ，可判断A 选项；利用面面平行的判定定理可判断B 选项；利用勾股定理可判断C 选项；利用反证法可判断D 选项.【详解】如下图所示：对于A 选项，连接1BC ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，因为E 、F 分别为BC 、1CC 的中点，则1//EF BC ，故1//EF AD ，所以，AE 与1D F 共面，A 对；对于B 选项，因为11//BB DD 且11BB DD =，所以，四边形11BB D D 为平行四边形，则11//BD B D ，又因为E 、G 分别为BC 、CD 的中点，则//EG BD ，所以，11//EG B D ，因为EG ⊄平面11AB D ，11B D ⊂平面11AB D ，所以，//EG 平面11AB D ，同理可证//EF 平面11AB D ，因为EF EG E = ，EF 、EG ⊂平面EFG ，所以，平面//EFG 平面11AB D ，B 对；对于C 选项，不妨设ABCD 的棱长为2，则AE ===，EF ===AC ===因为1CC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1CC AC ⊥，所以，3AF ===，所以，222AE EF AF +≠，故AE 、EF 不垂直，C 错；对于D 选项，假设//BF 平面11AB D ，又因为//EF 平面11AB D ，EF BF F = ，EF 、BF ⊂平面11BB C C ，所以，平面11//BB C C 平面11AB D ，事实上，平面11BB C C 与平面11AB D 不平行，假设不成立，D 错.故选：AB.10.下列说法正确的有（）A.若线性相关系数r 越接近1，则两个变量的线性相关性越强B.若随机变量()21,X N σ，()50.75P X ≤=，则()30.25P X ≤-=C.若样本数据1x 、2x 、L 、24x 的方差为3，则数据121x +、221x +、L 、2421x +的方差为18D.若事件A 、B 满足()0P A >，()0P B >，()()P B A P B =，则有()()P A B P A =【答案】ABD 【解析】【分析】利用线性相关系数与线性相关性之间的关系可判断A 选项；可以正态分布的对称性可判断B 选项；利用方差的性质可判断C 选项；利用条件概率公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若线性相关系数r 越接近1，则两个变量的线性相关性越强，A 对；对于B 选项，若随机变量()21,X N σ，()50.75P X ≤=，则()()()351510.750.25P X P X P X ≤-=≥=-≤=-=，B 对；对于C 选项，若样本数据1x 、2x 、L 、24x 的方差为3，则数据121x +、221x +、L 、2421x +的方差为22312⨯=，C 错；对于D 选项，若事件A 、B 满足()0P A >，()0P B >，()()P B A P B =，由条件概率公式可得()()()()P AB P B A P B P A ==，则()()()P AB P A P B =，因此，()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ===，D 对.故选：ABD.11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=．若()f x 满足()()233f x f x +=-，()2g x -的图象关于直线2x =对称，且()01g =，则（）A.()f x 是奇函数B.()10g =C.()()4f x f x =+ D.2024102k k g =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑【答案】BCD 【解析】【分析】推导出函数()g x 的奇偶性，设()()()h x f x f x =+-，利用导数推导出()()()h x f x f x =+-为常值函数，结合函数奇偶性的定义可判断A 选项；推导出()()20g x g x ++-=，令=1x -代值计算可判断B 选项；由()()f x f x C +-=、()()2f x f x +=-推导可判断C 选项；求出812k k g =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值，结合函数的周期性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为函数()2g x -的图象关于直线2x =对称，则()()2222g x g x --=+-，即()()g x g x -=，所以，函数()g x 为偶函数，又因为()()g x f x ='，则()()f x f x '-='，令()()()h x f x f x =+-，则()()()0h x f x f x =-'-'='，所以，()h x 为常值函数，设()()()h x f x f x C =+-=，其中C 为常数，当0C ≠时，()()()f x C f x f x -=-≠-，此时，函数()f x 不是奇函数，A 错；对于B 选项，因为()()233f x f x +=-，令3t x =，可得()()2f t f t +=-，即()()2f x f x +=-，等式()()2f x f x +=-两边求导得()()2f x f x +='--'，即()()20g x g x ++-=，所以，函数()g x 的图象关于点()1,0对称，在等式()()()()220g x g x g x g x ++-=++=中，令=1x -可得()210g =，可得()10g =，B 对；对于C 选项，因为()()f x f x C +-=，则()()2f x f x C ++=，可得()()2f x C f x +=-，所以，()()()()42f x C f x C C f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，C 对；对于D 选项，在等式()()4f x f x =+两边同时求导得()()4f x f x ''=+，即()()4g x g x =+，所以，函数()g x 是以4为周期的周期函数，因为()()()()220g x g x g x g x ++-=++=，所以，()10g =，31022g g ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()20210g g g +=+=，可得()21g =-，575102222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()3341g g g =-=-，由()()()()220g x g x g x g x ++-=++=中令1x =，可得()()310g g +-=，则()30g =，()()401g g ==，所以，()()()()135712342222g g g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()123401010g g g g =+++=-++=，因为20244506=⨯，则2024811506022k k k k g g ==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，D 对.故选：BCD.【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性的应用，可利用以下结论来转化：①函数()f x 的图象关于点(),a b 对称，则()()22f x f a x b +-=；②函数()f x 的图象关于直线x a =对称，则()()2f x f a x =-.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若复数1i2ia +-为纯虚数，则实数a 的值为_______．【答案】2【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的概念可得出关于实数a 的等式与不等式，解之即可.【详解】因为()()()()1i 2i 1i 221i 2i 2i 2i 55a a a a +++-+==+--+为纯虚数，则2052105aa -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得2a =.故答案为：2.13.()921(1)x x +-的展开式中5x 的系数为_______．【答案】126【解析】【分析】利用二项式定理求出含有5x 的项，计算可得其系数.【详解】依题意得，展开式中含有5x 的项为()()()454554455599992C 11C 12C C 126x x x x x ⋅-+⨯-=-=,所以展开式中5x 的系数为126.故答案为：12614.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，其外接圆半径为()cos225cos B A C =-+，则角B 大小为_______，若点D 在边AC 上，2,2DC AD BD ==，则ABC 的面积为_______．【答案】①.2π3②.【解析】【分析】()cos225cos B A C =-+化简得22cos 5cos 30B B --=，解得1cos 2B =-，得角B 大小；由外接圆半径，求b ，1233BD BC BA =+，两边同时平方，结合余弦定理，求出,a b ，面积公式求ABC 的面积.【详解】ABC 中，()()cos225cos 25cos π25cos B A C B B =-+=--=+，即22cos 125cos B B -=+，得22cos 5cos 30B B --=，解得1cos 2B =-，cos 3B =（舍），由()0,πB ∈，得2π3B =.ABC的外接圆半径为2sin bB=⨯6b =，由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，得2236a c ac =++，点D 在边AC 上，2,2DC AD BD ==，则()22123333BD BC CD BC CA BC BA BC BC BA =+=+=+-=+，有222144999BD BC BC BA BA =+×+，得22221441244cos 999999a ac B c a ac c =++=-+，即223642a c ac =+-，由2222364236a c ac a c ac ⎧=+-⎨=++⎩，解得a c ==所以ABC 的面积为11sin 222ABC S ac B ==创【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用公式求解，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求解.四、解答题：本题共5小逐，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()2234ln 2f x x ax a x =-+在1x =处取值得极大值．（1）求a 的值；（2）求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】（1）3（2）212-【解析】【分析】（1）求导，然后令()0f x '=求出x ，代入1x =验证是否符合题意即可；（2）求导，确定函数在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，进而可求最大值.