高一数学函数的奇偶性人教A版必修一

从函数值对应表可以看到互为相反数的点的 纵坐标有什么关系？
知识要 点
函数的奇偶性的定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域 内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),那么称函 数y=f(x)奇函数.
知识要 点
奇函数图象的性质:
⑴ 奇函数的图象关于原点对称.
反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,
（4）对于函数f(x)=3的定义域为（-∞，+ ∞ ） 对于定义域中的每一个x，都有f(-x)=3=f(x)， 所以函数f(x)=3是偶函数.
（5）f(x)=0. （5）对于函数f(x)=0的定义域为（-∞，+ ∞ ）
对于定义域中的每一个x，都有f(-x)=0=f(x)=-f(x)， 所以函数f(x)=0既是偶函数也是奇函数.
课堂小结
1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x, f(x)为奇函数 如果都有f(－x)=f(x) f(x)为偶函数 如果都有f(－x)=-f(x)
2、两个性质：
它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称 一个函数为奇函数
3.判断函数奇偶性的步骤和方法： 先看定义域是否关于原点对称， 然后在找f(x)与f(-x)间的关系． 4.奇函数，偶函数作一些简单运算后会出现一些规 律： 奇 +奇 =奇 偶 +偶 =偶
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
奇函数
偶函数
既奇又偶函数 非奇非偶函数
判断或证明函数奇偶性的基本步骤：
一看 二找 三判断
看定义域
找关系
下结论
是否关于原点对称
f(x)与f(-x)
奇或偶
注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否 关于y轴对称或者关于原点对称。
练习 判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x) = -3x ;
观察它们有什么样的特征？
y
0
x
y
0
x
观察下图函数图像有什么共同的特征呢？
这两个函数的图像 都关于y轴对称
9 4 1
3 2 1
-2 -1
-2 -1
o1 2 3
2
o1 2 3
f(x) = x
f(x) = x
x
-3
-2 4
-1
0
1
2
3
f(x)=x2 9
1
0
1
4
9
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x) = x 3
3
(2) f(x) = x +1;
2
(3) f(x) = 2 - x .
解：(1) 因为 f(-x) = -3(-x)3 = 3x3 = -f(x) 所以f(x)是 奇函数. • 因为 f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),所以f(x)是偶函数. • 因为 f(-x) = ，所以f(x)是偶函数. 2 - (-x)2 = f(x)
f(x) = x
3 2 1 -2 -1 o1 2 3
2
-2 -1 3 2 1 -2 -1
3 2 1 o1 2 3
f(x) = x
-2 -1
3 2 1 o1 2 3 -2
-3
f(x) = x
3
o1 2 3 1 f(x)=x 2
注 意
奇偶函数图象的性质可用于： ① 判断函数的奇偶性. ② 简化函数图象的画法.
那么这个函数为偶函数.
观察下面函数图像，看下面函数是偶函数吗？
y
y
1
x
-1
1
x
f ( x) x2 x (,1]
f ( x) x 2 x (, 1] [1, )
思考： 如果一个函数的图象关于y轴对称， 它的定义域应该有什么特点？ 定义域关于原点对称.
观察下图图像有什么共同的特征呢？
2
1
0
1
2
3
从函数值对应表可以看到互为相反数的点的 纵坐标有什么关系？
知识要 点
函数的奇偶性的定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域 内的任意一个x，都有f(-x)=f(x),那么称函 数y=f(x)为偶函数.
知识要 点
偶函数图象的性质:
偶函数的图象关于y轴对称. 反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,
(4)f(x) = -x (x [-3,1]);
2
(5) f(x) = 9 - x2 + (x - 3)0 ;
(6)f(x) = 3x - 2.
解：（4）当x=-3时，由于 3 [-3,1] ，故f(3)不存在， 所以就谈不上与f(-3)相等了，由于任意性受破坏。 所以它没有奇偶性. （5）函数的定义域为[-3,3),故f(3)不存在，同上可知 函数没有奇偶性.
