专题训练(二) 一元二次方程的解法归纳
专题复习：一元二次方程的五种常用解法(后附答案)【精品】
专题：一元二次方程的5种解法方法1 形如x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解1.用直接开平方法解下列方程:(1)9x2=25; (2)x2-√=0; (3)(2t-1)2=9;(4)(x-3)2-9=0. (5)2(x－1)2－18＝0.用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤：(1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式；(2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式；(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 2.用配方法解下列方程：(1)x 2-10x+9=0; (2)x 2+2x=2; (3)2x 2-4x+1=0.3. 用配方法解下列方程：(1)3x 2＋6x －5＝0; (2)12x 2－6x －7＝0； (3)2x 2＋7x －4＝0.用配方法解一元二次方程的“五步法”(1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项. (2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.(3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x ＋n)2＝p 的形式.(4)开方：若p ≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p ＜0，则原方程无解.(5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.方法3 易化成一般形式（二次项系数不为1）时，用公式法求解4.用公式法解方程:(1)x2+3x+1=0; (2)2x2-5x-7=0;(3)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8; (4)y2-2√2y+2=0；(5)(x＋1)(2x－6)＝1； (6)x2＋5x＋18＝3(x＋4)．用公式法解一元二次方程的四个步骤(1)化：若方程不是一般形式，先把一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0).(2)定：确定a，b，c的值.(3)算：计算b2－4ac的值.(4)求：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出方程的根；若b2－4ac ＜0，则原方程没有实数根.方法4 能化成形如（x+a）（x+b）=0时，用因式分解法求解5．用因式分解法解下列方程：(1)x2－9＝0； (2)x2＋2x＝0；(3)x2－53x＝0； (4)5x2＋20x＋20＝0；(5)(2＋x)2－9＝0； (6)3x(x－2)＝2(x－2)．(7)(3x＋2)2－4x2＝0； (8)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；用因式分解法解一元二次方程的“四步法”（“右化零，左分解，两因式，各求解”）6.有三个方程:①(2x-1)2=5;②x2-x-1=0;③x(x-√3)=√3-x.解这三个方程时适合的解法依次是( )A.因式分解法、公式法、因式分解法B.直接开平方法、配方法、公式法C.直接开平方法、公式法、因式分解法D.公式法、配方法、公式法7.用适当的方法解下列方程:(1)(x-1)2=3; (2)x2+2x-2=0;(3)(x-5)2=2(x-5)-1; (4)x(3x-2)=3x-2.方法5 用换元法解方程8.【阅读材料】解方程：x4－3x2＋2＝0.解：设x2＝m，则原方程变为m2－3m＋2＝0，解得m1＝1，m2＝2.当m＝1时，x2＝1，解得x＝±1.当m＝2时，x2＝2，解得x＝± 2.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－ 2.以上方法就叫做换元法，通过换元达到了降次的目的，体现了转化的思想．【问题解决】利用上述方法解方程(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0.参考答案：1.解:(1)方程两边同时除以9得,x 2=259,根据平方根的意义得,x=±53.(2)移项得,x 2=√256=16, 根据平方根的意义得,x=±4. (3)根据平方根的意义得,2t-1=±3, 移项得,2t=4或2t=-2, 系数化为1得,t=2或t=-1. (4)移项得,(x-3)2=9,根据平方根的意义得,x-3=±3, 移项得,x=0或x=6. (5)∵2(x －1)2－18＝0，∴(x －1)2＝9，∴x －1＝±3，∴x 1＝4，x 2＝－2. 2.解:(1)移项,得x 2-10x=-9.配方,得x 2-10x+25=-9+25,(x-5)2=16.开方,得x-5=4,或x-5=-4.∴x 1=9,x 2=1.(2)配方,得x 2+2x+1=2+1,(x+1)2=3.∴x+1=±√3.∴x 1=√3-1,x 2=-√3-1.(3)将方程两边同时除以2,得x 2-2x+12=0,即x 2-2x=-12.配方,得x 2-2x+12=-12+12, (x-1)2=12.∴x=1±√22.即x 1=1+√22,x 2=1-√22.3.(1)原方程变形为3x 2＋6x ＝5，∴x 2＋2x ＝53，∴x 2＋2x ＋1＝83，∴(x ＋1)2＝83，∴x ＋1＝±263，∴x 1＝－1＋263，x 2＝－1－263. (2)原方程变形为12x 2－6x ＝7，∴x 2－12x ＝14，∴x 2－12x ＋36＝50，∴(x －6)2＝50，∴x －6＝±52， ∴x 1＝6＋52，x 2＝6－5 2.（3）(x ＋74)2＝8116，∴x 1＝12，x 2＝－4.4.解:(1)∵a=1,b=3,c=1,∴Δ=b 2-4ac=9-4×1×1=5>0,∴x=-3±√52.∴x 1=-3+√52,x 2=-3-√52.(2)∵a=2,b=-5,c=-7,∴b 2-4ac=81,∴x=5±√814,∴x 1=-1,x 2=72. (3)原方程可化为x 2+2x-3=0. ∵a=1,b=2,c=-3,∴b 2-4ac=16.∴x=-2±√162,∴x 1=1,x 2=-3.(4)∵这里a=1,b=-2√2,c=2,∴b 2-4ac=(-2√2)2-4×1×2=0,∴y=2√2±02,∴y 1=y 2=√.(5)整理得2x 2－4x －7＝0，∵a ＝2，b ＝－4，c ＝－7， ∴Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4×2×(－7)＝72，∴x ＝4±722×2＝2±322，∴x 1＝2＋322，x 2＝2－322.(6)整理得x 2＋2x ＋6＝0，∵a ＝1，b ＝2，c ＝6，∴Δ＝b 2－4ac ＝22－4×1×6＝－20＜0，∴原方程无实数根． 5.（1）解：(x ＋3)(x －3)＝0，∴x 1＝－3，x 2＝3. （2）解：x(x ＋2)＝0， ∴x 1＝0，x 2＝－2. （3）解：x(x －53)＝0， ∴x 1＝0，x 2＝5 3. （4）解：(x ＋2)2＝0， ∴x 1＝x 2＝－2.（5）解：(x ＋5)(x －1)＝0， ∴x 1＝－5，x 2＝1.（6）解：原方程变形为3x(x －2)－2(x －2)＝0， 即(3x －2)(x －2)＝0， ∴x 1＝23，x 2＝2.（7）解：(3x ＋2＋2x)(3x ＋2－2x)＝0， 解得x 1＝－25，x 2＝－2.（8）解：原方程可化为[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0， 即(2x －6)2－(5x －10)2＝0.∴(2x －6＋5x －10)(2x －6－5x ＋10)＝0， 即(7x －16)(－3x ＋4)＝0. ∴x 1＝167，x 2＝43.6.C7.解:(1)∵x-1=±√3,∴x 1=√3+1,x 2=-√3+1.(2)∵x2+2x+1=3,∴(x+1)2=3,∴x1=√3-1,x2=-√3-1.(3)∵(x-5)2-2(x-5)+1=0,∴[(x-5)-1]2=0,∴x1=x2=6.(4)∵x(3x-2)-(3x-2)=0,∴(3x-2)(x-1)=0,.∴x-1=0或3x-2=0,∴x1=1,x2=238.解：(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0，整理，得(x2－2x)2－5(x2－2x)＋6＝0.设x2－2x＝m，则原方程变为m2－5m＋6＝0，解得m1＝3，m2＝2.当m＝3时，x2－2x＝3，解得x＝3或x＝－1；当m＝2时，x2－2x＝2，解得x＝1± 3.所以原方程的解为x1＝3，x2＝－1，x3＝1＋3，x4＝1－ 3.。
(完整版)一元二次方程归纳总结
一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。
注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。
③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。
专题02一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法)(3个知识点7种题型2个易错点中考4种考法)解析版
专题02一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法）（3个知识点7种题型2个易错点中考4种考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：直接配平方法（重点）知识点2：配方法（重点）知识点3：配方法的应用（难点）【方法二】实例探索法题型1：用直接开平方法解一元二次方程题型2：用配方法解一元二次方程题型3：用配方法求字母的值题型4：用用配方法求代数式的最大（最小）值题型5：直接开平方法在实际生活中的应用题型6：用配方法判断三角形的形状题型7：利用换元法解方程【方法三】差异对比法易错点1混淆方程配方与代数式配方易错点2 配方时，没有进行恒等式变形而导致错误【方法四】仿真实战法考法1．解一元二次方程-直接开平方法考法2：解一元二次方程-配方法考法3：换元法解一元二次方程考法4：配方法的应用【方法五】成果评定法【知识导图】【方法一】脉络梳理法知识点1：直接配平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．例1.（2022秋•江都区校级期末）方程x2＝4的解是（ ）A．x1＝x2＝2B．x1＝x2＝﹣2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝4，x2＝﹣4【分析】根据直接开平方解方程即可．【解答】解：直接开平方得：x＝±2，∴方程的解为：x1＝2，x2＝﹣2，故选：C．【点评】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，特别注意：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．知识点2：配方法（1）将一元二次方程配成（x +m ）2＝n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．例2．用配方法解一元二次方程0422=-+x x .解：422=+x x移常数项222)1(4)1(2+=++x x 两边配上一次项系数一半的平方5)1(2=+x 转化为n m x =+2)(的形式5151-=+=+x x 或 转化为n m x =+2)(的形式 解得1515--=-=x x 或求解所以原方程的根是151521--=-=x x 或．例3.如何用配方法解方程 04222=-+x x 解： 4222=+x x移常数项22=+x x 方程两边同除以二次项系数22221(2)21(+=++x x 两边配上一次项系数一半的平方2521(2=+x 转化为n m x =+2)(的形式2222()a ab b a b ±+=±2102121021-=+=+x x 或 开平方解得2121021210--=-=x x 或 求解所以原方程的根是21210,2121022--=-=x x .知识点3：配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【方法二】实例探索法题型1：用直接开平方法解一元二次方程例4.解方程(x-3)2=49．【答案与解析】把x-3看作一个整体，直接开平方，得x-3=7或x-3=-7．由x-3=7，得 x=10．由x-3=-7，得 x=-4．所以原方程的根为x=10或x=-4．【总结升华】应当注意，如果把x+m 看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n ≥0)的方程就可看作形如x 2=k 的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n 可成为任何一元二次方程变形的目标．例5．（2022秋•江都区期中）解方程：（1）4x 2＝49； （2）（2x ﹣1）2﹣25＝0．【分析】（1）首先将方程整理为x 2＝，再利用平方根的意义直接开方求解即可；（2）首先将方程整理为（2x ﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意义直接开方求解即可．【解答】解：（1）4x 2＝49，x 2＝，∴，∴x 1＝，x 2＝﹣；（2）（2x ﹣1）2﹣25＝0，（2x ﹣1）2＝25，∴2x ﹣1＝±5，∴x 1＝3，x 2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2＝a （a ≥0）；ax 2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x +a ）2＝b （b ≥0）；a （x +b ）2＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．例6.解关于x 的方程：251250x -=．【答案】15x =，25x =-．【解析】整理方程，即得225x =，直接开平方法解方程，得：x =即方程两根为15x =，25x =-．【总结】直接开平方法解形如()20x a a =³方程两根即为x =例7.解关于x 的方程：290x -=．【答案】153x =，253x =-．【解析】整理方程，即得2259x ==，直接开平方法解方程，得：x =，即方程两根为153x =，253x =-．【总结】直接开平方法解形如()20x a a =³方程两根即为x =例8.解关于x )225x -=．【答案】14x =，21x =．【解析】整理方程，即得()2259x -==，直接开平方法解方程，得：253x -==±，得253x -=或253x -=-，即方程两根为14x =，21x =．【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=³的方程，将()ax b +当作一个整体，可得ax b +=或ax b +=例9.解关于x 的方程：()()222332x x +=+．【答案】11x =，21x =-．【解析】直接开平方法解方程，即得()2332x x +=±+，得2332x x +=+或()2332x x +=-+，即得方程两根为11x =，21x =-．【总结】直接开平方法解形如()()221122a x b a x b +=+的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得1122a x b a x b +=+或()1122a x b a x b +=-+．例10.解关于x 的方程： ()()22425931x x -=-．【答案】1135x =，2713x =-．【解析】整理方程，即为()()22225331x x -=-éùéùëûëû，直接开平方法解方程，即得()()225331x x +=±-，得()()225331x x +=-或()()225331x x +=--，解得方程两根分为1135x =，2713x =-．【总结】直接开平方法解形如()()221122a x b a x b +=+的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得1122a x b a x b +=+或()1122a x b a x b +=-+．例11.解关于x 的方程：()2222x a a ab b -=++．【答案】12x a b =+，2x b =-．【解析】整理方程，即为()()22x a a b -=+，直接开平方法解方程，即得()x a a b -=±+，得：x a a b-=+或()x a a b -=-+，解得方程两根分为12x a b =+，2x b =-．【总结】直接开平方法解形如()22ax b c +=的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得ax b c +=±．题型2：用配方法解一元二次方程例12.用配方法解方程：22330x x --=．【答案与解析】解：∵22330x x --=，∴233022x x --=∴23993216162x x -+=+ ，∴2333416x æö-=ç÷èø∴12x x ==． 【总结升华】原方程的二次项系数不为1，必须先化成1，才能配方．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，配成的形式，然后用直接开平方法求解即可．例13.用配方法解方程：2220x mx m +-=．【答案】1x m =-，2x m =-．【解析】由2220x mx m +-=，得22222x mx m m ++=，即22()2x m m +=，所以原方程的解为：1x m =-+，2x m =-．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．例14.用配方法解方程：21099750x x --=．【答案】195x =-，2105x =．【解析】由21099750x x --=，得2102510000x x -+=，即2(5)10000x -=，所以5100x -=±，所以95x =-或者105x =，()()20x m n n +=≥所以原方程的解为：195x =-，2105x =．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．例15.用配方法解方程：220130y --=．【答案】145y =+，245y =．【解析】由220130y --=，得2122025y -+=，即2(2025y -=，所以45y -=±，所以原方程的解为：145y =+，245y =-．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．例16.用配方法解方程：225x x -+【答案】154x =-+，254x =--．