【小问1详解】由已知()()()22243334x a x a x ax a x x xa f x x a ---+=='=-+令()0f x '=得x a =或3ax =，当1a =时，令()0f x ¢>得103x <<或1x >，令()0f x '<得113x <<，故函数()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,+∞上单调递增，此时函数()f x 在13x =处取极大值，在1x =处取极小值，与函数()f x 在1x =处取值得极大值不符；当13a=，即3a =时，令()0f x ¢>得01x <<或3x >，令()0f x '<得13x <<，故函数()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增，此时函数()f x 在1x =处取极大值，在3x =处取极小值，符合题意；所以3a =；【小问2详解】由（1）得()23129ln 2f x x x x =-+，()()()313x x x xf --='，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令()0f x ¢>，得11ex <<，函数()f x 单调递增，令()0f x '<，得1e x <<，函数()f x 单调递减，所以()()max 32111222f x f ==-=-.16.某校高三年级1000名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[)30,50、[)50,70、[)70,90、[)90,110、[)110,130、[]130,150．（1）求图中a 的值，并根据频率分布直方图，估计这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数；（2）从这次数学成绩位于[)50,70、[)70,90的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间[)70,90的人数记为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）0.005a =，第85分位数为120（2）分布列答案见解析，()2E X =【解析】【分析】（1）根据频率直方图所有矩形的面积之和为1可得出a 的值，利用百分位数的定义可求得这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数；（2）分析可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值.【小问1详解】解：由频率分布直方图可得()0.00250.00750.01522201a ++⨯+⨯=，解得0.005a =.前四个矩形的面积之和为()0.00250.007520.015200.8++⨯⨯=，前五个矩形的面积之和为0.80.005200.9+⨯=，设这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为m ，则()0.81100.0050.85m +-⨯=，解得120m =，因此，这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为120.【小问2详解】解：数学成绩位于[)50,70、[)70,90的学生人数之比为0.0075:0.0151:2=，所以，所抽取的9人中，数学成绩位于[)50,70的学生人数为1933⨯=，数学成绩位于[)70,90的学生人数为2963⨯=人，由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，则()3339C 10C 84P X ===，()213639C C 31C 14P X ===，()123639C C 152C 28P X ===，()3639C 53C 21P X ===，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X123P1843141528521所以，()131550123284142821E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.17.如图，四棱锥π,22,,2A BCDE ABBC AC CD BE BE CD BCD -=====∠=∥，平面ABC ⊥平面,BCDE F 为BC中点．（1）证明：平面AEC ⊥平面AFD ；（2）求平面AED 与平面AFD 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）5【解析】【分析】（1）根据四棱锥棱长及其性质，利用三角形全等可证明DF EC ⊥，再由面面垂直性质可得AF EC ⊥，再由线面垂直判定定理可得EC⊥平面ADF ，即可得平面AEC ⊥平面AFD ；（2）建立以F 为坐标原点的空间直角坐标系F xyz -，利用空间向量分别求出平面AED 与平面AFD 的法向量，即可求得其夹角的正弦值为5.