专题03 全等三角形章末重难点题型(举一反三)(解析版)

【点睛】本题考查了三角形的全等的判定和性质；做题时用了两直线平行内错角相等，同旁内角互补等 知识，要学会综合运用这些知识． 【变式 3-2】（2019 春•槐荫区期末）王强同学用 10 块高度都是 2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面 垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点 C 在 DE 上， 点 A 和 B 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
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∵AB⊥BF ED⊥BF ∴∠ABC＝∠EDC＝90° 又∵CD＝BC，∠ACB＝∠ECD ∴△ACB≌△ECD（ASA）， ∴AB＝DE．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即 SSS、SAS、ASA、AAS 和 HL）和性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 【变式 3-1】（2019 春•峄城区期末）如图，点 C、E 分别在直线 AB、DF 上，小华想知道∠ACE 和∠DEC 是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结 CF，再找出 CF 的中点 O，然后连结 EO 并延长 EO 和直线 AB 相交于点 B，经过测量，他发现 EO＝BO，因此他得 出结论：∠ACE 和∠DEC 互补，而且他还发现 BC＝EF．小华的想法对吗？为什么？
【变式 2-1】（2019 秋•潘集区期中）在△ABC 与△DEF 中，给出下列四组条件：
（1）AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF
（2）AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
（3）∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F
（4）AB＝DE，∠B＝∠E，AC＝DF，
其中能使△ABC≌△DEF 的条件共有（ ）
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A．1 组
【分析】通过全等三角形得到内错角相等，得到两直线平行，进而得到同旁内角互补． 【答案】解：∵O 是 CF 的中点， ∴CO＝FO（中点的定义） 在△COB 和△FOE 中
， ∴△COB≌△FOE（SAS） ∴BC＝EF（对应边相等） ∠BCO＝∠F（对应角相等）
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∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行） ∴∠ACE 和∠DEC 互补（两直线平行，同旁内角互补），
条件后，仍然不能证明△ABC≌△AED，这个条件是（ ）
A．AB＝AE
B．BC＝ED
C．∠C＝∠D
D．∠B＝∠E
【分析】由∠1＝∠2 结合等式的性质可得∠CAB＝∠DAE，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析
即可．
【答案】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，
即∠CAB＝∠DAE，
A、加上条件 AB＝AE 可利用 SAS 定理证明△ABC≌△AED；
， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； 由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm， ∴DE＝DC+CE＝20（cm）， 答：两堵木墙之间的距离为 20cm．
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【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 【变式 3-3】如图，两根长 12m 的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩
∵∠EDC+∠E+∠DCE＝180°，
∴∠ADC＝∠E+20°，
∵∠ACE＝90°，AC＝CE
∴∠DAC+∠E＝90°，∠E＝∠DAC＝45°
在△ADC 中，∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°，
即 45°+70°+∠ADC＝180°，
解得：∠ADC＝65°，
故选：C．
【点睛】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质和三角形内角和解答．
B、加上 BC＝ED 不能证明△ABC≌△AED；
C、加上∠C＝∠D 可利用 ASA 证明△ABC≌△AED；
D、加上∠B＝∠E 可利用 AAS 证明△ABC≌△AED；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，解题时注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，
判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
（3）由∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F，依据“ASA”可判定△ABC≌△DEF；
（4）由 AB＝DE，∠B＝∠E，AC＝DF 不能判定△ABC≌△DEF；
故选：C．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、
HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边
D、添加 AC＝DF，根据 AAS 能证明△ABC≌△DEF，故 D 选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、
HL．
注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角
对应相等时，角必须是两边的夹角．
【变式 1-2】（2018 秋•厦门期末）如图，点 F，C 在 BE 上，△ABC≌△DEF，AB 和 DE，AC 和 DF 是对应
边，AC，DF 交于点 M，则∠AMF 等于（ ）
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A．2∠B
B．2∠ACB
C．∠A+∠D
D．∠B+∠ACB
【分析】根据全等三角形的性质和外角的性质即可得到结论．
【答案】解：∵△ABC≌△DEF，
一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【变式 2-2】（2018 春•渝中区校级期中）如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠E，再
添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF 的是（ ）
A．AB＝DE
Hale Waihona Puke Baidu
B．BC＝EF
C．∠ACB＝∠DFE D．AC＝DF