【解析】由225200x x --+=，得225200x x +-=，即251002x x +-=，配方，得：2525251021616x x ++=+，即25185()416x +=，解得：54x =-，所以原方程的解为：154x =-+，254x =-．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方．例17.用配方法解方程：210.30.2030x x -+=．【答案】1213x x ==．【解析】由210.30.2030x x -+=，得213203x x -+=，即221039x x -+=，所以21()03x -=，所以原方程的解为：1213x x ==．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方．例18.用配方法解关于x 的方程：222240x ax b a --+=．【答案】1222x a b x a b =+=-，．【解析】由222240x ax b a --+=，得22224x ax a b -+=，即22()4x a b -=，解得：2x a b =±，所以原方程的解为：1222x a b x a b =+=-，．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．题型3：用配方法求字母的值例19.若把代数式223x x --化为2()x m k --的形式，其中m 、k 为常数，则m k +=．【答案】5．【解析】因为2223(1)4x x x --=--，所以14m k ==，，所以5m k +=．【总结】用配方法把代数式变成需要的形式，然后求出m 和k 的值．例20.已知2226100a b a b +-++=，求100123a b -×-×的值．【思路点拨】采用配方法求出,a b 的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：由题意可得：2221690a ab b -++++=()()22130a b -++=∴10a -=，30b +=∴1,3a b ==-将1,3a b ==-代入得： ()11002133213-´-´-=+= 【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．题型4：用用配方法求代数式的最大（最小）值例21.用配方法说明： 代数式 x 2+8x+17的值总大于0.【答案与解析】x 2+8x+17＝ x 2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x 取何实数，代数式 x 2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.例22求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17＝ x 2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2＝0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.题型5：直接开平方法在实际生活中的应用例23.某工厂今年1月份产品数是50万件，要求3月份达到60.5万件，求这个工厂2月份和3月份的月平均增长率．【答案】20％．【解析】设2月份和3月份的月平均增长率是x ，则根据题意可得：()5.601502=+x ，解：2.0=x （负值舍去）答：这两个月平均每月增长的百分率是20％．【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决增长率的问题．题型6：用配方法判断三角形的形状例24.已知△ABC 的一边长为4，另外两边长是关于x 的方程22320x kx k -+=的两根，当k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？【答案】2k =．【解析】由22320x kx k -+=，得(2)()0x k x k --=，所以x k =或者2x k =．当2k =时，2x =和4x =，满足三角形三边关系，当4k =时，4x =和8x =，不满足三角形三边关系．所以2k =时，△ABC 是等腰三角形【总结】先配方然后用分类讨论的方法解决问题．题型7：利用换元法解方程例25.用配方法解方程：2(1)2(1)10x x -+--=（要求用整体法的思想求解）．【答案】12x x ==．【解析】由2(1)2(1)10x x -+--=，得2(1)2(1)12x x -+-+=，即2(11)2x -+=，所以原方程的解为：12x x ==．【总结】本题考查整体思想的运用，把1x -看成一个整体进行配方．【方法三】差异对比法易错点1混淆方程配方与代数式配方若把代数式223x x --化为2()x m k --的形式，其中m 、k 为常数，则m k +=．【答案】5．【解析】因为2223(1)4x x x --=--，所以14m k ==，，所以5m k +=．【总结】用配方法把代数式变成需要的形式，然后求出m 和k 的值．易错点2 配方时，没有进行恒等式变形而导致错误如何用配方法解方程 04222=-+x x 解： 4222=+x x移常数项22=+x x 方程两边同除以二次项系数222)21(2)21(+=++x x 两边配上一次项系数一半的平方25)21(2=+x 转化为n m x =+2)(的形式2102121021-=+=+x x 或 开平方解得2121021210--=-=x x 或 求解所以原方程的根是21210,2121022--=-=x x .【方法四】 仿真实战法考法1．解一元二次方程-直接开平方法1．（2020•扬州）方程（x +1）2＝9的根是 x 1＝2，x 2＝﹣4 ．【分析】根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可．【解答】解：（x +1）2＝9，x +1＝±3，x 1＝2，x 2＝﹣4．故答案为：x 1＝2，x 2＝﹣4．【点评】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成x 2＝a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解，本题直接开方求解即可．考法2：解一元二次方程-配方法2．（2019•南通）用配方法解方程x 2+8x +9＝0，变形后的结果正确的是（ ）A ．（x +4）2＝﹣7B ．（x +4）2＝﹣9C ．（x +4）2＝7D ．（x +4）2＝25【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．【解答】解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．考法3：换元法解一元二次方程3．（2002•南京）用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0，如果设x2﹣x＝y，那么原方程变为 y2﹣5y+6＝0 ．【分析】把原方程中的（x2﹣x）代换成y，即可得到关于y的方程．【解答】解：根据题意x2﹣x＝y，把原方程中的x2﹣x换成y，所以原方程变化为：y2﹣5y+6＝0【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．考法4：配方法的应用4．（2018•泰州）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为 3 ．【分析】根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件x≤y来求a的取值．【解答】解：依题意得：，解得∵x≤y，∴a2≤6a﹣9，整理，得（a﹣3）2≤0，故a﹣3＝0，解得a＝3．故答案是：3．【点评】考查了配方法的应用，非负数的性质以及解二元一次方程组．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．【方法五】成功评定法一．解一元二次方程-直接开平方法（共4小题）1．（2022秋•江都区校级期末）方程x2＝4的解是（ ）A．x1＝x2＝2B．x1＝x2＝﹣2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝4，x2＝﹣4【分析】根据直接开平方解方程即可．【解答】解：直接开平方得：x＝±2，∴方程的解为：x1＝2，x2＝﹣2，故选：C．【点评】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，特别注意：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．2．（2023春•东莞市月考）解方程（x﹣1）2＝64．【分析】直接利用开平方法即可求出答案．【解答】解：x﹣1＝±8，x﹣1＝8或x﹣1＝﹣8，解得：x1＝9或x2＝﹣7．【点评】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，能够根据方程特点选择不同的解法是解题关键．3．（2022秋•江都区期中）解方程：（1）4x2＝49；（2）（2x﹣1）2﹣25＝0．【分析】（1）首先将方程整理为x2＝，再利用平方根的意义直接开方求解即可；（2）首先将方程整理为（2x﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意义直接开方求解即可．【解答】解：（1）4x2＝49，x2＝，∴，∴x1＝，x2＝﹣；（2）（2x﹣1）2﹣25＝0，（2x﹣1）2＝25，∴2x﹣1＝±5，∴x1＝3，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．4．（2022•盐城开学）解方程（x﹣1）2＝225．【分析】利用直接开平方法求解即可．【解答】解：∵（x﹣1）2＝225，∴x﹣1＝±15，解得x1＝16，x2＝﹣14．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．二．解一元二次方程-配方法（共8小题）5．（2022秋•仪征市期中）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；【解答】解：2x2+4x﹣1＝0，2x2+4x＝1，x2+2x＝，x2+2x+1＝+1，（x+1）2＝，x+1＝±，x+1＝或x+1＝﹣，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，所以，这位同学是乙，故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法：当二次项系数化为1时，常数项等于一次项系数一半的平方是解题的关键．6．（2022秋•花都区期末）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣1＝0时，此方程可变形为（ ）A．（x+2）2＝1B．（x﹣2）2＝1C．（x+2）2＝5D．（x﹣2）2＝5【分析】方程移项，配方变形后得到结果，即可作出判断．【解答】解：一元二次方程x2+4x﹣1＝0，移项得：x2+4x＝1，配方得：x2+4x+4＝5，变形得：（x+2）2＝5．故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．（2022秋•邳州市期中）将方程x2﹣6x＝0化成（x+m）2＝n的形式是 （x﹣3）2＝9 ．【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．【解答】解：x2﹣6x＝0，x2﹣6x+9＝9，（x﹣3）2＝9，故答案为：（x﹣3）2＝9．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．8．（2022秋•高邮市期中）若用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0时，则可以将该方程变形为 （x﹣2）2＝7 ．【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可．【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0，x2﹣4x+4＝3+4，（x﹣2）2＝7，故答案为：（x﹣2）2＝7．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．9．（2022秋•惠山区校级月考）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a+b的值是 17 ．【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后得出a、b的值，继而得出答案．【解答】解：∵x2﹣8x﹣5＝0，∴x2﹣8x＝5，则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，∴a＝﹣4，b＝21，则a+b＝﹣4+21＝17，故答案为：17．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．10．（2022春•东台市期中）将一元二次方程x2﹣8x+5＝0化成（x+a）2＝b（a、b为常数）的形式，则a+b 的值为 7 ．【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后得出a、b的值，继而得出答案．【解答】解：∵x2﹣8x+5＝0，∴x2﹣8x＝﹣5，则x2﹣8x+16＝﹣5+16，即（x﹣4）2＝11，∴a＝﹣4，b＝11，则a+b＝﹣4+11＝7，故答案为：7．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．11．（2021秋•镇江期末）对方程x2x＝0进行配方，得+m＝+m，其中m＝ ．【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方，依此可求m．【解答】解：由题意得：m＝（÷2）2＝．故答案为：．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．12．（2022秋•秦淮区期末）解方程：x2﹣6x+4＝0（用配方法）【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x2﹣6x＝﹣4，等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得x2﹣6x+9＝﹣4+9，即（x﹣3）2＝5，∴x＝±+3，∴x1＝+3，x2＝﹣+3．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．三．配方法的应用（共9小题）13．（2023春•梁溪区校级期中）在求解代数式2a2﹣12a+22的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法：解：原式＝2（a2﹣6a）+22＝2（a2﹣6a+9）﹣18+22＝2（a﹣3）2+4，∵无论a取何值，2（a﹣3）2≥0，∴代数式2（a﹣3）2+4≥4，即当a＝3时，代数式2a2﹣12a+22有最小值为4．仿照上述思路，则代数式﹣3a2+6a﹣8的最值为（ ）A．最大值﹣5B．最小值﹣8C．最大值﹣11D．最小值﹣5【分析】根据题意把代数式﹣3a2+6a﹣8配成﹣3（a﹣1）2﹣5的形式，再利用偶次方的非负性即可得出最值．【解答】解：由题意可得：原式＝﹣3（a2﹣2a）﹣8＝﹣3（a2﹣2a+1）+3﹣8＝﹣3（a﹣1）2﹣5，∵无论a取何值，3（a﹣1）2≥0，即﹣3（a﹣1）2≤0，∴代数式﹣3（a﹣1）2﹣5≤﹣5，即当a＝1时，代数式﹣3a2+6a﹣8有最大值﹣5，故选：A．【点评】本题主要是考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成﹣3（a﹣1）2﹣5的形式．14．（2023春•工业园区校级期中）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”．【解决问题】（1）数53 是 “完美数”（填“是”或“不是”）；【探究问题】（2）已知x2+y2﹣4x+2y+5＝0，则x+y＝ 1 ；（3）已知S＝2x2+y2+2xy+12x+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k 值，并说明理由；【拓展结论】（4）已知实数x、y满足，求x﹣2y的最大值．【分析】（1）把59分为两个整数的平方即可；（2）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出x+y的值；（3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可；拓展结论：（4）由已知等式表示出y，代入x﹣2y中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．【解答】解：（1）根据题意得：53＝22+72．故答案为：是．（2）已知等式变形得：（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0，即（x﹣2）2+（y+1）2＝0，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，解得：x＝2，y＝﹣1，则：x+y＝2﹣1＝1．故答案为：1．（3）当k＝36时，S为“完美数”，理由如下：S＝2x2+y2+2xy+12x+k＝（x2+12x+k）+（y2+2xy+x2）＝（x2+12x+k）+（y+x）2，∵S是完美数，∴x2+12x+k是完全平方式，∴k＝36．（4）∵﹣x2+x+y﹣3＝0，∴﹣y＝﹣x2+x﹣3，即﹣2y＝﹣2x2+7x﹣6，∴x﹣2y＝x﹣2x2+7x﹣6＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x2﹣4x+4）+2＝﹣2（x﹣2）2+2，当x＝2时，x﹣2y最大，最大值为2．【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15．（2023春•吴江区期中）我们可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，例如x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9，我们把这样的变形叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．已知关于a，b的代数式满足a2+b2+2a﹣4b+5＝0，请你利用配方法求a+b的值．【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出即可．【解答】解：已知等式变形得：（a2+2a+1）+（b2﹣4b+4）＝0，即（a+1）2+（b﹣2）2＝0，∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得：a＝﹣1，b＝2，则a+b＝﹣1+2＝1．