【小问1详解】根据题意可得F 为BC 中点，所以π1,2,2FC CD BCD ==∠=，易知π1,2,,2BE BC BE CD EBC ==∠=∥，所以EBC FCD ≅△△，可得ECB FDC ∠=∠，易知90DFC FDC ∠∠+=，所以90DFC ECB ∠+∠= ，即DF EC ⊥；由AB BC AC ==，F 为BC 中点，可得AF BC ⊥，又平面ABC⊥平面BCDE ，平面ABC ⋂平面BCDE BC =，所以AF ⊥平面BCDE ，又EC ⊂平面BCDE ，所以AF EC ⊥；又AF DF F ⋂=，,AF DF ⊂平面ADF ，所以EC ⊥平面ADF ，又EC ⊂平面AEC ，因此平面AEC ⊥平面AFD ；【小问2详解】以F 为坐标原点，分别以,FA FC 为,x y 轴，过F 点平行于DC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系F xyz -，易知())()()0,0,0,,0,1,2,0,1,1F AD E -，可得()()0,2,1,1,1ED AE ==-，)(),0,1,2FA FD ==，设平面AED 的一个法向量为()111,,m x y z = ，则11111200ED m y z AE m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11y =，则112,z x =-=；所以()2m =-；设平面AFD 夹角的的一个法向量为()222,,n x y z = ，则111020FA n FD n y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，解得10x =，令111,2z y ==-；所以()0,2,1n =-；可得cos ,5m nm n m n ⋅===-，设平面AED 与平面AFD 的夹角为θ，可得15sin 5θ====可得平面AED 与平面AFD 夹角的正弦值为155.18.设点()1,0F c -、()2,0F c 分别是椭圆222:1x C y a+=的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF ⋅ 的最小值为2-．（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 的外切矩形ABCD 的面积S 的最大值．【答案】（1）2214x y +=（2）10【解析】【分析】（1）设点(),P x y ，可得出2221x y a=-，其中21a >，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得2a 的值，由此可得出椭圆C 的方程；（2）设点()00,A x y ，分两种情况讨论，①直线AB 、AD 的斜率存在且斜率分别为1k 、2k ，设过点A 且斜率存在的直线的方程为()00y y k x x -=-，将该直线方程与椭圆方程联立，由Δ0=结合121k k =-可求出点A 的轨迹方程，②直线AB 、AD 分别与两坐标轴垂直，验证此时点A 的坐标满足①中的轨迹方程，再利用勾股定理结合基本不等式可求得S 的最大值.【小问1详解】解：设点(),P x y ，则2221x y a =-，其中21a >，()1,PF c x y =--- ，()2,PF c x y =-- ，所以，()()()222222212211x PF PF c x c x y x c y x a a ⋅=---+=-+=--+- 222212a x a a-=-+，故当0x =时，12PF PF ⋅ 取最小值222a -=-，可得24a =，因此，椭圆C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】解：设点()00,A x y ，当直线AB 、AD 的斜率都存在时，设直线AB 、AD 的斜率分别为1k 、2k ，设过点A 且斜率存在的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-，联立()002244y kx y kx x y ⎧=+-⎨+=⎩可得()()()2220000418440k x k y kx x y kx ++-+--=，则()()()22220000Δ64164110k y kx k y kx ⎡⎤=--+--=⎣⎦，整理可得()2200410y kx k ---=，即()22200004210x k kx y y --+-=，则1k 、2k 是关于k 的方程()22200004210x k kx y y --+-=的两根，因为AB AD ⊥，则201220114y k k x -==--，整理可得22005x y +=；当AB 、AD 分别与两坐标轴垂直时，则()2,1A ±±，满足22005x y +=.所以，点A 的轨迹方程为225x y +=，由对称性可知，矩形ABCD 的四个顶点都在圆225x y +=，由勾股定理可得(22220AB AD +==，由基本不等式可得22202AB AD AB AD =+≥⋅，即10AB AD ⋅≤，当且仅当2220AB AD AB AD ⎧=⎪⎨+=⎪⎩时，即当AB AD ==故10S AB AD =⋅≤，即矩形ABCD 的面积的最大值为10.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．19.随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列{}n a ，规定{}Δn a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1ΔN n n n a a a n +=-∈，规定{}2Δn a 为数列{}n a 的二阶差分数列，其中()2*1ΔΔΔn n n a a a n +=-∈N ．（1）数列{}n a 的通项公式为()3*n a n n =∈N ，试判断数列{}{}2Δ,Δn na a 是否为等差数列，请说明理由？（2）数列{}log a nb 是以1为公差的等差数列，且2a >，对于任意的*n ∈N ，都存在*m ∈N ，使得2Δn m b b =，求a 的值；（3）各项均为正数的数列{}n c 的前n 项和为n S ，且{}Δn c 为常数列，对满足2m n t +=，m n ≠的任意正整数,,m n t 都有m n c c ≠，且不等式m n t S S S λ+>恒成立，求实数λ的最大值．