【分析】本题具备了两组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF，那么添加的条件
解．
【答案】解：AB＝AC，AD＝AE，
A、若 BD＝CE，则根据“SSS”，△ABD≌△ACE，恰当，故本选项错误；
B、若∠ABD＝∠ACE，则符合“SSA”，不能判定△ABD≌△ACE，不恰当，故本选项正确；
C、若∠BAD＝∠CAE，则符合“SAS”，△ABD≌△ACE，恰当，故本选项错误；
D、若∠BAC＝∠DAE，则∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
在线段 AB 上，AC，A′B′交于点 O，则∠COA′的度数是（ ）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
【分析】根据全等三角形的性质得到∠CB′A′＝∠B＝50°，CB＝CB′，根据等腰三角形的性质，三
角形内角和定理求出∠BCB′＝80°，根据三角形的外角的性质计算即可．
【答案】解：∵△ABC≌△A′B′C，
专题 03 全等三角形章末重难点题型汇编【举一反三】
【人教版】
【考点 1 利用全等三角形的性质求角】 【方法点拨】全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等；（2）全等三角形的周长相 等、面积相等；（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 【例 1】（2019 春•临安区期中）如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【答案】解：∵，△ABC≌△EDC．
∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°，
∵点 A，D，E 在同一条直线上，
∴∠ADC+∠EDC＝180°，
【方法点拨】寻找并证明全等三角形还缺少的条件，其基本思路是：
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（1）有两边对应相等，找夹角对应相等，或第三边对应相等.前者利用 SAS 判定，后者利用 SSS 判定. （2）有两角对应相等，找夹边对应相等，或任一等角的对边对应相等.前者利用 ASA 判定，后者利用 AAS 判定. （3）有一边和该边的对角对应相等，找另一角对应相等.利用 AAS 判定. （4）有一边和该边的邻角对应相等，找夹等角的另一边对应相等，或另一角对应相等.前者利用 SAS 判定， 后者利用 AAS 判定. 【例 2】（2019 春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC 和△AED 中，已知∠1＝∠2，AC＝AD，添加一个
即∠BAD＝∠CAE，符合“SAS”，△ABD≌△ACE，恰当，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，
注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角
对应相等时，角必须是两边的夹角．
【变式 2-3】（2018 秋•鄂尔多斯期中）如图，已知 AB＝AC，AD＝AE，若要得到“△ABD≌△ACE”，必须
添加一个条件，则下列所添条件不恰当的是（ ）
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A．BD＝CE
B．∠ABD＝∠ACE C．∠BAD＝∠CAE D．∠BAC＝∠DAE
【分析】根据已知两组对应边对应相等，结合全等三角形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求
与原来的条件可形成 AAA，就不能证明△ABC≌△DEF 了．
【答案】解：A、添加 AB＝DE 与原条件满足 ASA，能证明△ABC≌△DEF，故 A 选项错误．
B、添加 BC＝EF，根据 AAS 能证明△ABC≌△DEF，故 B 选项错误．
C、添加∠ACB＝∠DFE，不能根据 AAA 能证明△ABC≌△DEF，故 C 选项正确．
B．2 组
C．3 组
D．4 组
【分析】要使△ABC≌△DEF 的条件必须满足 SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．
【答案】解：（1）由 AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，依据“SSS”可判定△ABC≌△DEF；
（2）由 AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，依据“SAS”可判定△ABC≌△DEF；
的度数为（ ）
A．30°
B．35°
C．40°
D．50°
【分析】根据全等三角形的性质和角的和差即可得到结论．
【答案】解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠A′CB′＝∠ACB＝70°，
∵∠ACB′＝100°，
∴∠BCB′＝∠ACB′﹣∠ACB＝30°，
∴∠BCA′＝∠A′CB′﹣∠BCB′＝40°，
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故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【变式 1-1】（2018 秋•绍兴期末）如图，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，点 A，D，E 在同一条直线上，∠ACB ＝20°，则∠ADC 的度数是（ ）
【分析】根据题意可得 AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°， 再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB 即可，利用全等三角形的性质进行 解答． 【答案】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC 和△CEB 中，
∴∠CB′A′＝∠B＝50°，CB＝CB′，
∴∠BB′C＝∠B＝50°，
∴∠BCB′＝80°，
∴∠ACB′＝10°，
∴∠COA′＝∠CB′A′+∠ACB′＝60°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应
角相等是解题的关键．
【考点 2 全等三角形的判定条件】
∴∠ACB＝∠DFE，
∵∠AMF＝∠ACB+∠DFE，
∴∠AMF＝2∠ACB，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练正确全等三角形的性质是解题的关
键．
【变式 1-3】（2018 秋•桐梓县校级期中）如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠B＝50°，点 B′
【考点 3 全等三角形判定的应用】
【方法点拨】解决此类题型的关键是理解题意，利用全等三角形的判定.
【例 3】（2019 春•郓城县期末）如图所示，要测量河两岸相对的两点 A、B 的距离，因无法直接量出 A、B
两点的距离，请你设计一种方案，求出 A、B 的距离，并说明理由．
【分析】根据条件证明△ABC≌△CDE，可求得 AB＝DE． 【答案】解：在 AB 的垂线 BF 上取两点 C，D，使 CD＝BC， 再作出 BF 的垂线 DE，使 A，C，E 在一条直线上，这时测得的 DE 的长就是 AB 的长， 作出的图形如图所示：