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．16．（2023春•吴中区期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+4xy+5y2+6y+9＝0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求边c的值．【分析】（1）根据x2+4xy+5y2+6y+9＝0，应用因式分解的方法，判断出（x+2y）2+（y+3）2＝0，求出x、y的值，代入x﹣y计算即可；（2）根据a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣2）2+2（b﹣41）2＝0，求出a、b 的值，然后根据三角形的三条边的关系，求出c的值即可．【解答】解：（1）∵x2+4xy+5y2+6y+9＝0，∴（x2+4xy+4y2）+（y2+6y+9）＝0，∴（x+2y）2+（y+3）2＝0，∴x+2y＝0，y+3＝0，∴x＝6，y＝﹣3，∴x﹣y＝6﹣（﹣3）＝9．（2）∵a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，∴（a2﹣4a+4）+（2b2﹣4b+2）＝0，∴（a﹣2）2+2（b﹣1）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，∴a＝2，b＝1，∵2﹣1＜c＜2+1，∴1＜c＜3，∵c为正整数，∴c＝2．【点评】本题考查配方法的应用，以及三角形三条边的关系，解答本题的关键是明确配方法、会用配方法解答问题．17．（2023春•南京期中）阅读下列材料：若x2﹣9＝0，则（x+3）（x﹣3）＝0，得x＝3或x＝﹣3；若x3+2x2y+xy2＝0，则x（x+y）2＝0，得x＝0或x＝﹣y；若2x2﹣2xy+y2﹣2x+1＝0，则（x﹣y）2+（x﹣1）2＝0，得x＝y＝1；……下列问题：（1）（a+b）2﹣4ab＝0，求证a＝b；（2）a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，求证a＝b＝c．【分析】（1）运用完全平方公式将（a+b）2﹣4ab＝0变形为（a﹣b）2＝0，即可证明a＝b；（2）先将已知等式利用配方法变形，再利用非负数的性质证明．【解答】证明：（1）∵（a+b）2﹣4ab＝0，∴a2+2ab+b2﹣4ab＝0，∴a2﹣2ab+b2＝0，∴（a﹣b）2＝0，∴a＝b；（2）∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，∴a＝b＝c．【点评】此题考查了配方法的运用，非负数的性质，完全平方公式．解题的关键是掌握完全平方公式，根据非负数的性质解题．18．（2022秋•淮安区校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，所以m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0．所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0．所以m+n＝0，n﹣3＝0．所以m＝﹣3，n＝3．问题：（1）若x2+2xy+5y2+4y+1＝0，求xy的值；（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三边长，且a，b满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求△ABC的周长．【分析】（1）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，然后利用偶次方的非负性，进行计算即可解答；（2）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，再利用偶次方的非负性，先求出a，b的值，然后分两种情况，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵x2+2xy+5y2+4y+1＝0，，∴x2+2xy+y2+4y2+4y+1＝0，∴（x+y）2+（2y+1）2＝0，∴x+y＝0，2y+1＝0，∴x＝﹣，y＝，∴xy＝×（﹣）＝﹣，∴xy的值为﹣；（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，∴a＝5，b＝4，因为△ABC是等腰三角形，所以c＝5或4，分两种情况：当c＝5时，△ABC的周长为5+5+4＝14，当c＝4，△ABC的周长为5+4+4＝13，所以△ABC的周长为13或14．【点评】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握完全平方式是解题的关键．19．（2022秋•东台市月考）【项目学习】“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1因为（a+3）2≥0，所以a2+6a+8≥﹣1，因此，当a＝﹣3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．【问题解决】利用配方法解决下列问题：（1））当x＝ ，1 时，代数式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值为 ﹣2 ．（2）当x取何值时，代数式2x2+8x+12有最小值？最小值是多少？【拓展提高】（3）当x，y何值时，代数式5x2﹣4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值为多少？（4）如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1；如图所示的第二个长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2．试比较S1与S2的大小，并说明理由．【分析】（1）仿照例题的解题思路，将代数式配方为（x﹣1）2﹣2，可得出答案；（2）仿照例题的解题思路，将代数式配方为2（x+2）2+4，可得出答案；（3）仿照例题的解题思路，将代数式配方为（2x﹣y）2+（x+3）2+16，可得出答案；（4）计算S1﹣S2可得a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1＞0，即可得出答案．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2，因为（x﹣1）2≥0，所以x2﹣2x﹣1≥﹣2，因此，当x＝1时，代数式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值是﹣2．故答案为：1，﹣2；（2）2x2+8x+12＝2（x2+4x）+12＝2（x2+4x+4﹣4）+12＝2[（x+2）2﹣4]+12＝2（x+2）2﹣8+12＝2（x+2）2+4，因为（x+2）2≥0，所以2x2+8x+12≥4，因此，当x＝﹣2时，代数式2x2+8x+12有最小值，最小值是4；（3）5x2﹣4xy+y2+6x+25＝（4x2﹣4xy+y2）+（x2+6x+9）+16＝（2x﹣y）2+（x+3）2+16，因为（2x﹣y）2≥0，（x+3）2≥0，所以5x2﹣4xy+y2+6x+25≥16，因此，当x＝﹣3，y＝﹣6时，代数式5x2﹣4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值是16；（4）S1＞S2．理由如下：∵S1＝（2a+5）（3a+2）＝6a2+19a+10，S2＝5a（a+5）＝5a2+25a，∴S1﹣S2＝a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1＞0，∴S1＞S2．【点评】本题考查了配方法的应用、非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．20．（2022春•广陵区校级期中）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，∴m+n＝0，n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3问题：（1）不论x，y为何有理数，x2+y2﹣10x+8y+45的值均为 A ．A．正数B．零C．负数（2）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求x y的值．（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．【分析】（1）根据题意得到x2+y2﹣10x+8y+45＝（x﹣5）2+（y+4）2+4，即可作出判断；（2）根据题意由x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0得到（x﹣y）2+（y+2）2＝0，求得x＝y＝﹣2，即可得到答案；（3）由a2+b2＝10a+8b﹣41得到（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，求得a＝5，b＝4，因为a，b，c是△ABC的三边长，且c是△ABC中最长的边，即可求得c的取值范围．【解答】解：（1）x2+y2﹣10x+8y+45＝x2﹣10x+25+y2+8y+16+4＝（x﹣5）2+（y+4）2+4，∵（x﹣5）2≥0，（y+4）2≥0，∴x2+y2﹣10x+8y+45＝（x﹣5）2+（y+4）2+4≥4，∴不论x，y为何有理数，x2+y2﹣10x+8y+45的值均为正数，故选：A；（2）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，∴x2﹣2xy+y2+y2+4y+4＝0，∴（x﹣y）2+（y+2）2＝0，∴x﹣y＝0，y+2＝0，∴x＝y＝﹣2，∴；（3）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，∴a＝5，b＝4，∵a，b，c是△ABC的三边长，且c是△ABC中最长的边，∴5≤c＜5+4，即c的取值范围是5≤c＜9．【点评】此题考查了完全平方公式因式分解、非负数的性质、三角形三边关系的应用等知识，利用完全平方公式变形是解题的关键．21．（2022春•海州区校级期中）阅读下列材料：“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：简单应用：（1）填空：x2﹣4x+7＝（x﹣ ﹣2 ）2+ 3 ；深入探究：（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；灵活应用：（3）比较代数式2x2﹣4x+5与x2+x﹣2的大小，并说明理由．【分析】（1）根据配方法的方法配方即可；（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再代入得到x+y的值；（3）将两式相减，再配方即可作出判断．【解答】解：（1）x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3＝（x﹣2）2+3．故答案为：﹣2，3；（2）∵x2﹣4x+y2+2y+5＝0，∴x2﹣4x+4+y2+2y+1＝0，∴（x﹣2）2+（y+1）2＝0，则x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，则x+y＝2﹣1＝1；（3）2x2﹣4x+5﹣（x2+x﹣2）＝2x2﹣4x+5﹣x2﹣x+2＝x2﹣5x+7。
专题：一元二次方程的八种解法(后附答案)【精品】
专题：一元二次方程的八种解法方法1 形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)时，用直接开平方法求解用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤：(1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式；(2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式；(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.1．用直接开平方法解下列方程：(1)x2－25＝0; (2)4x2＝1；(3)81x2－25＝0； (4)(2y－3)2－64＝0；(5)3(x＋1)2＝13； (6)(3x＋2)2＝25；(7)(x＋1)2－4＝0; (8)(2－x)2－9＝0.方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解用配方法解一元二次方程的“五步法”(1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项.(2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.(3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x＋n)2＝p的形式.(4)开方：若p≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p＜0，则原方程无解.(5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.2．用配方法解下列方程：(1)x2－2x－2＝0； (2)x2-10x+29=0;（3）x2+2x=2; (4)x2－6x＋1＝2x－15；3.用配方法解下列方程：(1)3x 2＋6x －5＝0; (2)12x 2－6x －7＝0.(3)x 2＋16x －13＝0； (4)2x 2－3x －6＝0；方法3 能化成形如（x+a ）（x+b ）=0时，用因式分解法求解用因式分解法解一元二次方程的“四步法”（“右化零，左分解，两因式，各求解”）4.用因式分解法解下列方程：(1)x 2－8x ＝0； (2)5x 2＋20x ＋20＝0；。
计算专题一元二次方程解法分类训练专题
一元二次方程分类训练专题一、直接开平方法1．解方程：（1）4x2＝9；（2）（x+1）2﹣25＝0．2．解方程：（x﹣2）2＝18．3．解方程：（2x﹣1）2﹣25＝0．4．解方程：2（x﹣1）2﹣18＝05．解方程：16（2﹣x）2﹣9＝0．6．解方程ax2﹣1＝1﹣x2．7．解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．8．解方程：（1）16x2＝25；（2）3（x+1）2﹣108＝0；（3）（2x+3）2﹣54＝0．二、配方法9．解方程x2﹣2x﹣1＝0．10．用配方法解方程：x2+6x﹣6＝0．11．用配方法解下列关于x的方程：（1）x2+12x+25＝0．（2）2x2+4x﹣1998＝0．12．用配方法解下列方程（1）3x2﹣4x﹣2＝0；（2）6x2﹣2x﹣1＝0；（3）2x2+1＝3x；（4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．13．用配方法解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．14．用配方法解方程：（1）x2+7x＝﹣；（2）3x2+6x+2＝11．15．解方程：3x2﹣6x﹣1＝0（配方法）．16．解下列方程：x2+6x＝﹣3．三、公式法17．用公式法解方程：2x2﹣x﹣5＝0．18．解方程：3x2﹣3x﹣1＝0．19．解方程：2x2﹣9x+10＝0．20．解方程：．21．解方程：3x2﹣5x﹣1＝0．22．解方程：5x2+2x﹣1＝0．23．用公式法解方程：4x2+x﹣3＝0．24．解方程：x2+4x+8＝2x+11．四、因式分解法25．因式分解法解方程：x2﹣2x﹣15＝0．26．利用因式分解法解方程：2x（x+2）＝3（2+x）．27．解方程：（1）x2﹣4x+3＝0；（2）（x﹣3）2﹣6（x﹣3）+8＝0．28．用因式分解法解下列方程．（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0；（2）2（t﹣1）2+t＝1．29．用因式分解法解方程：3x2﹣5x﹣2＝0．30．用因式分解法解方程：（1）2x2+3x＝0；（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．31．解方程：2x2+3x＝2．（因式分解法）32．用因式分解法解方程．（1）x2+4x﹣21＝0．（2）（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0．33．用因式分解法解方程．（1）x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）．（2）4x2﹣4x+1＝（x+3）2．34．解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）．五、换元法35．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y2+3y﹣10＝（y+5）（y﹣2）＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）（1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解；（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．36．阅读下面材料：并解答问题为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴．当y＝4时，x2﹣1＝4，∴．∴原方程的解为．以上解题方法就叫换元法，请利用换元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．37．请阅读下列材料：问题：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，小明的做法是将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝±．综合，可得原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．请你参考小明的思路，解下列方程：x4﹣4x2﹣5＝0．38．解方程：x4﹣3x2+2＝0解：设x2＝m，则原方程变为m2﹣3m+2＝0解得，m1＝1，m2＝2．当m1＝1时，x2＝1，解得x＝±1．当m2＝2时，x2＝2，解得x＝±．所以，原方程的解x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．阅读上述解方程的过程，利用上述方法解答下列问题：（1）解方程：（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）+2＝0（2）若（a2+b2）2﹣3a2﹣3b2﹣4＝0，求a2+b2的值．参考答案与试题解析一．解答题（共38小题）1．