【答案】（1）{}Δn a 不是等差数列，{}2Δn a 是等差数列（2）32（3）2【解析】【分析】（1）理清条件的新定义，结合等差数列性质进行判断；（2）根据新定义和等差数列、等比数列的性质等进行分类讨论求解；（3）根据等差数列的性质以及新定义求解出m n S S +，运用均值不等式求解出λ的范围，从而得出λ的最值.【小问1详解】因为3n a n =，所以()3321Δ1331n n n a a a n n n n +=-=+-=++，因为1Δ7a =，2Δ19a =，3Δ37a =，故21ΔΔ12a a -=，32ΔΔ18a a -=，显然2132ΔΔΔΔa a a a -≠-，所以{}Δn a 不是等差数列；因为21ΔΔΔ66n n n a a a n +=-=+，则221ΔΔ6n n a a +-=，21Δ12a =，所以{}2Δn a 是首项为12，公差为6的等差数列.【小问2详解】因为数列{}log a n b 是以1为公差的等差数列，所以1log log 1a n a n b b +-=，故1n nb a b +=，所以数列{}n b 是以公比为a 的正项等比数列，11n n b b a-=，所以()2121121ΔΔΔ2n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b ++++++=-=---=-+，且对任意的*N n ∈，都存在*N m ∈，使得2Δn m b b =，即11111112n n n m b ab a b a b a +---+=，所以()21m n a a --=，因为2a >，所以0m n ->，①若1m n -=，则2310a a -+=，解得32a =（舍），或32a +=，即当32a +=时，对任意的*N n ∈，都存在*N m ∈，使得21Δn m nb b b +==.②若2m n -≥，则()221m n a a a -≥>-，对任意的*N n ∈，不存在*N m ∈，使得2Δn m b b =.综上所述，32a +=.【小问3详解】因为{}Δn c 为常数列，则{}n c 是等差数列，设{}n c 的公差为d ，则()11n c c n d =+-，若0d =，则n m c c =，与题意不符；若0d <，所以当11c n d>-时，0n c <，与数列{}n c 的各项均为正数矛盾，所以0d >，由等差数列前n 项和公式可得2122n d d S n c n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以()()22122n m d d S S n m c n m ⎛⎫+=++-+ ⎪⎝⎭，因为2m n t +=，所以212222t d n m d n m S c ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为m n ≠，故22222n m n m ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()()()22211222222n m t n m d d d d S S n m c n m c n m S +⎛⎫⎛⎫+=++-+>⨯+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则当2λ≤时，不等式m n t S S S λ+>恒成立，另一方面，当2λ>时，令1m t =+，1n t =-，*N ,2n t ∈≥，则()2122222n m d d S S t t c ⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭，2122t d d S t c t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()()22112222222t n m d d d d S S S t c t t t c λλλ⎛⎫⎛⎫-+=+--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2122d d t t c t d λλ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭，因为02d d λ->，20t t -≥，当()12d t c λ>-时，()0t n m S S S λ-+>，即n m t S S S λ+<，不满足不等式m n t S S S λ+>恒成立，综上，λ的最大值为2.【点睛】思路点睛：本题考查数列的新定义问题，关于新定义问题的常见思路为：（1）理解新定义，明确新定义中的条件、原理、方法与结论等；（2）新定义问题要与平时所学知识相结合运用；（3）对于不等式恒成立问题要结合均值不等式进行求解最值，把握好分类讨论的时机.。
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C安徽省黄山市2020届高三数学第一次质量检测（一模）试题 理本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在．试题卷．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．. 4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.参考公式：球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 1. 已知复数z 满足i z i -=⋅+3)1(,则=|z | A. 5 B. 3 C. 5 D. 3 2. 设U ＝R ，A ＝}|{042<-x x x ，B ＝}|{1≤x x ，则()U A C B I ＝ A ．