安徽建筑大学常微分方程试卷.doc

..3

分

xdx + ydy + ydx - xdy _ ° X 2

+ y 2

X 2

+ y

2

..6

分

积分上式得-ln(x 2

+)，2) — am tan -^ = ln C(C >

0),即

2 x

y]x 2 + y 2

= C exp(arctan —). .. ..8

分

8. —+ 3x = e 2\ p(x) = —3,2(x) = e 2x

dx 直接应用公式得

y = e-3x (\e 5x dx + c)=广(上* +c),c 为任意常数

..2分

9.

2xydx + (x 2

+ l)dy = (2xydx + x 2dy) + dy 或者

所求通解为

X 2y + y = c, C 为任意常数.

三、解答题(第一小题8分，第二小题12分，总计20分).

讨论初值问题

解的唯一性。

该方程右端函数y) = 2 在原点附近对y 的偏导数f y (x, y) = 土 无界,

它不满足利

普希兹条

经过y(0) = 0的积分曲线有两条y = 0, y = x 2(x > 0). 故此初值问题y ，= 2j§,y(0) = 0的右行解不唯一性。

11.

求初值问题)

?,= x 2 -y\y(-l) = 0,/?: x+1 < h y < 1

解的存在I 乂间, 第二次近似

解，并估计误

09信息与计算科学专业常微分方程试卷梏案

一填空题(每小题4分) 1：所有解；2:利普希兹；3:线性相关4: e x

\

5:n+l ； 6 e x

<> 二・用初等积分法求解下列方程(每小题8分，总计24分) 7. (x + y)dx-(%- y)dy = 0.该方程有积分因了 --- --- =

~.

xM + yN x + 广

于是有

解• 了(尤,力=疽

一),2£ c(R), f y(x,y)

=\2y\<2^x,y)e R.

,故解的存在区间为

M = max |f (x, y)l = 4,/? = min

(x9y)GR l 1

x + 1 <-

4

取

仞o3) = y(T)= °，

X X y3]

则第一次近似解为(Pi(x) = Jf(s,(p()(s))ds= \s2ds = — + -;

-) -i 3 3

第二次近似解为

/ \ / / \\ 7 \ 2 /S，1、X3 X X4X1 1 1

代3)= jf(s,们(s))ds= J[s -(— + -)]ds = ^■ —6 ——寻 +若。

-1 -1 3 3 59 1 o o3 4Z ............. 10分它与精确解伊3）的误差估计式为

|代⑴一仞⑴|匕号/扩=土。.................. 12分

四.求解下列常系数线性方程（组）（每小题10分，总计20分）

12.解.齐次方程/-3/+ 2），=。的特征方程〃 _ 34 + 2 = 0有根

W =1，4 =2. ...... 2 分

其通解为y = c l e x-hc2e2x9c l9c2为任意常数. ..................... 4分

2

非齐次方程/-3/ + 2y = 2有一个特解），*=—. ............ 8分

2

其通解为y = c16, v-hc2e2x ............... 10 分

「3 -1] fl）

13.求必=4 _j x的基解矩阵，并求其满足初始条件x（0）二〃二°的解。解.此线性方程组特征方程det（A-A£） = a-l）2 =0有二重特征根勾2=1，因此其

1 + 2/

一t 1-2/

基解矩阵为

= e l[E + (A-E)t] = e r

x(z) = e At r)- e t

l +

2r

4t

-t 1F1

1 — 251

l +

r ..10 分

满足初始条件尤(())=〃的解为

五、证明题(12分).

14.设吐主0是二阶齐次线性微分方程

尤”+ p(t)x^q(t)x = 0

的解，这里p,qc C[a,b],则沔。)是该方程的解的充要条件是其朗斯基行列式W[丸易]满足

W,[x

1x

2

] + p(r)IV[x

1

x

2

] = 0.

证明.若易。)是该方程的解，则W'[x l x2]-^p(t)W[x l x2] =

~ = = 0. ........... 6 分

POM q(g qUd

反之，若 W '[Xl x2] + p(t)W[Xl x2 ] = 0.则

M 易=万易

=0

...................................... 8分p(河]P(t)x'2 -q(g x\^ p(t)x\ 即

%! (x "

2 + p(^)x'

2

) + ^(^)x

1

x

7

=0. ....... 1()分

因为尤]ro,故尤％+ pQK'+mm =。・..................................... 12分