解方程：（1）4x2＝9；（2）（x+1）2﹣25＝0．【答案】（1）x1＝，x2＝﹣；（2）x1＝4，x2＝﹣6．2．解方程：（x﹣2）2＝18．【答案】．3．解方程：（2x﹣1）2﹣25＝0．【答案】x1＝3，x2＝﹣2．4．解方程：2（x﹣1）2﹣18＝0【答案】见试题解答内容5．解方程：16（2﹣x）2﹣9＝0．【答案】，．6．解方程ax2﹣1＝1﹣x2．【答案】a≤﹣1时，方程没有实数解；a＞﹣1时，x1＝﹣，x2＝．7．解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．【答案】见试题解答内容8．解方程：（1）16x2＝25；（2）3（x+1）2﹣108＝0；（3）（2x+3）2﹣54＝0．【答案】（1）x1＝，x2＝﹣．（2）x1＝5，x2＝﹣7．（3）x1＝，x2＝．9．解方程x2﹣2x﹣1＝0．【答案】，．10．用配方法解方程：x2+6x﹣6＝0．【答案】．11．用配方法解下列关于x的方程：（1）x2+12x+25＝0．（2）2x2+4x﹣1998＝0．【答案】（1），；（2），．12．用配方法解下列方程（1）3x2﹣4x﹣2＝0；（2）6x2﹣2x﹣1＝0；（3）2x2+1＝3x；（4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．【答案】（1）x1＝+，x2＝﹣；（2）x1＝+，x2＝﹣；（3）x1＝1，x2＝；（4）x1＝2，x2＝．13．用配方法解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．【答案】x1＝+，x2＝﹣．14．用配方法解方程：（1）x2+7x＝﹣；（2）3x2+6x+2＝11．【答案】（1），；（2）x1＝1，x2＝﹣3．15．解方程：3x2﹣6x﹣1＝0（配方法）．【答案】，．16．解下列方程：x2+6x＝﹣3．【答案】x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．17．用公式法解方程：2x2﹣x﹣5＝0．【答案】x1＝，x2＝18．解方程：3x2﹣3x﹣1＝0．【答案】，．19．解方程：2x2﹣9x+10＝0．【答案】x1＝，x2＝2．20．解方程：．【答案】，．21．解方程：3x2﹣5x﹣1＝0．【答案】x1＝，x2＝．22．解方程：5x2+2x﹣1＝0．【答案】x1＝，．23．用公式法解方程：4x2+x﹣3＝0．【答案】x1＝，x2＝﹣1．24．解方程：x2+4x+8＝2x+11．【答案】x1＝1，x2＝﹣3．25．因式分解法解方程：x2﹣2x﹣15＝0．【答案】x1＝5，x2＝﹣3．26．利用因式分解法解方程：2x（x+2）＝3（2+x）．【答案】x1＝﹣2，x2＝1.5．27．解方程：（1）x2﹣4x+3＝0；（2）（x﹣3）2﹣6（x﹣3）+8＝0．【答案】（1）x1＝1，x2＝3；（2）x1＝5，x2＝7．28．用因式分解法解下列方程．（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0；（2）2（t﹣1）2+t＝1．【答案】（1）x1＝，x2＝1；（2）t1＝1，t2＝．29．用因式分解法解方程：3x2﹣5x﹣2＝0．【答案】，x2＝2．30．用因式分解法解方程：（1）2x2+3x＝0；（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．【答案】（1）x1＝0，x2＝﹣；（2）x1＝3，x2＝．31．解方程：2x2+3x＝2．（因式分解法）【答案】x1＝，x2＝﹣2．32．用因式分解法解方程．（1）x2+4x﹣21＝0．（2）（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0．【答案】（1）x1＝﹣7，x2＝3；（2）x1＝﹣，x2＝4．33．用因式分解法解方程．（1）x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）．（2）4x2﹣4x+1＝（x+3）2．【答案】（1）x1＝2.5，x2＝2；（2）x1＝4，x2＝﹣．34．解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）．【答案】x1＝，x2＝．35．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y2+3y﹣10＝（y+5）（y﹣2）＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）（1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解；（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．【答案】见试题解答内容36．阅读下面材料：并解答问题为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴．当y＝4时，x2﹣1＝4，∴．∴原方程的解为．以上解题方法就叫换元法，请利用换元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．【答案】x1＝3，x2＝﹣2．37．请阅读下列材料：问题：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，小明的做法是将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x ＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x ＝±．综合，可得原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．请你参考小明的思路，解下列方程：x4﹣4x2﹣5＝0．【答案】，．38．解方程：x4﹣3x2+2＝0解：设x2＝m，则原方程变为m2﹣3m+2＝0解得，m1＝1，m2＝2．当m1＝1时，x2＝1，解得x＝±1．当m2＝2时，x2＝2，解得x ＝±．所以，原方程的解x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．阅读上述解方程的过程，利用上述方法解答下列问题：（1）解方程：（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）+2＝0（2）若（a2+b2）2﹣3a2﹣3b2﹣4＝0，求a2+b2的值．【答案】（1）x1＝，x2＝，x3＝2，x4＝﹣1．（2）4．第11页（共11页）。
一元二次方程的解法综合练习题及答案
一元二次方程的解法专题训练1、因式分解法 ①移项：使方程右边为0②因式分解：将方程左边因式分解；方法：一提，二套，三十字，四分组③由A ∙B=0，那么A=0或B=0，解两个一元一次方程2、开平方法 )0(2≥=a a x3、配方法 ①移项：左边只留二次项与一次项，右边为常数项 〔移项要变号．．．．．〕 ②同除：方程两边同除二次项系〔每项都要除．．．．．〕 ③配方：方程两边加上一次项系数一半的平方．．．．．．．④开平方：注意别忘根号与正负⑤解方程：解两个一元一次方程4、公式法① 将方程化为一般式② 写出a 、b 、c③ 求出ac b 42-，④ 假设b 2-4ac ＜0，那么原方程无实数解⑤ 假设b 2-4ac ＞0，那么原方程有两个不相等的实数根，代入公式x= ⑥ 假设b 2-4ac ＝0，那么原方程有两个相等的实数根，代a x a x -==21入公式2b x a=-求解。
例1、利用因式分解法解以下方程(x －2) 2＝(2x-3)2 042=-x x 3(1)33x x x +=+ x 2()()0165852=+---x x例2、利用开平方法解以下方程51)12(212=-y 4〔x-3〕2=25 24)23(2=+x例3、利用配方法解以下方程7x=4x 2+2 01072=+-x x 例4、利用公式法解以下方程－3x 2＋22x －24＝0 2x 〔x －3〕=x －3． 3x 2+5(2x+1)=0课后练习1、方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的选项是 ( )A 、 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B 、2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 、 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D 、以上都不对2、用__________________法解方程(x-2)2=4比拟简便。
3、一元二次方程x 2-ax+6=0, 配方后为(x-3)2=3, 那么a=______________.4、解方程〔x+a 〕2=b 得〔 〕A 、x=-a B 、x=±039922=--x xC 、当b ≥0时，x=-aD 、当a ≥0时，x=a5、关于x 的方程〔a 2-1〕x 2+〔1-a 〕x+a-2=0，以下结论正确的选项是〔 〕A 、当a ≠±1时，原方程是一元二次方程。
一元二次方程的解法归纳总结
一元二次方程的解法归纳总结一元二次方程是高中数学中的重要内容之一，它可以通过求解来确定方程的根或解。
解一元二次方程的方法有多种，包括公式法、配方法、图像法等。
本文将对这些方法进行归纳总结，以便读者更清晰地理解和应用一元二次方程的解法。
一、公式法公式法是解一元二次方程最常用的方法之一，它基于一元二次方程的标准形式ax^2 + bx + c = 0。
一元二次方程的解可通过求根公式得到。
求根公式：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
1. 判别式D = b^2 - 4ac。
- 当D > 0时，方程有两个不相等的实根。
- 当D = 0时，方程有两个相等的实根。
- 当D ＜ 0时，方程没有实根。
2. 根据判别式的情况，求解一元二次方程的根。
- 当D > 0时，方程的两个根为 x1 = (-b + √D)/(2a) 和 x2 = (-b -√D)/(2a)。
- 当D = 0时，方程的两个根为 x1 = x2 = -b/(2a)。
- 当D ＜ 0时，方程没有实根。
公式法适用于所有一元二次方程，但需注意的是，当D ＜ 0时，方程没有实数解，因此解为复数，需要用复数域来表示。
二、配方法对于一些特殊形式的一元二次方程，如完全平方差、平方差、求负等，可以通过配方法将其转化成更容易求解的方程，进而求得解。
1. 完全平方差形式对于形如(x ± a)^2 = b的方程，可利用完全平方差公式，将其转化为(x ± a) = √b的形式，然后解得解x。
2. 平方差形式对于形如x^2 - a^2 = b的方程，可通过配方法将其转化为(x + a)(x -a) = b的形式，然后选取合适的值求解。
3. 求负对于形如x^2 + px = q的方程，可通过将方程两边同乘以负一进行转化，变为x^2 - px = -q的形式，然后应用配方法解方程。
配方法是解特殊形式一元二次方程的有效方法，通过将方程转化为更简单的形式，能够简化解的过程。
专题 一元二次方程的解法压轴题四种模型全攻略(老师版)
专题02一元二次方程的解法压轴题四种模型全攻略【类型一解一元二次方程——直接开平方法】例题：（2022·上海·八年级期末）解方程：（1）x (x +5)=x -4（2）4（x ﹣1）2＝9．(3)()21160x +-=；(4)100（x －1）2＝121．【答案】（1）122x x ==-；（2）x ＝52或x ＝﹣12；(3)13x =，25x =-；(4)x 1＝2110，x 2＝－110【解析】【分析】把原方程整理后化成一元二次方程的一般形式，然后选取适当的方法即可求解．【详解】解：（1）254x x x +=-，2440x x ++=，2(2)0x +=，122x x ==-．（2）4（x ﹣1）2＝9，则（x ﹣1）2＝94，故x ﹣1＝±32，解得：x ＝52或x ＝﹣12．(3)()21160x +-=移项得：()2116x +=，开平方得：14x +=±，解得：13x =，25x =-；(4)解∶（x －1）2＝121100，x －1＝±1110，即x 1＝2110，x 2＝－110．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是关键．【变式训练1】（2022·全国·九年级单元测试）解方程(x －3)2＝4，最合适的方法是（）A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法【答案】A【解析】【分析】观察方程特点确定出适当的解法即可．【详解】解：方程(x －3)2＝4，最合适的方法是直接开平方法；故答案为：A【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．【变式训练2】（2021·广东·梅州市学艺中学八年级期末）一元二次方程（x -1）2=4的根是______________.【答案】123,1x x ==-【解析】【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可．【详解】解：()214x -=12x -=±123,1x x ∴==-故答案为：123,1x x ==-．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【变式训练3】（2022·广东·模拟预测）方程23(21)0x --=的解是_______．【答案】12x x ==【解析】【分析】先移项化为()2213x -=，再利用直接开平方的方法解方程即可.【详解】解：23(21)0x --=即()2213x -=21x \-=21x -=12x x \==故答案为：1211,22x x ==【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“直接开平方法解一元二次方程”是解本题的关键.【类型二解一元二次方程——配方法】例题：（2022·河南安阳·九年级期末）解下列方程：(1)2220x x --=；(2)23620x x -+=【答案】(1)11x =21x =(2)1211x x =+=【解析】【分析】（1）先移项，然后配方，再开平方，求出方程的解即可；（2）先移项，然后分解因式，最后求出方程的解即可．(1)解：2220x x --=，移项得：222x x -=，配方得：22121x x -+=+，即()213x -=，开平方得：1-=x ，∴11x =21x =．(2)23620x x -+=，22203x x -+=，222113x x -+=-，()2113x -=，1x -=，解得1211x x =+=【点睛】本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练进行配方和因式分解，是解题的关键．【变式训练1】（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）用配方法解一元二次方程2620x x ++=，变形后的结果正确的是（）A ．2(3)2x +=-B ．2(3)2x +=C ．2(3)7x -=D ．2(3)7x +=【答案】D【解析】【分析】先将二次项配成完全平方式，再将常数项移项，即得答案．【详解】解：∵2620x x ++=，∴269920x x ++-+=，即()237x +=，故选：D ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．【变式训练2】（2022·辽宁大连·模拟预测）解方程：2480x x +-=．【答案】12x =,22x =--【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程．【详解】解：x 2+4x =8，x 2+4x +4=8+4，2(2)12x +=，2x =±-，12x =，22x =-．【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程，解决问题的关键是降次．【变式训练3】（2022·上海·八年级开学考试）用配方法解方程x 2﹣4x ﹣2＝0．【答案】x 1＝2，x 2＝2【解析】【分析】根据配方法即可求解．【详解】解：x 2﹣4x ﹣2＝0，x 2﹣4x ＝2，x 2﹣4x +4＝2+4，（x ﹣2）2＝6，x ﹣2＝，解得x 1＝2x 2＝2【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【类型三根据判别式判断一元二次方程解得情况】例题：（2022·山东青岛·二模）关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -++=有两个相等的实数根，则m 值为__________．【答案】1【解析】【分析】由题意知，()21410m m =-+-⨯⨯=⎡⎤⎣⎦，计算求解即可．【详解】解：由题意知，()()2214110m m m =-+-⨯⨯=-=⎡⎤⎣⎦，解得1m =，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的个数与判别式的关系．解题的关键在于明确当0=时，一元二次方程有两个相等的实数根．【变式训练1】（2022·上海·八年级期末）下列一元二次方程没有实数根的是（）A ．x 2-2=0B ．x 2-2x =0C ．x 2+x +1=0D ．(x -1)(x -3)=0【答案】C【解析】【分析】分别计算四个方程的根的判别式Δ＝b 2﹣4ac ，然后根据△的意义分别判断方程根的情况．【详解】解：A 、Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A 选项不符合题意；B 、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以，B 选项不符合题意；C 、Δ＝12﹣4×1×1＝﹣4＜0，方程有没有的实数根，所以C 选项符合题意；D 、由原方程得到：x 2﹣4x +3＝0，则Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以D 选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根的判别式Δ＝b 2﹣4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．【变式训练2】（2022·四川成都·九年级期末）已知方程2240x x -+=，则该方程的根的情况为（）A ．方程没有实数根B ．方程有两个相等的实数根C ．方程有两个不相等的实数根D ．方程的根无法判定【答案】A【解析】【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，判断即可．【详解】解：方程x 2-2x +4=0，∵a =1，b =-2，c =4，∴Δ=b 2-4ac =（-2）2-4×1×4=4-16=-12＜0，则方程没有实数根．故选：A ．【点睛】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，一元二次方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，一元二次方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，一元二次方程没有实数根．