{}40≤<x x B ．{}41<≤x x C ．{}40<<x x D ．{}41<<x x 3. 已知0.32a =，20.3b =，0.3log 2c =，则A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<4. 函数cos sin x xy =的大致图象为5. 裴波那契数列（Fibonacci sequence ）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列｝｛n a 满足：121==a a ，12+++=n n n a a a ，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是 A.41 B. 31C. 21D. 326．将向量(1,1)OA =u u u r 绕原点O 顺时针方向旋转75°得到OB uuu r ，则OB uuu r ＝A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2226,B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2622,C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2226,D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2622, 7. 已知数列{}n a 满足2*1222...2()n n a a a n n N +++=∈，数列2211log log n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n S ，则2019S =A ．20202019B ．20191C ．20201D ．201920188. 已知函数()f x 在R 上满足()()x x x f x f 52242+-=-，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是 A ．y x =-B ．4y x =-C ．38y x =-D ．512y x =-9. 函数()06sin >⎪⎭⎫⎝⎛+=ωπωx y 在⎪⎭⎫⎝⎛-22ππ,内单调递增，且图象关于直线π-=x 对称，则ω的值为 A.14B. 35C. 32D. 3110.如图，半径为6的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆 锥的体积之和为球的体积的38，则这两个圆锥高之差的绝对值为A ．2B ．4C ．6D ．811.已知函数3()ln 2f x x a x =-+有4个零点，则实数a 的取值范围是 A ．()20e ,B ．()2e,∞-C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛210e ,D ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21e12.如图，1(,0)F c -,2(,0)F c 分别为双曲线2222:1(,0)x y a b a bΓ-=>的左、右焦点，过点1F 作直线l ，使直线l 与圆222()x c y r -+=相切于点P ,设直线l 交双曲线Γ的左右两支分别于A 、B 两点（A 、B 位于线段1F P 上），若1||:||:||2:2:1F A AB BP =,则双曲线Γ的离心率为A. 5B.2655C. 63D. 263第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.）1A13. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-⎪⎭⎫⎝⎛=,ln2,1212xxxxxfx则()()=-1ff .14. 已知实数yx,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-14yyxyx，则yxz+-=22的最大值为 . 15. 函数112+-=xy与函数)2(-=xky的图象有两个不同的公共点,则实数k的取值范围是 .16. 如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D-中，点M是AD的中点，动点P在底面正方形ABCD内（不包括边界），若1//B P平面1A BM，则1C P长度的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请．在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．.）17.（本小题满分12分）已知在ABC∆中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cabABAC+=--sinsinsinsin, （1）求角C的大小;（2）若3=c,求ba+的取值范围.田忌赛马是《史记》中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发现田忌的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等。
于是孙膑给田忌将军献策:比赛即将开始时,他让田忌用下等马对战公子们的上等马,用上等马对战公子们的中等马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得了许多赌注。