奇X奇=偶
偶X偶=偶
5.已知函数性质，求其它区间上函数的解析式．
课后思考一下，做一做吧！
1.一次函数y=kx+b是奇函数吗？ 2.反比例函数是奇函数吗？ 3.二次函数一定是定义在R上的偶函数吗？ 4.函数的定义域对函数有没有影响？ 5.有没有函数既不是奇函数也不是偶函数，请举出 一例？ 6.有没有一个函数既是奇函数也是偶函数，也请举 出一例？
结论：一般的，对于形如 f(x)=x n 的函数，
若n为偶数，则它为偶函数.
若n为奇数，则它为奇函数.
例2：判定下列函数是否为偶函数或奇函数.
(1) f(x) = 5x.
解：（1）对于函数f(x)=5x，其定义域为 （-∞，+ ∞ ） 对于定义域中的每一个x，都有
f(-x) = -5x = -f(x)
那么这个函数为奇函数.
观察下面函数图像，看是奇函数吗？
y y
-2
o
-2
2
x
o
3 x
f ( x) x, x [2,2]
f ( x) x, x 2,3
思考： 如果一个函数的图象关于原点对称， 它的定义域应该有什么特点？ 定义域关于原点对称.
注 意
1、函数是奇函数或是偶函数称为函数 的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性 质.
两个函数的图像都 关于原点对称. 3 2 1 -2 -1 o1 2 3 -2 -1 -1 -2 -3 f(x)=x
3 2 1 o1 2 3 -1 -2 -3
3
f(x) = x
x f(x)=x
-3 -3
-2
-1
0
1
2
3
-2
-1
0
1
2
3
x
-3
-2 -8
-1 -1
0 0
1 1
2 8
3 27
f(x)=x3 -27
3 2 f(x) = -x + ax 例4 判断函数 是否具有奇偶性？
解：当a=0时， f(x) = x3 ,f(-x) = -x3 = f(x) 此时函数f(x) 为奇函数.
当a≠0时， f(x) = x3 + ax2 ,f(-x) = -x3 + ax2
此时f(x)=f(-x),f(x)=-f(x)都不能在定义域内恒成立， 即函数 f(x) = x3 + ax2 (a 0) 既不是奇函数也不是偶 函数.
(2) ∵ t < 0, 则 - t > 0,f -t = -t - 2(-t)
2
又f t = -f -t = -t 2 - 2t(t < 0) 将 t 换成 x f(x) = -x 2 - 2x(x < 0)
2 x - 2x(x 0) ∴f x = 2 -x - 2x(x < 0)
（1）判断函数 f(x) = x 3 + x 的奇偶性. （2）如图是函数 f(x) = x 3 + x 图像的一部分，能 否根据f(x)的奇偶性画出它在y 轴左边的图像吗？
y
0
x
（1）奇函数 （2）根据奇函数的图 像关于原点对称
例1 说出下列函数的奇偶性:
偶函数 ①f(x)=x4 _______ 奇函数 ② f(x)=x ________ 奇函数 ③ f(x)=x5 ________ 奇函数 ④ f(x)= x -1 ________ 偶函数 ⑤f(x)=x -2 ________ 奇函数 -3 _____________ ⑥f(x)=x
(6)f(-x) = -3x - 2,f(-x) f(x)且f(-x) -f(x)
故函数没有奇偶性.
例3 已知函数y=f(x)是定义在R上奇函数，当 2 x ≥ 0时，f x = x - 2x
求（1)f(-1) ； (2)若t<0,求f(t).
解： (1) f 1 = -1,) = x + . x 1 （3）对于函数 f(x) = x + 的定义域为{x∣x≠0} x 对于定义域中的每一个x，都有 1 1 f(-x) = -x + = -(x + ) = -f(x), -x x 1 所以函数 f(x) = x + 是奇函数. x
(4)f(x) = 3.
所以函数f(x)=5x为奇函数.
(2)f(x) = (x -1)2 .
（2）对于函数 f(x) = (x -1)2的定义域为:
（-∞，+ ∞ ）
对于定义域中的每一个x，都有
f(-x) = (-x -1)2 = (x +1)2 f(x)
且
f(-x) -f(x)
所以函数 f(x) = (x -1)2 既不是奇函数也不是偶函数.
2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性 的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则 －x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于 原点对称）． 3、奇、偶函数定义的逆命题也成立， 即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。 若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。