【变式训练3】（2022·河北·一模）新定义运算：2a b a ab b =-+※，例如22122113=-⨯+=※，则方程25x =※的根的情况为（）A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【答案】D【解析】【分析】根据新定义，列出方程2225x x -+=，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：根据题意得：2225x x -+=整理得：2230x x --=，∴()()22430∆=--⨯->，∴方程25x =※有两个不相等的实数根．故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根是解题的关键．【类型四解一元二次方程——公式法】例题：（2022·云南文山·九年级期末）按要求解方程．(1)2x 2-5x +1＝0(公式法)(2)23410x x -+=．（公式法）【答案】(1)x 1＝54+，x 2＝5174(2)11x =，213x =【解析】【分析】（1）根据公式法，可得方程的解；（2）先计算根的判别式，再利用公式法解方程即可．(1)解：∵a ＝2，b ＝-5，c ＝1，∴Δ＝b 2﹣4ac ＝(-5)2-4×2×1＝17，∴x ＝42b a-=∴x 1x 2(2)解：23410x x -+=则3,4,1,a b c ==-=()22=444314,b ac \-=--创=V 42,6x ±\=解得：1211,.3x x ==【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法与公式法解一元二次方程”是解本题的关键．【变式训练1】（2022·重庆·西南大学附中八年级期中）计算解方程：22630x x -+-=【答案】x 1＝32x 2【解析】【分析】利用公式法解方程即可．解：22630x x -+-=，Δ＝()()26423120-⨯-⨯-=>，∴462324b x a --±==-，解得：x 1x 2【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【变式训练2】（2022·重庆市育才中学八年级期中）解方程：(1)2260x x --=；(2)23620x x -+=【答案】(1)11x =-21x =+(2)12x x ==【解析】【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可得；（2）利用公式法解一元二次方程即可得．（1）2260x x --=，∴1a =，2b =-，6c =-，()24441628b ac ∆=-=-⨯⨯-=，2122b x a -±∴===11x ∴=21x =+，(2)解：方程23620x x -+=中的362a b c ==-=，，，()22b 4ac 6432120=-=--⨯⨯=>，则(6)23x --=⨯故12x x ==．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．【变式训练3】（2022·山东烟台·八年级期中）已知关于x 的方程21(1)230mm x x +--+=是一元二次方程．(1)求m 的值；(2)解这个一元二次方程．【答案】(1)-1(2)112x -=，212x -=【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义求解即可，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；（2）根据公式法解一元二次方程即可．(1)关于x 的方程21(1)230m m x x +--+=是一元二次方程，212,10m m ∴+=-≠解得1m =-(2)方程为22230x x --+=，即22230x x +-=，∴2,2,3a b c ===-，2224328∴∆=+⨯⨯=解得112x -=，212x -=【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．【类型五解一元二次方程——因式分解法】例题：（2022·四川成都·九年级期末）解下列一元二次方程．(1)x 2﹣4x ＝5；(2)2（x +1）2＝x （x +1）．【答案】(1)125,1x x ==-(2)121,2x x =-=-【解析】【分析】（1）通过移项，分解因式，化为一元一次方程，即可求解；（2）通过移项，分解因式，化为一元一次方程，即可求解．(1)解：x 2﹣4x ＝5，移项得：x 2﹣4x -5=0，分解因式得：（x -5）（x +1）=0，∴x -5=0或x +1=0，解得：125,1x x ==-；(2)解：2（x +1）2＝x （x +1），移项得：2（x +1）2-x （x +1）=0，分解因式得：（x +1）（2x +2-x ）=0，∴x +1=0或2x +2-x =0，解得：121,2x x =-=-．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程，是解题的关键．【变式训练1】（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）解方程：(1)290x -=；(2)2230x x --=．【答案】(1)3x =或3x =-；(2)32x =或1x =-【解析】【分析】（1）运用公式法解一元二次方程即可；（2）运用十字相乘法解一元二次方程．(1)∵290x -=∴()()330x x +-=解得：3x =或3x =-；(2)∵2230x x --=∴()()2310x x -+=，解得：32x =或1x =-．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用公式法、十字相乘法解一元二次方程是解答本题的关键．【变式训练2】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）解下列方程：(1)2325x x-=(2)24(3)(3)0x x x -+-=【答案】(1)113x =-，22x =(2)13x =，2125x =【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程．(1)解：2325x x-=23520x x --=()()3x 1x 20+-=∴113x =-，22x =(2)24(3)(3)0x x x -+-=[](3)4(3)0x x x --+=()(3)5120x x --=∴13x =，2125x =【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法，因式分解是解本题的关键．【变式训练3】（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校八年级期中）解方程：(1)2230x x --=(2)()()325320x x x -+-=【答案】(1)13x =，21x =-；(2)123x =，25x =-．【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．(1)解：2230x x --=，即()()310x x -+=，∴方程的根为：13x =，21x =-；(2)解：()()325320x x x -+-=，提取因式()32x -可得：()()3250x x -+=，∴方程的根为：123x =，25x =-．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【课后训练】一、选择题1．（2022·四川成都·九年级期末）方程x （x ﹣3）＝0的根是（）A ．x ＝3B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝3D ．x 1＝0，x 2＝﹣3【解析】【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】解：x （x ﹣3）＝0解得：x 1＝0，x 2＝3故选C 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．2．（2022·海南三亚·一模）一元二次方程2210x x ++=的解是（）A ．121,1x x ==-B ．121x x ==C ．121,2x x =-=D ．121x x ==-【答案】D 【解析】【分析】利用完全平方公式变形，进而求解即可．【详解】2210x x ++=，2(1)0x +=，10x +=，121x x ==-，故选：D ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．（2022·河南周口·二模）已知关于x 的一元二次方程240x mx +-=，则下列关于该方程根的判断，正确的是（）A ．有两个不相等的实数根B ．实数根的个数与实数m 的取值有关C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根【答案】A 【解析】【分析】先求出判别式的值，再根据根的判别式判断即可．【详解】解：240x mx +-=，b 2-4ac 2241(4)16m m =-⨯⨯-=+，不论m 为何值，20m ，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程20(ax bx c a ++=、b 、c 为常数，0)a ≠，当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac -<时，方程没有实数根．4．（2022·重庆·西南大学附中八年级期中）若关于x 的方程210kx x --=有实数根，则k 的取值范围是（）A ．14k ≥-B ．14k ≥-且0k ≠C ．14k ≤D ．14k ≤且0k ≠【答案】A 【解析】【分析】讨论：当k =0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当k ≠0时，Δ=（-1）2-4k ×（-1）≥0时有实数解，此时k ≥-14且k ≠0，然后综合两种情况得到k 的取值范围．【详解】解：当k =0时，方程化为-x -1=0，解得x =-1；当k ≠0时，根据题意得Δ=（-1）2-4k ×（-1）≥0，解得k ≥-14且k ≠0，综上所述，k 的取值范围为k ≥-14．故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与Δ=b 2-4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．5．（2022·全国·九年级单元测试）若对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义abcd＝ad －bc ，按照定义，若11x x +-23xx -＝0，则x 的值为（）AB ．C ．3D ．【答案】D 【解析】【分析】根据新定义可得方程（x +1）（2x -3）=x （x -1），然后再整理可得x 2=3，再利用直接开平方法解方程即可．【详解】解：由题意得：（x +1）（2x -3）=x （x -1），整理得：x 2=3，两边直接开平方得：x故选：D ．【点睛】此题主要考查了新定义，一元二次方程的解法--直接开平方法，关键是正确理解题意，列出方程．二、填空题6．（2022·浙江宁波·一模）代数式22x x -与4x 的值相等，则x 的值为________．【答案】120,6x x ==【解析】【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可．【详解】解：根据题意得：x 2-2x =4x ，整理得：x 2-6x =0，分解因式得：x （x -6）=0，所以x =0或x -6=0，解得：x 1=0，x 2=6，故答案为：x 1=0，x 2=6．【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法的方法步骤．7．（2022·广西梧州·一模）若关于x 的一元二次方程2240x x a ++=有两个实数根，则实数a 的取值范围是__________．【答案】a ≤2【解析】【分析】关于x 的一元二次方程2x 2+4x +a =0有实数根，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a 的不等式，通过解不等式即可求得a 的值．【详解】解：由题意，得Δ=42-4×2a ≥0，解得a ≤2．故答案是：a ≤2．【点睛】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．8．（2022·四川成都·九年级期末）若x m =时，代数式223x x --的为0，则代数式243m m --=________．【答案】6-或2##2或-6【解析】【分析】把x m =代入，223x x --=0，先求解m 的值，再分情况代入代数式求值即可．【详解】解：x m =时，代数式223x x --的为0，2230,m m \--=()()310,m m ∴-+=解得：123,1,m m ==-当3m =时，24391236,m m --=--=-当1m =-时，()()22431413 2.m m --=--⨯--=故答案为：6-或2．【点睛】本题考查的是解一元二次方程，代数式的值，掌握“利用因式分解解一元二次方程”是解本题的关键．9．（2022·陕西西安·三模）对于任意实数a 、b ，定义一种运算：22a b a b ⊗=+，若(1)3x x ⊗-=-，则x 的值为________．【答案】-1【解析】【分析】根据定义即可得到一元二次方程，解方程即可求得．【详解】解：根据题意得：()2(1)213x x x x ⊗-=+-=-得2210x x ++=解得121x x ==-故答案为：-1【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程的解法，理解题意，列出方程是解决本题的关键．10．（2022·内蒙古包头·二模）关于x 的方程221(21))10(k x k x -+++=有实数根，则k 的取值范围是__________．【答案】14k ≥【解析】【分析】当10k -=时，解一元一次方程可得出方程有解；当10k -≠时，利用根的判别式()()2221410k k +--=≥∆，即可求出k 的取值范围．综上即可得出结论．【详解】当10k -=，即1k =时，方程为310x +=，解得13x =-，符合题意；②当10k -≠，即1k ≠时，()()2221410k k +--=≥∆，即1230k -≥，解得：14k ≥且1k ≠．综上即可得出k 的取值范围为14k ≥．故答案为：14k ≥．【点睛】本题考查了根的判别式，分二次项系数为零和非零两种情况考虑是解题的关键．三、解答题11．（2022·浙江绍兴·八年级期中）解方程：(1)2320x x -=(2)245x x +=【答案】(1)1220,3x x ==(2)121,5x x ==-【解析】【分析】（1）提取公因式,x 利用因式分解的方法解方程即可；（2）在方程两边都加上4，利用配方法解方程即可．(1)解：∵2320x x -=，∴()320x x -=，∴x =0，或3x -2=0，23x =，∴1220,3x x ==，(2)解：∵245x x +=，∴2449x x ++=，∴()229x +=，∴23x +=±，∴121,5x x ==-．【点睛】本题考查的是因式分解法，配方法解一元二次方程，掌握“因式分解法与配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．12．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）（1）2(2)40x +-=．（2）2560x x ++=．【答案】（1）1204,x x ==-；（2）122,3x x =-=-【解析】【分析】（1）先移项，再直接开平方即可求解；（2）采用十字相乘将等号左侧进行因式分解，求解即可．【详解】（1）解：2(2)4x +=，∴22x +=±，∴1204,x x ==-．（2）解：(2)(3)0x x ++=，∴20x +=或30x +=，∴122,3x x =-=-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等，选择合适的方法是解题关键．13．（2021·河南新乡·九年级期末）解下列方程：(1)2310x x +-=；(2)()2346x x x +=+．【答案】(1)1x =2x =(2)132x =-，22x =【解析】【分析】（1）利用公式法解方程即可；（2）先移项，利用因式分解法解方程即可；(1)解：∵1a =，3b =，1c =-．∴()224341113b ac -=-⨯⨯-=，∴33212x --==⨯．∴1x =2x =(2)原方程可变形为()()232230x x x +-+=，因式分解为()()2320x x +-=．230x +=，或20x -=，∴132x =-，22x =．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用适当的方法解一元二次方程，属于中考常考题型．14．（2022·江西景德镇·九年级期末）解方程：(1)210250x x -+=；(2)()428x x x +=+．【答案】(1)125x x ==(2)122,4x x ==-【解析】【分析】（1）方程直接用开平方法求解即可；（2）方程移项后，运用因式分解法求解即可．(1)210250x x -+=，2(5)0x -=，50x -=，∴125x x ==；(2)()428x x x +=+，()42(4)0x x x +-+=，(4)(2)0x x +-=，20,40x x -=+=，∴122,4x x ==-．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法、结合方程的特点选择合适简捷的方法是解题的关键．15．（2022·全国·九年级单元测试）用适当的方法解下列方程：(1)x 2－x －1＝0；(2)3x (x －2)＝x －2；(3)x 2－x ＋1＝0；(4)(x ＋8)(x ＋1)＝－12．【答案】(1)112x +=，212x =(2)x 1＝13，x 2＝2(3)x11，x 21(4)x 1＝－4，x 2＝－5【解析】（1）利用公式法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解；（3）利用配方法解答，即可求解；（4）利用因式分解法解答，即可求解．(1)解：a＝1，b＝－1，c＝－1∴b2－4ac＝（－1）2－4×1×（－1）＝5∴x即原方程的根为x1x2(2)解：移项，得3x（x－2）－（x－2）＝0，即（3x－1）（x－2）＝0，∴x1＝13，x2＝2．(3)解：配方，得（x2＝1，∴x＝±1．∴x1＋1，x21．(4)解：原方程可化为x2＋9x＋20＝0，即（x＋4）（x＋5）＝0，∴x1＝－4，x2＝－5．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．16．