平面几何的重要定理

8、牛顿(Newton)定理：
已知四边形ABCD的一组对边AB 和CD的延长线交于 E点，另一组对边 AD和BC的延长线交于 F点， AC、BD、EF的中点 E A 分别为L、M、N . D 求证：L、M、N N 三点共线. L M
B
C
F
9、蝴蝶定理：
如图，在圆 O中，设P为弦EF的 中点，过P作两条弦 D C AC、BD，连接BC、 P F Q AD分别与弦EF E R 相交于Q、R， 则PR PQ .
平面几何中的重要定理
1、梅涅劳斯(Menelauss)定理：
设A、B、C 分别是ABC的三边 BC、CA、AB或其延长线上的点 . (1)若A、B、C 三点共线， AC BA CB A 则 1. C B AC BA C ( 2)若A、B、C 有奇数个 B 点在边的延长线上， AC BA CB 且 1， A C B C B AC BA 则A、B、C 三点共线.
( 3)托勒密定理的推广：若 四 边形ABCD为任意四边形 ,则 AB CD BC AD AC BD. B (当且仅当A、B、C、D 四点共圆时取等号）
D
C
4、西姆松(Simson)定理：
(1)设P为ABC外接圆上一点，从 P向三边BC、CA、AB所在直线作 垂线，垂足分别为 L、M、N . M 则L、M、N三点共线.
P
A
(2)逆定理：若一点在 三角形三边所在直线上 的射影共线，则该点在 B L 此三角形的外接圆上.
N
CBaidu Nhomakorabea
5、欧拉(Euler)定理：
1
(1)欧拉定理：设 ABC的外心、重心、 垂心分别为O、G、H，则O、G、H 1 三点共线，且 OG OH . 3
( 2)欧拉公式：设 ABC的外接圆半径 为R，内切圆半径为 r，两圆心之间的 距离为d，则d R 2 Rr .
A B
10、帕普斯(Pappus)定理：
如图，设A1、B1、C1是直线l1上 的任意三点， A2、B2、C 2是直线l 2上 的任意三点， A1 B2和A2 B1交于L， A1C 2和A2C1交于M，B1C 2和B2C1 交于N . 求证：L、M、N三点共线.
11、莫莱定理：
课后思考：
1、已知ABC中，C 2B 41， A 1 1 1 1 求证： . AB AC BD
6、斯德瓦特(Stewart)定理：
设P是ABC的BC边上的一点，则 2 2 BP AC PC AB 2 BC AP BP PC BC 即：如果BP : PC m : n，则 2 2 2 mb nc mna A 2 AP 2 m n m n ( m n)
特例：若P是BC的中点，则 1 2 2 2 AP 2b 2c a 2 B P
c
b
a
C
7、拿破仑定理：
以ABC的边AB、BC、CA为底， 分别向外作等边三角形 ABD、 BCE、CAF，则 D (1) AE、BF、CD A 三线共点，且 F AE BF CD； （2）三个等边三角形 C B 的中心为顶点的三角 形是等边三角形 . (称为拿破仑三角形） E
2、在ABC中，AB AC，B B的平分线交AC于点D， A 且BC BD AD， 求A.
B
D
C
D
C
3、四边形ABCD中，G1、G2、G3、G4 分别是BCD、CDA、DAB、 ABC的重心， 1 求证：S四 边 形 S四 边 形 G1G 2G 3G4 ABCD . 9
D
A
B
C
4、已知PA是圆O的切线，AB为直径， PCD为割线，PF过圆心交CB于E， 交BD于F . B 求证：OE OF
F E
C O
D
P
A
2
2
( 3)设大圆套在小圆外面， 它们的半径 为R、r，两圆心O与I的距离为d，则 两圆分别是某个三角形 外接圆与内切 2 2 圆的充要条件是： d R 2 Rr . (4)欧拉不等式：设 ABC外接圆半径 为R，内切圆半径为 r，则R 2r (当且 仅当ABC是正三角形时等号成立 ） . (5)九点圆（欧拉圆）：三 角形各边的 中点，各边高线的垂足 ，各顶点与垂心 连线段的中点，这九个 点共圆. 3 4
2、塞瓦(Ceva)定理：
设A、B、C 分别是ABC的三 边BC、CA、AB上的点. 则，AA、BB、CC 交 A 于一点的充要条件是
AC BA CB 1. C B AC BA
B
C
M
B
A
C
3、托勒密(Ptolemy)定理：
(1)定理：设ABCD为圆内接四边形， 则AB CD BC AD AC BD. ( 2)逆定理：若四边形 ABCD满足： AB CD BC AD AC BD， A 则A、B、C、D四点共圆.