专题训练(二) 一元二次方程的解法归纳

专题训练(二) 一元二次方程的解法归纳

► 方法一 形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的一元二次方程可用直接开平方法

1．方程4x 2－25＝0的解为( )

A ．x ＝25

B ．x ＝52

C ．x ＝±52

D ．x ＝±25

2．对于方程(ax ＋b )2＝c ，下列叙述正确的是( )

A ．不论c 为何值，方程均有实数根

B ．方程的根是x ＝c －b a

C ．当c ≥0时，方程可化为ax ＋b ＝c 或ax ＋b ＝－c

D ．当c ＝0时，x ＝b a

3．解下列方程：

(1)(x －1)2＝4；

(2)(4x ＋1)2＝(2x －5)2.

►方法二如果方程的二次项系数为1，且一次项系数为偶数，那么用配方法较简便4．用配方法解下列方程，配方正确的是()

A．2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝4

B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8

C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16

D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4

5．解下列方程：

(1)x2＋4x－2＝0；

(2)x2＋4x＝5；

(3)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.

►方法三如果一元二次方程的一边是0，而另一边又能分解成两个一次因式的积，那么用因式分解法较简便

6．一元二次方程x(x－3)＝3－x的根是()

A．x＝－1 B．x＝3

C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝2

7．解下列方程：

(1)x(x－2)＝x－2；

(2)3(x－5)2＝2(x－5)；

(3)2(x＋2)(x－1)＝(x＋2)(x＋4)；

(4)3x(2x＋1)＝4x＋2.

8．2017·湘潭多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．

示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．

(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋______)(x＋______)；

(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.

►方法四如果一个一元二次方程易化为它的一般形式且系数的绝对值较小，那么可用公式法来求它的解

9．解下列方程：

(1)x2－x－1＝0；

(2)x2－7x＝－5；

(3)y(y－3)＝1.

►方法五如果在方程中出现一些相同的代数式，把它们用某一个字母代替后能形成一个较简单的一元二次方程，这样的方程可用换元法来求解

10．解方程(x－1)2－5(x－1)＋4＝0时，我们可以将x－1看成一个整体，设x－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，即x－1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x－1＝4，解得x＝5.所以原方程的解为x1＝2，x2＝5.利用这种方法求得方程(2x ＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0的解为()

A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝－2，x2＝3

C．x1＝－3，x2＝－1 D．x1＝－1，x2＝－2

11．已知实数a，b满足(a2＋b2)2－2(a2＋b2)＝8，则a2＋b2的值为() A．－2 B．4

C．4或－2 D．－4或2

12．若(a＋b)(a＋b－2)－8＝0，则a＋b的值为()

A．－4或2 B．3或－3 2

C．－2或4 D．3或－2

13．用换元法解方程x2－2x＋7

x2－2x

＝8，若设x2－2x＝y，则原方程化为关于y的整式方程是()

A．y2＋8y－7＝0 B．y2－8y－7＝0

C．y2＋8y＋7＝0 D．y2－8y＋7＝0

14．解方程：(x－2)2－3(2－x)＋2＝0.

详解详析

1．C [解析] 移项，得4x 2＝25.二次项系数化为1，得x 2＝254

.两边直接开平方，得x ＝±52

.故选C. 2．C

3．解：(1)(x －1)2＝4，x －1＝±2，

x 1＝3，x 2＝－1.

(2)根据题意得4x ＋1＝2x －5或4x ＋1＝5－2x ，解得x 1＝－3，x 2＝23

. 4．D

5．解：(1)移项，得x 2＋4x ＝2.

配方，得x 2＋4x ＋4＝2＋4，

即(x ＋2)2＝6，

∴x ＋2＝±6，

∴x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.

(2)配方，得x 2＋4x ＋4＝5＋4，

即(x ＋2)2＝9，

∴x ＋2＝±3，

∴x 1＝1，x 2＝－5.

(3)原方程可化为4x 2－4x ＋1＝3x 2＋2x －7.

整理，得x 2－6x ＝－8.

配方，得(x －3)2＝1，

∴x －3＝±1，

∴x 1＝2，x 2＝4.

6．C [解析] ∵x (x －3)＝3－x ，

∴x (x －3)＋(x －3)＝0，

∴(x －3)(x ＋1)＝0，

∴x －3＝0或x ＋1＝0，∴x 1＝3，x 2＝－1.

7．解：(1)原方程可化为x (x －2)－(x －2)＝0，

(x －2)(x －1)＝0，解得x 1＝2，x 2＝1.

(2)原方程可化为3(x －5)2－2(x －5)＝0，

(x －5)(3x －15－2)＝0，

(x －5)(3x －17)＝0，

∴x 1＝5，x 2＝173

. (3)原方程可化为2(x ＋2)(x －1)－(x ＋2)(x ＋4)＝0，

(x ＋2)[2(x －1)－(x ＋4)]＝0，

即(x ＋2)(x －6)＝0，

∴x 1＝－2，x 2＝6.

(4)原方程可化为3x (2x ＋1)－2(2x ＋1)＝0，(2x ＋1)(3x －2)＝0，

∴x 1＝－12，x 2＝23

. 8．解：(1)x 2＋6x ＋8＝x 2＋(2＋4)x ＋2×4＝(x ＋2)(x ＋4)．

故答案为：2，4.

(2)∵x 2－3x －4＝0，x 2＋(－4＋1)x ＋(－4)×1＝0，

∴(x －4)(x ＋1)＝0，

则x ＋1＝0或x －4＝0，

∴x 1＝－1，x 2＝4.

9．解：(1)∵a ＝1，b ＝－1，c ＝－1，

b 2－4a

c ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0，

∴x ＝1± 52×1

＝1± 52，