（2022·四川成都·九年级期末）关于x的一元二次方程（2﹣k）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【答案】k的取值范围是k6<且2k≠【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到2−k≠0且Δ＝（−4）2−4（2−k）×（−1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得2−k≠0且Δ＝（−4）2−4（2−k）×（−1）＞0，解得k＜6且k≠2．即k的取值范围是k＜6且k≠2．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根与Δ＝b 2−4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．17．（2022·河北承德·九年级期末）已知关于x 的一元二次方程22410x x p ++-=．(1)若方程有一个根为0，求p 的值及另一个根；(2)若2p =，求方程的解；【答案】(1)1p =±，另一根为4x =-；(2)12x =-22x =-【解析】【分析】（1）将0代入方程即可求出p ，再将p 的值代入方程求出另一个根即可．（2）将2p =代入方程，解方程即可．(1)解：把0x =代入方程，得210p -=，故1p =±，原方程化为240x x +=，解之得：方程的另一根为4x =-；(2)解：若2p =，原方程化为2430x x +-=，利用公式法可知：22b x a -==-±，∴方程的根为12x =-22x =-【点睛】本题考查一元二次方程根的定义以及解方程，解题的关键是理解方程根的定义求出p 的值，掌握公式法、因式分解法解方程．18．（2022·北京海淀·二模）关于x 的方程22(21)0x m x m -++=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最小的整数时，求此时的方程的根．【答案】(1)14m >-(2)方程的根为10x =，21x =【解析】【分析】（1）由题意得()222140m m ∆=+->，解出m 的范围即可；（2）根据第（1）问m 的范围求出m 的最小整数值，然后将m 的值代入方程，解方程即可．(1)解：∵关于x 的方程22(21)0x m x m -++=有两个不相等的实数根．21∴其根的判别式()22214m m ∆=+-410m =+>．∴14m >-；(2)解：∵14m >-且m 为最小的整数，∴0m =．∴此时方程为20x x -=．∴方程的根为10x =，21x =．【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“一元二次方程，当根的判别式Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入m 的值，利用因式分解法求出一元二次方程的解．。
2。2一元二次方程的解法(共3)
2.2 一元二次方程的解法（1）【例1】用开平方法解下列方程：(1) 3x 2－4=0； (2) (2x －1)2－9=0. 【变式训练】1. 用开平方法解下列方程： (1) x 2－2=0；(2) 4(6x －1)2=36.【例2】用配方法解关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0，此方程可变形为………………（ ）A. 44)2(22mn m x -=+B.44)2(22n mm x -=+C.24)2(22n mm x -=+ D.24)2(22mn m x -=+【变式训练】2. 用配方法解方程：x 2+2x －2=0.【例3】用配方法证明对于任何实数x ，二次三项式x 2－22x +5－2的值恒大于零. 【变式训练】3. 求二次三项式x 2+5x +7的最小值. 练习：1.一元二次方程(x －1)2=2的解是……………………………………（ ）Ａ. x 1=－1－2，x 2=－1+2Ｂ. x 1=1－2，x 2=1+2Ｃ. x 1=3，x 2=－1Ｄ. x 1=1，x 2=－32. 下列一元二次方程中，能直接用开平方法解的是……………………………（ ） A. (2x +3)2=2008 B. (x －1)2=1+x C. x 2=x D. x 2+1=03. 如果x 2+bx+c =(x －32)2，则b ，c 的值是…………………………………………( )A. b =34，c =94 B. b =32-，c =94 C. b =34-，c =94 D. b =34-，c =94-4. 已知关于x 的一元二次方程(x +m )2=n 有实数根，则…………………………（ ） A. n >0 B. n ≥0 C. n ≠0 D. n 为任何实数5. 如果关于x 的方程x 2+kx =2配方后得到(x －1)2=3，那么k 的值为 . 6. 若2(x 2+3)的值与3(1－x 2)的值互为相反数，则x 的值为 . 7. 选择适当的方法解下列一元二次方程：(1) x 2+2x =0； (2) x 2+4x －1=0； (3) (x －3)2=(5x +2)2.8. 若(x 2+y 2－5)2=4，则x 2+y 2= .9. 如果关于x 的二次三项式x 2+mx+m 是一个完全平方式，求m 的值.10. 已知代数式x 2+y 2+22x －4y +42，这个代数式是否存在最大值或最小值？请说明理由.11.用长为23cm 的铁丝围成一个面积为S(c m 2)的矩形. (1)设矩形的长为xcm ，写出用x 的代数式表示S 的等式； (2)求当x 为多少时，S 最大，其最大值是多少？12．填上适当的数，使下列等式成立，然后与O 比较大小：(1)∵x 2－2x ＋3＝(x －______)2＋______， ∴x 2－－2x ＋3______0； (2)∵2x 2＋8x ＋8＝2(x ＋______)2，∴2x 2＋8x ＋8______0．13．一块长方形草地，长比宽多5m ，面积是104m 2，设草地宽为xm ，依题意列得方程为 __________________，解得它的长为______m ，宽为______m ．2.2 一元二次方程的解法（2）【例1】用配方法解方程：2x 2－x －1=0. 【变式训练】1. 用配方法解方程：2x 2+5x －3=0.【例2】阅读下面的材料，然后再解答后面的问题： 例：解方程：x 2－|x |－2=0.解：(1) 当x ≥0时，原方程化为x 2－x －2=0，解得x 1=2，x 2=－1(不合题意，舍去)； (2) 当x <0时，原方程化为x 2+x －2=0，解得x 1=－2，x 2=1(不合题意，舍去)； ∴原方程的解是x 1=2，x 2=－2.请参照原方程的解法，解方程：x 2－|x －1|－1=0. 【变式训练】2.阅读材料：为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)+4=0，我们可以将x 2－1看作一个整体，然后设x 2－1=y ……①，那么原方程可化为y 2－5y +4=0，解得y 1=1，y 2=4. 当y =1时，x 2－1=1，∴x 2=2，∴x =2±；当y =4时，x 2－1=4，∴x 2=5，∴x ＝5±，故原方程的解为x 1=2，x 2=2-，x 3=5，x 4=5-.解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用_________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；(2)请利用以上知识解方程x 4－x 2－6=0. 练习1. 将二次三项式3x 2+8x －3配方，结果为………………………………………（ ）A. 3(x +38)2+355 B. 3(x +34)2－3 C. 3(x +34)2325-D. (3x +4)2－192. 如果ax 2+4x +c =(2x +m )2，则a ，c ，m 的值分别为………………………（ ） A. a =4，c =12，m =14B. a =4，c =1，m =1C. a =4，c =12，m =1 D. a =1，c =4，m =13. 已知（x +y ）(x +y －2)－8=0，则x+y 的值是…………………………( ) A. –4或2 B. –2或0 C. 2或－3 D. 4或－24. 已知三角形的两边长分别是2，3，第三边的长是方程x 2－5x +4=0的根，那么这个三角形的周长为……………………………………………………………………( )A. 1或4B. 6或9C. 6D. 95．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为 ( )A ．x(x ＋1)＝1035;B ．x(x －1)＝1035×2;C ．x(x －1)＝1035;D ．2x(x ＋1)＝1035 6．一块长方形草地，长比宽多5m ，面积是104m 2，设草地宽为xm ，依题意列得方程为 __________________，解得它的长为______m ，宽为______m ． 7. 用配方法解下列一元二次方程： (1) x 2－x －1=0；(2) 3x 2－5x +1=0.8. 在正数范围内定义一种新运算“★”，其规则为：a ★b =ab+a+b . 根据这个规则，请你求方程x ★(x +1)=11的解.9. 用换元法解方程11+-+x x xx +3=0时，设xx 1+=y ，则原方程可化为…………（ ）A. y 2－y +3=0B. y 2+3y －1=0C. 3y 2+y －1=0D. 3y 2－y +1=0 10. 若方程2x 2－8x +7=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边长是 .11．将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖出500个，已知这样商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，则为了赚得8000元利润，售价应是为多少?12.已知x 1，x 2 是关于x 的方程(x －2)(x －m )=(p －2)(p －m )的两个实数根. (1)求x 1，x 2 的值；(2)若x 1，x 2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m ，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值.2.2 一元二次方程的解法（3）【例1】用公式法解下列方程：(1) x 2－3x +2=0； (2) 2x 2－6=2x . 【变式训练】1. 用公式法解下列方程：(1) x 2－2x －3=0； (2) 4x 224-x =－2. 【例2】给下列方程选择适当的方法：(1)32312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-y 可选用 法；(2) 5x 22-x =0可选用 法； (3) x 2－2x =9999可选用 法； (4)(5x －1)2=3(5x －1) 可选用 法； (5)5x 2－11x +5=0可选用 法. 【变式训练】2. 用适当的方法解下列方程： (1) 2x 2+12x =0； (2) 4(x +3)2=(x －2)2； (3) x 2+4x =21.【例3】若关于x 的一元二次方程x 2+2x －k =0没有实数根，求k 的取值范围. 【变式训练】3. 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是……………（ ）A. 210x +=B.2210x x ++=C. 2230x x ++=D. 2230x x +-=练习1．方程x(x 2＋1)＝0的实数根的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D. 02．在方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)中，当b 2－4ac ＝0时，方程的解是( ) A ．±b 2a B ．±b a C ．－b 2aD ．b2a3. 一种药品经两次降价，由每盒50元调至40.5元，则每次降价的百分率是 ( ) A. 5％ B ．10％ C ．15％ D ．20％ 4．已知(x 2＋y 2＋1)2＝4，则x 2＋y 2＝______.5.若关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值是（ ）A. 1m <B. 1m >-C.1m >D.1m <- 6. 如果方程x 2+bx+c =0的两根互为相反数，那么…………………………………（ ） A. b =0 B. c =0 C. b =0，c <0 D. b =0，c >07. 一元二次方程2210x x --=的根的情况为………………………………（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根8. 选择适当的方法解下列方程：(1) (2)(3)20x x ++=； (2) x 2＋3＝3(x ＋1)； (3) (x －1)2－5=0.9. 若x =0是方程0823)2(22=-+++-m m x x m 的解，则m = . 10. 先阅读，再填空解答：方程x 2－3x －4=0的根是：x 1=－1，x 2=4，则x 1+x 2=3，x 1x 2=－4； 方程3x 2+10x +8=0的根是：x 1=－2，x 2=34-，则x 1+x 2=310-，x 1x 2=38.(1) 方程2x 2+x －3=0的根是：x 1= ，x 2= ，则x 1+x 2= ，x 1x 2= ；(2) 若x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c =0 (a ≠0，且a ，b ，c 为常数)的两个实数根，那么x 1+x 2，x 1x 2与系数a ，b ，c 的关系是：x 1+x 2= ，x 1x 2= ；(3) 如果12x x ，是方程x 2+x －3=0的两个根，根据(2)所得结论，求x 12+x 22的值.11. 甲、乙两同学分别解同一道一元二次方程，甲把一次项系数看错了，解得方程的两根为－2和3，乙把常数项看错了，解得两根为31-，则原方程是…………（）1+和3A. x2+2x－6=0B. x2－2x+6=0C. x2+2x+6=0D. x2－2x－6=0 12．阅读材料：为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－l＝y，则(x2－1)2＝y2，原方程化为y2－5y＋4＝0．①解得y1＝1，y2＝4当y＝1时，x2－1＝1．∴x2＝2．∴x＝±2；当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±5。
专题2-2一元二次方程的解法：直接开平方法(重难点培优)--2023-2024(0002)
【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题2.2一元二次方程的解法：直接开平方法（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•思明区校级月考）一元二次方程x2＝4的解是（）A．2B．﹣2C．±2D．无解2．（2021秋•丹凤县期末）方程x2﹣4＝0的解为（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x1＝0，x2＝2D．x1＝2，x2＝﹣23．（2022秋•顺平县期中）一元二次方程x2+1＝0的根是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝﹣1C．x1＝﹣1，x2＝1D．无根4．（2022秋•江都区期中）若x＝1是方程ax2﹣2＝1的解，则a的值为（）A．1B．﹣1C．﹣3D．35．（2022秋•建华区校级期中）对于方程37（x﹣2）2＝42的两根，下列判断正确的是（）A．一根小于1，另一根大于3B．一根小于﹣2，另一根大于2C．两根都小于0D．两根都大于26．（2022秋•奉贤区校级期中）要使方程ax2+b＝0有实数根，则条件是（）A．a≠0，b＞0B．a≠0，b＜0C．a≠0，a，b异号或b＝0D．a≠0，b≤07．（2021秋•防城港期末）如图是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（）A．±2B．±3C．3或﹣1D．2或﹣18．（2022秋•南召县月考）关于一元二次方程2022（x﹣2）2＝2023的两个根判断正确的是（）A．一根小于1，另一根大于3B．一根小于﹣2，另一根大于2C．两根都小于0D．两根都小于29．（2022秋•路北区校级月考）关于x的方程（x﹣2）2＝1﹣m无实数根，那么m满足的条件是（）A．m＞2B．m＜2C．m＞1D．m＜110．（2022秋•仪征市期中）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a ≠0），则方程a（x﹣m+2）2+b＝0的解是（）A．x1＝0，x2＝﹣3B．x1＝0，x2＝3C．x1＝﹣4，x2＝﹣1D．无法求解二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•青浦区校级期中）解方程：（x﹣2）2﹣9＝0的根是．12．（2022春•南湖区校级期中）若关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则a＝．13．（2022秋•江阴市校级月考）给出一种运算：对于函数y＝x n，规定y′＝nx n﹣1．例如：若函数y＝x5，则有y′＝5x4．已知函数y＝x3，y′＝12，则x的值是．14．（2022秋•溧阳市期中）定义一种运算“⊕”，其规则为a⊕b＝a2﹣b2+5，则方程x⊕3＝0的解为．15．（2022秋•尤溪县期中）对于解一元二次方程（x+3）2＝4，通过降次转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+3＝2，则另一个一元一次方程是．16．（2022秋•梁溪区校级期中）已知关于x的方程a（x+m）2+p＝0（a、m、p为常数，a≠0）的解是x1＝1，x2＝﹣3，那么方程a（x+m+3）2+p＝0的解为．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解下列方程：（1）x2﹣1＝11；（2）16x2＝5；（3）0.2x2−35=0；（4）9﹣（x﹣1）2＝0．18．用直接开方法解下列方程：（1）（x+√5）（x−√5）＝8；（2）4（2y﹣3）2＝9（y﹣1）2．19．用直接开平方法解方程：（1）（√2x−2）2＝6；（2）3（x﹣1）2﹣6＝0；（3）（x+3）（x﹣3）＝9；（4）（x+√2）2＝（1+√2）2．20．在实数范围内定义一种新运算“※”，其规则为a※b＝（a﹣1）2﹣b2．根据这个规则，求方程（x+3）※5＝0的解．21．用直接开平方法解一元二次方程4（2x﹣1）2﹣25（x+1）2＝0．解：移项，得4（2x﹣1）2＝25（x+1）2.①直接开平方，得2（2x﹣1）＝5（x+1）．②∴x＝﹣7．③上述解题过程有无错误？若有，错在第步，原因是，请写出正确的解答过程．22．（2022秋•社旗县期中）填空：解方程：100（1﹣x）2＝81①你选用的解法是．②直接写出该方程的解是．③请你结合生活经验，设计一个问题，使它能利用建立方程模型“100（1﹣x）2＝81”来解决．你设计的问题是：．23．（2022秋•云冈区月考）已知关于x的方程2（x+a）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，求关于x的方程2（x﹣4+a）2+b＝0的解．。