假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛，田忌获胜的概率如下表所示:上等马中等马下等马上等马 0.5 0.8 1 中等马 0.2 0.5 0.9 下等马 00.05 0.4比赛规则规定:一次比赛由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马参赛,结果只有胜和负两种,并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者.（1）如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率;（2）如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注1000金,即胜利者赢得对方1000金,每月比赛一次,求田忌一年赛马获利的数学期望. 19．（本小题满分12分）已知C 是以AB 为直径的圆周上一点，3π=∠ABC ，⊥PA 平面ABC（1）求证：平面⊥PAC 平面PBC ； （2）若异面直线PB 与AC 所成的为3π，求二面角A PB C --的余弦值。
公 子 的 马 获胜 的概率田忌的马已知椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的焦距为2，过点)22,1(-。
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为F ，定点P )0,2(，过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，以线段AP 为直径的圆与直线2=x 的另一个交点为Q ，证明：直线BQ 恒过一定点，并求出该定点的坐标。
21．（本小题满分12分）函数x x a ax x f ln )1(21)(2--+=， （1）求)(x f 的单调区间；（2）在函数)(x f 的图象上取),(11y x A ，),(22y x B 两个不同的点，令直线AB 的斜率 为k ，则在函数的图象上是否存在点),(00y x P ，且2210x x x +=，使得)(0'x f k =？若存 在，求A ，B 两点的坐标，若不存在，说明理由。
考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．22.（本小题满分10分）选修4―4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，l 是过定点)1,1(P 且倾斜角为α的直线。
以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=。
（1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 与直线l 相交于M ，N 两点，求PN PM +的取值范围.23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数212)(-++=x x x f （1）解不等式5)(<x f ; （2）若233)(2--≥a a x f 恒成立,求a 的取值范围.黄山市2020届高中毕业班第一次质量检测高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.C2.D3.D4.A5.A6.C7.A8.B9.C 10.C 11.C 12.B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 2 14. 5.0 15. ]1,34(--16. )2,530[ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分） 解: （1）由c a b A B A C +=--sin sin sin sin 则ca ba b a c +=--⇒ab c b a =-+222 (3)分所以2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 而),0(π∈C 故3π=C ………………6分（2）由ab c b a =-+222且3=c⇒ab ab b a =--+92)(2⇒22)2(339)(b a ab b a +≤=-+ ⇒36)(2≤+b a 所以6≤+b a……………………………………………10分又3=>+c b a所以b a +的取值范围是]6,3( (12)分18. （本小题满分12分）解： （1）记事件A ：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜， 对于事件A ，三场比赛中，由于有一场比赛田忌必输，另两场都胜，故72.09.08.0)(=⨯=A P ……………………………………………………………………4分（2）设田忌在每次比赛中所得的奖金为随机变量ξ（金），则ξ的取值为1000-和1000。
若在某月的比赛中田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜，负胜胜，胜负胜，胜胜负 (6)分设在该月的比赛中田忌获胜的概率为P ，则45.04.05.05.04.05.05.06.05.05.04.05.05.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=P (8)分100100011000--=+-=p p E ）（）（ξ (10)分因此田忌一年赛马获利的数学期望为120012100-=⨯-（金） (12)分19.（本小题满分12分）（1）证明：因为AB 为圆的直径，所以BC AC ⊥，又⊥PA 平面ABC ，而⊂BC 平面ABC ，所以BC PA ⊥， 又A PA AC =⋂,所以⊥BC 平面PAC ，而⊂BC 平面PBC ，所以平面⊥PBC 平面PAC (5)分（2）解法1：建系如图所示，令t AB 2=，而3π=∠ABC ，则6π=∠BAC ,t AC 3=，则)0,0,0(A ，），（0,20t B ,）（0,23,23tt C ，令),0,0(h P (>h 所以),2,0(h t -=，)0,23,23(tt =， 因为异面直线PB 与AC 所成的角为3π， 故213433cos222=+==th t tπ，解得t h 22= 令平面PBC 的一个法向量为),,1(z y =，而)0,2,23(tt -=，）（t t BP 22,2,0-= 由0=⋅,0223=-y tt ,所以3=y 由0=⋅，02232-=+tz t 所以26=z ，即)26,3,1(=n 而平面PAB 的一个法向量为)0,0,1(= 所以1122112233111cos ==++⋅==θ 解法2：过B 作AC 的平行线BM 交圆于M ，连接PM ，AM ，所以直线PB 与AC 所成的角即为PB 与BM 所成的角，因为AB 为圆的直径，所以BM AM ⊥，又⊥PA 平面ABC ，而⊂BM 平面ABC ，所以BM PA ⊥ 又A PA AM =⋂,所以⊥BM 平面PAM而⊂PM 平面PAM ，所以PM BM ⊥，则3π=∠PBM令t AB 2=，且3π=∠ABC 所以t BM AC 3==，t BC AM ==t t PM 33tan3=⋅=π，t t t PA 22322=-=）（，t t t PB 32)2()22(22=+=,t t t PC 11)3()22(22=+=过A 作PC AN ⊥交PC 于N ，过A 作PB AQ ⊥交PB 于Q ,连接QN ，由三垂线定理知PB QN ⊥，所以AQN ∠即为二面角A PB C --的平面角 (8)分36232222=⋅=⋅=t t t PB AB PA AQ ，1166211322=⋅=⋅=tt t PC AC PA ANsin11ANAQNAQ∠===，1122cos=∠AQN即为二面角APBC--的余弦值为1122 (12)分20. （本小题满分12分）解：（1）由题知⎪⎩⎪⎨⎧=+=1211122bac解得22=a，12=b，所以椭圆C的方程为1222=+yx (4)分（2）设),(11yxA，),(22yxB因为直线l的斜率不为零，令l的方程为：1+=myx由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122yxmyx得012)2(22=-++myym则22221+-=+mmyy，21221+-=⋅myy， (6)分因为以AP为直径的圆与直线2=x的另一个交点为Q,所以PQAQ⊥，则),2(1yQ则2212--=xyykBQ，故BQ的方程为：)2(22121---=-xxyyyy (8)分由椭圆的对称性，则定点必在x轴上，所以令0=y，则22)1(2)2(1212112211221+-+-=+---=+---=yyyymyyymyyyyxyx而22221+-=+mmyy，21221+-=⋅myy，22121yyymy+-=-所以232212212121=+-=+-++-=yyyyyx故直线BQ恒过定点，且定点为)0,23( (12)分21.（本小题满分12分）解：（1）由题知定义域为），（∞+0，xxaxxxaaxxaaxxf)1)(1(1)1(11)(2'-+=--+=--+= (1)分①当1-<a时，110<-<a，令0)('>xf，解得)1,1(ax-∈，0)('<xf，解得),1()1,0(+∞⋃-∈ax即函数)(x f 在)1,1(a -上单调递增，在 )1,0(a-及),1(+∞上单调递减； ②当1-=a 时，11=-a，在),0(+∞上0)1()1)(1()(2'≤--=-+-=x x x x x x f ， 即函数)(x f 在),0(+∞上单调递减；③当01<<-a 时，11>-a令0)('>x f ，解得)1,1(a x -∈，0)('<x f ，解得),1()1,0(+∞-⋃∈ax即函数)(x f 在)1,1(a -上单调递增，在 )1,0(及),1(+∞-a上单调递减；④当0≥a 时，令0)('>x f ，解得),1(+∞∈x ，0)('<x f ，解得)1,0(∈x 即函数)(x f 在),1(+∞上单调递增，在 )1,0(上单调递减； (5)分综上所述：当1-<a 时，增区间为)1,1(a -，减区间为)1,0(a-及),1(+∞； 当1-=a 时，减区间为),0(+∞；当01<<-a 时，增区间为)1,1(a -，减区间为)1,0(及),1(+∞-a；当0≥a 时，减区间为)1,0(，增区间为),1(+∞； (6)分（2）假设存在，即满足)(0'x f k AB =因为已知),(11y x A ，),(22y x B 不妨令210x x << 则121212121212121212ln ln )())(1())((21x x x x x x x x a x x x x x x a x x y y k AB ------+--+=--=121212ln ln 12)(x x x x a a x x ----++=而2121000'212)(11)(x x a a x x x a ax x f +--++=--+=由)(0'x f k AB = 得2112122ln ln x x x x x x +=--存在，也就是证0)(2ln ln 211212=+---x x x x x x 存在 …………9分只要证01)1(2ln 121212=+--x x x x x x 存在，令112>=t x x ，故转化为)1(01)1(2ln >=+--t t t t 存在 即需要证明)1(214ln >=++t t t 令)1(14ln )(>++=t t t t g 则有0)1()1()1(41)(222'>+-=+-=t t t t t t g 故)(t g 在1>t 上单调递增，所以2)1()(=>g t g ，故不存在。