完整版)一元二次方程解法及其经典练习题
完整版)一元二次方程解法及其经典练习题一元二次方程的解法及经典练题方法一：直接开平方法（基于平方根的定义）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
即，如果x²=a，那么x=±√a。
注意，x可以是多项式。
一、使用直接开平方法解下列一元二次方程：1.4x²-1=22.(x-3)²=233.81(x-2)²=1644.(x+1)²/4=255.(2x+1)²=(x-1)²6.(5-2x)²=9(x+3)²7.2(x-4)²/3-6=0.方法二：配方法解一元二次方程1.定义：把一个一元二次方程的左边配成一个平方，右边为一个常数，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
2.配方法解一元二次方程的步骤：1）将方程移项，使等式左边为完全平方，右边为常数。
2）将等式左右两边开平方。
3）解出方程的根。
二、使用配方法解下列一元二次方程：1.y²-6y-6=02.3x²-2=4x3.3x²-4x=94.x²-4x-5=05.2x²+3x-1=06.3x²+2x-7=0方法三：公式法1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
2.公式的推导：使用配方法解方程ax²+bx+c=0（a≠0），解得x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。
3.由上可知，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因为1）当b²-4ac>0时，方程有两个实数根，x₁=[-b+√(b²-4ac)]/(2a)，x₂=[-b-√(b²-4ac)]/(2a)。
2）当b²-4ac=0时，方程有一个实数根，x₁=x₂=-b/(2a)。
专题训练。一元二次方程的解法
专题训练。
一元二次方程的解法专题训练：一元二次方程的解法一、一元二次方程的解法分类练1.直接开方法1) 解 $1(x-2)^2=8$。
2) 解 $2(x+1)^2-6=0$。
2.配方法1) 解 $4x-x^2+2=0$。
2) 解 $(2x-1)^2=x(3x+2)-7$。
3.公式法1) 解 $x^2=2x+1$。
2) 解 $2x^2-2=3x$。
3) 解 $3x^2-6x=5$。
4.因式分解法1) 解 $x^2-32x=0$。
2) 解 $x^2-3x-3=0$。
3) 解 $x(x-2)=8$。
二、一元二次方程解法的灵活运用5.若$x=-1$是关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx-2=0(a\neq0)$的一个根，则$2017-2a+2b$的值等于()。
A。
$2019$ B。
$2015$ C。
$2013$ D。
$2011$6.若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2-2x+1=0$有两个不相等的实数根，则$a$的取值范围是()。
A。
$a>2$ B。
$a<2$ C。
$a<2$且$a\neq1$ D。
$a<-2$7.已知等腰三角形的边长分别为$a,b,2$，且$a,b$是关于$x$的一元二次方程$x^2-6x+n-1=0$的两个根，则$n$的值为()。
A。
$9$ B。
$10$ C。
$9$或$10$ D。
$8$或$10$8.若$a$满足不等式组$\begin{cases}1-a\leq1,\\2a-1\geq2,\end{cases}$则关于$x$的方程$(a-2)x^2-(2a-1)x+a+2=0$的根的情况是()。
A。
有两个不相等的实数根 B。
有两个相等的实数根 C。
没有实数根 D。
以上三种情况都有可能9.无论$x$取任何实数，代数式$x^2-6x+m$都有意义，则$m$的取值范围是()。
10.若关于$x$的方程$(a-6)x^2-8x+6=0$有实数根，则整数$a$的最大值是()。
专题02 一元二次方程的4种解法(解析版)
专题02 一元二次方程的4种解法考点1：直接开方法；考点2：配方法；考点3：公式法；考点4：因式分解法。
1．方程（x +6）2﹣9＝0的两个根是（ ）A ．x 1＝3，x 2＝9B ．x 1＝﹣3，x 2＝9C ．x 1＝3，x 2＝﹣9D ．x 1＝﹣3，x 2＝﹣9解：∵（x +6）2﹣9＝0，∴（x +6）2＝9，则x +6＝±3，∴x 1＝﹣3，x 2＝﹣9，答案：D ．2．x 1、x 2是一元二次方程3（x ﹣1）2＝15的两个解，且x 1＜x 2，下列说法正确的是（ ）A ．x 1小于﹣1，x 2大于3B ．x 1小于﹣2，x 2大于3C ．x 1，x 2在﹣1和3之间D ．x 1，x 2都小于3解：∵x 1、x 2是一元二次方程3（x ﹣1）2＝15的两个解，且x 1＜x 2，∴（x ﹣1）2＝5，∴x ﹣1∴x 2＝13，x 1＝1−1，答案：A ．3．（易错题）若一元二次方程ax 2＝b （ab ＞0）的两根分别是m ﹣1和2m +3，则ba 的值为（ ）A ．16B ．259C ．25D ．259或25解：∵一元二次方程ax 2＝b 的两个根分别是m +1与2m ﹣13，且x =±∴m ﹣1+2m +3＝0，解得：m =−23，题型01 直接开方法即方程的根是：x 1=−53，x 2=53，∴b a =(±2=259，答案：B ．4．关于x 的一元二次方程x 2＝a 的两个根分别是2m ﹣1与m ﹣5，则m ＝ 2 ．解：根据题意得2m ﹣1+m ﹣5＝0，解得m ＝2，答案：2．5．关于x 的方程（2x +5）2＝m +1无实数解，则m 的取值范围 m ＜﹣1 ．解：∵关于x 的方程（2x +5）2＝m +1无实数解，∴m +1＜0，解得m ＜﹣1．答案：m ＜﹣1．6．对于解一元二次方程（x +3）2＝4，通过降次转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x +3＝2，则另一个一元一次方程是 x +3＝﹣2 ．解：（x +3）2＝4，∴x +3＝±2，∴x +3＝2或x +3＝﹣2，答案：x +3＝﹣2．7．解方程：（1）x 2﹣81＝0；（2）4（x ﹣1）2＝9．解：（1）x 2﹣81＝0，x 2＝81，∴x ＝±9，∴x 1＝9，x 2＝﹣9；（2）4（x ﹣1）2＝9，（x ﹣1）2=94，∴x ﹣1＝±32，∴x 1=52，x 2=−12．8．一元二次方程y 2﹣y −34=0配方后可化为（ ）A ．（y +12）2＝1B ．（y −12）2＝1C ．（y +12）2=34D ．（y −12）2=34解：y 2﹣y −34=0y 2﹣y =34y 2﹣y +14=1（y −12）2＝1答案：B ．9．将代数式x 2﹣10x +5配方后，发现它的最小值为（ ）A ．﹣30B ．﹣20C ．﹣5D ．0解：x 2﹣10x +5＝x 2﹣10x +25﹣20＝（x ﹣5）2﹣20，当x ＝5时，代数式的最小值为﹣20，答案：B ．10．（易错题）设a 、b 是两个整数，若定义一种运算“△”，a △b ＝a 2+b 2+ab ，则方程（x +2）△x ＝1的实数根是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝x 2＝﹣1D ．x 1＝1，x 2＝﹣2解：∵a △b ＝a 2+b 2+ab ，∴（x +2）△x ＝（x +2）2+x 2+x （x +2）＝1，整理得：x 2+2x +1＝0，即（x +1）2＝0，解得：x 1＝x 2＝﹣1．答案：C ．11．把方程x 2﹣2＝4x 用配方法化为（x +m ）2＝n 的形式，则mn 的值是 ﹣12 ．题型02 配方法解：∵x2﹣2＝4x，∴x2﹣4x＝2，∴x2﹣4x+4＝2+4，∴（x﹣2）2＝6，∴m＝﹣2，n＝6，∴mn＝﹣12，答案：﹣1212．方程x2﹣2x﹣1＝0的解是 x1＝1+解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+1＝2，∴（x﹣1）2＝2，∴x＝1∴原方程的解为：x1＝1+x2＝1答案：x1＝1+x2＝113．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x＝ ﹣2 ．解：根据题意得x2﹣2•（﹣2x）+3＝﹣1，整理得x2+4x+4＝0，（x+2）2＝0，所以x1＝x2＝﹣2．答案：﹣2．14．（易错题）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c＝0变形为：x2+bax=−ca，…第一步x2+bax+（b2a）2=−ca+（b2a）2，…第二步（x +b 2a ）2=b 2−4ac 4a 2，…第三步x +b 2a =b 2﹣4ac ＞0），…第四步x =2a ，…第五步嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误；事实上，当b 2﹣4ac ＞0时，方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠O ）的求根公式是 x =−b 2a ．用配方法解方程：x 2﹣2x ﹣24＝0．解：在第四步中，开方应该是x +b 2a =x =答案：四；x用配方法解方程：x 2﹣2x ﹣24＝0解：移项，得x 2﹣2x ＝24，配方，得x 2﹣2x +1＝24+1，即（x ﹣1）2＝25，开方得x ﹣1＝±5，∴x 1＝6，x 2＝﹣4．15．一元二次方程x 2+4x ﹣8＝0的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝2﹣B ．x 1＝x 2＝2﹣C ．x 1＝﹣x 2＝﹣2﹣D ．x 1＝﹣x 2＝﹣2﹣解：∵a ＝1，b ＝4，c ＝﹣8，∴Δ＝42﹣4×1×（﹣8）＝48＞0，则x −2±∴x 1＝﹣x 2＝﹣2﹣题型03 公式法答案：D ．16．已知a 是一元二次方程x 2﹣x ﹣1＝0较大的根，则下面对a 的估计正确的是（ ）A ．0＜a ＜1B ．1＜a ＜1.5C ．1.5＜a ＜2D ．2＜a ＜3解：解方程x 2﹣x ﹣1＝0得：x =∵a 是方程x 2﹣x ﹣1＝0较大的根，∴a∵23，∴3＜1+4，∴32＜2，答案：C ．17．若实数a ，b 满足a 2+ab ﹣b 2＝0，则a b = ．解：a 2+ab ﹣b 2＝0△＝b 2+4b 2＝5b 2．a =−b 2=∴a b =18．（易错题）对任意的两实数a ，b ，用min （a ，b ）表示其中较小的数，如min （2，﹣4）＝﹣4，则方程x •min（2，2x ﹣1）＝x +1的解是 x =或x = ．解：①若2＜2x ﹣1，即x ＞1.5时，x +1＝2x ，解得x ＝1（舍）；②若2x ﹣1≤2，即x ≤1.5时，x （2x ﹣1）＝x +1，解得x x答案：x=x=19．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？解：（1）根据题意，得m≠1．∵a＝m﹣1，b＝﹣2m，c＝m+1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4，则x1=2m22(m−1)=m1m−1，x2＝1；（2）由（1）知，x1=m1m−1=1+2m−1，∵方程的两个根都为正整数，∴2m−1是正整数，∴m﹣1＝1或m﹣1＝2，解得m＝2或3．即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．20．方程x2﹣x＝56的根是（ ）A．x1＝7，x2＝8B．x1＝7，x2＝﹣8 C．x1＝﹣7，x2＝8D．x1＝﹣7，x2＝﹣8解：∵x2﹣x＝56，∴x2﹣x﹣56＝0，则（x﹣8）（x+7）＝0，∴x﹣8＝0或x+7＝0，解得x1＝﹣7，x2＝8，答案：C．21．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（ ）题型04 因式分解法A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝1C．x1＝0，x2＝2D．x1＝1，x2＝2解：x（x﹣2）＝x﹣2，移项，得x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，提公因式，得（x﹣2）（x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，解得x1＝2，x2＝1．答案：D．22．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A．12B．9C．13D．12或9解：x2﹣7x+10＝0，（x﹣2）（x﹣5）＝0，x﹣2＝0，x﹣5＝0，x1＝2，x2＝5，①等腰三角形的三边是2，2，5∵2+2＜5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5＝12；即等腰三角形的周长是12．答案：A．23．方程2x2+1＝3x的解为 x1＝1，x2=12 ．解：2x2+1＝3x，2x2﹣3x+1＝0，（x﹣1）（2x﹣1）＝0，解得：x1＝1，x2=1 2．答案：x1＝1，x2=1 2．24．（易错题）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为 20 ．解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵x2﹣9x+20＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，解得：x＝4或x＝5，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20．答案：20．25．（易错题）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝ ﹣3或4 ．解：根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，（2m﹣1）2﹣49＝0，（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，所以m1＝﹣3，m2＝4．答案：﹣3或4．26．解方程（1）2x2﹣3x﹣2＝0；（2）x（2x+3）﹣2x﹣3＝0．解：（1）（2x+1）（x﹣2）＝0，2x+1＝0或x﹣2＝0，所以x1=−12，x2＝2；（2）x（2x+3）﹣（2x+3）＝0，（2x+3）（x﹣1）＝0，2x+3＝0或x﹣1＝0，所以x1=−32，x2＝1．。
一元二次方程专题复习资料
一元二次方程专题复习 知识盘点1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。
2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。
如果n ＜0，则原方程 。
（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根,即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x ,（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。
4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。
5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。
一元二次方程专题强化训练
《一元二次方程》专题练习一、一元二次方程的解法1．已知x 为实数，且满足（x 2+3x ）2+3（x 2+3x ）﹣18=0，则x 2+3x 的值为 ． 2. 若16)3(222=-+y x ，则22y x +的值为 3．已知实数x 满足（x 2﹣5x+5）x =1，实数x 的值可以是 ． 4．已知x 是实数且满足（x ﹣3）=0，则相应的代数式x 2+2x ﹣1的值为 ．二、一元二次方程的根的定义及韦达定理的运用1．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2011=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为（ ） A ． 2009 B ． 2010 C ． 2011 D ．2012 2．已知m 、n 是方程x 2﹣2002x+2003=0的两根，则（n 2﹣2003n+2004）与（m 2﹣2003m+2004）的积是 ．3．设x 1、x 2是一元二次方程x 2+4x ﹣3=0的两个根，2x 1（x 22+5x 2﹣3）+a=2，则a= ． 4．定义：如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x 2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则mn= ．5．定义：如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）满足a ﹣b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．已知2x 2﹣mx ﹣n=0是关于x 的凤凰方程，m 是方程的一个根，则m 的值为 ． 三、判别式定理的运用1．如果关于x 的一元二次方程kx 2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．k ＜ B ． k ＜且k≠0 C ．﹣≤k ＜D ．﹣≤k ＜且k≠02．关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．3．若m 是非负整数，且关于x 的方程（m ﹣1）x 2﹣2mx+m+2=0有两个实数根，求m 的值及其对应方程的根．四、判别式定理与韦达定理的综合运用1．已知方程x 2﹣（m ﹣1）x+（m+7）=0有一个正根和一个负根，那么（ ） A ． m ＞7 B ． m ＞1 C ． m ＜1 D ．m ＜﹣72．已知方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0有一个正根一个负根，求m的取值范围．3．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k 的取值范围是．4．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．5．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（a+1）x+a2+3=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=10，求a的值；（2）已知等腰△ABC的一边为6，另外两边的长都是整数且恰好是方程x2﹣2（a+1）x+a2+3=0的根，求这个三角形的周长．6．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．7．已知x1、x2是方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两根，且，求m的值．8．已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x l﹣2x2）=成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．（2）求使的值为整数的实数k的整数值．9．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+2）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为负整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值．10．已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0 （m＞1）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数？11．已知方程a（2x+a）=x（1﹣x）的两个实数根为x 1，x2，设．（1）当a=﹣2时，求S的值；（2）当a取什么整数时，S的值为1；（3）是否存在负数a，使S2的值不小于25？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．12．已知关于x的一元二次方程x2+（3﹣a）x+a﹣5=0（1）求证：无论a为何实数时方程总有两个不相等的实根；（2）若方程一根大于2，另一根小于2，求实数a的取值范围．五、一元二次方程应用题1．一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来．（1）小球滚动了多少时间？（2）平均每秒小球的运动速度减少多少？（3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）？2．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出（350﹣10a）件．但物价局限定每次商品加价不能超过进价的20%，商品计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价应该是多少元？3．某商场购进一批商品，在进价基础上加价120元后，再打九折销售，每件商品售价为360元，每月可售出60件．（1）求该商品的进价．（2）为了扩大销售，商场决定采取适当的降价方式促销，经调查发现，如果每件商品降价a%，那么商场每月可以多售出30a%，要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，求a的值．4．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．5．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？6．把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．（1）要使折成的长方体盒子的底面积为324cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？（2）折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．7．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图ABCD所示）．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）（1）当三级污水处理池的总造价为47 200元时，求池长x；（2）如果规定总造价越低就越合算，那么根据题目提供的信息，以472 00元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算？请说明理由．8．某汽车销售公司1月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为16万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部．月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元．①若该公司当月卖出4部汽车，则每部汽车的进价为万元；若该公司当月卖出m（1≤m≤20）部汽车，则每部汽车的进价为万元；②如果汽车的销售价位17万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）9．某广告公司制作广告的收费标准是：以面积为单位，在不超过规定面积A（m2）的范围内，每张广告收费1000元，如果超过Am2，则除了要交1000元的基本广告费外，超过部分还按每平方米50A元收费，下表是该公司对两家用户广告面积和收费情况的记载：单位广告面积（单位：m2）收费金额（单位：元）烟草公司 6 1400食品公司 3 1000红星公司要制作一张大型公益广告，其材料形状是矩形，如果它的四周是空白处，并且四周各空0.5米，空白部分不收广告费，中间的矩形部分才是广告面积，若矩形长宽之比为3：2，并且红星公司只能支出110400元的广告费．（1）求A的值．（2）求这张广告的长和宽各是多少米？10．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动，设运动的时间为t．（1）t为何值时，四边形APQD为矩形？（2）t为何值时，P、Q两点之间的距离是6m？（3）在移动的过程中，PQ能否将矩形ABCD分成面积比为1：2的两部分？若能，求出t的值；若不能，说明理由．11．已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）求四边形APQC的面积最小值．12．如图，在矩形ABCD中，BC=24cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=x cm（x≠0），则AP=2x cm，CM=3x cm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以P、N两点重合？（2）问Q、M两点能重合吗？若Q、M两点能重合，则求出相应的x的值；若Q、M两点不能重合，请说明理由．（3）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．。
一元二次方程解法归纳总结
一元二次方程解法归纳总结一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的过程基于求根公式，通过代入已知数值并进行计算，可以得到方程的解。
本文将对一元二次方程的解法进行归纳总结，并以示例来说明每种解法的具体步骤。
一、因式分解法当一元二次方程可以被因式分解时，可以利用因式分解的性质来解方程。
具体步骤如下：1. 将方程的左侧化简为一个完全平方的形式；2. 设方程两边分别等于0，并利用因式分解的性质，将方程的左侧分解为两个因子的乘积；3. 令每个因子分别等于0，解得每个因子的解，即得到方程的解。
例如，考虑方程：x^2 - 5x + 6 = 01. 将方程的左侧化简为一个完全平方的形式：(x - 2)(x - 3) = 02. 令每个因子分别等于0：x - 2 = 0 或者 x - 3 = 03. 解得x的值：x = 2 或者 x = 3所以，方程的解为x = 2或者x = 3。
二、配方法当一元二次方程无法通过因式分解来解时，可以使用配方法（也称为“加法配平法”）来解方程。
具体步骤如下：1. 将方程化为一个可完全平方的形式，即将方程的左侧表示为完全平方的平方差形式；2. 根据配方法的原则，将方程的右侧与左侧进行配平，使得方程两侧相等；3. 对方程两侧进行化简，得到一个可求解的简化方程；4. 解简化方程，即可得到原方程的解。
例如，考虑方程：x^2 - 6x + 9 = 41. 将方程化为一个完全平方的形式：(x - 3)^2 = 42. 配方法的原则是：对方程的右侧加上一个适当的数，使得方程两侧相等。
在本例中，我们需要加上5。
所以，将方程两侧加上5：(x - 3)^2 + 5 = 4 + 53. 化简得到简化方程：(x - 3)^2 + 5 = 94. 解简化方程：(x - 3)^2 = 4由于平方的结果是4，所以x - 3 = ±2解得x的值：x = 3 ± 2所以，方程的解为x = 1或者x = 5。
一元二次方程的解法及常见练习题示例
一元二次方程的解法及常见练习题示例一元二次方程的解法一元二次方程是一种形式如下的方程：$$ax^2 + bx + c = 0$$其中，$a$、$b$、$c$ 是已知系数，$x$ 是未知数。
解一元二次方程的常用方法有以下两种：配方法和公式法。
配方法和公式法。
配方法对于一元二次方程，可以通过配方法将其转化为一个完全平方的形式，从而易于求解。
步骤如下：1. 确保 $a$ 的系数为 1。
如果 $a \neq 1$，则可以通过除以$a$ 进行化简。
2. 将 $b$ 的系数的一半取出来，记作 $m$。
即 $m =\frac{b}{2}$。
3. 将一元二次方程转化为 $(x+m)^2 - m^2 + c = 0$ 的形式。
4. 将 $(x+m)^2 - m^2 + c = 0$ 分解成 $(x+m)^2 - m^2 = 0$。
5. 化简后得到 $(x+m)^2 = m^2 - c$。
6. 去掉平方，得到 $x+m = \pm\sqrt{m^2 - c}$。
7. 分别移项得到 $x = -m \pm \sqrt{m^2 - c}$。
公式法公式法是解一元二次方程的另一种常用方法，利用以下公式进行求解：$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$其中，$\pm$ 的取值可以分别取 $+$ 和 $-$。
常见练题示例下面是一些常见的一元二次方程的练题示例：1. 解方程 $x^2 + 5x + 6 = 0$。
- 使用配方法：$a=1$，$b=5$，$c=6$。
根据配方法的步骤，我们可以得到 $m = \frac{5}{2}$。
将方程转化为 $(x+\frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 + 6 = 0$。
化简后得到 $(x+\frac{5}{2})^2 =\frac{1}{4}$。
去掉平方后得到 $x+\frac{5}{2} = \pm\frac{1}{2}$。
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专题训练(二) 一元二次方程的解法归纳
► 方法一 形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的一元二次方程可用直接开平方法
1．方程4x 2－25＝0的解为( )
A ．x ＝25
B ．x ＝52
C ．x ＝±52
D ．x ＝±25
2．对于方程(ax ＋b )2＝c ，下列叙述正确的是( )
A ．不论c 为何值，方程均有实数根
B ．方程的根是x ＝c －b a
C ．当c ≥0时，方程可化为ax ＋b ＝c 或ax ＋b ＝－c
D ．当c ＝0时，x ＝b a
3．解下列方程：
(1)(x －1)2＝4；
(2)(4x ＋1)2＝(2x －5)2.
►方法二如果方程的二次项系数为1，且一次项系数为偶数，那么用配方法较简便4．用配方法解下列方程，配方正确的是()
A．2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝4
B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8
C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16
D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4
5．解下列方程：
(1)x2＋4x－2＝0；
(2)x2＋4x＝5；
(3)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
►方法三如果一元二次方程的一边是0，而另一边又能分解成两个一次因式的积，那么用因式分解法较简便
6．一元二次方程x(x－3)＝3－x的根是()
A．x＝－1 B．x＝3
C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝2
7．解下列方程：
(1)x(x－2)＝x－2；
(2)3(x－5)2＝2(x－5)；
(3)2(x＋2)(x－1)＝(x＋2)(x＋4)；
(4)3x(2x＋1)＝4x＋2.
8．2017·湘潭多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋______)(x＋______)；
(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
►方法四如果一个一元二次方程易化为它的一般形式且系数的绝对值较小，那么可用公式法来求它的解
9．解下列方程：
(1)x2－x－1＝0；
(2)x2－7x＝－5；
(3)y(y－3)＝1.
►方法五如果在方程中出现一些相同的代数式，把它们用某一个字母代替后能形成一个较简单的一元二次方程，这样的方程可用换元法来求解
10．解方程(x－1)2－5(x－1)＋4＝0时，我们可以将x－1看成一个整体，设x－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，即x－1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x－1＝4，解得x＝5.所以原方程的解为x1＝2，x2＝5.利用这种方法求得方程(2x ＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0的解为()
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝－2，x2＝3
C．x1＝－3，x2＝－1 D．x1＝－1，x2＝－2
11．已知实数a，b满足(a2＋b2)2－2(a2＋b2)＝8，则a2＋b2的值为() A．－2 B．4
C．4或－2 D．－4或2
12．若(a＋b)(a＋b－2)－8＝0，则a＋b的值为()
A．－4或2 B．3或－3 2
C．－2或4 D．3或－2
13．用换元法解方程x2－2x＋7
x2－2x
＝8，若设x2－2x＝y，则原方程化为关于y的整式方程是()
A．y2＋8y－7＝0 B．y2－8y－7＝0
C．y2＋8y＋7＝0 D．y2－8y＋7＝0
14．解方程：(x－2)2－3(2－x)＋2＝0.
详解详析
1．C [解析] 移项，得4x 2＝25.二次项系数化为1，得x 2＝254
.两边直接开平方，得x ＝±52
.故选C. 2．C
3．解：(1)(x －1)2＝4，x －1＝±2，
x 1＝3，x 2＝－1.
(2)根据题意得4x ＋1＝2x －5或4x ＋1＝5－2x ，解得x 1＝－3，x 2＝23
. 4．D
5．解：(1)移项，得x 2＋4x ＝2.
配方，得x 2＋4x ＋4＝2＋4，
即(x ＋2)2＝6，
∴x ＋2＝±6，
∴x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.
(2)配方，得x 2＋4x ＋4＝5＋4，
即(x ＋2)2＝9，
∴x ＋2＝±3，
∴x 1＝1，x 2＝－5.
(3)原方程可化为4x 2－4x ＋1＝3x 2＋2x －7.
整理，得x 2－6x ＝－8.
配方，得(x －3)2＝1，
∴x －3＝±1，
∴x 1＝2，x 2＝4.
6．C [解析] ∵x (x －3)＝3－x ，
∴x (x －3)＋(x －3)＝0，
∴(x －3)(x ＋1)＝0，
∴x －3＝0或x ＋1＝0，∴x 1＝3，x 2＝－1.
7．解：(1)原方程可化为x (x －2)－(x －2)＝0，
(x －2)(x －1)＝0，解得x 1＝2，x 2＝1.
(2)原方程可化为3(x －5)2－2(x －5)＝0，
(x －5)(3x －15－2)＝0，
(x －5)(3x －17)＝0，
∴x 1＝5，x 2＝173
. (3)原方程可化为2(x ＋2)(x －1)－(x ＋2)(x ＋4)＝0，
(x ＋2)[2(x －1)－(x ＋4)]＝0，
即(x ＋2)(x －6)＝0，
∴x 1＝－2，x 2＝6.
(4)原方程可化为3x (2x ＋1)－2(2x ＋1)＝0，(2x ＋1)(3x －2)＝0，
∴x 1＝－12，x 2＝23
. 8．解：(1)x 2＋6x ＋8＝x 2＋(2＋4)x ＋2×4＝(x ＋2)(x ＋4)．
故答案为：2，4.
(2)∵x 2－3x －4＝0，x 2＋(－4＋1)x ＋(－4)×1＝0，
∴(x －4)(x ＋1)＝0，
则x ＋1＝0或x －4＝0，
∴x 1＝－1，x 2＝4.
9．解：(1)∵a ＝1，b ＝－1，c ＝－1，
b 2－4a
c ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0，
∴x ＝1± 52×1
＝1± 52，
即x 1＝1＋52，x 2＝1－52
. (2)原方程可化为x 2－7x ＋5＝0，
∴a ＝1，b ＝－7，c ＝5，
b 2－4a
c ＝(－7)2－4×1×5＝29＞0，
∴x ＝7±292×1
＝7±292， ∴x 1＝7＋292，x 2＝7－292
. (3)原方程可化为y 2－3y －1＝0，
∴a ＝1，b ＝－3，c ＝－1，
b 2－4a
c ＝(－3)2－4×1×(－1)＝13>0，
∴y ＝3±132×1
＝3±132， ∴y 1＝3＋132，y 2＝3－132
. 10．D [解析] (2x ＋5)2－4(2x ＋5)＋3＝0，设2x ＋5＝y ，方程可以变为y 2－4y ＋3＝0， ∴y 1＝1，y 2＝3.
当y ＝1时，即2x ＋5＝1，解得x ＝－2；
当y ＝3时，即2x ＋5＝3，解得x ＝－1.
∴原方程的解为x 1＝－1，x 2＝－2.故选D.
11．B [解析] 设a 2＋b 2＝x ，则原方程可变为x 2－2x ＝8，x 2－2x －8＝0，解得x 1＝4，x 2＝－2.因为平方和是非负数，
所以a 2＋b 2的值为4.
12．C [解析] 设a ＋b ＝t ，则由原方程，得t (t －2)－8＝0，即(t ＋2)(t －4)＝0，解得t ＝－2或t ＝4，即a ＋b 的值为－2或4.故选C.
13．D [解析] 设x 2－2x ＝y .
原方程可变为y ＋7y
＝8，
∴y2＋7＝8y，
∴y2－8y＋7＝0.故选D.
14．解：设2－x＝y，则原方程可化为y2－3y＋2＝0，(y－2)(y－1)＝0，∴y1＝2，y2＝1.
当y＝2时，2－x＝2，x＝0；
当y＝1时，2－x＝1，x＝1.
即原方程的解为x1＝0，x2＝1.。